三角形与动点问题
全等三角形中的动点问题
全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路：1、注意分类讨论；2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。
例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。
例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P 从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。
练习：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。
（1）证明：∠A=∠BCD；（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。
请说明理由。
2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒。
（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。
动点问题与三角形性质有何关系
动点问题与三角形性质有何关系嘿，咱们今天来好好聊聊动点问题和三角形性质之间那千丝万缕的关系。
先来讲讲我曾经遇到的一件小事儿。
那是在一个阳光灿烂的午后，我在公园里散步，看到一群小朋友在玩一个有趣的游戏。
他们在一块空地上画了一个大大的三角形，然后其中一个小朋友拿着一个小皮球在三角形的边上跑来跑去。
这就好像是一个动点在三角形的边上移动，一下子就让我想到了咱们今天要说的主题。
咱们从三角形的基本性质说起哈。
三角形具有稳定性，这可是个特别重要的特点。
那动点在三角形的边上移动时，不管怎么动，三角形的形状和结构都不会轻易改变。
比如说，一个动点从三角形的一个顶点沿着边匀速移动到另一个顶点，在这个过程中，三角形的内角和始终是 180 度，不会因为动点的移动而发生变化。
再来说说三角形的边长和角度关系。
这在动点问题中可有着大用处。
假设一个动点在三角形的一条边上，它到另外两个顶点的距离之和会随着动点位置的变化而变化。
就像在一个锐角三角形中，如果动点从一个锐角顶点沿着对边移动，那么它到另外两个顶点的距离之和先减小再增大。
这其中的规律可有意思啦。
还有三角形的面积呢。
当动点在三角形内部移动时，所形成的不同三角形的面积也会发生变化。
比如说，一个动点从三角形的一个顶点出发，向对边作垂线，随着动点位置的改变，垂线的长度也在改变，从而导致所形成的三角形面积发生变化。
咱再举个具体的例子。
有一个直角三角形，直角边分别为 3 和 4，斜边为 5。
现在有一个动点从直角顶点沿着斜边匀速移动。
咱们来算算在这个过程中，以动点为顶点和两条直角边所构成的三角形的面积是怎么变化的。
通过计算可以发现，面积是随着动点位置的变化而呈现出特定的规律。
动点问题与三角形性质的关系在实际生活中也有不少应用呢。
比如说设计师在设计桥梁结构的时候，会考虑到桥梁上的受力点（就像动点）在不同位置时，三角形结构的稳定性和强度变化，以确保桥梁的安全可靠。
总之啊，动点问题和三角形性质紧密相连，相互影响。
例析动点问题在中考中与三角形有关的常见题型
例析动点问题在中考中与三角形有关的常见题型二次函数与几何综合题已成为近几年各省市、地区中考数学压轴题。
命题老师对这道题的问题设置，常常会设置动点问题作为考查考生对整个初中数学知识学习的综合运用能力。
本文就动点问题在中考中与三角形有关的常见题型作了归纳整理，希望与同行共鸣。
一、由因动点产生的相似三角形问题例：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得33a =． 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-． （2）由2232333(1)3333y x x x =-=--， 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-．所以3tan 3BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A(1,3)-、B(2,0)、M3 (1,)3 -，得3tan3ABO∠=，23AB=，233OM=．所以∠ABO＝30°，3OAOM=．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当3BA OABC OM==时，23233BABC===．此时C(4,0)．②如图4，当3BC OABA OM==时，33236BC BA==⨯=．此时C(8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．图5二、由动点产生的等腰三角形问题例：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△PAC 的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO =，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．图2（3）点M 的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6-)或(1,0)．考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得6m =±． 此时点M 的坐标为(1,6)或(1,6-)．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图5三、由动点产生的直角三角形问题例：如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．总之，动点问题是新课改后中考的的一个热点问题，解这类题目的一般技巧是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量变化情况并找出相关常量；第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出；第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
三角形动点问题的解题技巧
三角形动点问题的解题技巧三角形动点问题是初中数学中一个比较常见的问题，也是学生在学习初中数学时需要重点掌握的一类问题。
本文将从解题技巧方面为大家详细讲解三角形动点问题的解题方法。
第一步：明确问题在学习数学时，我们首先需要明确问题，理解题目的含义。
对于三角形动点问题而言，我们需要明确以下几个方面：1、动点的定义。
动点是指在平面直角坐标系中，随着某个规律移动的点。
2、三角形的定义。
三角形是由三条线段组成，并将其首尾两端连接而成的一个几何图形。
3、三角形的性质。
在解题时，我们需要掌握并运用三角形的性质，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
4、问题的要求。
在题目中，我们需要明确所给的问句，例如求三角形的面积、周长等等。
第二步：确定动点的运动轨迹对于三角形动点问题而言，我们需要确定动点的运动轨迹，以便后续运用三角形的性质进行求解。
通常情况下，动点的运动轨迹有以下几种类型：1、直线运动轨迹。
当动点在平面直角坐标系中做直线运动时，我们可以根据勾股定理求出两点之间的距离，进而运用相似三角形的性质求出三角形的各项参数。
2、圆形运动轨迹。
当动点在平面直角坐标系中做圆形运动时，我们可以根据相似三角形的性质求解三角形的各项参数。
此外，我们也可以将圆形运动看作是一种周期性运动，利用周期函数的性质快速求解出三角形各项参数。
3、抛物线运动轨迹。
当动点在平面直角坐标系中做抛物线运动时，我们可以根据抛物线的性质，例如焦距、顶点等，求解出三角形的各项参数。
第三步：利用三角形的性质求解在确定了动点的运动轨迹后，我们需要运用三角形的性质对问题进行求解。
例如，在求三角形的面积时，我们可以利用海伦公式或三角形的高乘以底的公式进行计算。
在求三角形的周长时，我们可以利用三角形的边长之和进行计算。
此外，在解决三角形动点问题的过程中，我们还需要注意以下几点：1、注意单位。
在计算三角形的各项参数时，我们需要注意单位的换算，尤其是在混用不同的国际单位和中文单位时更需要引起注意。
三角形中的动点问题
三角形中的动点问题在三角形中，我们考虑一个特殊的问题：如何确定一个动点在三角形内移动时与三角形的边界交点的轨迹？首先，我们需要了解一些三角形的基本知识。
三角形由三条边和三个顶点构成。
我们可以使用三边之间的关系来解决这个问题。
假设我们有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点，而a、b、c分别为对应的边长。
此外，我们有一个动点P在三角形内移动。
首先，让我们考虑动点P在边AB上移动时与三角形的边界交点的情况。
如果我们将边AB延长成为直线，那么动点P的轨迹将是这条直线上距离A点一定距离的所有点。
同样，如果动点P在边AC和BC上移动时，其轨迹也可以由类似的思路得到。
接下来，我们考虑动点P在三角形内部的情况。
假设我们将边AB、BC、CA延长成为直线，它们会相交于一个点，我们将其称为无穷远点O。
那么，动点P在三角形内部移动时，其轨迹可以被视为无穷远点O到动点P的连线所夹的角度组成的轨迹。
综上所述，当动点P在三角形内移动时，与三角形边界的交点的轨迹可以分为三条线段和一条角度。
这一结论在三角形的一般情况下成立。
通过解决三角形中的动点问题，我们可以深入了解三角形的性质和几何知识。
这个问题也可以拓展到更复杂的几何图形中，从而引发更多有趣的研究和探索。
总结起来，三角形中的动点问题是一个有趣且具有挑战性的几何问题。
通过分析三角形的边界和动点的位置关系，我们可以得出动点与三角形边界交点的轨迹，并进一步探索几何图形的性质。
这个问题不仅有助于加深我们对三角形的理解，还能培养我们的几何思维能力。
全等三角形及动点问题分析
FED CBA举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形例2、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形例3、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段例4、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．例5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．类型二、全等三角形动态型问题例6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.举一反三：【变式】【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．知识梳理三角形全等中的动点问题分析思路：审题:要明白动点问题的关键是什么,一是点的运动路径,也就是点往哪里运动?有多少个点运动?点的运动速度是多少?运动到何时停止?运动情景分析:点运动的过程中会发生哪些变化?线段长的变化和线段长的表示.经过转折点后,图形会发生什么变化?线段长的表示是否发生变化,能否用代数式表示出来等;建立等量关系解答:动点问题到最后都是等量关系建立起来解答,如全等三角形对应边相等的讨论时,建立的就是线段长方程。
八年级上册数学动点问题三角形全等
一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。
在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。
在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。
二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。
当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。
2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。
三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。
一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。
2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。
四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。
如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。
2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。
那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。
五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。
2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。
3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。
六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。
八年级数学全等三角形与动点问题
一、解题思路1、利用图形想到三角形全等，相似及三角函数；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；4、分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；5、动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；6、动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。
二、三角形全等之动点问题（题型讲解）例题1、如图，AB=18 cm，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以2 cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BA 以1 cm/s 的速度向点 A 运动。
P，Q 两点同时出发，当点 P 到达点 B 时，点 P，Q 同时停止运动。
设点 P 运动的时间为 t 秒，请回答下列问题：（1）AP=2t ，QB=t （含t的式子表达）；（2）在 P，Q 相遇之前，若 P，Q 两点相距 6 cm，则此时 t 的值为 4s 。
例题1图知识点总结：由点速度已知的运动产生的几何问题称为动点问题，这类问题的解决方法如下：1、研究背景图形，标注；2、分析运动过程，分段；3、表达线段长度，建立等式。
例题2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=10，点 E 为边 AD 上一点，且 AE=7。
动点P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 BC 向点 C 运动，连接 AP，DP。
设点 P 运动时间为 t 秒。
（1）当 t=1.5 时，△ABP 与△CDE 是否全等？请说明理由；（2）当 t 为何值时，△DCP ≌△CDE 。
例题2图解：（1）当 t=1.5 时，△ABP ≌△CDE；理由如下：如图，由题意得 BP=2t∴当 t=1.5 时，BP=3∵AE=7，AD=10 ∴ DE=3 ∴ BP=DE在矩形ABCD中 AB=CD，∠B=∠CDE在△ABP 和△CDE 中∵ AB=CD，∠B=∠CDE ， BP=DE∴△ABP ≌△CDE（SAS）（2）如图，由题意得 BP=2t∵BC=10 ∴ CP=10 - 2t若使△DCP≌△CDE，则需CP=DE即10-2t=3，t=3.5∴当 t=3.5 时，△DCP ≌△CDE 。
三角形与动点问题
三角形与动点问题在数学的世界里，三角形一直是一个重要且基础的几何图形，而当三角形与动点结合起来时，就形成了一类充满挑战和趣味的问题。
这类问题常常出现在中学数学的学习中，不仅考验着我们对三角形知识的掌握程度，还锻炼着我们的思维能力和空间想象力。
让我们先来了解一下什么是动点。
动点，顾名思义，就是在平面或空间中不断运动的点。
在三角形中，动点的位置可能会随着时间、条件或者其他因素的变化而改变，从而导致三角形的形状、大小或者某些性质也随之发生变化。
比如，在一个直角三角形中，有一个动点在斜边或者直角边上运动。
那么，随着这个动点的移动，三角形的周长、面积或者某些角度的大小可能会发生改变。
我们需要根据已知条件，找出这些变化中的规律，从而解决相关的问题。
为了更好地理解三角形与动点问题，我们来看一个具体的例子。
假设有一个等腰三角形 ABC，AB ＝ AC ＝ 5，BC ＝ 6。
点 P 从点B 出发，沿着 BC 边以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，与此同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CA 边以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动。
当点 P 到达点 C 时，两点均停止运动。
设运动时间为 t 秒。
首先，我们需要分析在运动过程中，三角形的哪些量会发生变化。
很明显，BP 的长度会随着时间 t 的增加而增加，CP 的长度则会相应减少。
同时，CQ 的长度也会随着时间增加。
那么，我们可以先表示出 BP ＝ t，CP ＝ 6 t，CQ ＝ 2t。
接下来，考虑三角形的面积。
由于三角形 ABC 的面积是固定的，但是随着动点 P 和 Q 的运动，三角形 BPQ 的面积会发生变化。
三角形 BPQ 的面积可以用 BP 乘以三角形 BPQ 在 BP 边上的高再除以 2 来计算。
而这个高可以通过三角形的相似关系求得。
通过相似三角形的性质，我们可以得到三角形 BPQ 在 BP 边上的高为 4 ／ 5 t。
所以三角形 BPQ 的面积 S ＝ 1 ／ 2 t 4 ／ 5 t ＝ 2 ／ 5 t²。
全等三角形中的动点问题
全等三角形中的动点问题
在全等三角形中，如果动点M在三角形内部移动，那么全等三角形的另外两个顶点A和B，以及动点M之间的关系会如何变化呢？
全等三角形的定义是具有完全相同的三边和三角，并且对应的角度也完全相等。
在全等三角形ABC中，如果动点M在三角形内部移动，那么它与点A、B以及点C之间的距离关系会保持不变。
具体来说，假设动点M在全等三角形ABC内部的位置不变，比如点M 在三角形内部的中心位置，或者在三角形内部的任意位置。
那么，点M与点A、B以及C之间的距离关系如下：
1. 点M与点A之间的距离保持不变；
2. 点M与点B之间的距离保持不变；
3. 点M与点C之间的距离保持不变。
即使动点M在全等三角形内部移动，这些距离关系也不会改变。
这是因为全等三角形的边长和角度是固定的，无论动点M在三角形内部的位置如何变化，都不会影响到这些距离关系。
总结起来，全等三角形中的动点问题可以简单地归结为，动点M与三角形的顶点之间的距离关系保持不变。
这个性质可以用来解决一些问题，比如证明三角形的垂心、重心等特殊点的存在性，以及构造线段的平分线、垂线等。
全等三角形动点问题解题技巧
全等三角形动点问题解题技巧摘要：一、引言二、全等三角形判定方法回顾1.边边边（SSS）2.边角边（SAS）3.角边角（ASA）4.角角边（AAS）5.直角三角形全等判定（HL）三、动点问题解题策略1.利用已知条件构建全等三角形2.添加辅助线，构建三角形全等条件3.利用图形的几何性质简化问题四、动点问题实例分析1.实例一：直角三角形动点问题2.实例二：锐角三角形动点问题3.实例三：钝角三角形动点问题五、总结与展望正文：一、引言在数学竞赛和中学几何学习中，全等三角形动点问题常常出现。
这类问题既考验了学生对全等三角形判定方法的掌握，又考验了学生的解题技巧和思维能力。
为了解决这类问题，我们需要对全等三角形的判定方法进行回顾，并掌握一些解题策略。
二、全等三角形判定方法回顾1.边边边（SSS）：当两个三角形的三条边分别相等时，两个三角形全等。
2.边角边（SAS）：当两个三角形的两边和夹角分别相等时，两个三角形全等。
3.角边角（ASA）：当两个三角形的两角和一边分别相等时，两个三角形全等。
4.角角边（AAS）：当两个三角形的两角和一边分别相等时，两个三角形全等。
5.直角三角形全等判定（HL）：当两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等时，两个三角形全等。
三、动点问题解题策略1.利用已知条件构建全等三角形：在动点问题中，通常会给出一组或多组已知条件。
我们可以根据这些条件，尝试构建全等三角形。
2.添加辅助线，构建三角形全等条件：在动点问题中，有时需要添加辅助线来构建全等三角形。
辅助线的作用是将复杂的图形简化，形成易于判断全等条件的情况。
3.利用图形的几何性质简化问题：在动点问题中，可以利用图形的几何性质，如垂直、平行、角平分线等，来简化问题。
这些性质有时能帮助我们快速判断全等条件。
四、动点问题实例分析1.实例一：直角三角形动点问题题目：如图，点A、B分别在边AC、BC上，且AB=AC，求∠B的度数。
解：作AD⊥BC，BD⊥AC，垂足分别为D、E。
全等三角形--动点问题
全等三角形的动点问题教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为_____________，数量关系为______________．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF.（1）求证：△ADF≌△CEF.（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）求△CDE面积的最大值．变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3. 正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．例4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？变式如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【拓展提高】1..两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证12DEF CEF ABCS S S+=△△△．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．4. 如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G.（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．6.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕点A旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.8.思考与推理如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=120°. ∠PCQ=60°，两边分别交线段AB、AD于点P、Q，把△PBC绕点C顺时针旋转120°得到△MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（△PBC与△MDC除外）.探究与应用在上边的条件下，若∠PCQ绕顶点C在∠BCD内转动，两边始终与线段AB、AD相较于点P、Q，试探究在转动过程中△APQ的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由.9.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______________.10.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．11.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？12.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．。
初二三角形动点问题的解题技巧
初二三角形动点问题的解题技巧
在初二数学中，三角形动点问题是比较常见的一类题型。
这类题目通常会给出一个三角形，以及一个或多个动点，要求我们根据题目给出的条件求出动点的位置或移动路径等。
下面介绍几种常见的解题技巧：
1. 利用相似三角形
在三角形动点问题中，经常会用到相似三角形的性质。
我们可以通过观察图形，找到一些相似的三角形，从而得到一些等式或比例关系，从而解出未知量。
2. 利用平移、旋转和对称
三角形动点问题中，有时可以通过平移、旋转和对称等变换来简化问题。
例如，我们可以将动点按照某种规律进行平移或旋转，从而找到一些特殊的位置，进而求出答案。
3. 利用向量
三角形动点问题中，向量的应用也非常常见。
我们可以通过向量运算，求出动点在某个位置的坐标，或者求出动点的移动向量等。
4. 利用解析几何
对于一些复杂的三角形动点问题，我们可以利用解析几何的方法进行求解。
通过建立坐标系和方程，我们可以求出动点的坐标，从而解出问题。
总之，在解决三角形动点问题时，我们需要善于发现规律，灵活运用各种工具和方法，才能高效地求解问题。
三角形简单动点问题
2、三角形中的动点问题例1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点。
（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？例2.如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E 。
（1）试说明EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论。
分析：（1）根据CE 平分∠ACB ，MN ∥BC ，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB ，再根据等边对等角得OE=OC ，同理OC=OF ，可得EO=FO 。
（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
（3）利用已知条件及正方形的性质解答。
A Q D B练习1、在直角三角形ABC 中，BC=6，AC=8，点D 在线段AC 上从C 向A 运动。
若设CD=x ，△ABD 的面积为y 。
（1）请写出y 与x 的关系式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？此时点D 在什么位置？（3）当△ABD 的面积是△ABC 的面积的一半时，点D 在什么位置？2、直线643+-=x y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止。
全等三角形动点问题的解题思路
一、问题描述在平面几何学中，全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
动点问题是指在平面上确定一个点，而后移动这个点以满足一定条件。
全等三角形动点问题则是要求在平面上确定一个点，使得以该点为顶点的所有全等三角形的面积之和最大或最小。
这个问题在数学竞赛和几何学研究中常常出现，解题思路精妙而严谨。
二、解题思路1. 确定顶点我们可以考虑在给定的平面上确定一个点作为全等三角形的顶点，用坐标(x,y)表示。
这个顶点的选取形成了问题的基础。
2. 寻找基线我们需要确定一个基线，可以是平行于x轴或y轴的直线，也可以是不平行于坐标轴的直线。
该基线将与顶点形成两条边，作为全等三角形的两条边。
3. 定义第三顶点在确定了顶点和基线之后，我们需要找到以确定的顶点和基线为两边的所有全等三角形的第三个顶点。
这个顶点与已知两边的长度和角度有关，需要通过数学方法求解。
4. 计算面积我们可以根据已知的三角形三边长度和角度来计算全等三角形的面积，然后将所有全等三角形的面积相加，得到总的面积。
通过对顶点和基线的选择，使得总面积达到最大或最小。
三、求解方法1. 枚举法一种直观的方法是使用枚举法，即遍历所有可能的顶点和基线组合，计算出每一组合对应的全等三角形面积之和，然后找出最大或最小的值。
这种方法的缺点是计算量大，需要耗费大量时间和精力。
2. 几何分析法另一种方法是通过几何分析，利用三角形的性质和面积公式来推导出最优的顶点和基线选择。
这种方法需要一定的数学功底和几何直觉，但可以避免枚举法的缺点，得到更加精确和高效的解答。
3. 数学建模法还可以采用数学建模的方法，将全等三角形动点问题转化为数学问题，通过建立数学模型和运用优化理论来求解。
这种方法需要对数学理论和数值计算都有较高的要求，但可以得到较为严谨和可靠的结果。
四、举例说明以确定顶点为(-1,2)、基线为y=3和寻找基线不平行于坐标轴的情况为例，说明全等三角形动点问题的解题思路。
我们固定顶点为(-1,2)，然后确定基线为y=3，寻找第三个顶点在基线的两侧。
全等三角形动点问题
全等三角形动点问题咱来说说全等三角形的动点问题哈。
你可以想象有两个三角形，它们一开始可能是分开的，但是呢，有一些点是可以动的，就像小虫子在三角形的边上或者内部爬来爬去。
这些动点的运动就会带来各种好玩的情况。
比如说，一个三角形的某个顶点沿着一条直线慢慢移动，然后我们就得看看在这个移动过程中，这两个三角形啥时候能全等。
二、解题的关键思路1. 找对应关系- 这就像是给三角形的边和角找对象一样。
全等三角形嘛，得有对应的边相等，对应的角相等。
当有动点的时候，我们得时刻盯着哪些边和角是对应的。
比如说，有个动点在一条边上移动，我们得看这个动点所在的边和另一个三角形的哪条边可能是对应边呢。
有时候题目会直接告诉你一些对应关系，那还好，如果没说，我们就得根据已知条件去推理。
- 例如，已知两个三角形有一个角相等，然后有一条边相等，那我们就得看这个相等的边是不是对应边。
如果是，再看看其他的边和角能不能也对应相等。
2. 用方程思想- 动点在动的过程中，会产生一些数量关系。
我们可以设动点移动的距离为一个未知数，比如设为x。
然后根据三角形全等的条件列出方程。
- 比如说，一个三角形的一条边长是5，另一个三角形对应的边长是 3 + x，如果这两个三角形全等，那这条边就相等啊，我们就可以列出方程 3 + x=5，然后解出x = 2。
这时候就知道动点移动到什么位置的时候这两个三角形全等啦。
3. 考虑运动范围- 动点可不是能无限制地跑，它有自己的活动范围。
这个范围可能是一条线段，也可能是一个区域。
我们得考虑在这个范围内，有多少种情况能让三角形全等。
- 就像一个动点在一条线段AB上移动，线段AB的长度是10，那这个动点P的位置AP的长度就只能在0到10之间。
如果根据全等条件列出方程得到AP的值不在这个范围里，那这个解就不合理，得舍去。
4. 分类讨论- 比如说，一个动点在三角形的一条边上移动，可能会出现这个动点靠近这条边的一个端点的时候，三角形和另一个三角形全等是一种情况；当动点靠近这条边的另一个端点的时候，又可能是另一种全等情况。
动点问题与相似三角形有何关系
动点问题与相似三角形有何关系嘿，同学们！今天咱们来聊聊动点问题和相似三角形之间那妙不可言的关系。
先给大家讲个我自己遇到的事儿。
有一次我在公园里散步，看到一个小朋友拿着风筝在草坪上跑来跑去。
一开始风筝飞得很低，小朋友跑的速度也比较慢。
后来他加快了速度，风筝就飞得越来越高。
这就好比动点问题中的点，它的位置和运动速度在不断变化。
那相似三角形在这当中扮演啥角色呢？咱们来看一个数学例子。
比如有一个三角形 ABC，另外一个动点 D 在边 AB 上移动。
随着 D 点的位置改变，三角形 ADC 和三角形 ABC 有可能会相似。
为啥会相似呢？这就好比两个长得有点像的双胞胎，只是某些部位的大小比例不太一样。
比如说，三角形 ABC 的两条边的比例是 2:3，当动点 D 移动到某个特定位置时，三角形 ADC 对应的两条边比例也成了 2:3，那这两个三角形不就相似了嘛。
再举个例子，假如有一块长方形的黑板，一个点从左上角开始沿着边框向右下角移动。
在移动的过程中，我们可以通过相似三角形的知识来计算这个点到各个顶点的距离变化。
动点问题常常会让同学们感到头疼，一会儿这个点动到这儿，一会儿又动到那儿。
但如果我们能巧妙地运用相似三角形的性质，就好像找到了一把神奇的钥匙，能打开解决问题的大门。
比如说，在一个直角三角形中，有一个动点沿着斜边移动。
我们通过找出相似三角形，就能根据已知的边的长度比例，求出动点移动过程中相关线段的长度。
有时候动点的运动轨迹不是直线，而是曲线，比如一个点在圆上运动。
这时候，我们还是可以通过构造相似三角形来找到解题的思路。
还记得我开头说的那个在公园里放风筝的小朋友吗？他跑的路线其实也可以看作是一个动点问题。
而风筝在空中形成的形状和小朋友奔跑的轨迹，说不定也能和相似三角形联系起来呢！总之，动点问题和相似三角形就像是一对好伙伴，它们相互配合，帮助我们解决数学中的难题。
只要同学们认真观察、仔细思考，就能发现它们之间隐藏的秘密，让数学变得不再那么可怕！加油吧，小伙伴们！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x O E B A y C F x O E B A y C F x O E
B A y C F x O E B A y C F x O E B A y
C F x O E B A y C F
9.（2009年本溪）在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在 的右侧作，使，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）设，． ①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理 由；
l
O M N x y P
l
O M N x y P
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结 论．
A E E A C C D D B B 图1 图2 A A 备用图 B C B C 备用图 A E E A C C D D B B 图1 图2 A A 备用图 B C B C 备用图
10．如图， 直线 与 轴、 轴分别交于点
，点
．点 从点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿 → 方向运动，点 从点 出 发，以每秒2个单位长度的速度沿 → 的方向运动．已知点 同时 出发，当点 到达点 时， 两点同时停止运动， 设运动时间为
秒．
（1）设四边形MNPQ的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出 的 取值范围．
（2）当 为何值时， 与 平行？
A Q C D B P A Q C D B P
8、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上 的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于 点F，设C（m，n）．
（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE； （2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？ 若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点
（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋ DF＝ ．
2、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结 果不取近似值）.
5、如图，在等边的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们 同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C 向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止 运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？
（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不 变，如图（2）所示，，求证：
3、如图，将边长为1的等边 △OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1， P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．
4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点， 点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形
成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角
形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN
的面积之比；若不是，请说明理由．
Hale Waihona Puke 图1图2图3
图8
图1
图2
图3
图8
7、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等， 请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少 时，能够使与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的 哪条边上相遇？
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交 AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确
6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角
形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若