数学美五分类讨论思想在解题中的应用

数学欣赏五分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

6.注意简化或避免分类讨论。

二、例题分析（一）对变量或参数的分类讨论１.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是 ．２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ．３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。

而确定这一点之后，又会遇到1与1a谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。

故而解题时，需要作三级分类。

解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>（）当时，原不等式化为20110a a x x a ≠--<()()①若，则原不等式化为a x x a<-->0110()()Θ1011a a <∴< ∴<>不等式解为或x ax 11②若，则原不等式化为a x x a>--<0110()()（）当时，，不等式解为i a a a x ><<<11111()ii a ax 当时，，不等式解为==∈∅111()iii a a x a当时，，不等式解为011111<<><<综上所述，得原不等式的解集为当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫⎬⎭011；{}当时，解集为a x x =>01|；当时，解集为0111<<<<⎧⎨⎩⎫⎬⎭a x x a ；当时，解集为a =∅1； 当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫⎬⎭111。

４.已知R m ∈，求函数m x x m x f +--=2)34()(2在区间]1,[o 上的最大值．5.设R a ∈,二次函数a x ax x f 22)(2--=,若o x f >)(的解集为A ,}31|{<<=x xB ,∅≠B A I ,求实数a 的取值范围.（二）对题设给出条件的分类讨论1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为 ． ２. 已知R a ∈，若关于x 的方程o a a x x =+-++|||41|2有实根，则a 的取值范围是 ．３. 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=为，求数列|}{|n a 的前n 项和n P ．（三）解题过程中的分类讨论１.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。

２.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足)3()21(312≥-=---n S S n n n ，且23,121-==S S ，求数列}{n a 的通项公式．３.已知a 是实数，函数)()(a x x x f -= （１）求函数)(x f 的单调区间；（２）设)(a g 为)(x f 在区间]2,[o 上的最小值；①写出)(a g 的表达式； ②求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g ．（四）简化和避免分类讨论的方法 直接回避－反证法，求补法，消参法； 变更主元－分离参数后变参置换或换元；合理运算－用函数的奇偶性，变量的对称变换及公式的合理选用； 数形结合－用图象的直观性和对称特点；１.∆ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==12513分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B 因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。

但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。

对角A 进行分类。

解：Θ051322<=<cos B B ABC ，且为的一个内角∆∴<<=45901213οοB B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032ο 若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12150180οο 这与三角形的内角和为180°相矛盾。

可见A ≠150ο []∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π[]=-⋅-⋅cos cos sin sin A B A B =-⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-32513121213125326 三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。

但可以在解题时不断地总结经验。

如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。

这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。

常见的“个别”情形略举以下几例：（1）“方程20ax bx c ++=有实数解”转化为240b ac ∆=-≥“”时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0；（2）等比数列{}11n a q-的前n 项和公式1(1)1n n a q S q-=-中有个别情形：1q =时，公式不再成立，而是S n =na 1。

(3) 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别情形：当直线与x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。

(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1x ya a+=，，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。

四、强化练习：1. 若a a p a a q a a p q a a >≠=++=++011132，且，，，则、log ()log ()的大小关系为 . p q >2. 若{}A x x p x x R =+++=∈|()2210，，且A R I +=∅，则实数中的取值范围是 . p >-43. 设A={}{}x x a B x ax A B B a ||-==-==010，，且，则实数的值为I 110，或-4. 设ωωωωω是的次方根，则…171+++++236的值为 0或75. 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为 . x y x y +-=-=70250或6. 若sin cos sin cos ()x x x x n N n n +=+∈1，则的值为 . 17. 已知圆锥的母线为l ，轴截面顶角为θ，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为 . 当θ≤90ο时，最大截面就是轴截面，其面积为122l sin θ；当θ>90ο时，最大截面是两母线夹角为90ο的截面，其面积为122l可见，最大截面积为121222l l 或sin θ，8. 函数f x mx m x ()()=+-+231的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为 . (]-∞，19. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是______________。

84ππ或10. 若log a231<，则a 的取值范围为________________。

0231<<>a a 或 11. 与圆x y 2221+-=()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。

y x y x x y x y ==-+-+=+--=33220220或或或()() （提示：分截距相等均不为0与截距相等均为0两种情形）1２. 不等式322101log log ()a a x x a a -<->≠且的解集为_____________。

若a >1，则解集为x a x a x a 2334≤<>⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪或 若01<<a ，则解集为x a x a x a 34230<≤<<⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪或（提示：设log a x t t t =-<-，则原不等式可简化为3221 解之得2334123341≤<>≤<>t t x x a a 或，即或log log 对a 分类：a >1时，a x a x a 2334≤<>或； 0102334<<≥><<a a x a x a 时，或）13. 已知椭圆的中心在原点，集点在坐标轴上，焦距为23，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为3：7，求此椭圆、双曲线的方程。

解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在x 轴上，可设它们方程分别为x a y b a b x a y b a b 2222222210100+=>>-=>>（），，''('')，依题意c c a b c a c b a a c ac a a b a b x y x y ===+=-+==⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⇒====⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴+=-='''''''''13282377632493619412222222222：：两曲线方程分别为，（2）若焦点在y 轴上，则可设椭圆方程为y a x b a b 222210-=>>()双曲线方程为y a x b a b 2222100''('')-=>>，，依题意有c c c a b c a b a a c ac a a b a b ===-=++==⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⇒====⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪'''''''13282377632222222：：∴+=-=椭圆方程为，双曲线方程为y x y x 222249361941 14. 设a>0且a ≠1，试求使方程log ()log ()a a x ak x a -=-222有解的k 的取值范围。