数论问题

【数论问题】三大余数定理的应用

添加时间：2013年08月25日浏览：7550次

顿悟教育小学奥数思维训练营来自：顿悟教育网杨老师

奥数就是奥林匹克数学的简称。适当的学习奥数，对培养孩子数学思维，是大有好处的，但万不可把奥数功利化。一般来说学，孩子从小学三年级开始学习比较合适，四、五年级入手也不算太晚。通过系统的奥数学习，可以开发孩子思维，培养孩子有条理地思考问题的能力。

知识点拨

三大余数定理

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

例题精讲

模块二：三大余数定理的应用

【例 1】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.

【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，

的约数有，所以这个数可能为。

【练习】

1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】 (法1) ，，，12的约数是，

因为余数为3要小于除数，这个数是；

(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．

2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，

而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

3、 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【解析】设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则．

根据题意可知，所以，即，得．所以是9的倍数，是8的倍数．此时，由知．由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，

所以，，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54．

当时，，而，所以，故此时最大为；当时，，由于，所以此时最小为．

所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．

【例 2】两位自然数与除以7都余1，并且，求．【解析】能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，

【练习】

1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为

和

的公约数，所求答案为17．

2、在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．

【解析】因为 , ，

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．，所以所求的最大整数是98．

【例 3】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 与的和除以7的余数是________．

【解析】找规律．用7除2，，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．

【练习】

1、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．

因为，，

所以这样的数组共有下面4个：，，

，．

【例 4】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．

【解析】，，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，，，所以除数不是58．，，，，所以除数是

【练习】

1、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为

25，那么n=________

【解析】 n能整除．因为，所以n是258大于8的约数．显然，n不

能大于63．符合条件的只有43．

2、号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。

【例 5】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．