人教版选修2数学归纳法及其应用举例说课稿PPT课件
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人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
高中数学人教课标版选修2-2《数学归纳法》课件
分析法等,表现出数学归纳法“灵活”的一面
知识回顾 知识梳理
问题探究
课堂小结
随堂检测
数学归纳法的基本形式: 设P(n)是关于自然数n的命题,若 （1）P(n0)成立(奠基) （2）假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则 P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
用数学归纳法进行证明时,“归纳奠基”和“归纳递推”两个
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:数学归纳法的逻辑依据和证明步骤
活动三 实例运用,体会方法 ★▲
★▲
例1.已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)
时命题为真,则还需证明（ B ）
A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2(k+2)时命题成立
数学归纳法
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
合情推理通常包含哪些推理方法,它们的利弊是什么? 为什么说“归纳推理”的结论未必是正确的? 直接证明和间接证明的逻辑依据和证明方法有哪些? 检测下预习效果: 点击“随堂训练” 选择“《数学归纳法》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:数学归纳法的逻辑依据和证明步骤
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:数学归纳法的逻辑依据和证明步骤
活归纳法证明满足递推关系
的数列
的通项公式为
.
一般的,证明一个与正整数n相关的命题,可按以下步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立（为n取的第一个值）; （2）（归纳递推）假设 时命题成立,证明当n=k+1时也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法.
(人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件
2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果 只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠 步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也 可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
规律技巧 此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳 能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除． 【分析】 成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即n＝k＋1时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利 用归纳假设，那就不正确.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.
课前热身 数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤 为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立． 只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.
【人教.高中.数学】选修2-2：第二章2.3数学归纳法【PPT课件】
答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
类型 4 归纳—猜想—证明(规范解答)
[典例 4] (本小题满分 12 分)在数列{an}中，a1＝2， an＋1＝ban＋bn＋1＋(2－b)2n(n∈N*)，b＞0.
(1)求 a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式并加以证明． 审题指导：(1)根据 an 与 an＋1 的递推关系，分别令 n
2．“假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳 假设起着已知条件的作用，“n＝k＋1 时命题也成立”则 是求证的目标．在证明“n＝k＋1 时命题也成立”的过程 中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、 性质等推证出 n＝k＋1 时命题也成立．
(2)在推证“n＝k＋1 时不等式也成立”的过程中，常 常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变 换出要证明的结论．
[变式训练] 用数学归纳法证明：212＋312＋412＋…＋n12 ＜1－n1(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12. 因为14＜12，所以不等式成立．
即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除． 则当 n＝k＋1 时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋ [(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝ [k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
答案：B
3．用数学归纳法证明 1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝qnq＋－2－1 q
(n∈N*，q≠1)，在验证 n＝1 等式成立时，等式左边的式
子是( )
A．1
类型 4 归纳—猜想—证明(规范解答)
[典例 4] (本小题满分 12 分)在数列{an}中，a1＝2， an＋1＝ban＋bn＋1＋(2－b)2n(n∈N*)，b＞0.
(1)求 a2，a3，a4； (2)猜想数列{an}的通项公式并加以证明． 审题指导：(1)根据 an 与 an＋1 的递推关系，分别令 n
2．“假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳 假设起着已知条件的作用，“n＝k＋1 时命题也成立”则 是求证的目标．在证明“n＝k＋1 时命题也成立”的过程 中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、 性质等推证出 n＝k＋1 时命题也成立．
(2)在推证“n＝k＋1 时不等式也成立”的过程中，常 常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变 换出要证明的结论．
[变式训练] 用数学归纳法证明：212＋312＋412＋…＋n12 ＜1－n1(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12. 因为14＜12，所以不等式成立．
即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3 能被 9 整除． 则当 n＝k＋1 时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋ [(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝ [k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
答案：B
3．用数学归纳法证明 1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝qnq＋－2－1 q
(n∈N*，q≠1)，在验证 n＝1 等式成立时，等式左边的式
子是( )
A．1
人教版高中数学选修数学归纳法 (2)ppt课件
点击下图片进入:
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak，共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1＝12(k2－k－2) ＝12(k＋1)(k－2)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]． 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
2.
由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所 以直线 l 与 l1，l2，l3，…，lk 的交点共有 k 个．
∴f(k＋1)＝f(k)＋k ＝kk2－1＋k＝k2＋ 2 k ＝kk2＋1＝k＋1[k2＋1－1]. ∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，命题对一切 n∈N＋且 n≥2 成立．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公 比为 q.由 a1＝b1＝2，得 a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由 条件，得方程组28＋ ＋36dd＋ －22qq33＝ ＝2170， ， 解得dq＝ ＝32.，
所以 an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)法一：由(1)得 Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1， ① 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1. ② 由②－①，得
证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又9(k2＋3k＋3)也能被9 整除．
人教A版高中数学选修2-2 第二章 2.3 数学归纳法教学课件共20张PPT (共20张PPT)
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: k
1
13
24
,不等式成立.
1 1 13 ,
1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1
(k 1) 1 (k 1) 2
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 ( 1 1 1 )
k1 k2ຫໍສະໝຸດ 2k 2k 1 2k 2 k 1
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
A
A
B
B
C
F
C
ED
（1）验证当n=初1时始结值论n成0时立结。论成立。
（2）假设当n=k(k≥1n)0时)时结结论论成成立立，，证证明明则则当当 n=k+1时结论也成立。
（3）下结论：根据（1）和（2），可知对 任意的正整数n，结论都成立。
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
an 1 an
n
1, 2, ...
有 如何证明？ 无
限
限
步
对
骤
象
要使得多米诺骨牌 全部倒下，
需要具备哪些基本条件？
（1）最开始的一块骨牌倒下。
（2）若第k块倒下时，k≥1
则相邻的第k+1块也倒下。
已知数列 a n ,a1 =1,a n+1
多米诺骨牌游戏的原理 an
= an (n N *), 11+a这n 个猜想的证明方法
k(k
6
1)( 2k
1)
6(k
1) 2
6
(k 1)(2k 2 7k 6)
6
利用假设
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
《数学归纳法》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第2.3课时)
k
新知探究
继续解答……
这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就 有n=4也成立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立.
此猜想正确，即
此数列的通项公式an
=
1 n
.
新知探究
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 归纳奠基 1.证明当n取第一个值n0 时命题成立； 归纳递推 2.假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
)，
此数列的通项公式是什么？
1 通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为 an = n .
课前导入
这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？ 这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证.
这个方法可行 吗?
课前导入
我们来分析此方法：
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很 麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往 下验证的想法价值不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所 有正整数都成立.
新知探究
注意
用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即 以“n=k时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用 “n=k时命题成立”这个条件，而直接将n=k+1代入命题，便断言此时命题成立因为这样的“证 明”并不推出递推关系：
这种证明方法就叫做 数学归纳法.
人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件
典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为 ，试比较 与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时， 不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳： 从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
人教版高中数学选修22：2.3 数学归纳法(共15张PPT)
即n k 1时不等式成立.
根据（1）和（2），不等式对任意n 1且n N成立.
小结
1、数学归纳法产生的背景； 2、数学归纳法的原理； 3、数学归纳法的两个基本步骤：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n（0 n0 N ）时命题成立； （2）（归纳递推）假设n k（k n0, k N ）时命题成立，证明 当n k 1时命题也成立.Fra bibliotek一块倒下。
条件（2）有何作用？
二、多米诺骨牌与数学归纳法的原理
类比多米诺骨牌游戏的原理，我们对“问题引入”中 的猜想作如下证明：
证明：（1）容易验证，n 1时猜想成立；
（2）如果n
k时成立，即ak
1 ，那么n k
k
1时，
1
ak 1
ak 1 ak
1
k
1
1 ，即n k 1时猜想也成立. k 1
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
二、多米诺骨牌与数学归纳法的原理
多米诺骨牌全部倒下只需满足两个条件： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后
2.3 数学归纳法
授课教师：孙广
学习目标
一、了解数学归纳法产生的背景； 二、通过多米诺骨牌游戏，了解数学归纳法的原理； 三、掌握数学归纳法的步骤，并能应用数学归纳法解
决与正整数有关的数学问题。
问题引入
对于数列{an},已知a1
1,
an1
an （n 1 an
1,2,3 ）
对前四项a1
1, a2
k 1条直线交点的个数f (k 1) k(k 1) k (k 1)[(k 1) 1] .
根据（1）和（2），不等式对任意n 1且n N成立.
小结
1、数学归纳法产生的背景； 2、数学归纳法的原理； 3、数学归纳法的两个基本步骤：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n（0 n0 N ）时命题成立； （2）（归纳递推）假设n k（k n0, k N ）时命题成立，证明 当n k 1时命题也成立.Fra bibliotek一块倒下。
条件（2）有何作用？
二、多米诺骨牌与数学归纳法的原理
类比多米诺骨牌游戏的原理，我们对“问题引入”中 的猜想作如下证明：
证明：（1）容易验证，n 1时猜想成立；
（2）如果n
k时成立，即ak
1 ，那么n k
k
1时，
1
ak 1
ak 1 ak
1
k
1
1 ，即n k 1时猜想也成立. k 1
You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
二、多米诺骨牌与数学归纳法的原理
多米诺骨牌全部倒下只需满足两个条件： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后
2.3 数学归纳法
授课教师：孙广
学习目标
一、了解数学归纳法产生的背景； 二、通过多米诺骨牌游戏，了解数学归纳法的原理； 三、掌握数学归纳法的步骤，并能应用数学归纳法解
决与正整数有关的数学问题。
问题引入
对于数列{an},已知a1
1,
an1
an （n 1 an
1,2,3 ）
对前四项a1
1, a2
k 1条直线交点的个数f (k 1) k(k 1) k (k 1)[(k 1) 1] .
人教A版高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课PPT课件
验证n=n0时 命题成立 假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题 成立,证明n=k+1时命题也成立。
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立
上 海 一 新 楼 倒 塌
亏哇 大塞 了！
研 一 研
例题 在数列{a n }中,
先计算
a 1＝1,
an a n1 1 an
(n∈
N
* ),
a 2 ，a 3 ，a 4 的值，再推测通项 a n的公式,
料史
费尔马是17世纪法国著名的数学 家，是解析几何的发明人之一，是为 微积分创立作出贡献最多的人，又是 概率论创始者之一，对数论有很多的 2n 贡献。费尔马认为 2 1 一定都是质 数，并验证当n=1，2，3，4时都是质 数。
马尔费
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认
证明 2 1=4294967297=6700417×641
说教法 学法 教学手段
教法
学法
诱探 点练悟
体验 表现 感悟
教学手段
使用多媒体投影和计算机来辅助教学．
教 学 过 程 设 计
创设情境—感知概念
概念的建构
问题的探究 成果的的应用 感悟课堂 布置作业
观察归纳—形成概念 辨析讨论—深化概念
创设情境，引入新课
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑 话：财主的儿子学写字．这则笑话中财 主的儿子得出“四就是四横、五就是五 横……”的结论，用的就是“归纳法”， 不过，这个归纳推出的结论显然是错 的．
人教A版选修2-2第二章第3节第一课时说课课件
数学归纳法及其应用举例
新郑一中 董莉敏
说 课 流 程
一、说教材分析 二、说学情分析 三、说教学目标 四、说重点难点 五、说教法学法 六、说教学过程 七、说总体设计
命题对从n0开始的所 有正整数n都成立
上 海 一 新 楼 倒 塌
亏哇 大塞 了！
研 一 研
例题 在数列{a n }中,
先计算
a 1＝1,
an a n1 1 an
(n∈
N
* ),
a 2 ，a 3 ，a 4 的值，再推测通项 a n的公式,
料史
费尔马是17世纪法国著名的数学 家，是解析几何的发明人之一，是为 微积分创立作出贡献最多的人，又是 概率论创始者之一，对数论有很多的 2n 贡献。费尔马认为 2 1 一定都是质 数，并验证当n=1，2，3，4时都是质 数。
马尔费
18世纪瑞士伟大的数学家欧拉确认
证明 2 1=4294967297=6700417×641
说教法 学法 教学手段
教法
学法
诱探 点练悟
体验 表现 感悟
教学手段
使用多媒体投影和计算机来辅助教学．
教 学 过 程 设 计
创设情境—感知概念
概念的建构
问题的探究 成果的的应用 感悟课堂 布置作业
观察归纳—形成概念 辨析讨论—深化概念
创设情境，引入新课
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑 话：财主的儿子学写字．这则笑话中财 主的儿子得出“四就是四横、五就是五 横……”的结论，用的就是“归纳法”， 不过，这个归纳推出的结论显然是错 的．
人教A版选修2-2第二章第3节第一课时说课课件
数学归纳法及其应用举例
新郑一中 董莉敏
说 课 流 程
一、说教材分析 二、说学情分析 三、说教学目标 四、说重点难点 五、说教法学法 六、说教学过程 七、说总体设计
高中数学：归纳法教学课件展示课件新课标人教A版选修2
n k 1 时，
（传递性）
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当
n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
（2）假设当
确，并证明当 n k 1 时结论也正确。 根据(1)(2)知对任意的 n N 且n n0 时命题成立。 （1） 注： 两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结 论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失 去了递推的依据。 （2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得 出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要 做一个总的结论。 （3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
一、复习与引入
1、在等差数列
an 中，已知首项为
（ 不 完 全 归 纳 法 ）
a1 ，公差为 d，
an
a1 a1 a2 a1 d a3 a2 d a1 2 d a4 a3 d a1 3 d
an a1 (n 1)d
像这种由一 系列有限的 特殊事例得 出一般结论 的推理方法， 通常叫做归 纳法。
（三）数学归纳法的应用举例
例1、用数学归纳法证明 1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2 证明： （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 2 （假设） 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k 那么当n=k+1时 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ ＝ k2 + [2(k+1)－1］ ＝ k2 ＋2k＋1 （利用假设） ＝ （k+1）2 即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
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数学归纳法及其应用举例
知识准学 二备生项对式定等差理等（比知）识数有列较全、数面列的求把和握、
和较深入的理解，同时也具备一定的从特殊到一般的归 纳能力，但对归纳的概念是模糊的．
能力储学 有备生一经定的过中推理学五能年力的，数数学学学思习维，也已逐具步
数学归纳法及其应用举例
知识与技能 了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实 质．掌握两个步骤；会证明简单的与自 然数有关的命题．培养学生观察,分析,思考,论证的能力, 发展 抽象思维能力和创新能力．培养学生大胆猜想，小心求证的辨证 思维素质以及发现问题，提出问题的意识和数学交流的能力．
过程与方法 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积 极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学 习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的 数学思想．
＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝ 131，f（10）＝151，… ， f（39）＝1 601． 但是 f（40）＝1 681＝
412，是合数．
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
地位作在 法用高 推一 导， 等学 差生 数已 列经 、学 等了 比用 数不列完的全通归项纳公
式，数学归纳法是数列知识的深入与扩展.纵观高中数学, 数学归纳法是一个重难点内容,也是一种重要的数学方法, 可以使学生学会一种研究数学的科学方法．
重点难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解．
(2) 完全归纳法实例
证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及 一边上三种情况．
设计意图:
从生活走向数学，我与学生一起回顾以前学过的数学知识．心理 学强调在已有认知结构基础上展开学习与教学，因此在这里我安排了 一个不完全归纳法的实例（数列通项）与一个完全归纳法的实例（圆 周角定理），进一步加强归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学 习中其实早已接触过归纳．
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证思维体系．但学生 自主探究问题的能力普遍还不够理想．
学生情况 我所在的学校是省属重点中学，所教 的班级是平行班，学生基础还不错.我 按照大纲要求，结合学生情况，补充了一些问题情境和 数学实例以烘托重点，突破难点．
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了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）
却证明了
＝422295 49167 297＝6 700 417×641，从而否定了费马
的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
问题3 f (n) n2 n 41 ,当n∈N时，是否都为质数？
验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）
第一阶段:输入阶段
借助数学史料, 促使学生思辨
问题1 已知 an = (n2 5n 5)2 (n∈N*), (1)分别求 a1 , a2 , a3 , a4 .
(2)由此你能得到一个什么结论? 这个结论正确吗?
问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，
当n∈N时， 22一n 定1都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作
情感态度价值观 让学生领悟数学思想和辩证唯 物主义观点；体会研究数学问 题的一种方法, 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学 的意识和科学精神．
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数学归纳法及其应用举例
教学方法 采用类比启发探究式教学方法进行教 学.数学归纳法的教学立足于学生的逻 辑思维能力和推理能力,在旧知识体系的基础上构建新的 知识锁链．教学中注重观察与思考,比较与类比,分析与 综合,概括与特殊化等知识发生发展与形成的思维过程．
设计意图:
不完全归纳法得到的结论不一定正确, 但也可能正确; 完全归纳法得 到的结论虽然正确, 但比较费事. 这两个引例为学生创设一个问题情境, 加 深学生对归纳法的认识, 同时也为本节课的后续教学开启了学生的思维．
第一阶段:输入阶段
回顾数学旧知，追溯归纳意识
(1) 不完全归纳法实例
给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式．
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数学归纳法及其应用举例
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第一阶段:输入阶段
创造学习情境，提供学习内容.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
新旧知识作用，搭建新知结构.
第三阶段:操作阶段
巩固认知结构, 充实认知过程.
教学设计三条线: 1.知识线; 2.思想方法线; 3.逻辑思维线.
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则 笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的 就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．
(2) 完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花 生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答 案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的， 几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁 的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明．
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数学归纳法及其应用举例
教学内数 日容学 制归 普纳 通法 高及 级其 中应 学用 教举 科例 书是数人学教第社三全册
(选修II)第二章第一节的内容，本节共3课时，这是第1 课时, 主要内容是数学归纳法理解与简单应用．
学法指在导教学过程中，我不仅要传授学生课 本知识，还要培养学生主动观察、主 动思考、亲自动手、自我发现等学习能力，增强学生的 综合素质，从而达到较为理想的教学终极目标．
教学手段 借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素 材,促进学生对“递推原理”的理解，为学生 掌握数学归纳法提供形Байду номын сангаас化的参照，为教学难点突破提供 感性基础．