第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固.

精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数

一、导入：名叫抛弃的水池

一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。 这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。

这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。

大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。

二、知识点回顾：

1．根式 (1)根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根

n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个

n a

零的n 次方根是零 当n 是偶数时，正数的n 次方根有 ，这两个数互为

±n

a(a>0)

负数没有偶次方根

(2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使n

a 有意义)． 2. 幂的有关概念

①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)；

②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ．

y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1

图象

DSE 金牌化学专题系列

3．指数函数的图象与性质

4．对数的概念 (1)对数的定义

如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，

记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数． (2)两种常见对数

对数形式 特点

记法 常用对数 底数为 lgx 自然对数

底数为

lnx

5．对数的性质、换底公式与运算法则

性质

①loga1＝ ，②logaa ＝ ， ③ ＝ 。

换底公式

logab ＝ (a ，b ，c 均大于零且不等于1)

运算法则

如果a>0，且a ≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(M ·N)＝ ， ②loga ＝ ， ③logaMn ＝nlogaM(n ∈R).

定义域 R 值域

(0，＋∞)

y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1

性 质

(1)过定点 (2)当x ＞0

时， ；x ＜0时，

(2)当x ＞0时， ；x ＜0时，

(3)在R 上是 (3)在R 上是

6.对数函数的定义、图象与性质

定义函数 (a>0，且a≠1)叫做对数函数

图

象

a>1 0

性

质

(1)定义域：

(2)值域：

(3)当x＝1时，y＝0，即过定点

(4)当0

当x>1时，

(4)当01时，

y∈

y∈；

(5)在(0，＋∞)上为(5)在(0，＋∞)上为

7．反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．

三、专题训练：

计算下列各式

(1)

1

3

3

()

2

-×(－

7

6)

0＋

1

4

8×42＋(32×3)6－

2

3

2

()

3

-

；

(2)

a3

5

b2

·

35

b3

4

a3

；

考点一有理指数幂的化简与求值

(3)

413

3

2233

3

824a a b a ab b

-++÷(1－2 3b a

)×3

a.

[自主解答]

(1)原式＝1

33()

2

-×1＋342-

×142

＋(132×123

)6－

1

33()2

-＝2＋4×27＝110. (2) a 35b 2

·

35b 3

4

a 3

＝33212a

-

·321510b

-＝

5

4a

＝a 4a.

(3)令

1

3a

＝m ，

1

3b

＝n ，

则原式＝m 4－8mn 3m 2＋2mn ＋4n 2÷(1－2n

m )·m ＝m (m 3－8n 3)m 2＋2mn ＋4n 2·m 2m －2n

＝m 3(m －2n )(m 2＋2mn ＋4n 2)(m 2＋2mn ＋4n 2

)(m －2n )＝m 3＝a.

变式训练：计算下列各式

(1)

138()125

-－(－78)0

＋[(－2)3]43

-

＋16

43

-

＋|－

1100

|12

；

(2)

93

3

2

a

a

-÷

3

a

－7

3

a 13；

(3)(－338)

23

-＋(1500

)12

-

－10(5－2)－

1＋(2－3)0.

解：(1)原式＝(25)－1－1＋(－2)－4＋2－3＋1

10

＝52－1＋116＋18＋110＝143

80

. (2)原式＝

9

36

67136

6

a a

a a

--＝

973136666a

+--

＝a 0＝1.