常见优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
su优化模型的方法
su优化模型的方法优化模型是指通过改进和调整模型的参数和结构，使得模型能够更好地拟合数据和提高预测性能的过程。
以下是几种常用的优化模型方法：1.参数调整：模型中的参数是可以进行调整的，通过改变参数的数值可以使得模型更好地拟合数据。
比如，可以调整学习率、正则化参数、批量大小等。
2.结构调整：模型结构对模型的性能有着直接的影响，可以通过改变模型的结构来提高模型的表达能力。
比如，可以增加模型的层数、调整网络的宽度、改变激活函数等。
3.特征工程：特征工程是指通过对原始数据进行转换、聚合、选择等操作，提取出更有用的特征。
通过合适的特征工程可以使得模型更容易学到有用的模式。
常见的特征工程方法包括：特征选择、多项式特征扩展、特征交叉等。
4.数据增强：数据增强是指通过对训练数据进行各种变换和扩充，生成更多的训练样本。
数据增强可以提高模型的泛化能力和鲁棒性，减少过拟合。
常见的数据增强方法包括：翻转、旋转、缩放、裁剪等。
5. 集成学习：集成学习是指将多个模型的预测结果进行整合，提高模型的预测性能。
常见的集成学习方法包括：Bagging、Boosting、Stacking等。
通过合理选择集成学习方法可以进一步提高模型的性能。
6.模型评估和选择：选择合适的评估指标可以帮助我们更好地衡量模型的性能，并选择最优的模型。
常见的评估指标包括：准确率、精确率、召回率等。
通过对不同模型进行评估和选择可以帮助我们找到最优的模型。
7.模型调参：模型中的参数非常多，通过对这些参数进行调优可以进一步提高模型的性能。
常见的模型调参方法包括：网格、随机、贝叶斯优化等。
通过合理的调参方法可以帮助我们找到最优的模型参数。
8.模型集成：将多个模型的预测结果进行加权平均或投票可以进一步提高模型的预测性能。
模型集成可以通过减小方差、提高泛化能力来提高模型的表现。
9.迁移学习：迁移学习是指将已经训练好的模型应用到新的任务中。
通过迁移学习可以利用已有模型的知识，减少对新任务的训练数据需求，提高模型的性能。
04章组合优化模型
04章组合优化模型组合优化模型是指在给定一组有限资源的情况下，通过选择和组合这些资源，以达到其中一种目标的问题。
这一类模型广泛应用于供应链管理、制造业生产优化和物流网络设计等领域。
本文将介绍几种常见的组合优化模型，并分析其应用。
一、背包问题背包问题是最基本的组合优化问题之一、背包问题可以描述为在给定一组物品和一个固定容量的背包的情况下，如何选择物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以有多种变形，如01背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。
例如，假设有一个容量为C的背包，和n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。
目标是在背包容量限制下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
背包问题可以通过动态规划算法求解。
定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些放入容量为j的背包中所能达到的最大总价值。
背包问题的状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)二、旅行商问题旅行商问题是一个经典的组合优化问题，也是一个NP-hard问题。
旅行商问题可以描述为在给定一组城市和每对城市之间的距离，如何找到一条最短的路径，使得每个城市只访问一次，并且最终回到起始城市。
旅行商问题可以通过深度优先、分支定界算法和遗传算法等方法求解。
尽管求解旅行商问题的确切解决方案是困难的，但通过使用近似算法和启发式算法，可以在合理的时间内得到较好的解。
三、作业调度问题作业调度问题是指在给定一组作业和一组机器的情况下，如何安排作业在机器上执行，以最大程度地减少完成所有作业的总时间。
作业调度问题可以通过贪心算法和动态规划算法求解。
贪心算法可以按照一些优先级规则对作业进行排序，并依次将作业分配给空闲的机器，直到所有作业都被分配完为止。
动态规划算法可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个作业在j个机器上执行的最小总时间。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
典型优化问题的模型与算法
典型优化问题的模型与算法一、引言优化问题在各种领域中都有着广泛的应用，如生产管理、物流配送、资源分配、财务预算等。
为了解决这些实际问题，我们需要建立合适的数学模型，并设计有效的算法来求解。
本文将介绍一些典型的优化问题的模型与算法。
二、线性规划问题线性规划问题是一种常见的优化问题，用于求解一组线性目标函数和线性约束条件的最优解。
常用的算法包括单纯形法、分支定界法等。
模型：设有n个变量，其中n≥1，要求找到一组变量x的值，使得目标函数的值最大（或最小），同时满足一系列线性不等式约束条件。
算法：根据目标函数和约束条件，构建线性规划问题的数学模型；采用合适的算法（如单纯形法）求解该模型，得到最优解。
三、整数规划问题整数规划问题是一种特殊的优化问题，要求变量必须是整数。
常用的算法包括分支定界法、割平面法等。
模型：设有n个变量，其中n≥1，要求找到一组变量的整数值，使得目标函数的值最大（或最小），同时满足一系列不等式约束条件，且某些变量必须取整数值。
算法：根据目标函数和约束条件，构建整数规划问题的数学模型；采用分支定界法等算法，将整数规划问题分解为一系列子问题，并逐步求解，最终得到最优解。
四、非线性优化问题非线性优化问题是最常见的优化问题之一，要求目标函数和约束条件均为非线性形式。
常用的算法包括梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。
模型：设有n个变量，其中n≥1，要求找到一组变量的值，使得目标函数的值最小（或最大），同时满足一系列非线性不等式约束条件。
算法：根据目标函数和约束条件，构建非线性优化问题的数学模型；采用梯度下降法、牛顿法等算法，逐步迭代优化目标函数，直到满足终止条件（如迭代次数或误差阈值）为止。
五、动态规划问题动态规划问题是一种特殊的优化问题，用于求解一系列决策过程中的最优解。
常用的算法包括记忆化搜索、最优子结构等。
模型：在给定的决策过程中，要求根据当前状态和可选动作选择最优动作，以最大化（或最小化）某一指标的值。
网络优化模 型与算法-V1
网络优化模型与算法-V1网络优化模型与算法随着互联网技术的不断发展，网络优化问题变得越来越重要。
无论是商业领域还是科研领域，网络优化都在扮演着重要的角色。
本文将重点介绍网络优化模型与算法。
一、网络优化模型网络优化模型是指将网络中的各个元素和关系用数学模型表示出来，并根据所要优化的目标给出相应的优化模型。
常见的网络优化模型有最小生成树模型、最短路模型、网络流模型等。
1. 最小生成树模型最小生成树模型是指在一个网络中找到一棵生成树，使得这个生成树的总权值最小。
在最小生成树模型中，边的权值代表着连接两个节点的代价。
经典的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
2. 最短路模型最短路模型是指在一个网络中找到一条路径，使得这条路径的总权值最小。
在最短路模型中，边的权值代表着从一个节点到另一个节点的距离或代价。
经典的最短路算法有Dijkstra算法和Floyd算法。
3. 网络流模型网络流模型是指在一个网络中找到一种流量分配方式，使得流量的总和最大或成本最小。
在网络流模型中，节点之间的流量代表着信息传递的速度或物质的流动量，边的容量代表着流量的上限。
经典的网络流算法有最大流算法和最小费用最大流算法。
二、网络优化算法网络优化算法是指利用数学模型和算法求解网络优化问题的方法。
不同的网络优化问题需要不同的算法。
本节将介绍一些常见的网络优化算法。
1. Prim算法Prim算法是用于求解最小生成树的一种贪心算法。
它从一个起点开始，每次找到与当前最小生成树距离最近的节点，将这个节点加入最小生成树中。
2. Kruskal算法Kruskal算法是用于求解最小生成树的一种贪心算法。
它将所有边按照权值从小到大排序，依次加入最小生成树中。
如果加入一条边会形成环，则舍弃这个边。
3. Dijkstra算法Dijkstra算法是用于求解最短路的一种贪心算法。
它从起点开始，每次找到距离起点最近的节点，并更新其它与该节点相邻的节点的距离。
投资组合优化的模型比较及实证分析
投资组合优化的模型比较及实证分析随着金融市场的不断发展和成熟，投资者的投资选择逐渐多样化。
而投资组合优化作为降低风险、提高收益的有效手段，受到了越来越多的关注。
在这篇文章中，我们将对比几种常见的投资组合优化模型，并实证分析其表现。
1. 经典的Markowitz模型Markowitz模型也被称为均值-方差模型，是投资组合优化模型的经典代表之一。
该模型的基本原理是在最小化投资组合的风险的同时，尽可能提高其收益。
因此，该模型需要在投资组合中选择多个资产，并极力实现投资组合的最优化。
具体来说，该模型需要求解出有效前沿的组合（即收益最高、风险最小的组合），以确定投资组合中各资产的权重和比例。
但是，该模型存在一个主要缺陷：其假设了收益率服从正态分布，而实际上收益率存在着长尾分布、异常值等复杂情况，因此该模型可能存在很多的偏差。
2. Black-Litterman模型Black-Litterman模型是基于Markowitz模型而开发的投资组合优化模型。
该模型对Markowitz模型的改进之处在于引入了主观观点（也称为信息预测）和全局最优化。
具体来说，该模型假设投资者不仅仅考虑收益和风险，还需要考虑经济学因素、行业变化等其他情况，而这些情况并不受到Markowitz模型的考虑。
Black-Litterman模型能够将这些信息预测和其他重要因素加入到投资组合选择中，并在保持风险最小化的同时最大化整个投资组合的效益。
3. 贝叶斯模型贝叶斯模型是一种基于贝叶斯统计理论而设计的投资组合优化模型。
贝叶斯理论认为，根据先验知识和新的经验结果，可以不断更新和改变对概率分布的信念和预测。
具体来说，该模型需要分别分析资产的收益率分布和投资者的收益率目标分布，并在这些基础上进行投资组合的优化。
与Markowitz模型的区别在于，贝叶斯模型使用了长期数据作为先验分布，可以在非正态的、短期收益数据的基础上建立更准确的预测。
4. SAA/TAA模型SAA/TAA模型是一种基于战略资产配置（SAA）和战术资产配置（TAA）的模型。
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型在现代社会中，优化问题是数学领域中非常重要的一个研究方向。
优化问题的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实中的各种问题，例如最小化成本、最大化利润、最优化生产、最优化调度、最优化投资等。
本文将从优化问题的定义、数学模型及其应用等方面进行阐述和探讨。
一、优化问题的定义优化问题是指在给定的限制条件下，寻找能使某一目标函数取得最优值的决策变量的问题。
这个目标函数可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
优化问题的求解过程可以通过数学方法来实现，例如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
二、优化问题的数学模型优化问题的数学模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。
1. 目标函数目标函数是优化问题中的一个重要概念，它描述了我们想要优化的目标，可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
在数学模型中，目标函数通常表示为：$$max f(x)$$或$$min f(x)$$其中，$x$ 是决策变量，$f(x)$ 是关于 $x$ 的目标函数。
2. 约束条件约束条件是指限制决策变量的取值范围，使其满足一定的条件。
在数学模型中，约束条件通常表示为：$$g_i(x) leq b_i$$或$$g_i(x) geq b_i$$其中，$g_i(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件，$b_i$ 是约束条件的上限或下限。
3. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，其取值范围受到约束条件的限制。
在数学模型中，决策变量通常表示为：$$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$$其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个决策变量的取值。
三、优化问题的应用优化问题的应用非常广泛，包括工业、经济、管理、军事等领域。
下面我们将以几个具体的例子来说明优化问题的应用。
1. 最小化成本在生产过程中，我们希望以最小的成本来生产产品。
这时，我们可以将生产成本作为目标函数，约束条件可以是生产量的限制、材料的限制等。
通过数学模型，我们可以求出最小化成本的生产方案，从而实现成本控制的目的。
常见优化模型范文
常见优化模型范文在机器学习和数据科学领域中，为了获取更好的模型性能和效果，常见的优化模型方法有很多。
以下是一些常见的优化模型方法，包括参数调整、特征选择、模型集成、数据清洗和转换等。
1. 参数调整：在机器学习算法中，有很多参数可以调整以获得更好的模型性能。
例如，对于支持向量机（SVM），可以调整正则化参数C和核函数参数gamma。
对于决策树算法，可以调整树的深度、叶子节点的最小样本数等。
通过使用交叉验证的方法，可以系统地尝试不同的参数组合，并选择效果最好的参数。
2.特征选择：在建立模型时，选择恰当的特征非常重要。
特征选择可以帮助提高模型的精度和泛化能力，并减少过拟合的风险。
常见的特征选择方法包括方差选择、相关系数选择、L1正则化等。
方差选择可以通过计算特征的方差来选择稳定性较高的特征；相关系数选择可以通过计算特征与目标变量之间的相关系数来选择与目标变量相关性较高的特征；L1正则化可以通过加入L1惩罚项来鼓励模型选择少量的重要特征。
3. 模型集成：模型集成是将多个模型的预测结果进行组合，以获得更好的整体性能。
常见的集成方法包括随机森林、Adaboost、梯度提升等。
这些方法使用不同的策略来组合多个模型，以弥补单个模型的不足。
例如，随机森林采用了多个决策树进行集成，通过投票或平均的方式来确定最终结果；Adaboost则通过多轮迭代，对那些分类错误的样本增加权重，从而训练出多个分类器，最终通过加权平均的方式得到最终结果。
4.数据清洗和转换：在建立模型之前，对原始数据进行清洗和转换是非常重要的。
常见的数据清洗方法包括处理缺失值、处理异常值、处理重复值等。
缺失值的处理可以通过删除包含缺失值的样本，或者通过填充缺失值进行处理；异常值的处理可以通过删除异常值或者使用替代值进行处理；重复值的处理可以通过删除重复值来进行处理。
此外，数据转换也是常见的优化模型的方法，例如特征缩放、特征编码等。
特征缩放可以通过将数值特征缩放到一些范围内，以保证不同尺度的特征对模型的影响权重相当；特征编码可以将非数值特征转换为数值特征，以便模型能够处理。
简单的优化模型
04
模拟退火模型
定义和概述
1
模拟退火是一种优化算法，它通过引入类似于 物理中的退火过程来尝试找到问题的全局最优 解。
2
在模拟退火中，我们开始从一个初始解，并在 每一步都随机选择一个邻域内的解，然后比较 新旧解的优劣。
3
如果新解更好，我们接受新解；如果新解更差 ，我们以一个小的概率接受新解，这个概率随 着时间的推移而逐渐降低。
在定义了状态和状态转移方程之 后，需要确定边界条件。边界条 件是问题的初始条件或结束条件
04
计算最优解
在确定了边界条件之后，就可以使 用递归或迭代的方法来计算最优解 。递归方法是从问题的最后一步开 始向前推导，直到找到最优解。迭 代方法是通过多次迭代来逐渐逼近 最优解。
动态规划的应用案例
背包问题
背包问题是动态规划中最经典的问题之一。在这个问题中，给定一组物品，每个物品都有自己的重量 和价值。目标是选择一些物品，使得背包的总重量不超过背包的容量，同时最大化背包中物品的总价 值。通过使用动态规划，可以找到最优解，避免陷入局部最优解的陷阱。
模拟退火的应用案例
在旅行商问题（TSP）中，模 拟退火可以找到最优路径，避 免陷入局部最优解。
在生产调度问题中，模拟退火 可以优化生产计划，降低生产 成本。
在图像处理中，模拟退火可以 应用于图像恢复和去噪等问题 。
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THANKS
概述
线性规划模型在管理科学、社会科学、生物科学等领域都有 广泛的应用，它可以帮助决策者解决资源分配、生产计划、 物流调度等问题。
线性规划的求解方法
定义
线性规划的求解方法包括图解法、 单纯形法、对偶单纯形法等。
图解法
图解法是一种直观的线性规划求解 方法，它通过在坐标系中绘制可行 域和目标函数来求解最优解。
简单的优化模型
智能优化算法
对于难以用数学规划方法求解的混合 型优化问题，可以考虑采用智能优化 算法，如遗传算法、粒子群算法、模 拟退火算法等。这些算法通过模拟自 然界的演化过程，利用群体搜索的方 式寻找最优解。
05
应用案例：简单的生产计 划问题
问题描述
01
02
03
生产计划问题
某制造企业需要制定一周 的生产计划，以满足客户 需求并最大化利润。
客户需求限制
每天的生产量需满足客户需求，超过需求会造成库存 积压，低于需求会损失销售机会。
库存水平限制
周一至周日每天的库存水平不能低于设定的最低库存 水平，也不能高于设定的最高库存水平。
建立数学模型
原材料供应限制
每天的生产量需考虑原材料的供应情况 ，超过供应量会造成原材料短缺，低于 供应量会影响生产计划。
在线性优化模型中，我们通常用线性不等式、等式约束以及线性目标函数来表示问 题。
线性优化模型在现实生活中的许多场景中都有广泛的应用，如资源分配、成本效益 分析等。
线性优化模型的特点
线性优化模型的一个显著特点是它的严格性，即所有的约束条件和目标函数都是 线性的。
线性优化模型的另一个特点是它的可解性，即对于给定的线性优化问题，我们可 以通过特定的算法在有限的时间内找到最优解。
02
简单整数优化模型
定义与概念
定义
简单整数优化模型是指在约束条件下，求解整数变量的最优化问题。整数变量是指取值只能为整数的 变量。
概念
整数优化模型是数学优化领域的一个重要分支，其主要目标是找到满足一定约束条件下，整数变量的 最优解。这个最优解通常是一个或多个整数变量的组合，可以最大化或最小化某个目标函数。
深度学习是一种基于神经网络 的机器学习方法，具有强大的 表示能力。它可以用于许多复 杂的优化问题，如图像识别、 自然语言处理等。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
数学模型的优化方法
数学模型的优化方法数学模型是指用数学表达语言对实际问题进行抽象和描述的工具。
通过数学模型，我们可以对问题进行量化分析，提出合理的决策和解决方案。
然而，在实际应用中，数学模型常常存在着复杂的约束条件和多个决策变量，因此需要采用优化方法对数学模型进行求解，以得到最优的决策结果。
本文将介绍几种常见的数学模型的优化方法。
I. 线性规划线性规划是一种常见的数学模型优化方法，适用于目标函数和约束条件均为线性的情况。
线性规划试图寻找一个线性模型，使目标函数达到最大或最小值。
线性规划问题可以表达为以下形式：$\max\limits_{x}\ \mathbf{c}^T\mathbf{x}$$s.t.$$\begin{align*}\mathbf{A}\mathbf{x} & \leq \mathbf{b} \\\mathbf{x} & \geq \mathbf{0}\end{align*}$其中，$\mathbf{c}$为目标函数的系数向量，$\mathbf{A}$为约束条件的系数矩阵，$\mathbf{b}$为约束条件的右侧常数向量，$\mathbf{x}$为决策变量向量。
II. 非线性规划非线性规划是一类目标函数和约束条件均为非线性的优化问题。
非线性规划相比线性规划更具挑战性，但在实际中有广泛应用。
非线性规划问题可以表达为以下形式：$\max\limits_{x}\ f(\mathbf{x})$$s.t.$$\begin{align*}g_{i}(\mathbf{x})&\leq 0, \ i = 1,2,\ldots,m \\h_{j}(\mathbf{x})&= 0, \ j = 1,2,\ldots,p\end{align*}$其中，$f(\mathbf{x})$为目标函数，$g_{i}(\mathbf{x})$为不等式约束条件，$h_{j}(\mathbf{x})$为等式约束条件，$\mathbf{x}$为决策变量向量。
简单的优化模型
提高产品质量
通过合理的生产计划安排，可以减 少生产过程中的缺陷和错误，提高 产品质量。
缩短交货期
合理安排生产计划，可以按时完成 生产任务，缩短交货周期。
运输优化
总结词
降低运输成本
选择合适的运输方式
根据实际情况选择最合适的运输方式，可以 降低运输成本。
优化运输路径
合理安排装载
通过优化运输路径，可以减少运输里程，从 而降低运输成本。
结果分析
通过求解，得到最优解：x1 = 20，x2 = 60。
即产品A的最优生产量为20单位，产品B的最优 生产量为60单位。 最大利润为20 × 10 + 60 × 15 = 1100元。
THANKS
动态规划模型
动态规划模型是一类特殊的优 化模型，通常用于求解多阶段 决策过程的最优解。
动态规划模型的基本思想是将 多阶段决策过程划分为多个单 阶段决策过程，并保存中间结 果，避免重复计算。
动态规划模型通常用于求解如 背包问题、最长公共子序列、 0/1 背包问题等经典问题。
整数规划模型
整数规划模型是一类特殊的优化模型 ，其要求决策变量为整数。
简单的优化模型
汇报人：文小库 xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 常见的优化模型 • 优化模型的数学基础 • 优化模型的应用 • 优化模型的软件实现 • 简单的优化模型案例分析
01
引言
定义和背景
优化模型
指在一组约束条件下，通过改变决策变量的取值，使目标函 数达到最优解的问题。
简单优化模型
指只涉及一个或少数几个决策变量，约束条件比较简单，求 解方法相对直观的优化问题。
Gurobi
高效求解
01
优化模型
例3 min f ( x) (4x 2x 4x1x2 2x2 1) e
2 1 2 2
x1
1.编写M文件 fun1.m:
function f = fun1 (x) f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
2.输入M文件wliti3.m如下:
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval 运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形 的边长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）[x，fval]= fminbnd（fun,x1,x2）
x1 x x2
例 1 求 x = 2e
x
sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
5） 进一步设
x( p) a bp, a, b 0
即假设它是线性函数。 下面，请同学们确定最优价格，建立数学模型并求解。
问题
2、优化模型-产量的最佳安排
某厂生产一种产品有甲、乙两个品牌，讨论在产销 平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大。
模型假设
根据对该厂情况的大量调查，可做出以下假设：
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
常见优化模型范文
常见优化模型范文在机器学习和数据科学领域，优化模型是指通过改进模型的性能和效率来提高预测准确度的过程。
常见的优化模型方法包括参数调整、特征选择、数据预处理、模型集成和深度学习等。
1. 参数调整（Hyperparameter Tuning）：模型的参数通常是由用户手动设置的，不同的参数组合可能会对模型的性能产生显著影响。
通过尝试不同的参数组合，可以确定最佳的参数组合，进而优化模型的性能。
2. 特征选择（Feature Selection）：在建模过程中，往往存在大量的特征（变量），其中一些特征可能对模型的性能没有显著贡献甚至可能带来噪声。
特征选择是指从所有可能特征中选择出最重要的特征，以减少模型的复杂性并提高稳定性。
3. 数据预处理（Data Preprocessing）：数据预处理是指在建模之前对原始数据进行清洗、转换和规范化等操作。
常见的数据预处理方法包括缺失值处理、异常值处理、标准化、归一化等。
4. 模型集成（Model Ensemble）：模型集成是指将多个模型的预测结果进行组合以获得更好的性能。
常见的模型集成方法包括投票法、平均法、堆叠法等。
5. 深度学习（Deep Learning）：深度学习是一种机器学习方法，通过模拟人脑中的神经网络结构来构建模型。
深度学习模型通常具有多个隐藏层，并且大部分情况下需要大量的训练数据和计算资源。
6. 梯度下降（Gradient Descent）：梯度下降是一种优化算法，通过计算目标函数的梯度来迭代地调整模型的参数。
梯度下降在神经网络和线性回归等模型中被广泛应用。
7. 正则化（Regularization）：正则化是一种惩罚高复杂度模型的方法，以避免过拟合。
常见的正则化方法包括L1正则化、L2正则化等。
8. 交叉验证（Cross Validation）：交叉验证是一种评估模型性能的方法，通过将数据集划分为训练集和验证集，在多个数据划分上进行训练和验证，以减少模型对特定数据样本的依赖。
优化模型
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20
最优化模型
主讲人
张兴永
1
最优化模型
在数学建模竞赛中，经常会遇到有关最优化问题， 下面介绍几个简单的最优化模型。 最优化模型是在解决实际问题中应用最广泛的模 型之一，它涉及面广、内容丰富，且随着计算机的发 展，解决问题的范围越来越宽。一般地，人们做的任 何一件事情，小的如日常生活、学习工作等，大的如 工农业生产，国防建设及科学研究等，为了达到预先 设想的目的，都要做计划，选择好的方案，进行优化 处理。最优化模型主要有线性规划模型、整数规划模 型、非线性规划模型、动态规划模型等。
这样把多目标规划变成一个目标的线性规划，下 面给出三个单目标优化模型：
24
1、在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样， 若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a， 可找到相应的投资方案。 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数：Q=max (ri pi ) xi i 0 约束条件： q x ≤a
9
问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
简述优化模型的标准形式、类别
简述优化模型的标准形式、类别优化模型是数学规划领域中的一个重要概念，它用于描述在给定的约束条件下求解最优解的问题。
优化问题可以分为线性优化问题和非线性优化问题两大类，基本数学表达形式通常是用标准形式或一般形式来描述的。
标准形式指的是对优化问题进一步的整理和限定，使得问题的结构更加明确和规范化。
标准形式的优化问题通常包括以下几个要素：目标函数、约束条件、决策变量的约束条件和目标的限制条件。
下面将详细介绍并讨论优化模型的标准形式及其类别。
1.线性规划的标准形式线性规划是优化模型中最常见的一种类型，它的目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划的标准形式可以表示为：求解：minimize (c^T * x)subject to A * x <= bx >= 0其中，c是长度为n的目标函数系数向量，x是决策变量向量，A 是约束条件的系数矩阵，b是约束条件右侧常数项向量。
2.整数规划的标准形式整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划的标准形式可以表示为：求解：minimize (c^T * x)subject to A * x <= bx >= 0x为整数其中，c、A、b的定义与线性规划的标准形式相同，但要求决策变量x为整数。
3.非线性规划的标准形式非线性规划是优化模型中比较复杂的一种类型，它的目标函数或约束条件包含非线性关系。
非线性规划的标准形式可以表示为：求解：minimize f(x)h(x) = 0其中，f(x)是目标函数，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束，x是决策变量。
4.线性二次规划的标准形式线性二次规划是线性规划的一种扩展形式，它的目标函数中包含二次项。
线性二次规划的标准形式可以表示为：求解：minimize (1/2 * x^T * Q * x + c^T * x)subject to A * x <= bx >= 0其中，Q是一个正定矩阵，x是决策变量。
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命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq, beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq, beq, VLB，VUB, X0）
注意：[1] 若没有等式约束: AeqXbeq, 则令Aeq=[ ], beq=[ ].
问题一 加工费用最低
问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的 要求，又使加工费用最低？
车 床单 位 工 件 所 需 加 工 台 时 数 单 位 工 件 的 加 工 费 用 可 用 台 类 型 工 件 1 工 件 2 工 件 3 工 件 1 工 件 2 工 件 3 时 数
甲 0.4 1.1 1.0 13
9
10 800
乙 0.5 1.2 1.3 11 12
8 900
解 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，
常见优化模型
东北大学 应用数学
王琪
常见优化模型
• 线性规划 • 整数规划 • 非线性规划
线性规划
线性规划的标准形式： min z = f (x)
x
s.t. gi (x) 0 （ i 1,2,, m)
其中目标函数 f (x) 和约束条件中 gi (x) 都是线性函数
可以采用的解决方法：单纯性法 Matlab函数：linprog（）
i
总的风险越小，总体风险可用投资的 si 中最大的一个风险来度量。
购买 s 时要付交易费，(费率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp )，当购买额不超过给定值 u 时，交易费按购买 u 计
i
i
i
i
算。另外，假定同期银行存款利率是 r0 ，既无交易费又无风险。（ r0 =5%）
已知 n=4 时相关数据如下：
si
ri （%）
qi （%）
3．总体风险用投资项目 s 中最大的一个风险来度量； i
4．n 种资产 S 之间是相互独立的；
i
5．在投资的这一时期内, ri,pi,qi，r0 为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 ri,pi,qi 影响，不受其他因素干扰。
符 号 规 定 ： S i — — 第 i 种 投 资 项 目 ， 如 股 票 ， 债 券 r i , p i , q i - - - - 分 别 为 S i 的 平 均 收 益 率 , 风 险 损 失 率 ， 交 易 费 率
900
用MATLAB优化工具箱解线性规划
1、模型： min z=cX
s.t. AXb
命令：x=linprog（c，A，b）
2、模型：min z=cX
s.t. AXb AeqXbeq
命令：x=linprog（c，A，b，Aeq, beq）
注意：若没有不等式：AXb存在，则令A=[ ]，b=[ ].
3、模型：min z=cX
[2]其中X0表示初始点
4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.
例 1 m ax z0.4x10.2x820.3x230.7x240.6x450.6x6 s.t. 0.0x110.0x120.0x130.0x340.0x350.0x36850 0.0x210.0x54700 0.0x220.0x55100 0.0x330.0x86900 xj 0 j1,2, 6
r u i - - - - S i 的 交 易 定 额 0 - - - - - - - 同 期 银 行 利 率
x i - - - - - - - 投 资 项 目 S i 的 资 金 a - - - - - 投 资 风 险 度 Q - - - - 总 体 收 益 Δ Q - - - - 总 体 收 益 的 增 量
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb)
投资的收益和风险
一、问题提出
市场上有 n 种资产 si （i=1,2……n）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一个时期
的投资。这 n 种资产在这一时期内购买 s 的平均收益率为 r ，风险损失率为 q ，投资越分散，
i
i
s.t.1
1
1
x1 x2
x3 120
x3
x3 20
解: 编写M文件xxgh2.m如下：
30 x1 0 x2 50 20 x3
c=[6 3 4];
A=[0 1 0];
b=[50];
Aeq=[1 1 1];
beq=[120];
vlb=[30;0;20];
pi （%） ui （元）
S1
28
2.5
1
103
S2
21
1.5
2
198
S3
23
5.5
4.5
52
S4
25
2.6
6.5
40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行 生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额 M 相当大,为了便于计算，假设 M=1； 2．投资越分散，总的风险越小；
解 编写M文件xxgh1.m如下：
c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];
A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];
b=[850;700;100;900];
在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立 以下线性规划模型：
min z 13x1 9x2 10 x3 11x4 12 x5 8x6
x1 x4 400
x2
x5
600
s.t.
0x.34x1x6
500 1.1x2
x3
800
0.5
x4
xi 0,i
1.2x5 1.3x6 1,2,,6
Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
例 2 min z 6x1 3x2 4x3 s.t. x1 x2 x3 120 x1 30 0 x2 50
x1
min z (6 3 4) x2