六年级奥数专题-4几何五大模型——鸟头模型教学文案

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小学五六年级奥数学竞赛五大模型——共边模型、鸟头模型

大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。

拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。

2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。

DAE D EADD AE EAB C B C B CB如图,S:S (AB AC):(AD AE)△ABC△ADEC【例1】(★★)【例2】(★★★)如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。

如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3,那么三角形BEF的面积为___________。

1如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于。

等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。

【例5】（★★★）【例6】(★★★★)已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。

E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。

求阴影部分的面积。

2已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE BC,2 F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？大海点睛大海点睛一、本讲重点知识回顾等积变形边比＝面积比二、本讲经典例题例2，例3，例5，例7，例8共角模型(鸟头模型)如图, △ABC△ADE3。

鸟头模型的定义

鸟头模型的定义【鸟头模型的定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，我们经常会遇到各种各样有趣的模型。

今天，咱们就来聊聊一个听起来有点特别的——鸟头模型。

你是不是在想，这到底是个啥？别着急，咱们马上就来揭开它神秘的面纱。

**什么是鸟头模型？**其实呀，鸟头模型就是一种用来解决几何图形中线段比例和面积关系的数学模型。

比如说，两个三角形，如果它们的形状有一定的相似性，就像鸟头的样子，那我们就能用鸟头模型来计算它们相关线段的长度比例或者面积比例啦。

就好比我们有两个三角形，一个大三角形和一个小三角形，它们的角对应相等，就好像大三角形是大鸟儿的头，小三角形是小鸟儿的头。

常见的误区是，有人会认为只要两个三角形有一点点相似就能用鸟头模型，其实不是的哦，必须要满足特定的角的关系才行。

**关键点解析****3.1 核心特征或要素**鸟头模型有两个核心要素。

第一个要素是两个三角形中有两组对应角相等。

比如说，一个三角形的两个角分别是 60 度和 80 度，另一个三角形对应的两个角也是 60 度和 80 度。

这就像两只鸟儿的嘴巴和眼睛长得一样。

第二个要素是通过这些相等的角来构建比例关系，从而求出线段或者面积的比例。

比如知道了两个对应角的度数，就能算出对应边的比例。

**3.2 容易混淆的概念**鸟头模型容易和相似三角形的概念混淆。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。

而鸟头模型更侧重于利用特定的角的相等关系来建立比例等式。

相似三角形的范围更广，鸟头模型是相似三角形中的一种特殊情况。

**起源与发展**鸟头模型最早是在数学研究中被发现和总结出来的。

随着数学教育的不断发展，它成为了几何学习中的一个重要工具。

在当下，它对于解决各种几何问题，特别是涉及到复杂图形中三角形比例关系的问题，有着重要的作用。

未来，也许它会在更广泛的数学领域，比如立体几何或者数学建模中发挥更大的作用。

**实际意义与应用**在日常生活中，鸟头模型也有用武之地呢。

小学几何五大模型

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：二、鸟头模型的原理剖析三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1：如图，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面积是6平方厘米，求三角形ABC的面积?第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD×AE(小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边)大夹边AB×AC第三步：利用鸟头模型结论S△ADE：S△ABC=小夹边乘积:大夹边乘积=(2×3):(5×4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6÷3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2×10=20平方厘米。

例2：如图，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE 的面积?第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD×CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA×CB第三步：利用鸟头模型结论S△CDE：S△ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2×1):(2×5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。

第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20÷5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，4×1=4平方厘米。

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型与沙漏模型),共边（含燕尾模型与风筝模型), 掌握五大面积模型得各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高得两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;如右图③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图; 反之，如果,则可知直线平行于、④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比、二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形、共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比、如图在中,分别就就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上), 则EDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中得比例关系(“蝶形定理”):①或者②蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应得对角线得比例关系、梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”):DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA A BC DO ba S 3S 2S 1S 4① ②；③得对应份数为、四、相似模型(一）金字塔模型 (二）沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①; ②、所谓得相似三角形，就就就是形状相同,大小不同得三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关得常用得性质及定理如下:⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例，并且这个比例等于它们得相似比；⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方；⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线、三角形中位线定理:三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半、相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具、在小学奥数里，出现最多得情况就就是因为两条平行线而出现得相似三角形、五、共边定理(燕尾模型与风筝模型）在三角形中,,，相交于同一点,那么、上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很象燕子得尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理、该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用,它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得O FEDCBA三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、典型例题【例 1】如图,正方形ABCD 得边长为６，１、5,2、长方形ＥFGH 得面积为、【解析】连接DE ，ＤF,则长方形EFGH 得面积就就是三角形ＤEF 面积得二倍、三角形DEF 得面积等于正方形得面积减去三个三角形得面积, ,所以长方形E ＦＧH 面积为33、【巩固】如图所示,正方形得边长为厘米，长方形得长为厘米,那么长方形得宽为几厘米？【解析】本题主要就就是让学生会运用等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形)、三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半、证明:连接、（我们通过把这两个长方形与正方形联系在一起)、 ∵在正方形中,边上得高,∴（三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半) 同理,、∴正方形与长方形面积相等、长方形得宽(厘米）、【例 2】长方形得面积为３6,、、为各边中点,为边上任意一点，问阴影部分面积就就是多少？E【解析】解法一：寻找可利用得条件,连接、,如下图：_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F_ DE可得:、、,而即; 而，、所以阴影部分得面积就就是:解法二：特殊点法、找得特殊点，把点与点重合,那么图形就可变成右图:GE (H )这样阴影部分得面积就就就是得面积,根据鸟头定理,则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影、【巩固】在边长为6厘米得正方形内任取一点,将正方形得一组对边二等分,另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积、【解析】（法1）特殊点法、由于就就是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示，图中得两个阴影三角形得面积分别占正方形面积得与,所以阴影部分得面积为平方厘米、(法２）连接、、由于与得面积之与等于正方形面积得一半，所以上、下两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得，同理可知左、右两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,所以阴影部分得面积为平方厘米、【例 3】如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为7０,,,四边形得面积为、B【解析】利用图形中得包含关系可以先求出三角形、与四边形得面积之与,以及三角形与得面积之与,进而求出四边形得面积、由于长方形得面积为,所以三角形得面积为,所以三角形与得面积之与为;又三角形、与四边形得面积之与为,所以四边形得面积为、另解：从整体上来瞧，四边形得面积三角形面积三角形面积白色部分得面积,而三角形面积三角形面积为长方形面积得一半,即6０,白色部分得面积等于长方形面积减去阴影部分得面积,即,所以四边形得面积为、【巩固】如图，长方形得面积就就是36,就就是得三等分点,,则阴影部分得面积为、ABAB【解析】如图，连接、根据蝶形定理，,所以;,所以、又，,所以阴影部分面积为:、【例 4】已知为等边三角形,面积为400,、、分别为三边得中点，已知甲、乙、丙面积与为143，求阴影五边形得面积、(丙就就是三角形)B【解析】因为、、分别为三边得中点,所以、、就就是三角形得中位线,也就与对应得边平行，根据面积比例模型,三角形与三角形得面积都等于三角形得一半,即为200、根据图形得容斥关系,有，即,所以、又,所以、【例 5】如图,已知,,,,线段将图形分成两部分，左边部分面积就就是38,右边部分面积就就是６5,那么三角形得面积就就是、【解析】连接，、根据题意可知,；;所以,，，,,于就就是:;;可得、故三角形得面积就就是40、【例 6】如图在中,分别就就是上得点,且,,平方厘米,求得面积、【解析】连接,,,所以,设份,则份,平方厘米,所以份就就是平方厘米,份就就就是平方厘米,得面积就就是平方厘米、由此我们得到一个重要得定理，共角定理:共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比、【巩固】如图,三角形中,就就是得5倍，就就是得3倍,如果三角形得面积等于1，那么三角形得面积就就是多少?【解析】连接、∵∴又∵∴,∴、【巩固】如图,三角形ＡBＣ被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积就就是甲部分面积得几倍？【解析】连接、∵,∴,又∵,∴,∴,、【例 7】如图在中,在得延长线上，在上,且,,平方厘米,求得面积、EDCBAEDCB A【解析】连接,,所以,设份,则份,平方厘米,所以份就就是平方厘米，份就就就是平方厘米,得面积就就是平方厘米、由此我们得到一个重要得定理,共角定理：共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比【例 8】如图,平行四边形,，,,，平行四边形得面积就就是, 求平行四边形与四边形得面积比、HGAB CD EFHGAB CDEF【解析】连接、、根据共角定理 ∵在与中，与互补，∴、又,所以、同理可得,,、所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△、所以、【例 9】如图所示得四边形得面积等于多少？DB13131212【解析】题目中要求得四边形既不就就是正方形也不就就是长方形,难以运用公式直接求面积、我们可以利用旋转得方法对图形实施变换:把三角形绕顶点逆时针旋转,使长为得两条边重合,此时三角形将旋转到三角形得位置、这样,通过旋转后所得到得新图形就就是一个边长为得正方形,且这个正方形得面积就就就是原来四边形得面积、因此,原来四边形得面积为、(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，中,，，,以为一边向外作正方形,中心为，求得面积、【解析】如图,将沿着点顺时针旋转,到达得位置、由于,,所以、而,所以,那么、、三点在一条直线上、由于，,所以就就是等腰直角三角形,且斜边为,所以它得面积为、根据面积比例模型,得面积为、【例 11】如图，以正方形得边为斜边在正方形内作直角三角形，,、交于、已知、得长分别为、,求三角形得面积、F【解析】如图,连接,以点为中心，将顺时针旋转到得位置、那么,而也就就是，所以四边形就就是直角梯形，且,所以梯形得面积为:(）、又因为就就是直角三角形,根据勾股定理,，所以（）、那么(）,所以（)、【例 12】如下图,六边形中,,,,且有平行于，平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米,请问六边形得面积就就是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将平移使得与重合,将平移使得与重合,这样、都重合到图中得了、这样就组成了一个长方形,它得面积与原六边形得面积相等,显然长方形得面积为平方厘米,所以六边形得面积为平方厘米、【例 13】如图,三角形得面积就就是,就就是得中点,点在上,且,与交于点、则四边形得面积等于、ABCDEF【解析】方法一：连接,根据燕尾定理,，,设份，则份,份,份，如图所标所以方法二:连接，由题目条件可得到，，所以, ，而、所以则四边形得面积等于、【巩固】如图,长方形得面积就就是平方厘米,，就就是得中点、阴影部分得面积就就是多少平方厘米？x yyx ABC D EFG E D CBA【解析】设份,则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米、【例 14】四边形得对角线与交于点(如图所示)、如果三角形得面积等于三角形得面积得,且,,那么得长度就就是得长度得_＿_＿_____倍、ABCDOH GA BCD O【解析】在本题中,四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形、瞧到题目中给出条件,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于就就是得出一种解法、又观察题目中给出得已知条件就就是面积得关系，转化为边得关系,可以得到第二种解法，但就就是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于就就是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比、再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果、请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理得优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题、解法一：∵，∴,∴、解法二:作于,于、 ∵,∴,∴, ∴,∴,∴、【巩固】如图,四边形被两条对角线分成４个三角形,其中三个三角形得面积已知, 求:⑴三角形得面积；⑵？B【解析】 ⑴根据蝶形定理,,那么；⑵根据蝶形定理，、【例 15】如图,平行四边形得对角线交于点,、、、得面积依次就就是2、4、４与6、求：⑴求得面积;⑵求得面积、OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，得面积为,那么与得面积都就就是,所以得面积为;⑵由于得面积为８,得面积为6,所以得面积为, 根据蝶形定理,,所以, 那么、【例 16】如图,长方形中，,,三角形得面积为平方厘米，求长方形得面积、ABCD EF GABCD EF G【解析】连接,、因为,，所以、因为,,所以平方厘米,所以平方厘米、因为，所以长方形得面积就就是平方厘米、【例 17】如图,正方形面积为平方厘米,就就是边上得中点、求图中阴影部分得面积、CBA【解析】因为就就是边上得中点，所以,根据梯形蝶形定理可以知道,设份，则份,所以正方形得面积为份,份，所以,所以平方厘米、【巩固】在下图得正方形中，就就是边得中点，与相交于点,三角形得面积为1平方厘米,那么正方形面积就就是平方厘米、ABCDEF【解析】连接,根据题意可知,根据蝶形定理得（平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米)、【例 18】已知就就是平行四边形,,三角形得面积为6平方厘米、则阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【解析】连接、由于就就是平行四边形,,所以,根据梯形蝶形定理,,所以（平方厘米），(平方厘米)，又（平方厘米）,阴影部分面积为(平方厘米）、【巩固】右图中就就是梯形,就就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【分析】连接、由于与就就是平行得,所以也就就是梯形,那么、根据蝶形定理,，故，所以（平方厘米)、【巩固】右图中就就是梯形,就就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米）,阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【解析】连接、由于与就就是平行得,所以也就就是梯形，那么、根据蝶形定理,,故,所以(平方厘米)、另解:在平行四边形中,(平方厘米）,所以(平方厘米）,根据蝶形定理,阴影部分得面积为(平方厘米）、【例 19】如图，长方形被、分成四块,已知其中3块得面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下得四边形得面积为_＿_____＿__＿平方厘米、?852O A B C DEF?852O A BCD EF【解析】连接、、四边形为梯形,所以,又根据蝶形定理，,所以，所以(平方厘米),(平方厘米)、那么长方形得面积为平方厘米，四边形得面积为(平方厘米)、【例 20】如图,就就是等腰直角三角形，就就是正方形,线段与相交于点、已知正方形得面积４８,,则得面积就就是多少？BB【解析】由于就就是正方形,所以与平行,那么四边形就就是梯形、在梯形中,与得面积就就是相等得、而,所以得面积就就是面积得，那么得面积也就就是面积得、由于就就是等腰直角三角形,如果过作得垂线,为垂足,那么就就是得中点，而且，可见与得面积都等于正方形面积得一半,所以得面积与正方形得面积相等,为4８、那么得面积为、【例 21】下图中,四边形都就就是边长为１得正方形,、、、分别就就是，,,得中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分得面积之比就就是最简分数,那么,得值等于、BEE【解析】左、右两个图中得阴影部分都就就是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中得空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分得面积,再求阴影部分得面积、如下图所示，在左图中连接、设与得交点为、左图中为长方形,可知得面积为长方形面积得,所以三角形得面积为、又左图中四个空白三角形得面积就就是相等得,所以左图中阴影部分得面积为、BEE如上图所示，在右图中连接、、设、得交点为、可知∥且、那么三角形得面积为三角形面积得，所以三角形得面积为,梯形得面积为、在梯形中,由于,根据梯形蝶形定理,其四部分得面积比为：,所以三角形得面积为,那么四边形得面积为、而右图中四个空白四边形得面积就就是相等得,所以右图中阴影部分得面积为、那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即, 那么、【例 22】如图，中，,,互相平行,,则、【解析】设份，根据面积比等于相似比得平方，所以,,因此份，份,进而有份,份,所以【巩固】如图,平行,且,,,求得长、【解析】由金字塔模型得，所以【巩固】如图, 中，,，,,互相平行,,则、【解析】设份,,因此份,进而有份，同理有份,份,份、所以有【例 23】如图,已知正方形得边长为,就就是边得中点,就就是边上得点,且,与相交于点,求Q EGNM F PAD CBGFAEDC BM GFAEDCB GFAEDCB【解析】方法一:连接,延长,两条线交于点,构造出两个沙漏,所以有,因此,根据题意有，再根据另一个沙漏有,所以、方法二:连接，分别求,,根据蝶形定理,所以、【例 24】如图所示,已知平行四边形得面积就就是1，、就就是、得中点, 交于，求得面积、A【解析】解法一：由题意可得,、就就是、得中点,得，而，所以,并得、就就是得三等分点，所以，所以 ,所以,;又因为,所以、解法二:延长交于,如右图,可得，,从而可以确定得点得位置, ，,(鸟头定理), 可得【例 25】如图，为正方形,且,请问四边形得面积为多少?CACA【解析】 (法)由，有,所以，又,所以,所以,所以占得，所以、(法)如图，连结,则(，而,所以,（）、而(),因为,所以,则（）,阴影部分面积等于 ()、【例 26】如右图,三角形中,,,求、【解析】根据燕尾定理得(都有得面积要统一,所以找最小公倍数) 所以【点评】本题关键就就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量！【巩固】如右图,三角形中,,,求、【解析】根据燕尾定理得(都有得面积要统一,所以找最小公倍数) 所以【巩固】如右图,三角形中,,,求、【解析】根据燕尾定理得(都有得面积要统一，所以找最小公倍数) 所以【点评】本题关键就就是把得面积统一，这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!【例 27】如右图，三角形中,,且三角形得面积就就是,则三角形得面积为_____＿,三角形得面积为_____＿＿_,三角形得面积为__＿___、I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】连接、、、由于,所以，故;根据燕尾定理，,,所以，则,;那么;同样分析可得，则,,所以,同样分析可得，所以,、【巩固】如右图，三角形中，，且三角形得面积就就是,求三角形得面积、【解析】连接BG,份根据燕尾定理，,得(份),（份)，则(份),因此,同理连接ＡI、CH得，,所以三角形GHＩ得面积就就是1，所以三角形ABC得面积就就是1９【巩固】如图,中,,，那么得面积就就是阴影三角形面积得倍、B CB【分析】如图，连接、根据燕尾定理,,，所以,,那么,、同理可知与得面积也都等于面积得,所以阴影三角形得面积等于面积得,所以得面积就就是阴影三角形面积得7倍、【巩固】如图在中，,求得值、【解析】连接BG,设１份，根据燕尾定理,，得(份),(份),则(份）,因此，同理连接ＡI、CH得,,所以【点评】如果任意一个三角形各边被分成得比就就是相同得，那么在同样得位置上得图形,虽然形状千变万化,但面积就就是相等得,这在这讲里面很多题目都就就是用“同理得到”得,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线、【例 28】如图,三角形得面积就就是,，，三角形被分成部分,请写出这部分得面积各就就是多少?NMQ P G FEDC BA【解析】设BG 与AD 交于点Ｐ,BG 与AE 交于点Q ,ＢＦ与AD 交于点M ,BF 与AE交于点N 、连接CP ,CQ ,CM ,C Ｎ、根据燕尾定理，，,设(份)，则（份）,所以同理可得,,,而,所以，、同理,，所以,,,【巩固】如图,得面积为１，点、就就是边得三等分点,点、就就是边得三等分点,那么四边形得面积就就是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】连接、、、根据燕尾定理，,,所以,那么,、类似分析可得、又,,可得、那么，、根据对称性,可知四边形得面积也为,那么四边形周围得图形得面积之与为,所以四边形得面积为、【例 29】右图,中,就就是得中点，、、就就是边上得四等分点,与交于,与交于,已知得面积比四边形得面积大平方厘米,则得面积就就是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】连接、、根据燕尾定理，,，所以;再根据燕尾定理,,所以,所以,那么,所以、根据题意,有,可得(平方厘米)【例 30】如图,面积为l 得三角形AB Ｃ中,Ｄ、E 、Ｆ、G 、H 、Ｉ分别就就是AB 、ＢC 、C Ａ得三等分点,求阴影部分面积、GC BAGCBA【解析】三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用得比例与燕尾定理吧!令BI 与ＣＤ得交点为M ，AF 与CD 得交点为N ,BI 与A Ｆ得交点为Ｐ,BI 与CE 得交点为Q ,连接AM 、BN 、ＣＰ ⑴求：在中,根据燕尾定理，设(份)，则(份)，(份)，(份), 所以，所以,, 所以,同理可得另外两个顶点得四边形面积也分别就就是面积得 ⑵求:在中,根据燕尾定理, 所以,同理在中,根据燕尾定理，所以,所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积就就是面积得，所以【例 31】如图,面积为l 得三角形ABC 中,D 、Ｅ、F 、Ｇ、H 、I 分别就就是AB 、B Ｃ、ＣA 得三等分点,求中心六边形面积、CBAGCBA【解析】设深黑色六个三角形得顶点分别为N 、R 、Ｐ、Ｓ、M 、Ｑ，连接C Ｒ在中根据燕尾定理,,所以,同理，所以,同理根据容斥原理，与上题结果课后练习: 练习1. 已知得面积为平方厘米，，求得面积、【解析】 ,设份,则份,份,份,份,恰好就就是平方厘米,所以平方厘米练习2. 如图,四边形得面积就就是平方米,,,,,求四边形得面积、H GFED CB AAB CDEFGH【解析】连接、由共角定理得,即同理,即所以连接，同理可以得到5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以平方米练习3. 正方形得面积就就是１20平方厘米,就就是得中点,就就是得中点，四边形得面积就就是平方厘米、H GFEDCBAMH GFEDCBA【解析】欲求四边形得面积须求出与得面积、由题意可得到:,所以可得：将、延长交于点,可得: ,而,得, 而，所以、,连接,确定得位置(也就就就是),同样也能解出、练习4. 如图，已知,,，,则、DCEBABCA'C'EDA【解析】将三角形绕点与点分别顺时针与逆时针旋转,构成三角形与，再连接,显然,，，所以就就是正方形、三角形与三角形关于正方形得中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系: ;;、所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=、练习5. 如图,正方形得面积就就是平方厘米,就就是得中点,就就是得中点，四边形得面积就就是___＿_平方厘米、EDC B EDCB【解析】连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份,份,因此份,，所以(平方厘米）、练习6. 如图,中,点就就是边得中点，点、就就是边得三等分点，若得面积为1,那么四边形得面积就就是___＿＿＿＿__、F ABCDEM NFABCDEMN【解析】由于点就就是边得中点，点、就就是边得三等分点,如果能求出、、三段得比，那么所分成得六小块得面积都可以求出来,其中当然也包括四边形得面积、连接、、根据燕尾定理，，而,所以，那么,即、那么,、另解:得出后,可得,则、练习7. 如右图,三角形中，,且三角形得面积就就是,求角形得面积、【解析】连接BG ,12份根据燕尾定理，,得(份),(份),则(份)，因此, 同理连接ＡI 、CH 得，,所以三角形ABC 得面积就就是,所以三角形G ＨI 得面积就就是月测备选【备选1】按照图中得样子,在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形、已知甲三角形两条直角边分别为与,乙三角形两条直角边分别为与,求图中阴影部分得面积、【解析】如右图,我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之与、所以阴影部分面积为:【备选2】如图所示，矩形得面积为３６平方厘米，四边形得面积就就是3平方厘米,则阴影部分得面积就就是平方厘米、【解析】因为三角形面积为矩形得面积得一半,即1８平方厘米，三角形面积为矩形得面积得,即9平方厘米,又四边形得面积为3平方厘米,所以三角形与三角形得面积之与就就是平方厘米、又三角形与三角形得面积之与就就是矩形得面积得一半,即18平方厘米,所以阴影部分面积为(平方厘米)、【备选3】如图,已知,,与相交于点,则被分成得部分面积各占面积得几分之几?【解析】连接,设份,则其她部分得面积如图所示,所以份，所以四部分按从小到大各占面积得【备选4】如图,在中，延长至,使,延长至，使,就就是得中点,若得面积就就是,则得面积就就是多少？AB C D EF 【解析】∵在与中,与互补,∴、又,所以、同理可得，、所以【备选5】如图，,，则【解析】根据燕尾定理有,,所以。

小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在△ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图2)，则 S ABC ： S A ADE (AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , S A ADE : S A ABE AD ： AB 2 :5(2 4): (5 4),S A ABE : S A ABC AE : AC4 : 7 (4 5) : (75)，所以S A ADE : S A ABC(24) :(75)，设 S A ADE8份，则S A ABC 35份，S A ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC4：7 , S A ADE 16平方图⑵么三角形ABC 的面积是多少?EC 3AE【解析】连接FB.三角形AFB 面积是三角形CFE 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍,【巩固】【解析】【例2】【解析】二 S V ABC 3SVABE又••• AB 5AD…S V ADES V ABE5S VABC15，…S V ABC15S VA DE如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是甲部分面积的几倍？DC 4, BE 3 , AE 6，乙部分面连接AD .T BE 3 , AE 6二 AB 3BE , S VABD 又••• BD DC 4, …B/ABC 2S V ABD ，…SVABC6S VBDE ， S 乙3S VBDE5耳.如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上,AE : EC 3: 2 , S A ADE12平方厘米，求 E 在AC 上，且 △ ABC 的面积.AB: AD 5:2 ,AD : AB 2:5 (2 3): (5 3)3: (3 2)(3 5): (3 2) 5 ,S A ABE : S A ABCAE:AC所以S A ADE :S A ABC（3 2） : 5 （3 2）6:25 ，设S A ADE 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角6份，则 △ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到（相等角或互补角）两夹边的乘积之S A ABC 25份，S AADE12平方厘【例3】如图所示，在平行四边形 ABCD 中, E 为AB 的中点,为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？ AF 2CF ，三角形AFE 图中阴影部分）的面积【解C连接 BE , S A ADE :S A ABE所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的(3 2) 6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 48(平方厘米)•BE CE, AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的面积.【解析】S A BDE : S A ABC (BDBE):(BA BC)(1 1):(2 3) 1:6 ,S ACEF ::S A ABC (CECF): (CB CA)(1 3):(2 4) 3:8SA ADF:SA ABC (AD AF) :(AB AC) (2 1):(3 4) 1:6设S A ABC 24份，则 SA BDE 4份，SA ADF 4份， S A CEF 9 份，S A DEF 24 4 4 97 份，恰好是 7平方厘米，所以ABC 24平方厘米【例5】如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE 2:5 , BC:CD 3:2，三角形BDE 的面积是多少？【解析】由于 ABC DBE 180，所以可以用共角定理，设 AB 2份，BC 3份，贝U BE 5份，BD 3 2 5 份，由共角定理 S A ABC ： S A BDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，设S AABC6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米( 2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE 1AC , CF 1BC .331 1 2【解析】同理得,【例7】如图，已知三角形 CA 至F ，使AF ABC 面积为1，延长 AB 至D ，使BD3AC ，求三角形DEF 的面积.AB ；延长BC 至E ，使CE 2BC ；延长【例4】已知△ DEF 的面积为7平方厘米, 【例6】角形DEF 的面积为 _______ 平方厘米.【解析】（法1）本题是性质的反复使用. 连接AE 、CD •…5VDBC1同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积 18 •（法2）用共角定理•••在 VABC 和VCFE 中， ACB 与 FCE 互补,S/ABC AC BC 1 1 1 …S/ZCE FC CE r~2 8 ' 又 S/ABC 1，所以 S VF CE 8•同理可得 S VADF 6 , S VBDE 3 •面积是2 ,求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比.5A CDE: S A ACD2 :3；， SA CDE18 3 2 3 12， S A CDF故 S A DEFS A CEFS A DEC S A DFC4 S 12 610 (平方厘米)•HHE连接AC 、BD •根据共角定理•••在△ ABC 和△ BFE 中， ABC 与 FBE 互补, .S A ABCAB BC 1 1 1S A FBE BE BF 1 3 3又 S A ABC 1，所以 S A FBE 3 •同理可得 S A GCF 8， S A DHG 15， S AAEH8•【解析】所以S EFGHAEHS A CFG S A DHG S A BEF S ABCDS EFGH2 1 36 18 【例9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米, 的面积. EA AB , CBBF , DC CG , HD DA ，求四边形 ABCDS/ABCS/DBCS /ABC所以S VDEF S /ABC S/FCE S V ADF1 8 6 3 18 •【例8】如图，平行四边形 ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA4AD ，平行四边形 ABCD 的8 8 15+3+2 36 •DE连接AC ，同理可以得到 S A DHGS A BEF 2S 四边形 ABCD【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有【解析】连接BD •由共角定理得S A BCD ：S A CGF (CD CB)： (CG CF) 1:2，即 S A CGF2S A CDB同理S A ABD :S A AHE 1:2，即 S A AHE2 S A ABD 所以S A AHE S A CGF2(SA CBD ADB ) 22边形 ABCDS 四边形EFGH& AHES A CGFS A HDG S A BEF S四边形ABCD5S 0 边形 ABCD【例10】所以s 四边形ABCD66 513.2平方米如图，将四边形ABCD 的四条边四边形ABCD 的面积为5，则四边形 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点EFGH 的面积是 _________ •G 、H ，若于是s BEF s HDG4S ABC4S ADC4S AB CD •再由于AE 3AB , AH3AD ，于疋 S AEH9S ABD ，冋理 s CFG 9S CBD •于疋S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD•那么SEFGHS BEF s HDGS AEHS CFGS ABCD4S ABCD9S ABCDS ABCD12S ABCD60【例11】如图，在 A ABC 中，延长AB 至D ，使BD AB ，延长BC 至E ，使CE中点，若 A ABC 的面积是2，则A DEF 的面积是多少？1 BC , F 是AC 的2【例12】FC CE 1 1 又 SVABC同理可得2，所以 S/FCE0.5 •S A ADF2，SA BDE所以S A DEFS A ABCS A CEFS A DEBS A ADF2 0.5 323.51 , BC 5BD , AC 4EC , DG GS SE , AFFG•求 S V FGS •【解析】连接AC 、BD •由于 BE 2 AB , BF 2BC ,于是 S BEF 4S ABC ，同理 S HDG 4S ADC •4 【解FCE 互补,AC BC 2 2 2 ABC S A FCE如图,S AABC一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的最后求得S^FGS的面积为S A FGS - 3 - 15 4 3 23种情况.1 12 10【例13】如图所示，正方形ABCD边长为8厘米,三角形ABG的面积是多少平方厘米？E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点,【解析】因为S A BCF S A CDE 18? 16，根据”4比等于夹这个角的两边长度的乘积比”或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S VABF 24，所以S VABG 12平方厘米.当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积S VAEF8 , S VEFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等,得到S VBFC16，S ABF E32，【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形假设正六边形的边长为为4 2 1形组成的,DEF，贝Ua，贝U AGF 与CEH7,那么它的面积为单位小正三角形面积的所以一个单位小正三角形的面积为1,三角形DEF的面积为6【巩固】【解析】由于FA同理可知的1 1249AGF与CEH都是正三角形.的边长都是4a，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由4961249 .DEF的边长为6个单位小正三角4a，FB 3a，所以AFB与三角形DEF的面积之比为BDC、AEC与三角形DEF的面积之比都为13 49 133 —，所以ABC的面积的面积为一一49 6 49已知图中每个正六边形的面积都是1249 '136 .1,则图中虚线围成的五边形所以ABC的面积占三角形DEF面积ABCDE的面积是从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正范文范例指导参考六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于 1 3 12 31，所以五边形的面积是10 3- 6-.6 6 3 3 3由题意知AE -AC、CF -BC，可得CE - AC .根据”共角定理”可得，3 3 3S CEF : S A ABC (CF CE):(CB AC) 1 2 : (3 3) 2:9 ；而S^BC 6 6 2 18;所以S CEF 4 ;。

六年级奥数专题—几何五大模型—鸟头模型学习与巩固

几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）△ADE △ABC S AD ×AE=S AB ×ACED C B A二一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE△ABC S CD ×CE =S BC ×AC例 1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。

（2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。

例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。

例4 三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？FEDC BA例5 长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？例6 如图，过平行四边形ABCD内的一点P作边AD、BC的平行线EF、GH，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？作业：1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。

2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN．那么，阴影部分的面积等于．AB CD M N 图13. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、BID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少？I HGFED CB A4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。

小学奥数几何模块-鸟头模型

鸟头模型（共角模型）定义：两个三角形中，有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

鸟头模型的四种结构：结论：S S 小大小夹边乘积大夹边乘积[共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比]。

ADE ABCS AD AES AB ACVV鸟头模型知识剖析模块一鸟头模型基础（1）如图，三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AB =2AD ，AC =3AE ；请问三角形ABC 的面积是三角形ADE 面积的几倍？（2）如图，三角形ABC 中，E 是AC 上的点，D 是BA 延长线上的点，AB =2AD ，AC =3AE ；请问三角形ABC 的面积是三角形ADE 面积的几倍？（3）如图，三角形ABC 中， D 、E 分别是BA 、CA 延长线上的点， AB =2AD ，AC =3AE ；请问三角形ABC 的面积是三角形ADE 面积的几倍？如图，三角形BDE 中，C 是BD 上的点，A 是EB 延长线上的点，BE =2AB ，BD =4BC ；请问三角形BDE 的面积是三角形ABC 面积的几倍？BCEDABAC DEABDCE练一练例1（1）如图，三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，AD =1，DB =5，AE =3，EC =4；已知三角形ADE 的面积为1，请问：三角形ABC 的面积是多少？（2）如图，三角形ABC 中，E 是AC 上的点，D 是BA 延长线上的点，AE =1，AD =2，EC =3，AB =4；如果三角形ABC 的面积是12，请问：三角形ADE 的面积是多少？（3）如图，:3:4AD AC ，:1:4AE AB ；若三角形ABC 的面积为64，请问：三角形ADE的面积是多少？（1）如图，三角形ABC 中，:2:7CD AC，:4:5BE AB ；若三角形ABC 的面积为84，请问：三角形ADE 的面积是多少？BCEDABAC DE AC BDE 例2练一练（2）已知：35CEAC ，13AD BD ，若三角形ADE 的面积为10，请问三角形ABC 的面积是多少？如图，ABCD 和DEFG 都是正方形，请问：三角形ADG 和三角形CDE 的面积比是多少？如图，园林小路由白色正方形石板和红、绿两色的三角形石板铺成．问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈绿色三角形石板的总面积大？模块二鸟头模型应用例3练一练已知AD =DB ，BE =2EC ，CF =3F A ；（1）若三角形ABC 的面积为24平方厘米，求三角形DEF 的面积．（2）若三角形DEF 的面积为11.9平方厘米，求三角形ABC 的面积．已知AE =EC ，BF =3AF ，CD =2BD ；（1）若三角形ABC 的面积为48平方厘米，求三角形DEF 的面积．（2）若三角形DEF 的面积为7平方厘米，求三角形ABC 的面积．如图，求已知三角形ABC 的面积为1，延长AB 至D ，使BD =AB 延长BC 至E ，使CE =2BC ；延长CA 至F ，使AF =3AC ，求三角形DEF 的面积．CBDEFACBFDEA 例4练一练例5如图，已知三角形DEF 的面积为2，延长DE 至B ，使BE =DE ；延长FD 至A ，使AD =2DF ；延长EF 至C ，使FC =3EF ；求三角形ABC 的面积．练习1. 如图，在三角形ABC 中，AD 的长度是AB 的34，AE 的长度是AC 的23请问：三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？练习2. 如图，三角形AEC 中，D 是EC 上的一点，B 是AE 延长线上的点，DE=DC ，AE=3BE ，三角形BDE 的面积是5平方厘米，求三角形AEC 的面积是多少？练习3. 如图，AD=7，AE=6，AB=4，AC=9，求三角形ADE 的面积是三角形ABC 面积的几倍？FE DCBABD CE ABCDEA练一练随堂练习练习4. 如图，已知CF=2AC ，CD=3BC ，三角形DCF 的面积是36，求三角形ABC 的面积是多少？练习5. 已知AB =3AD ，AC =3AE ，BC =3BF ；（1）若三角形ABC 的面积为36平方厘米，求三角形DEF 的面积．（2）若三角形DEF 的面积为10平方厘米，求三角形ABC 的面积．提升1. 如图，以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ，连接HG 、EF 、ID ，又得到三个三角形．已知AB =3厘米，AC =4厘米，求四个三角形的面积之和．提升2. 如图所示，三角形ABC 中，点E 、F 、G 分别在线段AG 、BE 、CF 上，且FG =2GC ，GE =3EA ，EF =4FB ，三角形EFG 的面积等于24，求三角形ABC 的面积．DFCBACBDFEA IHED C BGAFBCF EGA 思维提升提升3. 已知四边形ABCD 的面积是36平方厘米，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA的三等分点．四边形EFGH 的面积是多少？挑战1. 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积是5，则四边形EFGH 的面积是多少？挑战2. 如图，ABCD 是平行四边形，AE =AB ，BF =2BC ，CG =3CD ，DH =4DA ，平行四边形ABCD 的面积是2，请求出四边形EFGH 的面积．BCE DGFHA 极限挑战。

小学奥数--几何--五大模型--鸟头模型(共角定理)

S△ABC AB × AC
例：1 已知三角形 ADE 的面积是 1，AD:AB=2:3，AE:AC=1:4，求三角形 AED 的面积 2 已知三角形 ABC 的面积是 9，AD:AB=1:2，AE:EC=1:1，求三角形 AED 的面积
分析：(1)由鸟头定理： S△ADE
=
AD ×
AE
=
211
× =,
∴ S△ ABCD =
2S △ ABC
= 1:18
S△EFGH (8 + 3 + 8 + 15 + 2)S△ABC
∴ S△HAE = 8S△ ABD ∴ S△FAD = 3S△ ABC ∴ S△HAE = 8S△BCD
∴ S△HAE = 8S△ ADC
超常挑战
分析：图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是“X 型”鸟头。
方厘米，求 △ABC 的面积．
2 （2005 年第 11 届迎春杯试题）三角形 ABC 被线段 DE 分成三角形 BDE 和四边形 ACDE 两部分，问：
三角形 BDE 的面积是四边形 ACDE 面积的几分之几？
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2011 年秋季五年级
第三讲三角形中的模型(一)
周艳丽
3 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF 长
的 3 倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？
4 如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD
的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是
．
学案—尖子班 1 已知四边形 ABCD 中，CD=3DF，AE=3ED，三角形 BFC 的面积是 6，四边形 BEDF 的面积为 7，求大四

小学几何五大模型

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6÷3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2×10=20平方厘米。

例2：如图，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE的面积?第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD×CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA×CB第三步：利用鸟头模型结论S△CDE：S△ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2×1):(2×5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。

第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，20÷5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，4×1=4平方厘米。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)讲课教案

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是．B DCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

奥数鸟头模型课件

奥数鸟头模型课件
想一想 • 刚才封面书房有哪些东西窗户、书桌、足球、书架、书、尺子、笔筒、笔、魔方、金字塔 • 有哪些平面图形、有什么特点长方形、圆、正方形、三角形
列一列
看一看
• 以下图形由什么特点
1、都是由两个三角形组成 2、一图三角形两角共角；（相等） 3、二图三角形两角互补；（互补） 4、三图三角形两角对顶；（相等） 5、四图三角形两角和为180度（互补）
答：三角形ABC的面积是70
1如图，三角形ABC的面积是3平方厘米，期中AB：BE=2：5，BC：CD=3：2，三角形BDE的面积是多少
三角形ABC和三角形DBE构成鸟头模型 BD=BC+CD=5
3×25÷6=75÷6=12.5(平方厘米）答：三角形BDE的面积是12.5平方厘米。
课后作业课后习题
谢谢！
三角形CDE的面积
CD×DE
答：三角形ADG和三角形CDE的面积比是1
练习2
四边形ABCD中，AB与BC垂直，各边长度已在图中标出，求三角形ABD和三角形BCD的面积比。连接AC交BD于点E， AB×AB+BC×BC=AC×AC=50 , AD×AD+DC×DC=AC×AC=50, 所以角D=90度，所以角A+角C=180度，根据鸟头模型，三角形ABD和三角形BCD 的面积比等于，（AD×AB）÷(CD×CB)=1：7 答：三角形ABC和三角形BCD的面积比是1：7。
鸟头模型 • 鸟头定理是若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。 • 字母表达：
SADE AD AE SABC AB AC
鸟头模型公式证明【解析】连接BE，根据等高模型，
，所以，

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型” 。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）S △ADE = AD×AE S △ ABC AB ×AC一点在边上，一点在边的延长线上：S △ CDE = CD×CE S △ ABC BC ×AC如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5 平方厘米，△ ABC的面积是方厘米．例2例2 （1）如图在△ ABC中，D、E 分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7, △ABC 的面积是16 平方厘米，求△ ABC的面积。

2）如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是12 平方厘米，求△ ABC的面积。

例3例4三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2 倍到E，CA延长3 倍到F，问三角形DEF的面积为多少BE=CE,AD=2BD,CF=3AF求, △ ABC的面积。

长方形ABCD面积为120，EF 为AD上的三等分点，G、H、I 为DC上的四等分点，阴影面积是多大例6如图，过平行四边形ABCD内的一点 P作边 AD、BC的平行线 EF、GH ，若 PBD的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米H C1. 如下左图，在 △ ABC 中， D 、E 分别是 BC 、AB 的三等分点，且 △ ABC 的面积是 54，求△CDE 的面积。

12. 如图，长方形 ABCD 的面积是 1，M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且AN 1BN ．那 2 么，阴影部分的面积等于．B图1 C3. 如图以 △ABC 的三边分别向外做三个正方形 ABIH 、 ACFG 、 BCED ,连接 HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形 DEFGHI 的面积是 77 平方厘米，三个正方形的面积分别是 9、 16、 36 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少4. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使BD AB ；延长 BC 至 E ，使 CE 2BC ；延长 CA 至F ，使 AF 3AC ，求三角形 DEF 的面积。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)讲课教案

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2), 则 S ABC ：S A ADE (AB AC)：(AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , S ^ADE : S ^ ABE AD : AB2 :5(2 4): (5 4),S ^ ABE: S^ ABC AE:AC 4:7 (45)：(7 5)，所以 ADE : S^ ABC(24):(7 5)，设 S^ ADE8份，则s ^ ABC 35份，s ^ ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC4:7 , s^ADE16平方图⑵资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除ACCB 【解AA乙乙CCDD【解5耳【DDA AEECCB B 【解A B【例3】5: 2AB: AD 6份，则 E 在AC 上，且 △ ABC 的面积.DC 4, BE 3, AE 6，乙部分面如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上， 12平方厘米，求如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE （图中阴影部分）的面积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？D------------------ C如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是甲部分面积的几倍？S ^ ABC 25份，S A ADE 12平方厘50平方厘米•由此我们得到（相等角或互补角）两夹边的乘积之比AD : AB 2:5 (2 3): (5 3)3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,＞：5 (3 2) 6:25，设 S A ADE 25份就是50平方厘米 B ----------------- 连接BE .T EC 3AE…SVABC3S VA BE又••• AB 5AD…S V ADE S V ABE 5S V ABC 15，…&ABC15S VA DE 15AE : EC 3: 2 , SA ADED、、EDE at 甲B —甲连接 BE , SA ADE: SA ABESA ABE : S A ABC AE : AC : 所以 S A ADE : S A ABC （3 2）米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角连接AD .••• BE 3 , AE 6…AB 3 BE , S/ABD 3SVBDE 又••• BD DC 4,…B/ABC 2S V ABD ，… S/A BC 6S V BDE ， S 乙A么三角形ABC 的面积是多少?E【解连接FB .三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积【解析】S A BDE:S A ABC (BDBE)：(BA BC)(11):(23)1:6 ,S A CEF ::S A ABC (CE CF):(CB CA)(13):(24)3:8S A ADF:S A ABC (AD AF):(AB AC)(21):(34)1:6设S A ABC 24份，则S A BDE4份，S A ADF4份，S A CEF 9 份，S A DEF 24 4 4 9 7 份，恰好是7平方厘米，所以ABC 24平方厘米【例5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE 2:5 , BC:CD 3: 2，三角形BDE的面积是多少？【解析】由于ABC DBE 180，所以可以用共角定理，设AB 2份，BC 3份，贝U BE 5份，BD 3 2 5 份，由共角定理S A ABC：S A BDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，设S A ABC 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米( 2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE 1AC, CF - BC .3 3三角形DEF的面积为_________ 平方厘米.S A CDE : S A ACD 2 :3; ，S A CDE 18 3 2 12，S A CDF故S A DEF S A CEF S A DEC S A DFC 4 12 6 10 (平方厘米).【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF ABC面积为1，延长AB至D，使BD3AC，求三角形DEF的面积.AB ;延长BC至E，使CE 2BC ;延长的2倍，所以平行四边形的面积是三角形8 6 48(平方厘米).AFE面积的(3 2) 6倍•因此，平行四边形的面积为【例4】已知△DEF的面积为7平方厘米, BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求△ABC 的面积.【例6】【解析】由题意知AE ^AC、C F3BC，可得S A CEF : S A ABC (CF CE) :(CB AC)2CE - AC •根据”共角定理”可得，32 :(3 3) 2:9 ;而S A ABC 6 6 218 ；所以S A CEF 4 ;同理得,【解析】（法1）本题是性质的反复使用. 连接AE、CD .S V ABC 1s 1■，F ABC 1，S VDBC 1 …S VDBC 1. 同理可得其它，最后三角形DEF的面积（法2）用共角定理■•在VABC和VCFE中,• S VABCS VFCE 又ABC 同理可得所以S/DEF18.ACB与FCE互补,AC BC 1 1 1FC CE 4 2 8 '1，所以S VFCE8 .S VADF 6，S VBDE 3•S VABC S VFCE S VADF S VBDE 1【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF2CB, GD 3DC , HA 4AD，平行四边形ABCD的【解析】【例9】面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.E连接AC、BD •根据共角定理E■•在△ABC 和△BFE中,ABC与FBE互补,S A ABC AB BCS A FBE BE BF又S A ABC同理可得1，所以S A FBES A GCF所以S EFGH所以^ABCDS EFGH8，S A DHG15，S A AEHS A AEH S A CFG S A DHG S A BEF S A BCD15+3+2 36.36 18如图，四边形EFGH的面积是的面积.66平方米，EA AB, CB BF , DC CG, HD DA,求四边形ABCD【解析】连接BD .由共角定理得S A BCD : S A CGF (CD CB)：(CG:S A AHE 1:2，即S A AHE 2S A ABDCF) 1:2，即S A CGF2S A CDB【例10】【解析】【例11】【例12】同理S A ABD所以S A AHE连接AC ,S A CGF2(S A CBD S A ADB ) 2S四边形ABCD冋理可以得到S A DHG S A BEF 2S四边形ABCDS四边形EFGH所以S四边形ABCD 66S L\ AHECGF S A HDG5 13.2平方米ABCD的四条边四边形ABCD的面积为5，则四边形如图，将四边形连接AC、BD .由于BE 2 AB , BF 2BC，于是于是S BEF再由于AES HDG3AB,那么S AEHS EFGH如图,S CFGS BEFS A BEF S四边形ABCDAB、CB、CD、EFGH的面积是5S四边形ABCDAD分别延长两倍至点E、S BEF 4S ABC，冋理S HDG 4 S ADC -4S ABCD .AH 3AD，于是S AEH 9S ABD，同理S CFG 9S4S ABC 4S ADC9S ABD 9S CBD 9S ABCD .S HDG S AEH S CFG S ABCD 4S ABCD 9S ABCD S ABCD在△ABC中，延长AB至D，使BD AB，延长BC至E ,中点，若△ABC的面积是2，则A DEF的面积是多少?4【解析】FCE互补,AC BC 2 22 ABC S AFCE FC CE 1 112S ABCD使CE -260BC ,G、H，若F是AC的又Q ABC同理可得2，所以S/FCE0.5 .S A ADF 2，S A BDE所以S A DEF S A ABC S A CEF S A DEB S A ADF 2 0.5 3 2 3.55BD , AC 4EC , DG GS SE, AF FG.求S VFGS .如图, S A ABC 1，BC【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况•因为S A BCF S A CDE- 82 16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 4比等于夹这个角的两边长度的乘积比” S V AEF 8 , S V EFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到S V BFC16 , S ABF E 32 ,S VABF 24，所以S VABG 12平方厘米.【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1,三角形DEF 的面积为聖.6 6由于FA 4a , FB 3a ，所以AFB与三角形DEF 的面积之比为--12.7 7 49同理可知 BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为 12 所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的1123翌,49 13所以ABC 的面积的面积为竺13134949649 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1,则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 _____________【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正最后求得S ^FGS 的面积为S A FGS4 3 2 1 1 15 4 3 2 2 10【例13】如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？E 是AD 的中点,F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则假设正六边形的边长为为 a ，则 AGF 与 CEH 7,那么它的面积为单位小正三角形面积的 AGF 与CEH 都是正三角形. 的边长都是4a ，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由DEF 的边长为6个单位小正三角【解E六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于1 3 12 31，所以五边形的面积是10 3- 6-.6 6 3 3 38、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

小学奥数几何模型专项课件-鸟头模型

目录
专题解析例题讲授总结归纳巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求存在公共角或互补角，总共有四种基本情势，下面分类列出，并进行证明.
专题解析
基本情势
SADE AD AE ，从公共点所引出的两条线段的乘积比等于面积比 SABC AB AC
专题解析
基本情势
证明：连接BE；
在ABE中，SADE AD ，在ABC中，SABE AE ；
SABE AB
SABC AC
SADE SABE SADE ，则SADE AD AE AD AE .
例题讲授
例5：如图，四边形ABCD的面积是1，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且 BE=BA，CF=CB，DG=DC，AH=AD，求四边形EFGH的面积.
例题讲授
练一练5：如图，四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA的延长线上，且BE=2BA，CF=2CB，DG=2DC，AH=2AD，求四边形EFGH的面积.
列出比例
鸟头模型
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，三角形ABC的面积是1，D是AB的中点，E是BC的四等分点，F是AC的三等分点，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：如图，三角形ABC的面积是5，D、E、F分别在BA、AC、CB的延长线上，且AD=AB， CE=CA，BF=BC，求三角形DEF的面积.
专题解析
基本情势
证明：将ADE绕点A旋转180，得到AD' E'；

小学几何五大模型

鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。

对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。

一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。

这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

2.核心：比例模型有：S/1ABC ABx ACSAADE ADxAE、鸟头模型的原理剖析证明：在三角形ABC 中，连接BE,S/XABE _ AE S/\ABC~Hc r利用等式的性质，左右两边分别相乘得:S 厶 ADE SAABE AD AE______ X ______ = ___ x ___SHABE SiXABC - AB AC5 SHADE ADxAES/\ABC ~ ABx AC三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1:如图，已知 AD:BD=2:3 ，AE:EC=3:1，三角形ADE 的面积是6平方厘米，求三角形 ABC 的面积？则有SAADE _ AD S/XABE 一AB第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边AD X AE（小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边）大夹边AB X AC第三步：利用鸟头模型结论SA\DE: S A ABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2 X3):(5 X4)=6:20=3:10 3:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。

第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，6 +3=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，2 X 10=20平方厘米。

例2 :如图，已知BC: CD=5:2 , AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形的面积？第一步：标条件第二步：确定补角位置C小夹边CD X CE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CA X CBSMDE:SA\BC=小夹边乘积：大夹边乘积=(2 X1)：(2 X5)=2:10=1:5CDE第三步：利用鸟头模型结论1:5的意思是：三角形 CDE 的面积是1份，三角形ABC 的面积是5份。

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