[高等代数(上)课外习题 第一章多项式]

高等代数第一章多项式课外习题

一、 选择题

1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式

B ．零次多项式

C ．本原多项式

D ．不可约多项式

2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要

4．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±

C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x f

D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f

（ ）

5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）

A 、若p(x) 是f’(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式

B 、若p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x) 是f(x)，f’(x)的公因式

C 、若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式

D 、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是))(),(()

(x f x f x f '的单因式

6 、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）

A 、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)

B 、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约

C 、每个次数≥1的复数系数多项式，在复数域中有根

D 、一个三次的实系数多项式必有实根

7 、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）

A 、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)

B 、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c ≠0

C 、p(x)是任何数域上的不可约多项式

8、设3()3f x x x k =-+有重根，那么k=（ ）

A 、1

B 、-1

C 、±2

D 、0

9、设32()31f x x x tx =-+-是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。

A 、1

B 、0

C 、-1

D 、3或-5

10、令有理数域上的多项式542

()25139f x x x x =--+,下面只有哪个数可能是它的根

( )

(A) 2 （B ） 3 （C ） 5 （D ） 7

二、 填空题

1．最小的数域是 。

2．一非空数集P ,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。

3．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ∂︒=∂︒=，则(()())f x g x ∂︒⋅= 。

4.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 ，余式为 。

5．设,a b 是两个不相等的常数，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式为____

6.设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x 2-1除f(x)余数是 。

7. 若1-是52()1f x x ax ax =--+的重根，则a = ．

8. 已知12i +为32()375f x x x x =-+-的一个根，那么()f x 的其余根是 ．

9.当t 满足 条件时，32()31f x x x tx =-+-有重根.

10. 若()(),()()g x f x h x f x ，并且 ，则()()()g x h x f x 。

11. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。

12. 设42()f x x x ax b =+++。2()2g x x x =+-，若((),())()f x g x g x =，则 =a ，=b 。

三、判断题

1.若整系数多项式()f x 在有理数域可约，则()f x 一定有有理根。（ ）

2.若()p x 、()q x 均为不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则存在非零常数c ，使得

()()p x cq x =。

（ ）

3.若()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约。（ ）

4.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（ ）

5.对于整系数多项式()f x ，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p ，那么()f x 不可约。（ ）

6若()()h x f x ，但()h x 不整除()g x ，则()h x 不整除()()f x g x +． （ ）

7.设()()()h x f x g x ，但()h x ()g x ，则()()h x f x ． （ ）

8.若α是()f x 的导数()f x '的k 重根，则α为()f x 的1k +重根． （ ） 9 设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则2

1()x f x -． （ ）

10. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （ ）

11. 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式. （ ）

12. 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈且(),()[]u x v x P x ∃∈，使得

()()()d x u x f x =+()()v x g x ，则()d x 为()f x 与()g x 的一个最大公因式． 四、计算与证明题

1、求用2()2g x x x =-+除4()25f x x x =++的商式和余式。

2、求方程5432()378851

f x x x x x x =-+-+-的所有有理根.

3、已知12i -为32()375f x x x x =-+-的一个根，求()f x 的其余根。

4. 求多项式1)(143)(2

3234--+=---+=x x x x g x x x x x f 与的最大公因式()d x ，并求()u x ，()v x ，使得()()()()()d x f x u x g x v x =+。

5.若3642(1)x x ax bx c -+++，求,,a b c 的值。

6．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式。

7.若))(((|)1(2

223x xg x f x x x ++++, 则)(|)1(x f x +, )(|)1(x g x +。

8.令1212(),(),(),()f x f x g x g x 都是数域F 上的多项式,其中1()0f x ≠且

1212()()|()()g x g x f x f x , 11()|()f x g x ，证明: 22()|()g x f x 。