大学画法几何5投影变换

L
a'
k'
实距
作图步骤：
新投影面
1.设新轴垂直于bc；
x
V H
b' b
c'
a
k
c b'1c'1
L
2.作图得b'1c'1 k'1；
H
k'1
3.以k'1为圆心，L为半径作圆；
x1 V1
4.过b'1c'1作圆的切线，a'1必在此线上；
a'1
5.返回。
[例题11] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。
.
a1●b1
D点的投影 如何返回？ ● c2
如何解？
思考：已知点C是等边三角H形X1P的1 顶点，另●c1两P1个PX21顶点在解直法线相A同B上！，
求等边三角形的投影。
[例14]已知直线AB及线外一点M,试在直线上找一点C，使 直线MC与直线AB的夹角为60°。
1
m'
V H1
a' c'
X
a
c
b'
（一） 把一般位置直线变为投影面平行线
b1
a1
b1
a1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
练习：4－2 用换面法求线段CD的实长和对V面的倾角β
CD实长
d1
求对哪个投影面的倾角 就平行那个投影作图
c1
d'
c'
X
V H
d
c
（二） 把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1
b
a1 b1
b
（三） 把一般位置直线变为投影面垂直线
求直线与平面的交点K
e' c'
a'
k'
f'
x
V H
m’
b' be
a
k
f
m
H
x1
V1
b’
e'1
c
k '1
f'1 a’
c’
练习：4－8 用换面法求△ABC对H面的倾角
求对哪个投影面的倾角就 做这个投影面的平行线， 并紧邻这个投影面作图
a' X
VX1 1H a a1'
a'1
c' c b
a'1
（五） 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1
V1
a1 b1
X1
c′
c1 b1
a1
（六） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2
b2
1.在三角形平面ABC 上作正平线AF ；
2.作X1轴垂直于a' f ' ；
b1
3. 求三角形平面ABC 和DE在垂直于AF的
新投影面上的投影
a1b1c1和d1e1；
4.求三角形平面ABC
和DE的交点在新投
影面上的投影k1，再 求出k'和k；
5.利用重影点的特点 判别可见性。
[例题9] 求平面ABC与平面DEF的交线
直线×平面 平面×平面
投影特性
求交点（线） 判别可见性
换面法 求线段实长 求平面实形 基本问题 投影面倾角
距离问题 夹角问题 相交问题
综合应用
再见
[例题8] 求平面ABC与直线DE的交点
作X1轴垂直于a' f '
4'
k'
（1'） 2'
3' f '
1
k
f
2
（3'）4
d1 c1
k1 a1
e1
作图步骤：
1.两直线的夹角（即求平面的实形，换面2次）
2.直线与平面的夹角
3次
•3.两平面的夹角（使交线⊥投影面，换面2次）
综合
[例题5] 求ABC的实形
a2
b2
c2
X2 a1(b1)
V1
H2 c1
[例题6] 直线AB与平面CDE的夹角θ
f' b1 e1 c1
通过变换使AB与
d1
投影面平行，CDE 与投影面垂直。
一、换面法原理及规律
（一）、换面法的基本概念
V1
a1
c1 b1
c1 b1
a1
c
a b
X bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题 的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
（二）、新投影面的选择原则
实形
d2
c2
d
d
三、应用举例
把线面转换成特殊位置解决一些实际度量 和位置问题：
• （一）距离问题 • （二）角度问题 • （三）综合问题
（一）距离问题
把线面转换成垂直于投影面 即可解决距离问题！
✓1 求点C到直线AB的距离 •2 求两平行线间的距离
3 求两直线AB与CD的公垂线 ✓4 求点S到平面ABC的距离
C
x
K
B
b
M
N
还有没有其它解法？
D
A
[例18]过E点作一直线EF与△LMN平行，与直线AB相交
a' f'
e' b'
b ef
a
n'
m' n
A L
E
H
X1 V1
FN M
B
m
l1'
m1' b1'
e1' f1'
a1'
n1' 过E作平面P与 LMN平行，然 后求AB与P的交 点F，连EF为所 求
过E点与△LMN平行的平面
练习：4－1 求点A和B在新投影体系V1/H中的投影。
b' a'
X
V H
b
a
H
b'1
X1 V1
a1'
2．点的一次变换（变换H面）
a1
a1
3． 点的两次变换
a2 a2
二、六个基本问题
把线面转换成特殊位置，不但可以解决线面求实 形、倾角问题，而且也是解决各种应用问题的基础！ （一） 把一般位置直线变为投影面平行线 1次 （二） 把投影面平行线变为投影面垂直线 1次 线 （三） 把一般位置直线变为投影面垂直线 2次 （四） 把一般位置平面变为投影面垂直面 1次 （五） 把投影面垂直面变为投影面平行面 1次 面 （六） 把一般位置平面变为投影面平行面 2次
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1．新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2．新投影面必须垂直于一个不变投影面。
（三）、点的投影变换规律 1．点的一次变换
（变换V面）
V1 a1
X1
V1 a1 a1
点的投影变换有什么规律？
点的投影变换规律
（1） 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2） 点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。
a1
d2 三次变换。
f e2 b2 a2
c2
X3
V2
a3 H3
e3
c3 θ
d3
空间分析
b3
[例题6] 直线AB与平面CDE的夹角θ
θ θ
θ
[例7] 求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析：
由几何定理知：两面角为两平 面同时与第三平面垂直相交时所得 两交线之间的夹角。
当两平面的交线垂直于投 影面时，则两平面垂直于该投 影面，它们的投影积聚成直线 ，直线间的夹角为所求。
投影变换
a2 b2
b1
V1
a1
X1
第4章 投影变换
§4-1 概 述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行 或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实 形及其与投影面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们 的投影面就不具备上述特性。
投影变换就是讲直线或平面从一般位置变换为和投 影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定位问题。
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
[例12] 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
空间及投影分析：
AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°）
，因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。
作 图：
c●
几个解？
a
d b
两个解！
●a2
X
V H
a
●
c
d ●
b
.
b2●d●2 60°
b'
L
k'
d'
x a' c'
ac
x1 H
k
d
V1
b
a1' c1'
k1'
d1'
b1'
b2 k2
V1 x2
H2
L a2c（2 d2）
C BK
A
D c(d) a
bk
[例17]过K点作一直线与交叉两直线AB、CD相交 a1'
a'
d'
n' m’ c'
b'
c'1
m1'
k'
k1'
d'1
b1'
a
c
k
n
m
d
H V1
a2 b2
b1
V1
a1
X1
把一般位置直线变为投影面垂直线 a2 b2
练习：4－2 用换面法把线段CD转换成投影面的垂直线。
c1
d’2(c’2)
CD实长
d1
d'
c'
X
V H
d
c
（四） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d c
求对哪个投影面的倾角就 做这个投影面的平行线， 并紧邻这个投影面作图
d2 (c2) H2 V1
c1
b1 d1
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
a2b2
1'1
[例题4] 求点S到平面ABC的距离 垂足？
k’ XV
H
k
k1
s1 距离
（二）角度问题
求两直线的夹角就是求由它们构成的平面实 形（投影面平行面），当有平面时先把面转换 成线（投影面垂直面）。
c1 a1
b1
m1
H1 X 2 V2
b2' b
60° m2'
m
c2'
a2'
反映实形
[例15]已知等腰三角形ABC的腰AB的两面投影，并知底边在直线
BMຫໍສະໝຸດ Baidu，完成等腰三角形ABC的投影
m'
a'
c'
c
m
b'
b
a
HX V1
b1'
A MC D B
d1'
a1'
c1'
m1'
[例13]在直线AB上找一点K,使K点到直线CD的距离等于L
5 求直线与平面间的距离 6 求两平行平面间的距离
到直线的距离
把直线转换成投影面 的垂直线换面2次
到平面的距离
把平面转换成投影面 的垂直面换面1次
角度
[例题1] 求点C到直线AB的距离及垂足
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
[例题2] 求两平行线的距离
b2 (a2)
X a1
• 作业：4-1、2、4、7、8、9、10、 11、12、13、14、15、16
点线面小结
内容 单一几何元素 从属关系
并列关系
点 点的投影规律
直线 平面
三类七种线的 直线上的点的
投影特性
投影特性
直角△法求一般 线实长、倾角
三类七种面的 平面上的点和
投影特性
线的作图方法
直线∥直线
直线×直线
直线 直线 直线⊥直线
•[例11] E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影 [例12] 过C点作直线CD与AB相交成60º角 [例14] ✓[例15] [例13] 在直线AB上找一点K,使K点到直线CD的距离等于L •[例17] 过K点作一直线与交叉两直线AB、CD相交 [例18]
归纳总结:
1、掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。 2、掌握用换面法求线段实长、平面实形及其对投影面倾角 的基本作图方法。（即六个基本问题） 3、掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量 问题。（距离、角度及其综合应用问题）
解决问题
b a
a
b
两点之间距离
c b
a
a
c
b
三角形实形
c a
b
d dc
a
b
两平面夹角
c
d a
b
b
a
d
c
直线与平面的交点
§4－2 换面法
换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换旧 的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的 位置。
一、换面法原理及规律 二、六个基本问题 三、应用举例
n'
m'
1 c'
作X1轴垂直于a' 1'
n
m
f'1
1
c'1 a'1 n'1 m'1 b'1
d'1 e'1
[例题10] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
d
N
e
d
[例16]已知三角形ABC的H面投影和BC边的V面投影，点K到 ABC平面的距离为定长L。试补全ABC平面的V面投影。
变换思路： P
d
b
a
a’1 ●
d● ’1
X
V H
c a
c●’1
●b’1
θ
.
dc
.
b
a2≡ b2 ● θ ●d2
c2●
（三）综合问题
主要是实形（含角度）和距离问题的逆向应用：
✓[例8] 求平面ABC与直线DE的交点 将其中一个面转换成投 [例9] 求平面ABC与平面DEF的交线 影面的垂直面换面1次
[例10] E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e [例16]