传热学-第四章

第四章
导热问题的数值解法
§4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 基本思想 1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 称之为分析解，或叫理论解；
x y
y x
2tm,n
x 2 m ,n tm1,n tm,n1 qw Φ 2
2x
(3) 内部角点
qw
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性 问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不 再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应 地不断更新） 迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不 断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。 称迭代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等 1、高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度 的最新值
c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低 (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
x y 时： tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2

x 2
0 Φ Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1

无内热源时：
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，
用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上 被求物理量的值；并称之为数值解；
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所
研究对象的传热过程所求量的实验方法 3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；
2、判断迭代是否收敛的判据：
max ti( k 1) ti( k ) max max
例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度：
( k 1) 1
(k) (k) (k) t1 、t2 ....tn
t
在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）
1 (k ) (k ) (k ) （a12t 2 ...... a1nt n b1 ） a11
t t
( k 1) 2
并化简到最后的形式，即可分别得到平直边界、外部角点和 内部角点第三类边界条件下的离散方程4-7、4-8和4-9。
4 (3) 辐射边界条件：qw const qw (T f4 Tm ,n ) 或其他
引入以网格步长为特征长度的网格Bi数： Bi
hx

4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
截断误差 未明确写出的级数余项 中的Δ X的最低阶数为2
同样可得：
t tm,n1 2tm,n tm,n1 2 o ( y ) 2 2 y m,n y
2
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为：
2t 2t 2 0 2 x y
有内热源时，其节点方程为：
tm1,n
t 2t t m ,n x 2 x m,n x
x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
若取上面两式右边的前三项，并将两式相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2
m ,n
tm1,n 2tm,n tm1,n 2 o ( x ) 2 x
4.2.1控制容积平衡法(热平衡法)
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒定律， 从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本 定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和 Fourier导热定律即可。 能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 是 解的分析
否
2 例题条件
y
h3 t f
t0
h2 t f
二维矩形域内 稳态、无内热 源、常物性的 导热问题
4tm,n 2tm1,n 2x m ,n qw tm,n1 tm,n1 Φ x 2


(2) 外部角点
qw
y tm1,n tm,n y qw 2 x 2 x x tm ,n1 tm ,n qw 2 2 y x y Φm ,n 0 2 2
t m ,n1 t m ,n 上 x y
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
t m ,n1 tm ,n 下 x y
V Φ xy Φv Φ 内热源：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
tm1,n tm ,n tm1,n tm ,n tm ,n1 tm ,n tm ,n1 tm ,n y y x x x x y y xy 0 Φ
而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题， 就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界 节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才 能求解。
为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界 条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流 密度表达式。用Φ 表示内热源强度。
4.3.1边界节点离散方程的建立：
qw
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
qw
y x
x y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y
t m ,n
y
x
1 (2tm1,n 2tm ,n1 tm ,n1 tm1,n 6 3x 2 2x 2 qw ) 2
qw的情况： (1) 第二类边界条件：将 qw const ，带入上面各式即可
绝热或对称面上的边界条件？ (2)第三类边界条件：将 qw h(t f tm,n ) ，带入上面各式
h1t f
x
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长
N
(m,n)
n
y
y M
二维矩形 域内稳态 无内热源， 常物性的 导热问题
x
x
m
§4-2 内节点离散方程的建立方法
建立离散方程的常用方法： (1) Taylor（泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法(也称为热平衡法)
1 (k ) (k ) （a21t1( k 1) ...... a2 nt n b2 ） a22 1 ( k 1) (k ) （a31t1( k 1) a32t 2 ...... a3nt n b3( k )） a33
( k 1) 3
............................................................ 1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) (k ) t n （an1t1( k 1) an 2t 2 ...... ann1t n b 1 n ） ann

t m1,n 2t m,n tmm 1,n x
无内热源时，其节点方程为：
2

t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y
2



0
t m1,n 2tmm,n t m1,n x
2

t m,n 1 2t m,n t m,n 1 y
2
0
注意：1、给出一个导数的差分表达式时，必须明确是对哪一点建立的； 2、用（m,n）和（m+1,n）的温度的差分表示（m,n）点的导数，叫做作 点的向前差分
即：
i v o
单位：[ W]
i v o

i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时：

i
0
变为：
x 2

Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
重要说明：对于无内热源稳态导热：所求节点的温 度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系 数之和。
4-3 边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解
对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为 已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离 散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
4.2.1 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的 温度tm-1,n
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
dt dt 左 A y dx dx
可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道 dt dx 所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们
假定温度呈分段线性分布，如图所示
可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。
此时：相邻节点流入该节点的热流可由傅里叶公式给出： t m1,n t m,n 左 y t m,n tm-1,n x tm1,n tm,n tm+1,n 右 y x
从所有方向流入控制体的总热流量＝0 内部节点： Φm1,n Φm1,n Φm ,n1 Φm ,n1 0
(m,n+1)
y
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
(m-1,n)
(m, n)
(m+1,n)
y
(m,n-1)
y
x
o
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
4.3.3 求解代数方程的迭代法
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程
n个未知节点温度，n个代数方程式：
t1 a11t1 a12t 2 ...... a1n t n b1 t 2 a21t1 a22t 2 ...... a2 n t n b2 .......... .......... .......... .......... .... t n an1t1 an 2t 2 ...... annt n bn