81量子力学第六章中心力场郭华忠PPT课件
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量子力学课件第六章
第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。
现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。
我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。
微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。
图6.1：受到小微扰的无限深势阱。
首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。
此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。
下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。
将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。
对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。
（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。
）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。
但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。
又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。
它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。
例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。
量子力学(第六章)
i ( ) t 2 2 q 1 p p A p A p c 2
1 q p p p p A 2 c 2q i p p A 2 c
代入正则方程
H H ,P r P r
(2)
即可得出
式中
1 r q E v B (3) c 1 E A (电场强度) (4) c t
B A (磁感应强度)
c
• H和 p 的关系一样。这里 p 为正则动量。由这
个原理和正则量子化规则可知，有电磁场时， 量子化规则应当变更为
i i q t t q i A c
• 这就将电磁势引进了 Schrodinger 方程 。于是， 有电磁场时的 Schrodinger 方程为
的电子的速度 v 远小于光速 c ( v / c 102 ),辐
射场中磁场对电子的作用远小于电场,一般只
考虑电场的作用 。
本章将讨论恒定磁场中原子能级和光谱
的变化(Zeeman效应)以及自由荷电粒子在恒
定磁场中的运动(Lanbau能级)。 下面首先给出给出荷电粒子在恒定电磁 场中的Schrodinger方程。
A A A ( r , t ) 1 (r , t ) (16) c t 电场强度 E 和磁场强度 B 都不改变。
可以证明Schrodinger方程(9)在规范变换(16)
式下，只需波函数也同时经受如下定域相位变
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
《量子力学基础》PPT课件_OK
光的粒子性：
光电效应和康普顿效应等证明 光的粒子性。 光在与物质作用，转移能量时 显显示粒子性。
h
p h
或 p k
•4
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。
原子物理学(Atomic Physics)
二、微观粒子的波粒二象性
1、德布罗意假说 (L.De Broglie)
德布罗意
“整个世纪以来，在光学上比起波动的研究方法，是过 于忽略了粒子的研究方法，在实物理论上，是否发生了 相反的错误呢？是不是我们把粒子的图象想的太多，而 过分忽略了波的图象？”
1 n2
谱 线 •31 的
RH
1 m
2
1 n2
波 数
原子物理学(Atomic Physics)
•32
原子物理学(Atomic Physics)
三、氢原子中电子的几率分布
z
d r 2 sin drdd
d rsin
d sin dd
dS r 2 sin dd
2.一个粒子就是一个 波,或粒子只是由许多 波组合起来的一个波 包,波包的速度也就是 粒子的速度,波包的活 动表现出粒子的性质 。
电子衍射动画3
•16
原子物理学(Atomic Physics)
粒子与描写它的波之间的关系：
伴随粒子的波反映了粒子具有波粒二象性
电子的 粒子性
电子的 波动性
表现在不可分割、稳定不变 的特性，表现在它的一次行 为上。
第三章 量子力学基础
思维世界的发展,从某种意义上说,就 是对“惊奇”的不断摆脱。
—爱因斯坦
•2021/7/26 •1
原子物理学(Atomic Physics)
• §3.1微观粒子的波粒二象性 • §3.2测不准关系 • §3.3 波函数及其统计解释 • §3.4 Schrödinger方程算符 • §3.5量子力学问题的简例 • §3.6 氢原子的量子力学描述
2.第二讲.中心力场(课件2)
2 E
h2
22r2
h2
l(l 1)
r2
R
0
（13）
令
k2
2 E
h2
,
4
22
h2
k
2 E
h2
,
h
k 与 的量纲均为[长度-1]，此时，方程（13）化为
22
d d
2R r2
2 r
dR dr
k
对于给定 N，有
n x 0,
1, 2, L , N 1, N
n y n z N, N 1, N 2, L , 1, 0
19
即当 N给定时，nx可取 0,1, 2,L , N 等 N 1个值； 当 nx 固定时，ny 可取 0,1,2, L , N nx 1 等，
共 N nx 1 种取法；
h2 2M
2R
V
(r)
v (R
rv)
Et
v (R
rv)
14
二.中心力场问题举例
EX.1. 三维各向同性谐振子场
1．在直角坐标系中求三维各向同性谐振子问题 体系的哈密顿算符
Hˆ 1 2
pˆ x2
pˆ
2 y
pˆ z2
1 2 (x2 y2 z2 )
2
2
一 粒子在中心力场中运动的一般描述
哈密顿量
Hˆ 1 pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
2
2
角动量 Lˆ r pˆ
对易关系 [Lˆi Lˆ j ] iijk Lˆk
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学6-1
m1 x1 m2 x2 X M m1r1 m2 r2 m1 y1 m2 y2 R Y M M m1 z1 m2 z 2 Z M
24
这样
x X m1 x1 x1 x x1 X x M X
第六章 中心力场
§1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 （1）引力场中的运动 如Kepler运动：
地球同步卫星
1
（2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系：
电子的运动
共同特点：
角动量守恒
在中心力场中角动量概念非常重要。
2
角动量的经典表示： L r p
则 dL dr dp pr dt dt dt 1 p p r [V (r )] r dV (r ) V (r ) 是中心力场， r ( p p 0) 梯度方向就是径向 r dr 0
13
2、径向波函数在r→0邻域的渐近行为 在研究具体问题以前，先简介奇点概念 对方程
y' ' p( x) y'q( x) y 0
如果 xp( x)，x 2 q( x) 在x=a处不解析， 则x=a点为非正则奇点； 若在x=a处解析，则 x=a点为正则奇点； 比如对方程
2 l (l 1) l ' '[2 E 2 ] l (r ) 0 r r
得r最低次幂所满足的指标方程：
s( s 1) l (l 1) 0
s=l 和 s=-(l+1) 故当r→0时，有
Rl (r ) ~ r l
或 Rl (r ) ~ r (l 1)
17
根据波函数的统计解释,当r→0时,若
24
这样
x X m1 x1 x1 x x1 X x M X
第六章 中心力场
§1 中心力场中粒子运动的一般规律 例 （1）引力场中的运动 如Kepler运动：
地球同步卫星
1
（2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系：
电子的运动
共同特点：
角动量守恒
在中心力场中角动量概念非常重要。
2
角动量的经典表示： L r p
则 dL dr dp pr dt dt dt 1 p p r [V (r )] r dV (r ) V (r ) 是中心力场， r ( p p 0) 梯度方向就是径向 r dr 0
13
2、径向波函数在r→0邻域的渐近行为 在研究具体问题以前，先简介奇点概念 对方程
y' ' p( x) y'q( x) y 0
如果 xp( x)，x 2 q( x) 在x=a处不解析， 则x=a点为非正则奇点； 若在x=a处解析，则 x=a点为正则奇点； 比如对方程
2 l (l 1) l ' '[2 E 2 ] l (r ) 0 r r
得r最低次幂所满足的指标方程：
s( s 1) l (l 1) 0
s=l 和 s=-(l+1) 故当r→0时，有
Rl (r ) ~ r l
或 Rl (r ) ~ r (l 1)
17
根据波函数的统计解释,当r→0时,若
量子力学第六章-中心力场-郭华忠
[ E V ( r )]u 0
d 2u dr 2 2 Ze 2 2 l ( l 1) 2 2 |E | u 0 r r2
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d 2u
2Ze 2 1 1 8 | E | l ( l 1) 2 2 r 4 2 r 2 u 0 dr
b 1
级 数 e ρ与f(ρ) 收 敛 性 相同
后项与前项系数之比
1 ( 1 )!
1. ρ→ 0 时， R(r) 有限已由!1源自!( 1)!
1
所以讨论波函数 s = + 1 条件所保证。 的收敛 性可以用 e ρ代替 f (ρ) 2. ρ→∞ 时， f (ρ) 的收敛性 如何？ 需要进一步讨论。
第六章
电子在库仑场中的运动
（一）有心力场下的 SchrÖdinger 方程 （二）求解 SchrÖdinger 方程 （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结
（一）有心力场下的 Schrodinger 方程
体系 Hamilton 量
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为： 对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：
则
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所以
bnr 0 bnr 1 0
于是递推公式改写为
因为 分子
nr l 1 0
量子数
nr l 1 n
量子物理PPt
经典物理的解释及困难
1.斯忒藩玻耳兹曼定律 黑体的辐出度曲线下的面积（总辐射能）与黑体的热力学 温度的四次方成正比：
σ称为斯忒藩玻耳兹曼常量。
定律表示单位时间单位表面积上辐射出的各种波长电磁波的总能量 与温度之间的关系。
2. 维恩位移定律 当黑体的热力学温度升高时，峰值波长向短波方向 移动。
维恩定律是由经典统计物理导出的半经验公式，在短波波段与 实验符合的很好，而在长波波段有明显的差异。
海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子不能同时用坐标和动量进行准确
的测量。
27
对于原子尺寸的粒子，我们不能用经典的方法来描述，轨道的概念是没 有意义的，因为它是建立在有同时确定的位置和动量的基础上的。
3.能量和时间的不确定关系 在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系， 即：
E 表示粒子能量的不确定量，而t可表示粒子处于该能态的平均时间。
经典的反义词是什么？ 量子。
研究 对象
量子物理研究的东西都超级超级小
理论
量子物理里边只讲求概率，不讲求规 律
应用 没有量子力学你将不能吃鸡
想要了解量子力学， 那么一切都不得不从两 多乌云谈起。这两朵乌 云出自1900年4月27日 开尔文的演讲《在热和 光动力理论上空的19世 纪乌云》：“动力学理 论断言，热和光都是运 动的方式，但是，现在 这一理论的优美性和明 晰性却被两朵乌云遮蔽， 显得黯然失色”。
粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。
波动性：指周期性地传播、运动着的场。它能在空间表现出干涉、衍 射等波动现象，具有一定的波长、频率。
德布罗意关系式 德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性 描述应用到实物粒子， 动量为 P 的粒子波长：
第六章 中心力场 量子力学教学课件
第六章 中心力场 量子力学教学课件
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
华科量子力学第六章.ppt
e
M S c S
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz
e
2c
MB
Bo(hCr G磁S子)
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz e
Sz
c
（2）轨道回转磁比率
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
e
M L 2c L
则，轨道回转磁比率为：
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值
所以 Sˆx
Sˆy
Sˆz 的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
Sˆ 2 算符的本征值是
Sˆ 2
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
3 4
2
仿照
L2 l(l 1)2
S
2
s(s
1)2
3 4
2
自旋量子数 s 只有一个数值
ˆ yˆ x
iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z iˆ y
3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义 求 Pauli 算符的
2
ˆ
z
Sz
2
1 0
01
1 0 ˆ z 0 1
则原子在 Z
向外场 B
中的势能为：
U M B MBz cos
磁矩与磁 场之夹角
原子 Z 向受力
Fz
U z
M
Bz z
cos
分析
量子力学ppt课件
To see a world in a grain of sand and a heaven in a wild flower Hold infinite in the palm of your hand and eternity in an hour.
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
量子力学课件
量子力学彭斌地址：微固楼211电话：83201475Email: bpeng@引言牛顿力学质点运动牛顿力学（F、p、a）22dtvdmmaF==牛顿力学成功应用到从天体到地上各种尺度的力学客体的运动中。
引言牛顿力学热力学●统计物理Ludwig Boltzmann Willard Gibbs引言牛顿力学热力学●统计力学 电动力学电磁现象——Maxwell方程组¾统一电磁理论¾光─> 电磁波1600170018001900时间t力学电磁学热学物理世界（力、光、电磁、热…）经典热力学（加上统计力学）经典电动力学（Maxwell 方程组）经典力学（牛顿力学）迈克尔逊－莫雷实验黑体辐射动力学理论断言，热和光都是运动的方式。
但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……——开尔文（1900年）引言什么是量子力学？什么是量子力学？——研究微观实物粒子（原子、电子等）运动变化规律的一门科学。
相对论量子力学量子电动力学量子场论高能物理相对论力学经典电动力学V~C量子力学（非相对论）经典力学v<<C微观宏观量子力学的重要应用量子力学的重要应用¾自从量子力学诞生以来，它的发展和应用一直广泛深刻地影响、促进和促发人类物质文明的大飞跃。
¾百年（1901－2002）来总颁发Nobel Prize 97次单就物理奖而言：——直接由量子理论得奖25次——直接由量子理论得奖＋与量子理论密切相关而得奖57次¾量子力学成为整个近代物理学的共同理论基础。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
在原理和基础方面，仍然存在着至今尚未完全理解、物理学家普遍的困惑的根本性问题。
任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it." -Niels Bohr 任何能思考量子力学而又没有被搞得头晕目眩的人都没有真正理解量子力学"Anyone who has not been shocked by quantum physics has not understood it."-Niels Bohr 我想我可以相当有把握地说，没有人理解量子力学。
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系数bν的递推公式
(s) b1(s1)(s)l(l1)b
注意到 s = +1
l 1 ( l 2)( l 1)l(l 1)b
(
l 1 l)( 2l
2)
b
6
（三）使用标准条件定解
二
（1）单值； 条
（2）连续。
件 满
足
（3）有限性条件
与谐振子问题类似，为讨论 f (ρ) 的收敛性现考察级 数后项系数与前项系数之比：
0
0
把第一个求和号中ν= 0 项单独写出，则上式改为：
R u f ( )e / 2
r
e / 2
b s 1
0
[s(s1)l(l1)b]0s2 [(s)(s1)l(l1)b]s2
1
令 ν'=ν-1
: 第一个求和改为 [(s)b]s10
0
即
b s
0
1
0
再将标号ν'改用ν 后与第二项合并， 代回上式得：
[( 1 s )( 1 s 1 ) l(l 1 )b ] 1 s 1
0
[ s ( s 1 ) l ( l 1 ) b 0 ] s 2 0 { [ s 1 ) ( ( s ) l ( l 1 ) b 1 ] ( s ) b ] } s 1 5 0
讨论 E < 0 情况， 方程可改写如下：
d2u 2Z2e2 l(l1 )
d2r 2
r 2|E | r2
u0 3
d d2u 2r 2 Z 22 e1 r1 4 8 |2E | l(lr 21) u0令
2
8 | E |
2
2Ze 2 2
Ze 2
2| E |
（2）求解
ρ→∞ 时，方 程变为
uf()e/2
4
(II) 求级数解 令
f() b s 0
为了保证有限性条件要求：
当r→0时 R = u / r → 有限成立
f()f() l(l 21) f()0
b00
代入方程
[ (s ) (s 1 ) l( l 1 )b ] s 2 [ ( s )b ] s 1 0
2. ρ→∞ 时， f (ρ) 的收敛性 如何？
需要进一步讨论。
e ρ代替 f (ρ)
e / 2e
可见若 f (ρ) 是
e / 2
无穷级数，则波函数 R 不满足有限性条件，所 以必须把级数从某项起
截断。
e / 2
7
令
最高幂次项的 νmax = nr
则
bnr bnr
1
0
0
第六章 电子在库仑场中的运动
（一）有心力场下的 SchrÖdinger （二）求解 SchrÖdinger （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结
1
（一）有心力场下的 Schrodinger 方程
体系 Hamilton 量
V=-Ze2/r
H ˆ 2 2 Ze2
2
r
考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为μ，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：
上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即
[s(s-1)-( +1)]b0 = 0 → s(s-1)- ( +1) = 0
s
l
l
1
S = - 不满足
s ≥1 条件，舍去。
s = &3; s + 1)(ν+ s )- ( + 1)]bν+1+(β-ν-s)bν = 0
e11 !2!2 !
l im bb 1l im ( l)l( 12 l2)1
级 数 e ρ与f(ρ) 收 敛 性 相同
后项与前项系数之比
1
(1)!
!
1
1
!
( 1)!
1. ρ→ 0 时，
R(r) 有限已由
所以讨论波函数
s = + 1 条件所保证。 的收敛 性可以用
R u( ) e / 2 f ( )
r
22 r2 r(r2 r)2L ˆ2 r2Z r2e E
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
L ˆ2 2 s1 in (si n )s1 i2n 222
（二）求解 Schrodinger 方程 2 2 r2 r(r2 r)2 L ˆ2 r2Z r2 eE
L2 Ylm =(+1) 2 Ylm 则方程化为：
若令
令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：
d d2u 2r 2 2 EZ r2 el(lr 21) u0
l(l1)2 Ze2
V(r) 2r2
r
于是化成了一维问题，势V(r) 称为等效势，它由离心势和库
d d2u 2 r2 2 [EV(r)u ]0仑势两部分组成。
r
du du
dr
d
d 2u dr 2
2
d 2u d 2
(I) 解的渐近行为
d 2u 1
d 2
u0 4
ur
2 l(l1)
4
r2
u0
d d2u 2 1 4l(l 21) u0
有限性条件要求 A'= 0
u Ae /2A e/2
uAe/2
所以可 取 解 为
f()f() l(l 21)f()0
H的本征方程
z
r
r
x
y
球坐标
22 2Zre2E
对于势能只与 r 有关而与θ, 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：
2 2 ( r 1 2 ) r ( r 2 r ) s 1 i n (s i) n s1 2 i n 2 2
Z 2 e E
于是递推公式改写为
因为 分子
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所 以 nr l 1 0
nr l 1 n
bnr1(nrn rl )ln ( r1 2l2)bnr 0
量子数 取值
lnr0,01,,12,,2 , 角 径量 量子 子数 数
n1,2,3,主量子数
（1）分离变量 令 化简方程
2 2 r 2 r(r 2 r ) 2 L ˆ2 r 2 Z r2 R e (r ) Y lm (,) E (r ) Y R lm (,)
ψ(r,θ, ) = R(r) Ylm(θ,) 注意到
2 2 r2 r(r2 r)l(l2 1 r)22Z r2 eR ER
由 定义式
Ze 2
2|E |
Z 2e 4 | E | | E n | 2 2 n 2
n 1,2,3
由此可见，在粒子能量 小于零情况下（束缚态） 仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时，波函数才满