中心极限定理在商场管理中的应用
中心极限定理的内容及意义
中心极限定理的内容及意义1. 中心极限定理呀，这可是个超神奇的东西呢！简单说就是不管原来的总体分布长啥样，只要样本量足够大，样本均值的分布就近似于正态分布。
就好比咱们学校组织抽奖，奖品有好多不同类型，一开始奖品的分布是乱七八糟的。
可是当抽奖的次数足够多，也就是样本量够大的时候，每次抽奖得到的平均奖品价值的分布就变得很有规律了，就像正态分布那样规规矩矩的。
这多奇妙啊！2. 中心极限定理的意义可不得了。
它就像一把万能钥匙，能打开很多统计学上的难题之门。
比如说，有个卖水果的小贩，他进的水果大小不一，最开始水果大小的分布特别复杂。
但是如果他每次称一大袋水果当作一个样本，称的次数多了，这些样本的平均水果大小就会遵循正态分布。
这让他能更好地预估自己水果的平均大小，然后定价啊，控制成本啥的，是不是超级有用？3. 嘿，中心极限定理！你知道吗？它让我们能在很复杂的情况下做出靠谱的估计。
想象一下，一个工厂生产各种形状和大小的零件，那些零件最初的尺寸分布乱得像一团麻。
但是呢，当我们从生产线每次取足够多的零件当作样本，样本的平均尺寸就会像听话的孩子一样，接近正态分布。
这就像给工程师们吃了颗定心丸，他们能根据这个来判断生产是否正常，多棒啊！4. 中心极限定理是统计学里的一颗璀璨明星啊。
它的内容就是告诉我们，即使总体是千奇百怪的分布，只要样本量上去了，样本均值的分布就向正态分布看齐。
就像一群性格各异的人，一开始乱哄哄的。
可是当把他们分成足够多的小组，每个小组的平均性格就会有一定的规律，就好像被正态分布的魔力给约束住了一样。
这对我们做调查研究可太有帮助了，能让我们从混乱中找到规律呢。
5. 哇塞，中心极限定理真的很牛！它的内容可以这么理解，无论总体的分布是像高山一样起伏不定，还是像迷宫一样错综复杂，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会变得像正态分布那样平滑和有规律。
比如说，在一个大型的购物商场里，顾客的消费金额分布一开始各种各样。
中心极限定理
中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
中央极限定理
練習一
一家國立健康組織同意供給活性細菌病毒，如小兒麻痺 症和AIDS的病毒，給從事以實驗為目的之研究公司。其 過程是將平均數為9.00公撮，標準差為0.35公撮的細菌 病毒填入上百萬支的小試管裡。假如連續選取樣本為49 支小試管的多組隨機樣本，並計算其填料的平均數 x ， 試求所有樣本平均數中間99％部分所對應的兩個 x 值為 多少？
範例一
一家成衣廠的一部機器將裁剪一匹絲質布料呈平均長度μ ＝ 1000 mm，標準差為σ＝ 12 mm 的布塊若連續抽取多 組樣本大小 n ＝ 36 的隨機樣本則所有的樣本平均數會落 於 x = 995 mm 與 x =1005 mm之間的百分比為何？
(範例來源： 範例來源：統計學〈 統計學〈ELEMENTARY STATISTICS〉，原著 Gibson，編譯 林慧姿 張筱梅 黃春松 廖苹邁， 廖苹邁，高立出版社。 高立出版社。)
( )
1. 分配的平均數等於母體平均數μ。 2. 分配的標準差，稱為 σ x ，等於母體標準差（σ）除以樣本 大小（n）的平方根，亦即 σ x = σ n
中央極限定理（continue）
原常態族群N（μ, σ2），與樣本的平均數 (x ′s ) 所構成的常態族群之比較 原族群常態分布 樣本平均值分布
Z= Y −µ , Y → N (µ , σ 2 ) 曲線上的一點
概率论中的极限理论应用案例
概率论中的极限理论应用案例概率论是数学的一个分支，研究随机现象和随机事件出现的规律。
在概率论的学习中，极限理论是一个重要的内容，它涉及到概率的收敛性与极限的性质。
本文将介绍几个概率论中极限理论的应用案例。
一、中心极限定理的应用案例中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了独立同分布随机变量的和的极限分布。
这个定理在统计学和实际生活中有广泛的应用。
案例一：酒吧内人数统计假设有一家酒吧，每天的客人人数是一个随机变量，服从某个分布。
我们希望了解每天酒吧内的平均客人人数。
由于酒吧客人人数是一个随机变量，我们可以通过中心极限定理来进行估计。
首先，随机选择多个不同的日期，每天记录酒吧内的客人人数。
然后，计算这些日期的客人人数的平均值。
重复进行多次实验，每次记录平均值。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些平均值将近似服从正态分布。
通过计算这些样本的平均值，我们可以得到酒吧内平均客人数的一个置信区间。
这个置信区间可以为酒吧经营者提供参考，帮助他们评估酒吧的经营情况。
案例二：商品质量控制假设一个工厂生产一种产品，产品的重量是一个随机变量，服从某个分布。
工厂希望了解每个产品的平均重量是否符合要求。
为了进行质量控制，工厂在每个生产周期中随机选择一些产品进行称重。
然后，计算这些产品的平均重量。
重复进行多次实验，每次记录平均重量。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，这些平均重量将近似服从正态分布。
通过计算这些样本的平均重量，我们可以得到产品平均重量的一个置信区间。
这个置信区间可以帮助工厂评估产品的质量，及时采取措施进行调整和改进。
二、大数定律的应用案例大数定律是概率论中另一个重要的定理，它描述了大样本情况下，随机变量的平均值接近其期望值的概率。
大数定律在实际生活中有许多应用。
案例三：投掷硬币概率假设我们有一枚均匀的硬币，我们想知道它朝上的概率是多少。
我们可以进行多次投掷实验，每次记录硬币朝上的次数，并计算这些次数的平均值。
中心极限定理应用[五篇范例]
![中心极限定理应用[五篇范例]](https://img.taocdn.com/s3/m/2aa288a0dc88d0d233d4b14e852458fb770b382f.png)
中心极限定理应用[五篇范例]第一篇：中心极限定理应用中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξk1，=a,ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且EξDξk=kσ⎰x2(σ2>0),k=1,2,…则有limp(k=1n→∞∑ξn-na≤x)=σnn12π-∞e-t22dt。
当n充分大时，∑ξk=1k-naσn~N（0,1），k=1∑ξnk~N（na,nσ）22、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未μ找到引用源。
为n次试验中事件A出现的次数,则limp(n→∞n-npnpq≤x)=⎰2π1x-∞e-t22dt其中q=1-p。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
理解中心极限定理及其应用
理解中心极限定理及其应用中心极限定理是统计学中一项重要的概念，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这个定理在实际应用中具有广泛的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
首先，让我们来了解一下中心极限定理的基本原理。
假设我们有一个总体，其中包含了许多独立同分布的随机变量。
我们从这个总体中抽取出一定数量的样本，并计算这些样本的均值。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，这些样本均值的分布将近似于正态分布。
这个定理的应用非常广泛。
例如，在市场调研中，我们经常需要对一定数量的样本进行调查，并通过分析这些样本的均值来推断总体的特征。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，我们可以使用正态分布来描述样本均值的分布情况，从而更准确地进行推断。
此外，在质量控制中，中心极限定理也扮演着重要的角色。
假设我们要检验某个生产过程的平均值是否符合要求。
通过抽取一定数量的样本，并计算这些样本的均值，我们可以利用中心极限定理来推断总体平均值的分布情况。
如果样本均值的分布接近于正态分布，并且符合要求，我们可以认为生产过程的平均值是可接受的。
中心极限定理还可以应用于假设检验。
假设我们想要判断某个总体的均值是否等于某个特定值。
通过抽取一定数量的样本，并计算这些样本的均值，我们可以利用中心极限定理来推断总体均值的分布情况。
如果样本均值的分布接近于正态分布，并且与特定值之间存在显著差异，我们可以得出结论，总体均值不等于特定值。
除了上述应用外，中心极限定理还可以帮助我们进行抽样调查的样本容量确定。
在进行抽样调查时，我们需要确定样本的大小，以保证推断结果的准确性。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
因此，我们可以根据所需的推断精度和置信水平，利用中心极限定理来确定样本容量的大小。
总之，中心极限定理是统计学中一项重要的概念，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn X Y n i i n σμ-=∑=1 则对任意实数y ，有 {}⎰∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ 从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→n n Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e - 而22t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
中心极限定理在商场管理中的若干应用
ｋ ＿ ｆ Ｉ ０ ： ． 第 ｋ 个 人 不 购 买 ｌ ， ２ ， ３ ， … １ ｏ ｏ ０
解得 ｎ ≥１ ４ ７ 。
ｍ 件这 种商 品，则 ｘ ＝ ∈． 服从参数 ｎ ＝ １ ０ ０ ０ ， ｐ ＝ ０ ． ６的二项 分
布， 依题意Ｐ ｛ ∈ ｌ ｝ ＝ ｏ ． ６ ， Ｐ ｛ ‘ ０｝ ＝ ｏ ． ４ ， 所以的数学期望和标
用中心极 限定理进行近似计算 ， 对总体中 的参数进行估 计和推 （ ∈） ＝ ０ ． ０ ９ ｎ 。
由 中 心 极 限 定 理 得 Ｐ｛ １ ０ ≤∈ ≤ｎ｝一 （ ３
） 一
例 ｌ 某 商店 负责供应某地 的商品。某种商 品在一段时问 内
每 人 需 用 一 件 的概 率 为 ０ ． ６ 。 假 定 在 这 段 时 间 每 个 人 购 买 与 否
【 关键词】 随机变量； 特征 函数； 极限理论
一
、
引言
例２ ： 抽样检验产品质量时， 如果发现次品个数多于 １ ０个 ，
０ ％， 问至 少 应 本 文 主 要 研 究 中心 极 限 定 理在 商场 管理 中 的 应 用 ． 在 现 有 则 拒 绝 接 受 这 批 产 品 。 设某 批 产 品 的次 品 率 为 １ 研究成 果基础上 ， 将 商 场 管 理 中 的 商 品 订购 、 抽 样 检 验 等 实 际 该抽 取 多 少 只 检 查 ， 才 能保 证 拒 绝 该 产 品 的概 率 达 到 ０ ． ９ ７ 问题 转 化 为 数 学 问 题 ， 建立数 学模型 断， 最 终 找 出这 些 实 际 问题 的最 佳 解 决方 案 。 本
西 部 ．２ ０ ０ ９ ， （ １ ０ ） ： ｌ ８ ８ ～１ ８ ９
由 申 中 心 极 限 定 理 得 得｛ Ｐ ｆ ∑ § ≤ ｍ ｝ 中 ￣ ｍ － ６ ｏ ０ ｕ ０ ／ ＞ ｔ ０ ＿ ． ９ ９ ７ ，
中心极限定理例子
中心极限定理例子
以下是 6 条关于中心极限定理的例子：
1. 你想想看啊，比如说我们学校的每次考试成绩。
一个班有那么多同学，每个人的学习情况都不一样吧，那最终的班级平均分是不是就会呈现出一种比较稳定的状态呀？这就像中心极限定理在起作用呀，那么多各不相同的成绩加在一起，就会趋近于一个固定的趋势呢！
2. 嘿，你再想想彩票的中奖号码！每次开奖那可都是随机的呀，但如果我们观察很多很多期的开奖结果，好像也会有某种规律出现呢，难道这不是中心极限定理在冥冥之中发挥作用吗？
3. 咱就说面包店每天卖出去的面包种类和数量吧。
每天顾客的偏好都不一样呀，有时这种面包卖得多，有时那种卖得多，但是时间一长，整体的销售情况就会比较稳定呢，这不就很神奇嘛，这不就是中心极限定理的体现嘛！
4. 你看那农贸市场里的各种蔬菜水果价格，每天都有波动呢，但长期来看它不会一直疯狂涨或疯狂跌呀，总会在一个范围内波动，这不就像是中心极限定理在掌控着嘛，多有意思啊！
5. 咱家里每个月的水电费也很能说明问题呀！有时候用得多些，有时候用得少些，但长年累月下来，不就有个大概的平均值嘛，这不就是中心极限定理在悄悄发挥作用嘛，你说对不对呀？
6. 想想城市里每天的车流量，那真是变化多端啊！但总体上看，还是能发现一些规律的呢。
难道不是中心极限定理在背后让这些看似杂乱无章的车流量变得有迹可循吗？
结论：中心极限定理真的是无处不在啊，它让我们在看似混乱的世界中找到了一些稳定和规律。
中心极限法则
中心极限法则
中心极限法则（Central Limit Theorem）是将计算机科学、统计学和数学熔合
在一起的重要理论。
它是数学家爱因斯坦于19世纪中叶发明的，用于描述一类复
杂分布和它们从中抽取的随机变量的统计分布。
这个定理指出，在大量试验中抽取在不同类型分布中的随机变量时，会发现抽取的均值和方差接近钟形分布的情况，而且接近程度会随着抽取的样本数量的增加而增加。
中心极限定理有着广泛的应用，被用于超市收银机统计、金融风险度量、生物、社会科学和医学研究中。
在超市收银机统计时，经理可以使用中心极限定理推断出当天的客流量可能在哪个范围内，从而制定准备足够收银员的计划。
在金融风险度量中，中心极限定理可以用来估计出未来投资的收益。
数据科学家可以用它来估计回归模型的拟合程度或者设计新的统计解决方案时制定合理的假设。
中心极限定理被用于数学中极其复杂的情形，但它表现出强大的功能，为统计研究领域提供了很大帮助。
它不仅被用于超市收银台统计，金融风险度量，社会科学和医学研究，而且也被用于电子和计算机科学研究，开发几种统计方法和假设。
总而言之，中心极限定理是随机变量领域最重要的理论，且是数学家和大数据专家的武器。
中心极限定理及其在若干实际问题中的应用
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数学与应用数学毕业论文-中心极限定理探讨及应用(精品doc)
目录摘要 (II)1绪论 (3)1．1课题的研究意义 (3)1．2国内外研究现状 (3)1．3研究目标 (4)2关于独立分布的中心极限定理的探讨 (5)2．1中心极限定理的提法 (5)2．2独立同分布情形的两个定理． (5)2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理 (6)2．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理 (7)2．3独立不同分布情形下的中心极限定理 (8)2．3．1林德贝格中心极限定理 (8)2．3．2李雅普诺夫中心极限定理 (12)2．4本章小结 (14)3中心极限定理在商业管理中的应用 (15)3．1水房拥挤问题 (15)3．2设座问题 (17)3．3盈利问题 (18)3．4抽样检验问题 (19)3．5供应问题 (20)结语 (20)参考文献 (22)附录 (22)中心极限定理探讨及应用摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值．关键词：弱收敛;独立随机变量;特征函数;中心极限定理．1绪论1．1课题的研究意义概率统计学是一门研究随机现象统计规律性[1]的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等．而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算[2]．极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向—大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究．概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景．在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的．中心极限定理就是从数学上证明了这一现象．最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题．1716年前后，棣莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进．自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等．无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美．长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展．同时新的极限理论问题也在实际中不断产生．这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义．1．2国内外研究现状中心极限定理作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善．这方面的文章较多，它们的结果也比较完美．但是他们注重于研究单一的方向，而几个定律之间的关系和应用方面的较少．出于这种现状本文通过对独立条件下的中心极限定理做系统的分析，主要研究和讨论几个中心极限定理之间的关系以及中心极限定理所揭示的理论意义和他们的应用．同时对文中出现的定理和结论做系统的分析和证明，所以对教学和科研方面具有一定的参考价值．1．3研究目标通过对独立随机序列的中心极限定理做系统的分析，阐明中心极限定理它们之间的关系以及举例说明中心极限定理在实际问题中的应用为教学和科研供参考．2 关于独立分布的中心极限定理的探讨凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理，在概率论中统称中心极限定理．具体一点说，中心极限定理回答的是(独立或弱相依)随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态的．中心极限定理是揭示产生正态分布的源泉，是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础．2．1中心极限定理的提法直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机．因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观．在许多情形下，一随机变量X 可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，12n X ξξξ=++⋅⋅⋅ (a)这里，每个i ξ直观上表示一种随机因素的效应，假如式(a)包含了决定X 的充分多的随机因素的效应(即n 充分大)，则1ni i ξ=∑的分布就近似于X 的分布．中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当n →∞时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的．中心极限定理的名称最早是由仆里耶(1920年)提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年—1894年)提出来的下面我们介绍四个主要定理:1)林德伯格一勒维定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普诺夫定理．其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论．2．2独立同分布情形的两个定理．中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项12,,ξξ⋅⋅⋅上的条件不同．独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格----勒维定理．历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分)定理是它的特殊情形．设(1,2,)k k ξ=⋅⋅⋅的方差D ξ，大于0，令2221,,nk k k n k k a E b D B b ξξ====∑ （1）我们说，随机变数列{}k ξ服从中心极限定理，如果关于1x R ∈均匀的有22111lim ().2t nxk k n k nP a x edt B ξπ--∞→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑⎰（2）(2)表示：随机变量数11()nkk k na B ξ=-∑的分布函数关于x 均匀的趋于正态分布(0,1)N 的分布函数．独立同分布的两个定理：2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理设12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差：2(),()0.i i E x Var x μσ==>记 12...n n X X X n Y nμσ*+++-=则对任意实数y ，有221l i m ()().2t y n n p Y y y e d t π-*-∞→+∞≤=Φ=⎰（3）证明 为证（1）式，只须证{}*n Y 的分布函数列若收敛于标准正态分布．又由定理4．3．4[3]，只须证{}*n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数．为此设n X μ-的特征函数为()t ϕ，则*n Y 的特征函数为*()()nnY t t n ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 又因为2()0,()n n E X Var X μμσ-=-=，所以有 (0)0ϕ'=， 2(0)ϕσ''=- 于是特征函数()t ϕ有展开式22()(0)(0)(0)()2t t t t ϕϕϕϕο'''=+++ 22211()2t t σο=-+从而有2*2222lim ()lim 1()2n nt Y n n t t t e nn ϕο-→+∞→+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦，而22t e-正是(0,1)N 分布的特征函数，定理得证．例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为2λ=的泊松分布．若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率．解:设x 某汽车销售点每天出售的汽车辆数,则12365Y x x x =++⋅⋅⋅+,为一年的总销量．由()()2i i E x Var x ==,知()()3652730E Y Var Y ==⨯=．利用林德贝格---勒维中心极限定理可得, 700730(700)1(700)1()1(111)0.8665730P Y P Y ->=-≤≈-Φ=-Φ-= 这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0．86652．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1），n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记n n npY npqμ*-=且对任意实数y ，有221l i m ()().2t y n n p Y y y e d t π-*-∞→+∞≤=Φ=⎰此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2是定理1的推论．例2 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20％,以x 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．(1)写出x 的分布列;(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值． 解:(1) x 服从100,0.2n p ==的二项分布(100,2)b ,即100()0.20.8,1,2,,k k n p x k k n k -⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭(2)利用隶莫弗---拉普拉斯中心极限定理,有30.51000.213.51000.2(1430)(13.530.5)()()1000.20.81000.20.8p x p x -⨯-⨯≤≤=<<≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯(2.625)( 1.625)(2.625)1(1.625)0.9956510.9480.9437=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+=这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0．9437．2．3独立不同分布情形下的中心极限定理对于独立同分布随机变量序列12,,ξξ⋅⋅⋅只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立．而在实际问题中说诸i ξ具有独立性是常见的，但是很难说诸i ξ是“同分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差n Y 的产生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即1nn i i Y ξ==∑则i ξ间具有独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件．林德伯格(Lideberg)于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件．2．3．1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列{}n X 满足林德贝格条件，则对任意的x ，有22111lim ().2t nxi i n i nP X x edt B μπ--∞→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑⎰为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a ，有1ia e a -≤； (4)212!iaa e ia --≤ (5)22123!iaa a e ia --+≤ (6) 实际上，对0a =上三式明显．设0a >，则01ai a i x e e d x a -=≤⎰；21(1)2!aaiaixa e ia e dx xdx --=-≤=⎰⎰；21(1)2ai ai xa e i a e i x d x --+=--⎰ 2212!3!aaixx a e ixdx dx ≤--≤=⎰⎰利用cos sin ia e a i a =+，可见（4）（5）（6）方都是a 的偶函数，故他们对0a <也成立．定理三的证明，先把记号简化．令k knk na B ξξ-=（7）以()nk t f 、()nk x F 分别表nk ξ的特征函数与分布函数，因而()()(),nk x k n k k n k F P B x a F B x a ξ=≤+=+ （8） ()20,knk nk x nk nD E xdF D B ξξξ+∞-∞==⎰， （9）2()211111nnnnknk x k k k k n D x dF D B ξξ+∞-∞======∑∑∑⎰（10） 在这些记号下，由（6）22()()21()()kk nnk x a k nk x k x x a B B nnx a x a dF dF B B ττ-->>--=⎰⎰ 2()nnk y y B y dF τ>=⎰故林德贝格条件可化为：对任意0τ>， 2()1lim 0nnk x x n k x dF τ>→∞==∑⎰； （11）而(2)式化为：对τ均匀的有2211l i m .2t nynk n k P x e dt ξπ--∞→∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑⎰（12）如果在条件（11）下，能够证明1nnk k ξ=∑的特征函数22()1()()t nn nk t k t f en ϕ-==→→∞∏亦即2()1log ()log ,()2nn nk t k t t f n ϕ==→-→∞∑ （13）那么根据定理3．2．3[4]，（12）成立；再由定理3．1．3，（12）中收敛对1x R ∈还是均匀的，于是定理3得以证明．现在也就是只要证出（13）成立 则问题得证为了证明（13），分两步．（甲）先证log ()n t ϕ可展开为 ()1log ()(1)()nn nk t n k t f R t ϕ==-+∑， （14）其中函数()n R t 在任意有穷t 区间内趋于0 实际上，由（9）中前一式()()1(1)itx nk t nk x f e itx dF +∞-∞-=--⎰ （15）根据（5）22222()()()()122nk t nk x nk x nk x x x t t f x dF x dF x dF εε+∞-∞≤>⎡⎤-≤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 222()2nk x x t x dF εε>⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦⎰． （16）其中0ε>任意．由（11），对一切充分大的n 有22()(1)nk x x x dF k n εε><≤≤⎰；从而关于(1)k k n ≤≤及任何有限区间[],T T -中的t ，同时有2222()()11;m a x1n k t n k tk nf T f T εε≤≤-≤-≤ 因而对任意[],t T T ∈-，均匀的有()1lim max 10nk t n k nf →∞≤≤-=． （17）特别，当[],t T T ∈-时，对一切充分大的n ，下式成立： ()112nk t f -< （18） 因此，在[],T T -中，有展开式()()11log ()log log 1(1)nnn nk t nk t k k t f f ϕ==⎡⎤==+-⎣⎦∑∑第 11 页 共 23页()1(1)()nnk t n k f R t ==-+∑ （19）其中1()12(1)()(1)s ns n nk t k s R t f s -∞==-=-∑∑由（18）2()()121()111()12211n ns nk t n nk t k s k nk t f R t f f ∞===-≤-=--∑∑∑2()11nnk t k f =≤-∑()()11m a x 11nn k t n k tk nk f f≤≤=≤--∑；但由（16）中第一个不等式及（10） 222()()11122nn nk t nk x k k t t f x dF +∞-∞==-≤=∑∑⎰故2()1()max 12n nk t k nt R t f ≤≤≤-由（17）可见当n →∞时，关于任意有穷区间[],T T -中的t 均匀的有()0n R t → （20） （乙）令2()1()(1)2n itxn nk x k t t e itx dF ρ+∞-∞==+--∑⎰由（15）得2()1(1)()2nnk t n k t f t ρ=-=-+∑． （21）如果能够证明：对任意有穷区间[],T T -中的t 均匀的有l i m()0n n t ρ→∞=． (22) 那么以（21）代入（14）并联合（甲）中的结论即得证(13),而且（13）中的收敛对任意有穷区间内的t 均匀，从而定理得以完全证明．今证（22），由（10）1222()1()22n nk x k t itx dF +∞-∞==-∑⎰对任意0ε>，2()1()()12nitx n nk x x k itx t e itx dF ερ≤=⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∑⎰ 22()112nitx nk x x k t x e itx dF ε>=⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦∑⎰ 由（4）（5）得 3322()()11()6nnn nk x nk x x x k k tt x dF tx dF εερ≤>==≤+∑∑⎰⎰3222()()116nn nk x nkx x x k k tx dF tx dF εεε≤>==≤+∑∑⎰⎰由（10）可见：对t T ≤，有 322()1()6nn nk x x k T t Tx dF ερε>=≤+∑⎰（23）对任意0η>，可选0ε>使362T ηε<又由（11），存在正整数(,,)N N T ηε=，使对此ε及n N ≥，有2()212nnk x x k x dF Tεη>=<∑⎰（24）于是当n N ≥时，对一切[],t T T ∈-，有 ()n t ρη<2．3．2李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列{}k ξ，存在常数0σ>，使当n →∞时有 22110nkkk n E a Bσσξ++=+→∑ （25）则（2）对x 均匀的成立．第 13 页 共 23页证．只要验证林德贝格条件满足，由（25）2211()()k nnk k x a B k nx a dF x B τ->=-∑⎰2211()()k nnkk x a B k n x a dF x B B σσττ+->=≤-∑⎰221110,()nkkk n E a n Bσσσξτ++=≤+→→∞∑例3 一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列．某学生答对第1题的概率为0．99;答对第2题的概率为0．98;一般地，他答对第i 题的概率为1100,1,2,i i -= ．加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题目以上（包括60个）才算通过考试．试计算该学生通过考试的可能性多大？解 设⎩⎨⎧=.01题，若学生答错第题；，若学生答对第i i X i 于是i X 相互独立，且服从不同的二点分布： (1)1100,(0)1100,i i i i p X p i p X p i ===-==-= 1,2,,99i = 而我们要求的是991(60)i i p X =≥∑．为使用中心极限定理，我们可以设想从100X 开始的随机变量都与99X 同分布．且相互独立．下面我们用1δ=来验证随机变量序列{}n X 满足李雅普诺夫条件（25），因为11()(1),()n nn iiii i B Var X p p n ====-→+∞→+∞∑∑，333()(1)(1)(1)i i i i i i i i E X p p p p p p p -=-+-≤-， 于是31231111()0(1)n i i n i n i i i E X p B p p ==-≤→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑∑ ()n →+∞， 即{}n X 满足李雅普诺夫条件（25），所以可以使用中心极限定理．14又因为999999111()(1)49.5100i i i i i iE X p =====-=∑∑∑ 999929911()(1)()16.665100100i i i i i B Var X ====-=∑∑ 所以该学生通过考试的可能性为99991149.56049.5(60)16.66516.665i i i i X p X p ==⎧⎫-⎪⎪-⎪⎪≥=≥⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑1(2.5735)0.≈-Φ=． 由此看出：此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五．2．4本章小结这一章从独随机变量之和的极限分布为正态分布的定理引入了中心极限定理的内容，可分为分独立同分布和不同分布两种情况下讨论随机变量的分布趋于正态分布的情况．由于极限定理的研究直接联系到大n 场合的二项分布的计算，所以我们也通过一些例子来讨论二项分别的近似计算问题．最后通过举出反例，以及在相同条件下比较大数定律与中心极限定理，说明了中心极限定理在近似计算中更精确．至于中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称．第 15 页 共 23页3 中心极限定理在商业管理中的应用3．1 水房拥挤问题假设某高校有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头．假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，现在总务处遇到的问题是： （1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）需至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则X ～B （5000，0．01）拥挤的概率是45500050000(45)1(045)10.010.99kk k k p p C ξξ-=>=-≤≤=-⨯⨯∑直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛-拉普拉斯定理．已知n=5000,p=0．01，q=0．99，.04.7,50==npq np故()().2389.01.771.004.750004.75045)450(=-Φ--Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤ξP从而 (45)10.23890.7611p ξ>=-=．怪不得同学们有不少的抱怨．拥挤的概率竟达到76．11%．（2）欲求m ，使得95.0)450(≥≤≤ξP即 95.004.750004.750≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm 由于 ()009.704.7500≈-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ 即 95.004.750≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm16查标准正态分布表，得 645.104.750≥-m即 6.61≥m 故需要装62个水龙头． 问题的变形：（3）需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？ 解：欲求m ，使得99.0)450(≥≤≤ξP即 99.004.750004.750≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm由于 ()009.704.7500≈-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ．76即 99.004.750≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φm查标准正态分布表，得325.204.750≥-m 即 4.66≥m 故需要装67个水龙头．（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？解：（1）5550(55)1()1(0.71)0.23897.04p ξ->=-Φ=-Φ=． （2） 同上．（5）若条件中的每个学生占用由1%提高到1．5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?解：(1) 设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则X ～B （5000，0．015），已知n=5000,p=0．015，q=0．985，.60.8,75==npq np拥挤的概率是().149.3160.875451)45(≈-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>ξP拥挤的概率竟达到100%． (2) 欲求m ，使得第 17 页 共 23页95.0)450(≥≤≤ξP即 95.060.875060.875≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm由于 060.8750≈⎪⎭⎫⎝⎛-Φ即 95.060.875≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φm查标准正态分布表，得645.160.875≥-m 即 14.89≥m 故需要装90个水龙头．3．2设座问题甲、乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%．解： 由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可．设甲戏院需设m 个座位，设.5000,,3,2,1,0,1 =⎩⎨⎧=i i X i ，否则个观众选择甲电影院第则 .5000,,1,1,5.0)0()1( =====i X P X P i i 若用X 表示选择甲戏院的观众总数，则∑==50001i i X X问题化为求m 使05.0)(≤≥m X P即 .95.0)(≤≤m X P 因为 5.0)()(==i i X D X E 由隶莫佛-拉普拉斯中心极限定理95.055250)(≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤m m X P18查标准正态分布表知 2501.64555m -≥， 从而解得269≥m ，即每个戏院至少应该设269个座位．3．3盈利问题盈利问题[5]：假设一家保险公司有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0．006，死亡时，家属可向保险公司领得1000元，问（1）保险公司亏本的概率有多少？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多少？ 解： 设X 为一年内死亡的人数，则)06.1,10000(~B X ，即由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理(1)≈.0)77.7(1≈Φ-7809（2）设123,,A A A 分别表示一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的事件，则1(){80}p A p X =≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********.006.01000006.010000X P9952.0)59.2(=Φ≈2(){60}p A p X =≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********.006.01000006.010000X P5.0)0(=Φ≈3(){40}p A p X =≤第 19 页 共 23页⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********.006.01000006.010000X P0048.0)59.2(1=Φ-≈3．4抽样检验问题抽样检验问题[6]：某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为0．8．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．（1）若实际上此药对这种病的治愈是0．8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药对这种病的治愈率是0．7，问接受这一断言的概率是多少？解： 引入随机变量表示抽查的100个人中被治愈的人数，则（1） {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>∑=10017575i i X P X P1000.8751000.81000.80.21000.80.2i X p ⎧⎫-⨯-⨯⎪⎪≈>⎨⎬⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎩⎭∑751000.811000.80.2-⨯⎛⎫≈-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭()1.25=Φ0.8944=实际治愈率为0．8时，接受这一断言的概率为0．8944． （2）20实际治愈率为0．7时，接受这一断言的概率为0．1379．3．5供应问题假设某车间有200台车床独立地工作着，开工率各为0．6，开工时耗电各为1000瓦，问供电所至少要给该车间多少电力，才能使99．9％的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解: 设任一时刻工作着的机床数为X ，则X 服从参数为6.0,200==p n ，的二项分布，该时刻的耗电量为X 千瓦，如果用k 表示供电所给该车间的最少电力，则此题所求即为：k 取何值时，有{}999.04.06.02006.020004.06.02006.02000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈≤≤k kX P查表得解之得即只要给该车间141千瓦的电力，就能以99．9％的概率保证该车间不会因电力不足而影响生产．结 语概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理．概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景．在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的．中心极限定理就是从数学上证明了这一现象．本文主要问题和研究方向，即系统的阐明两种分布的极限定理及进行详尽的证明，及对中心极限定理的简单应精品用，可以使读者轻松牢固的掌握中心极限定理．中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理．这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件．中心极限定理是刻画有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，但它们的总和渐进地服从正态分布．本文通过实例介绍了中心极限定理在商业管理中的应用，化抽象的理论概念为身边的实际例子．利于大家对这一定理的理解及对数理统计方法的掌握．这是我们数理统计教学中要重视与探索的问题之一．第21 页共23页参考文献[1]王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京:科学出版社，1976．138-145．[2]卯诗松．程依明．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，2004．129-118．[3]刘光祖．概率论与应用数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2001．130．[4]盛骤．概率论与数理统计习题全解指南[M]．第四版．浙江：浙江大学，1990．120．[5]孙荣恒．概率论和数理统计[M] ．重庆：重庆大学出版社，2000．120-121．[6]盛聚．概率论与数理统计习题全解指南[M]．二、三版．浙江：浙江大学，2002．121．[7]YS．Chow; H． Teieher．Probability Theory[M]．1978．146-151．[8]周概容．概率论与数理统计[M]．北京:高等教育出版社，1984．125-126．[9]朱学军．中心极限定理在管理中的简单应用问题研究[J]．北京：高等教育出版社，1996．17-18．[10]魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社．1983．63．[11] 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浅谈中心极限定理及其应用
浅谈中心极限定理及其应用中心极限定理（CentralLimitTheorem）是统计学中最古老也是最重要的定理之一，它源于十九世纪末的拉斯维加斯的“大数定律”，它提出了一种令人惊讶的性质，即使被取样的样本均服从一种分布，但已经足够多的样本量时，取样分布的形状也可以趋于标准正态分布。
它的实用价值十分广泛，既可以用来分析一个总体，也可以用来在统计上改进假设检验，以及诸如置信区间等统计推断。
说到中心极限定理，首先应当从它的基本概念入手，中心极限定理指的是，当已经足够多的样本量时，取样分布的形状也可以趋于标准正态分布。
也就是说，当抽取一定数量的样本时，样本的平均数趋近于某一总体的期望值，也就是说，只要样本量足够大，样本的平均数就可以用标准正态分布来表示。
中心极限定理的应用一般有以下几种：第一，在抽样检测中，中心极限定理可以用来统计原理的假说检验。
由于样本的平均值可以使用标准正态分布来表示，我们就可以根据标准正态分布的统计性质进行检验，从而判断原假设是否成立。
第二，中心极限定理也可以用来计算一个具体样本里的某一特性的置信区间。
根据中心极限定理，我们可以推算出这一特性的置信度水平，从而估计这一特性的变化量。
第三，《中心极限定理》也可以用来计算大数据集中的统计结果。
在大数据集中，即使每个原子数据项具有一定的分布，但总体上仍然能够趋向于正态分布，我们就可以用标准正态分布来计算总体的平均值和方差，从而给出对某一结果的统计推论。
最后，另一个重要的应用是中心极限定理在风险管理中的应用，流行病学中的样本预测研究就非常典型。
风险管理中的样本数据往往满足正态分布的特征，从而可以使用中心极限定理来预测该样本的结果，从而帮助管理者更好地把握风险。
以上，就是关于中心极限定理及其应用的简要介绍。
虽然它源自于十九世纪末的拉斯维加斯的“大数定律”，但它今天仍然是一个非常重要的统计工具，可以用来在统计上改进假设检验，以及诸如置信区间等统计推断，也可以用在统计检验、置信区间和风险管理中。
中心极限定理生活中的例子
中心极限定理生活中的例子1. 你看啊，就说扔硬币这事儿，你要是扔个几次，可能结果乱七八糟，但当你不停地扔，扔个成百上千次，嘿，那不就慢慢接近一半正面一半反面了嘛，这就是中心极限定理啊！就像考试成绩，一次两次可能有很大波动，但多次下来不就稳定在某个水平附近了嘛！2. 想想抽奖这事，一次抽中大奖那可太难了，但要是抽奖的次数多起来，是不是就感觉中奖的次数会渐渐符合某种规律呀，这和中心极限定理不也很像嘛！好比说去抓娃娃，多抓几次总会有收获呀！3. 咱们去菜市场买菜，每天的菜价可能都有点小波动，但长期来看，不就会在一个范围内波动嘛，这难道不像是中心极限定理在起作用？就好像我们每天的心情，有好有坏，但总体还是有个大概的趋势呀！4. 打篮球投篮也是一样啊，可能这一场你手感超好，下一场又不行，但比赛多了，你的命中率不就会稳定在一个数值附近嘛，这就是中心极限定理呀！好比工作中的表现，有时候特别棒，有时候会犯错，但时间久了就平均下来啦！5. 你观察过路上的车流量没，每天不同时间段都不太一样，但长期下来总会呈现出一些规律来，这不就是中心极限定理在生活中的体现嘛！就如同每天的睡眠时间，可能今天多睡会儿，明天少睡会儿，但一段时间后会有个大致的情况呀！6. 回想下过年放鞭炮，那噼里啪啦的声音，一次放个几串，声音大小可能随机性很强，但要是好多人都在放，那声音的总体情况不就可以预期了嘛，这中心极限定理不就在这儿啦！好比我们每天花在吃饭上的时间，单独一天没啥规律，但积累起来就会有个大概呀！7. 大家都去超市买过东西吧，每次买的东西价格和数量都不一样，但经常去买的话，消费情况不就会比较稳定嘛，这多像中心极限定理呀！就好像我们每周的零花钱使用，这周多点下周少点，但久了就知道个大概范围啦！8. 公司里员工的绩效得分，单独一个人一个月可能波动挺大，但整个公司的员工综合起来看，不就会有规律了嘛，这和中心极限定理简直一样嘛！就像我们每个月看电影的次数，有时忙就不看，有时闲就多看几部，但长时间就会有个平均呀！9. 每天的天气也可以用中心极限定理来想呀，一天的天气多变，但时间长了，各种天气出现的比例是不是就大概有数了，这多明显呀！好比我们穿衣服的风格，有时候想正式点，有时候随便穿，但总的来说是有个偏好的嘛！所以说呀，中心极限定理真的就在我们生活的方方面面呀！结论：中心极限定理真的无处不在地在影响着我们的生活，从日常小事到一些大的方面，都能看到它的影子，它让我们的生活变得更加有规律可寻！。
中心极限定理证明
中心极限定理证明一、例子高尔顿钉板试验.图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.二、中心极限定理设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立称服从中心极限定理.设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.解:服从中心极限定理,则表明其中.由于,因此故服从中心极限定理.三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则用频率估计概率时的误差估计.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,由此即得第一类问题是已知,求,这只需查表即可.第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.第三类问题是已知,求.解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:的随机变量.求.解:因为很大,于是所以利用标准正态分布表,就可以求出的值.某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,查表得,,故取.于是取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有其中,即有四、林德贝格-勒维中心极限定理若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有证明:设的特征函数为,则的特征函数为又因为,所以于是特征函数的展开式从而对任意固定的,有而是分布的特征函数.因此,成立.在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.设有个数,它们的近似数分别是,.,.令用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.作业:p222ex32,33,34,35五、林德贝尔格条件设为独立随机变量序列,又令,对于标准化了的独立随机变量和的分布当时,是否会收敛于分布?除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.设是独立随机变量序列,又,,这时(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有(2)若是离散型随机变量,的分布列为如果对于任意的,有则称满足林德贝尔格条件.以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.证明:令,则于是从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.六、费勒条件设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.七、林德贝尔格-费勒中心极限定理引理1对及任意的,证明:记,设,由于因此,,其次,对,用归纳法即得.由于,因此,对也成立.引理2对于任意满足及的复数,有证明:显然因此,由归纳法可证结论成立.引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地证明定义随机变量其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.林德贝尔格-费勒定理定理设为独立随机变量序列,又.令,则(1)与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.证明:(1)准备部分记(2)显然(3)(4)以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么(5)这时因此林德贝尔格条件化为:对任意,(6)现在开始证明定理.设是任意固定的实数.为证(1)式必须证明(7)先证明,在费勒条件成立的假定下,(7)与下式是等价的:(8)事实上,由(3)知,又因为故对一切,把在原点附近展开,得到因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有(9)这时(10)对任意的,只要充分小,就可以有(11)因此,由引理3,引理2及(10),(11),只要充分大,就有(12)因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得(7)与(8)的等价性.(2)充分性先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,(13)右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件(6)知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.其次证明林德贝尔格条件能保证(1)式成立.注意到(3)及(4),可知,当时,当时,因此(14)对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了(8),但由于已证过费勒条件成立,这时(8)与(7)是等价的,因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相应的特征函数应满足(7).但在费勒条件成立时,这又推出了(8),因此,(15)上述被积函数的实部非负,故而且(16)因为对任意的,可找到,使,这时由(15),(16)可得故林德贝尔格条件成立.八、李雅普诺夫定理设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有则对于任意的,有一，大数定律的证明二，中心极限定理的证明§5.3中心极限定理我们曾特别强调了正态分布在概率论与数理统计中的地位与作用.为什么客观实际中许多随机变量服从正态分布?是经验猜测还是确有科学的理论依据，下面我们就来解释这一问题.我们已经知道，炮弹的弹着点射击误差服从正态分布，我们来分析其原因.要知道误差是什么样的随机变量，有必要研究一下造成误差的原因是什么?每次射击后，炮弹会因为震动而造成很微小的偏差x1，炮弹外形细小的差别而引起空气阻力不同而出现的误差x2，炮弹前进时遇到的空气流的微小扰动而造成的误差x3，……等等，有许多原因，每种原因引起一个微小的误差都是随机的，而弹着点的总误差x 是许多随机误差的总和，即x=?xk,而且xk之间可以看成是相互独立的，因此要讨论x的分布就要讨论这些相互独k立的随机变量之和的分布.在概率论中，我们把研究在一定条件下，大量独立随机变量和的极限分布是正态分布的那些定理通常叫做中心极限定理.本节只介绍两个条件简单，也较常用的中心极限定理.定理4（同分布中心极限定理）设随机变量x1，x2，…,xn…相互独立，服从同一分布，且具有有限的数学期望和方差，e(xk)=?,d(xk)=(k=1,2,…)则随机变量2?xk-n?k=1n的分布函数对任意的x，满足n??nxk-n?k=1?n?x1?2??e-?xt22dt中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
中心极限定理在管理中的应用
中心极限定理在管理中的应用
孔祥凤
【期刊名称】《现代商业》
【年(卷),期】2009(000)004
【摘要】中心极限定理是刻画并不服从正态分布的一些独立的随机变量,但总和近似服从正态分布.本文用实例介绍中心极限定理在管理中的应用.
【总页数】2页(P65,64)
【作者】孔祥凤
【作者单位】西安邮电学院应用数理系,西安,710061
【正文语种】中文
【相关文献】
1.中心极限定理在商场管理中的应用 [J], 宋庆龙
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3.中心极限定理在管理中应用的探讨 [J], 朱学军
4.中心极限定理的几种常见形式及其在管理中的应用 [J], 朱学军
5.中心极限定理及其简单应用 [J], 赵明睿
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则随机变量序列ξ１，ξ２，Λ，ξ１０００ 相互独立，设商店应预备 ｍ６ 的二项分布，依题意
ｐ｛ξｋ＝１｝＝０．６ ｐ｛ξｋ＝０｝＝０．４ 所以，Ｘ 数学期望和标准方差为
Ｅ（ｘ）＝ｎｐ＝１０００ × ０．６ ＝ ６００，
由中心极限定理得
所以 ｍ＝５．６９ 千瓦。 这说明只要给这个部门供电 ５．６９ 千瓦，那么由于供电而影响 工作的概率就小于 ０．０１。 ３ ． 抽样检验问题 例 ３ 抽样检验产品质量时，如果发现次品个数多于 １０ 个，则 拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为 １０％，问至少应该抽 取多少只检查，才能保证拒绝该产品的概率达到 ０．９？ 解：设至少应该抽取 ｍ 件产品，ξ为其中的次品数，又设
，
Ｅ（ξｉ）＝１ × ０．３ ＋ １．２ × ０．２ ＋ １．５ × ０．５ ＝ １．２９ Ｄ（ξｉ）＝１２ × ０．３＋１．２２ × ０．２ ＋ １．５２２ × ０．５ ＝ １．７１３ 设 Ｙ 为全天蛋糕的收入，则 Ｙ ＝ξ１ ＋ξ２ ＋Λ＋ξ３００ 由中心极限定理知
近似服从 Ｎ（０，１） 从而 Ｐ（Ｙ ≥ ４００）＝ １－Ｐ（Ｙ ＜ ４００）
则
，由于随机变量ξｉ 的数学期望和方差为
Ｅ ξｉ＝１０％， Ｄ ξｉ ＝ ｐ（１－ｐ）＝０．１ × ０．９＝０．０９ 所以ξ的数学期望 Ｅ（ξ）＝ｎＥ ξｉ＝０．１ｎ；方差 Ｄ（ξｉ）＝０．０９ｎ 由中心极限定理得
＝ ０．２３８３５ （２）设 Ｘｉ 为“售出价格为 １．２（元）的蛋糕的个数” ｉ＝１．２，Λ， ３００。则｛Ｘｉ｝是独立且同分布的随机变量序列，
Ｘｉ 的分布律为
Ｅ（Ｘｉ）＝０ × ０．８＋１ × ０．２ ＝ ０．２ Ｄ（Ｘｉ）＝０２ × ０．８＋１２ × ０．２ ＝ ０．２ 设 Ｚ 为当天售出价格为 １．２ 元的蛋糕数 则 Ｚ ＝ Ｘ１＋Ｘ２＋ Λ＋ Ｘ３００ 由中心极限定理知
近似服从 Ｎ（０，１）
从而 Ｐ（Ｚ ＞ ６０）＝ １－Ｐ（Ｚ ≤ ６０）
一、常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有许多个中心极限定理，限于篇幅，这 里只介绍Ｄｅ Ｍｏｉｖｒｅ－Ｌａｐｌａｃｅ极限定理和独立同分布中心极限定理． 他们的内容简述如下： １．Ｌｉｎｄｅｂｅｒｇ－Ｌｅｖｙ 极限定理（独立同分布中心极限定理） 若ξ １， ξ ２， Λ， ξｎ， ξ是一列独立同分布的随机变量，且数学 期望 Ｅξｋ＝ａ，方差 Ｄ ξＫ＝ σ ２（σ＞０），ｋ＝１，２，……．则有
＝ ０．５ 中心极限定理在商业中的应用是很广泛的，以上实例只说明 了其在四个方面的应用。一般地，如果一个随机变量能够分解为相 互独立且同分布的随机变量序列之和的问题，则可以直接利用中 心极限定理进行分析；此外，在大样本的情况下，求未知非正态 分布的置信区间也同样可用中心极限定理解决。总之，在正确理 解中心极限定理的含义的同时，恰当的使用中心极限定理解决实 际问题有着极其重要的意义。
着的电器数 Ｘ 服从 Ｂ（１０， ）。假设供电 ｍ 千瓦才能以 ９９％ 的概率
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经营管理
保证用电，也就是 Ｐ（Ｘ ≤ ｍ）≥ ０．９９。
而随机变量 Ｘ 的数学期望
，方差
所以由中心极限定理知：Ｘ 近似服从正态分布
查正态分布表得
则｛ ξｉ ｝ 是独立且同分布的随机变量序列， 其分布律为
参考文献： ［ １ ］刘嘉琨等： 应用概率统计． 北京． 科学出版社，２ ０ ０ ４ ，１ ９ ５ － １６３ ［２］周少强：大数定律与中心极限定理及其在实际中的应用．广 西大学梧州分校学报，１９９４（１），３９－４３ ［３］陈永庆 杨桂元：经济数学基础学习指导与题解．北京．中国 物资出版社，１９９９，２２０－２２２ ［４］华天瑞：关于中心极限定理的数学建模．苏州职业大学学报， ２００２（３），２２－２４ ［５］魏宗舒等：概率论与数理统计教程，高等教育出版社，１９８３ 年 １０ 月第一版，２０８－２２４
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中心极限定理在商场管理中的应用
宋庆龙 唐山师范学院
［摘 要］ 文章通过实例介绍了中心极限定理在商品订购、电力供应、抽样检验、获利问题等方面的应用，说明了中心极限定理在 商场管理中的作用。
［关键词］ 中心极限定理 商场管理 应用
中心极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基 石之一。它确立了正态分布在各种分布中的首要地位。对其可 解释为：概率论中一切论述“一系列相互独立的随机变量的和 的极限分布为正态分布”的定理统称为中心极限定理。具体来 说，有些即使原来并不服从正态分布的一些随机变量，其总和 的分布也收敛于正态分布。这些随机变量是大量独立的因素， 其中每项因素的影响是微小的、均匀的，没有一项因素具有特 别突出的影响，则这些变量和的分布，可用中心极限定理来解 决。虽然中心极限定理反映的是当 ｎ →∞时，一系列相互独立的 随机变量 Ｘ１，Ｘ２，Λ，Ｘｎ，Λ的和的极限分布为正态分布，但在应 用中心极限定理解决问题时，只要 ｎ 充分大（一般 ｎ ≥ ３０，ｎ 越大 越好）我们就可以用中心极限定理作近似计算。它为解决实际问 题提供理论基础。
这个定理说明，在当 ｎ 很大时，随机变量
近似服从
标准正态分布 Ｎ（０，１）。 ２．Ｄｅ Ｍｏｉｖｒｅ－Ｌａｐｌａｃｅ 极限定理 设随机变量ξｎ 服从二项分布 Ｂ（ｎ，ｐ），对任意的实数 ｘ，都有
这个定理说明二项分布的极限分布是正态分布，因此 充分 大时，
二、中心极限定理的应用 中心极限定理指出：如果一个随机现象由众多的随机因素所引 起，其中每一因素在总的变化里起着不大显著的作用，就可以推
由于 ｎ 充分大时，
所以，
即
查标准正态分布表得
解得 ｎ ≥ １４７，所以至少应检验 １４７ 件产品，才能保证拒绝该 产品的概率达到 ０．９。 ４ ． 获利问题 例４商场中的食品摊位有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋 糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取１ （元）、１．２（元）、１．５（元）各个值的概率分别为 ０．３、０．２、０．５．若 售出３００只蛋糕．（１）求收入至少４００（元）的概率；（２）求售出价格为 １．２（元）的蛋糕多于 ６０ 只的概率。 解：（１）设ξｉ 为售出的第 ｉ 只蛋糕的价格，ｉ＝１，２，…３００。
断描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布。所以如果
要求随机变量之和 Ｘｋ落在某一区间上的概率，只要把这个和标
准化，然后用正态分布做近似计算即可。下面阐述一下中心极限 定理在商场管理中的应用。
１ ． 商品订购问题 例 １某商店负责供应某地这 人的商品，某种商品在一段时 间 内 每 人 需 用 一 件 的 概 率 为 ，假 定 在 这 段 时 间 每 个 人 购 买 与 否彼此独立，问商店应备多少件这种商品才能以 ９９．７％的概率 保证不脱销？ 解：设每个人购买与否为随机变量ξｋ，则
查标准正态分布表得
故 ｍ＝６４３ 件 因此商店应至少预备 ６４３ 件这种产品才能以 ９９．７％ 的概率保 证不脱销。 ２ ． 电力供应问题 例 ２ 商店某部有 １０ 台同型号的电器，每台电器开动时需用电 力 １ 千瓦。每台电器开停可理解为处于随机状态，且相互独立，如 果每台电器开着的概率为四分之一。问至少应供应这批电器多少 电力，才能有 ９９％ 的把握保证这批电器都能正常工作？ 解：将一台电器是否工作视为一次试验，则 １０ 台电器中工作