平面向量的数量积.PPT

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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文

三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线

高三一轮复习课件平面向量的数量积

a. 确定两个向量的方向和长度
b解的.
题模计技和算巧方两：向个角a向的. 量利关的用系夹向c角量.
的利
性用
质向
和量
几的何Biblioteka 加意法义和简减
化法
计进
算行
b. 简化
注计
意算
向
量
ca.. 利利用用数向量量积的公性式质求和解几何意义简化计算
b. 注意向量的模和方向角的关系
定义：平面向量的数量积是两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积几何意义：表示两个向量的夹角大小和方向
性质：数量积满足交换律、结合律和分配律
应用：在物理、工程等领域有广泛应用，如力矩、功等
结合律：a·(b+c) = a·b + a·c 交换律：a·b = b·a 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c
平行四边形定理：两个向量的数量积等于这两个向量的
模的乘积
余弦定理：两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角
的余弦值
向量数量积的性质：向量数量积的绝对值等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角的
余弦值
向量数量积的定理：两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积再乘以这两个向量的夹角的余
记开方等
理解错误，如混淆向量的数量积和向量积
的性质
应用错误，如无法正确应用向量的数量积解决实际问题
计算两个向量的数量积，并判断其正负性
判断两个向量的数量积是否为零，并解释原因
计算两个向量的数量积，并判断其方向
判断两个向量的数量积是否为零，并解释原因

高中数学课件平面向量的数量积(2)

解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 32 (1) 2 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a ||b | 2 10 5
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形
4 x 2 y 0 2 2 x y 1
5 2 5 5 2 5 所求向量为 ( , )或( , ) 5 5 5 5
例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，
向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 1 所以k= 3 （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0,
o
2
2
练习2：已知|a|=1，|b|= 2 ，
(1)若a∥b，求a· b；
2
2
(2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； 3
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45°
练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i· 1 i=_______ ② j· 1 j=________ ③ i· 0 j=________
所以 | a b | 37
(2) |2a－3b|2=4|a|2－12a· b+9|b|2=108,
所以 | 2a 3b | 6 3
练习1：已知|a|=3，|b|=4，<a, b>=60° ,求
（1）|a+b|；（2）|2a－3b|.

高考一轮第四章第三节平面向量的数量积及向量应用ppt

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|a|2 (3)a· a＝，|a|＝ a· a.
(4)cos〈a，b〉＝ (5)|a· b|
≤
a· b |a||b| .
|a||b|.
3．数量积的运算律： (1)交换律：a· b· . b＝ a
c (2)分配律：(a＋b)· a· c＝ c＋b· . b a· (3)对λ∈R，λ(a· b)＝ (λa)· ＝ (λb) ．
(
)
解析：|a· b|＝|a|· |b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a· b| ＝|a||b|，可知B是错误的．答案：B
返回
2．(2011· 辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)， a· (2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12
C．6
B．－6
D．12
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a· (2a－b)＝0，得(2,1)· (5,2－k)＝0 ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案： D
即18＋3x＝30，解得：x＝4. [答案] C
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[例2]
π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向
量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝________. b
[自主解答] b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝(e1－2e2)· 1＋ b (3e
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三节
平面向量的数量积
抓基础
明考向
教你一招我来演练
及向
量的应用
提能力
返回
[备考方向要明了] 考什么

《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的数量积)

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向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向相同的单位向量，且 e＝|bb|)中计算即可．
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2．已知|a|＝4，|b|＝6，a 与 b 的夹角为 60°，则向量 a 在向量 b 上的投影向量是________．解析：向量 a 在向量 b 上的投影向量是|a|cos 60°|bb|＝4×12×16b＝13b. 答案：13b
我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影，A→1B1叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量．
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(2)如图，在平面内任取一点 O，作O→M＝a，O→N＝b，设与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则O→M1＝ |a|ecos θ . 特别地，当 θ＝0 时，O→M1＝ |a|e . 当 θ＝π 时，O→M1＝－|a|e . 当 θ＝π2时，O→M1＝0.
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⑥cos θ＝|aa|·|bb|.
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知识点五平面向量数量积的性质
预习教材，思考问题
根据实数乘法的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表，这些结果正确吗？
运算律实数乘法
平面向量数量积
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)·c＝a·(b·c) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
解析：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即 x＝，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2）＋（y1－y2）则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节平面向量的数量积
1.两个向量的夹角定义范围向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直，记作a⊥b（规定零向量可与任一向量垂直）
非零已知两个_____向量a,b，作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，

高三数学一轮复习基础过关5.3平面向量的数量积PPT课件

5 ，|a|cos
θ
=|a|
ab |a ||b |
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
（ B）
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 1
2
2
解析 a b | a || b | cos 30
§5.3 平面向量的数量积
基础知识自主学习
要点梳理
1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，则数量 |a |·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记作a ·b=|a ||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a ·b=0 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 a ·b=±|a ||b| .
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c 共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零向量 :(1)0 与实数 0 的区别，不可写错： 0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.
·sin(
π -θ )=sin
θ cos
2 θ -sin θ
cosθ =0.
∴a⊥b. 2
（2）解由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，

6.1.2空间向量的数量积课件(苏教版)

＝CA2＋CC1 2＋CB2＝12＋22＋12＝6，
形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
证明在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
由余弦定理得，BD＝ 3AD，
所以AD2 ＋BD2 ＝AB2 ，
→ →
所以 DA⊥BD，则BD·DA＝0.
→ →
由 PD⊥底面 ABCD，知 PD⊥BD，则BD·PD＝0.
→ →
（2）AM 在直线 BC上的投影向量 BC
C
D
0
A
B
D1
C1
2
AM BC BC BC BC | BC |2 1
B1
A1
（问）AM BC还有没有其他方法？
M
C
D
A
B
典型例题
例3.量a，
b，
c均为单位向量, 它们的夹角均为600，求 | a 2b c |
2
2
2
解：
| a 2b c | （a 2b c） a 4b c 4a b 2a c 4b c

4
4
→
所以|BN|＝
→
|BN|2＝ 3.
典型例题
—→ —→ → → —→ →
（2）因为 BA1 ＝ CA1 －CB＝CA＋CC1 －CB，
—→ → —→
CB1 ＝CB＋CC1 ，
—→
—→
→ → →
所以| BA1 |2＝ BA1 2＝(CA＋CC1－CB)2
—→
→ —→ →
| BA1 |＝ 6，
| m|| n |
典型例题
一、数量积的计算
例4

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝（ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D，所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D，所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标；坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

平面向量的数量积-

平面向量数量积的性质
设a , b 是两个非零向量， e 是单位向量，于是
有：① eaaeacos② abab0
③当a与 b同向时，ab a b ；
当a与 b反向时，ab a b，
特别地，aa
a2

2
a
。
(4)cos a b
a b
⑤ ab a b
平面向量数量积的运算律
①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：
a b a b a b R
③分配律成立：
a b c a c b ccab
特别注意：
（1）结合律不成立：a b ca bc；
当且仅当反方向时θ =1800，同时0 与其它任何
非零向量之间不谈夹角这一问题。
(2)a与 b垂直；如果 a , b 的夹角为900,则称垂直，记作a b 。
(3)a与 b 的数量积：两个非零向量 a , b ，它们
的夹角为θ ，则 a b cos叫做称 a与 b 的
(4)数量积（或内积），记a作 b ，
（2）消去律不成立 abac不能得到 b c
（3）a b =0不能得到 a = 0 或 b = 0
④但是乘法公式成立：
2 2 2 2
a b a b a b a b；
a b 2 a 2 2 a b b 2a2
2
2abb
；
平面向量数量积的坐标表示:
2019届高考数学复习强化双基系列课件
《平面向量的数量积》
1、知识精讲：
（1）平面向量的数量积的定义
①向量a , b 的夹角：已知两个非零向量 a , b ，

高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积

－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二平面向量数量积的应用角度一求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．

《平面向量的数量积》课件

数量积的性质

对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包括对称性、分配律等。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件

[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自自自求主主主主∠解O解解解A答答答答B.]]]] ((((1111))))由由由由OOOOAAAA＝＝＝＝((((11116666,,,,11112222))))，，，， AAAABBBB＝＝＝＝((((－－－－5555－－－－11116666,,,,11115555－－－－11112222))))＝＝＝＝((((－－－－22221111,,,,3333))))，，，，得得得得 ||||OOOOAAAA||||＝＝＝＝ 111166662222＋＋＋＋111122222222＝＝＝＝22220000，，，， ||||AAAABBBB||||＝＝＝＝－－－－222211112222＋＋＋＋33332222＝＝＝＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222

平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |