1.1.1 集合的含义与表示

1.1.1 集合的含义与表示
知识点：
1.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。

注意：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …
表示.
2.元素与集合的关系：
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.
如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.
3.集合中元素的特征(三要素)：确定性、互异性、无序性.
解释：对于一个给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性； 一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现，这就是集合的互异性；
集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的，如果两个集合中的元素完全相同，那么这两个集合相等.
4. 常用数集的记法：
自然数集：N ； 有理数集： Q ； 整数集： Z ；
实数集： R ； 正实数集： +R ； 正整数集： *N N +或 .
5.集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{ }”括起来
表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法；
描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变
化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
6、注意：类似“高个子”、“接近100”、“难题”等都没有具体的衡量标准，是模棱两可的、不确定的，都不符合集合的概念。

7、认识集合：一看代表元素；二看元素性质。

集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y ＝x 2＋1}、{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }和{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R }，这三个集合是不相同的．
8、用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn 图．用Venn 图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法。

9、含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集． 按照集合所含元素个数的多少分为：有限集、无限集、空集．规定空集是有限集。

10、用描述法表示集合时，应该注意代表元素的性质．例如表示数集时代表元素可用一个字母x 表示，而表示点集时代表元素则用(x ，y )来表示．
11、用描述法表示集合时，若需要多层次描述性质时，可选用“且”与“或”等词连接．用描述法来表示一个集合，其表示形式可能有多种。

典型例题：
题型一：元素与集合的关系
2.用符号∈或∉填空：（1）0 *N ;（2）2 Z ;(3)2
3 Q ;(4)π Q 。

已知2{2,25,12}a a a -+,且3A -∈，求实数a 的值。

解：3,23A a -∈∴-=- 或2253a a +=-。

1a ∴=-或32
a =-。

但1a =-时23a -=-，2253a a +=-与集合中元素的互异性矛盾，32a ∴=-
4.已知2{2,25,12}a a a -+,且3A -∈，求实数a 的值。

5.已知集合A ＝{x ∈R|ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R. 若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .
4．设P ={}15|≤x x ，23=m ，则m __________P 。

5．0_______φ； 1_________{}
*2,1|N a a x x ∈+-=.
7．设直线32+=x y 上的点集为P ，则P =_______。

点（2，7）与P 的关系为（2，7）_____P .
9．已知{}12|),(-==x y y x A ，}3|),{(+==x y y x B ，A a ∈，B a ∈，求a 。

11．已知集合M ={}
4,433,222-+-+-x x x x ，若M ∈2，求满足条件的实数x 组成的集合。

12、集合A ＝{x ∈R|x ＝a ＋2b ，a ∈Z，b ∈Z}．试判断下列元素x 与集合A 的关系．
(1)x ＝0；(2)x ＝12－1；(3)x ＝13－2
； (4)x 1∈A ，x 2∈A ，x ＝x 1＋x 2.
13、数集A 满足条件：a ∈A ，则11－a ∈A ，其中a ∈R ，试证： (1)若2∈A ，则A 中还有另外两个元素．
(2)集合A 不可能只含一个元素．
分析：(1)利用条件，逐步代换．(2)这是证明不可能问题，宜采用反证法． 对于证明题中的一类诸如“不可能”、“至多”、“至少”、“不少于”等问题，宜采用反证法，其证题步骤为：假设结论不成立，推理导出矛盾，肯定结论成立．
题型二：集合中元素的特征
1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是（）
A.高一某班个子较高的同学
B.比较著名的科学家
C.无限接近于4的实数
D.到一个定点的距离等于定长的点的全体
1.下列对象组成的集体是集合的是；
A.好心的人；
B.我校2013级新生；
C.相当大的数；
D.倒数等于它本身的数。

1．已知集合A={a,b,c}中的三个元素表示三角形ABC
∆的三边长，那么∆一定不是 _；
ABC
.A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D等腰三角形
2．已知集合S={c
a,
,}中的三个元素可构成∆ABC的三条边长，那么∆ABC
b
一定不是（）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形
3、设A＝{1，k2，k2＋k＋2}，求实数k的取值范围．
4、在由3，x，x2－2x三个元素所组成的集合中，x应该满足什么条件？
5．集合{x，x2－x，x3－3x}中x不能取的值组成集合是________．
题型三：集合的表示
3.以方程2560x x -+=和方程220x x --=的解为元素的集合 .
3．若集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R ｝中有且只有一个元素，则a 的取值集合是（ ）
A ．｛1｝
B ．｛－1｝
C ．｛0，1｝
D ．｛－1，0，1｝
已知集合A 是关于x 的方程：0432=--x ax 的解集，
（1）.若A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）.若A 中只有两个元素，求a 的值；
（3）.若A 中只至少有一个元素，求a 的值。

已知集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R ｝．
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；
（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
答案：（1）a ＝0，x ＝－2
1或a ＝1，x ＝－1；（2）a ≥1或a ＝0． 3.请用适当的方法表示下列集合：
（1）方程x x =2的所有实数根组成的集合；
（2）由1~10以内的所有素数组成的集合；
（3）不等式012<-x 的解组成的集合；
（4）所有奇数组成的集合。

8．集合{}N x x x ∈<<,128|，用列举法可表示为_____________.
用适当的方法表示下图中的阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M .
答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≤-≤≤-0,231,252|),(xy y x y x 。

1、用适当的方法表示下列集合：
①方程组⎩⎨⎧ 3x ＋y ＝2，2x －3y ＝27的解集；
②1 000以内被4除余1的正整数所组成的集合；
③直角坐标平面上在第三象限内的点所组成的集合；
2、设a 、b 都是非零实数，y ＝a |a|＋b |b|＋ab |ab|
可能取的值组成的集合是____．
5．下列各项中的M 与P 表示同一集合的是( )
A ．M ＝{x | x 2＋1＝0}, P ＝{x | x 2＝0}
B ．M ＝{x | y ＝x 2＋1} ，P ＝{y | y ＝x 2＋1}
C ．M ＝{y |y ＝t 2＋1，t ∈R}, P ＝{t |t ＝(y －1)2＋1，y ∈R}
D ．M ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，P ＝{x |x ＝4k ＋2，k ∈Z}
题型四：集合中元素的个数
10．已知},2|{N x k x x P ∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，求k .
3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B
中所含元素个数为( )
A ．3个
B ．6个
C ．8个
D ．10个
解析：x ＝5时，y ＝1,2,3,4；x ＝4时，y ＝1,2,3；当x ＝3时，y ＝1,2；当x ＝2时，y ＝1.共有4＋3＋2＋1＝10个．
题型五：集合中概念的综合
1．下面四个命题正确的是（ ）
A.10以内的质数集合是{0,3,5,7}
B.“个子较高的人”不能构成集合
C.方程0122=+-x x 的解集是{1，1}
D.偶数集为{}N x k x x ∈=,2|
2．下面的结论正确的是（ ）
A ．Q ax ∈，则N a ∈
B ．N a ∈，则∈a {自然数}
C ．012=-x 的解集是{-1，1}
D ．正偶数集是有限集
1、判断下列四个命题的正误，
（1）{0}是空集；
（2）若a ∈A ，则-a ∉A ；
（3）集合{x ∈R|x 2−2x+1=0}有两个元素
（4）集合{x ∈Q|
6
x ∈N}是有限集
已知集合A={x|ax 2+4x+4=0,x ∈R,a ∈R}只有一个元素，求a 的值和这个元素． 已知A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，求a 以及这个元素。

已知1∈{x|x2+px-3=0}，求p与集合中的所有元素。

求{x|x2+4x+m+1=0}中所有元素之和。