二次根式单元测试综合卷检测试题

8．D
解析：D
【分析】
利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.
【详解】
配方得
将 代入得：
计算得：
故选：D.
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.
9．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据同类二次根式，可知 与 不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．（1）发现．① ；② ；③ ；……写出④；⑤；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
（3）证明这个猜想．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
∴ = = ．
即 = ．
故答案为(1) = = ， = ；(2) = ；(3)证明见解析.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
23．求 的值．
解：设x= ，两边平方得： ，即 ，x2=10
∴x= ．
∵ ＞0，∴ = ．
请利用上述方法，求 的值．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；
（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可；
（3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解．
【详解】
（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
=
（3）
由②得： ③
②-③得：
把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：
∴（ −5 ）（ ＋3 ）＝0，
故可得： ＝5 ，a＝25b，
∴ ＝ ．
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．
二、填空题
11．【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，
解得：
①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.
【详解】
(1)原式=(4 -2 )÷2
=2 ÷2
=1；
(2)原式=5-3-(12-4 +2)
=2-14+4
=-12+4 ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
28．计算
（1）
（2）已知： ，求 的值．
17．使式子 有意义的 的取值范围是______．
18．若a、b为实数，且b＝ +4，则a+b＝_____．
19．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 ＝_____．
20．要使 有意义，则x的取值范围是_____
三、解答题
21．计算及解方程组：
（1）
（2）
（3）解方程组：
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n的等式表示（n为正整数）．
【答案】(1) (2) （n为正整数）
【解析】
试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．
13．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：
【解析】
wenku.baidu.com【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝ ，n＝ ，
【详解】
解：依题意有
当 时，原二次根式有意义；
解得： ；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根、立方根、二次根式的乘法逐项判断即可得．
【详解】
A、 ，此项错误；
B、 ，此项错误；
C、 ，此项错误；
D、 ，此项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键．
【详解】
解：原式=
=．
故答案为．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观
解析：
【分析】
根据 = ，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．
【详解】
解：原式=
= ．
故答案为 ．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．
【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可
【详解】
解：
=
=
= ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
25．先观察下列等式，再回答下列问题：
① ；
②
③
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
【分析】
由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、 ，故A正确；
B、 ，故B错误；
C、 不能合并，故C错误；
D、 ，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【答案】（1） ；（2）17．
【分析】
（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；
（2）先求出 和 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．
【详解】
（1）原式 ，
，
，
；
（2） ，
，
，
则 ，
，
，
．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵ 不能合并，故选项A不符合题意；
∵ ，故选项B符合题意；
∵ ，故选项C不符合题意；
∵ ，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4．A
解析：A
①
②
【答案】① ；②
【分析】
①根据二次根式的加减法则计算；
②利用平方差、完全平方公式进行计算．
【详解】
解：①原式＝ ＝ ；
②原式＝ ＝ ．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．
27．计算下列各题
（1）
（2）
【答案】(1)1;(2)-12+4 ．
【分析】
(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；
A． B． C． D．
二、填空题
11．使函数 有意义的自变量x的取值范围为_____________
12．化简并计算： ________．（结果中分母不含根式）
13．已知 ，则 ________．
14．方程 的解是______．
15．若 + = + ， = - ，则x+y=_______．
16．对于任意实数a，b，定义一种运算“◇”如下：a◇b＝a(a－b)＋b(a＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么 ◇ ＝_____.
6．A
解析：A
【分析】
利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
【答案】
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】
设x= + ，
两边平方得：x2=（ ）2+（ ）2+2 ，
即x2=4+ +4﹣ +6，
x2=14
∴x=± ．
∵ + ＞0，∴x= ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
24．计算：
【答案】
试题解析：(1) =1+ − = ，
验证： = = = =
(2) =1+ − =1+ (n为正整数).
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，即 ，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.
26．计算
那么m−n＝2①，
m2＋n2＝( )2＋( )2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n−15＝0，
解得：n＝−5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
所以 ＝n＋2m＝13．
【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
A． B． C． D．
7．已知m、n是正整数，若 + 是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
8．已知 .则xy=（）
A．8B．9C．10D．11
9．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设 ， ，且 ，则 的值是（）
14．9
【解析】
【分析】
设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.
【详解】
2．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A、 与 ，不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；
B、3 ﹣ ＝2 ，故此选项错误；
C、 ＝2，故此选项错误；
D、 ÷ ＝2 ，正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．
3．B
解析：B
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
∵ ，
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、 ，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键．
(1)根据题目中的例子直接写出结果；
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.
【详解】
解：（1）由例子可得，
④为： = = ，⑤ = ，
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律： = ，
（3）证明：∵n是正整数，
一、选择题
1．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．3 ＝3C． ＝﹣2D．
3．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
4．下列各式中，运算正确的是（）
A． B． C． D．
5．式子 有意义，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（）
7．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质分析即可得出答案．
【详解】
解：∵ + 是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
根据同类二次根式，可知 = ，故不正确；
根据二次根式的性质，可知 =18，故不正确；
根据二次根式除法的性质，可知 ，故正确.
故选D.
10．C
解析：C
【分析】
将 变形后可分解为：（ −5 ）（ ＋3 ）＝0，从而根据a＞0，b＞0可得出a和b的关系，代入即可得出答案．
【详解】
由题意得：a＋ ＝3 ＋15b，
【点睛】
解析：
【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，
解得：
①当 时，
解得：
即：
①当 时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
【点睛】
本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键.
12．【分析】
根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．