清华大学2017年暑期学校测试真题

清华大学2017年暑期学校测试真题

1. 已知()()()2

2

1ax f x =

+b,g x =f x x c

-+，其中a ，b ，c 为已知参数，且a≠0，c>0。则以下判断中正确的有______。 ①f(x)关于点(0，b )成中心对称； ①f(x)可能在(0，+∞)上单调递增； ①f(x)有界；

①g(x)=0的解可能为{±1，±2}

【解答】① 函数f(x)的定义域为R ，且()()2f x +f -x b =， 于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。 ① 当x > 0时，有()a f x b c x x

=

++，

于是函数f(x)

在x =

①由于(),

0,0b x a

f x b x c x x =⎧⎪⎪=⎨+≠⎪+⎪⎩

，

于是f(x)

的值域为||||b a b a ⎡-⋅+⋅⎣，进而f(x)为有界函数，命题正确。

①方程()0g x =即()1f x =±，它的解集关于原点对称，于是b =0，若g(x)=0的解为x=±1，±2，则关于x 的方程2

0x ax c -+=的解集为{1，2}或{-1，-2}，从而

()()

2233,22

x x

f x =

f x =x x -++和满足要求，命题正确。 772和f(x)=x+2满足要求，命题正确，如图

2. 已知无穷数列{}n a 满足11

n

n+n a a =

a +，则1a 的取值范围是______。 【解答】情形一1a =0，则n a =0(n①N*)，符合题意。

情形二1a ≠ 0，则n a ≠0(n①N*)，根据题意，

111

(1)n n

n n a a +-+=-， 于是

1

11

1n n a a -=-， 因此1

11

1n a n a =

+-，

于是，*11

,a k N k

≠-

∈。 综上所述，1a 的取值范围是*1|,N R x x k x k ⎧⎫≠-∈∈⎨⎬⎩

⎭

，

3. 已知()2

2

21f x =x x a --+，若存在0x ，使得(){}

00[,2]|0x x x f x +⊆≤，则a 的取

值范围是______。

【解答】根据题意，关于x 的方程2

2

21=0x x a --+

的两根之差的绝对值不小于2

2≤，解得a 的取值范围是[-1，1] 【解答】[-1，1]

4. 黑板上写有1，2，…，2017这2017个数，每次操作任意擦去其中的某三数a ，b ，c ，写上a+b+c 除以11的余数，则黑板上最后剩下一个数的所有可能为______。

【解答】由于1+2+…+2017模11的余数为10，于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必然为10，必然在集合{}1110|0182m m +≤≤中，容易构造最后一个数为10，21，32，…，2012中的任意一个数的例子

5. 已知双曲线22

221x y a b

-=，2F 为其右焦点，O 为坐标原点，若左支上存在一点P 使得2F P

中点M 满足1

||8

OM =

c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是______。 【解答】设1F 为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，1

1

|PF |2|OM|=4

c =

于是

1

04

c c a ≥-> 解得3

14

c a <≤

因此双曲线的离心率的取值范围是31,4⎛⎤ ⎥⎝⎦

，

6. 曲线C 3=，以下判断中正确的有______。 ①曲线C 过点(0，0)；

①曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2] ①曲线C 关于x 轴对称；

①P 为曲线C 上的动点，A ，B 的坐标为(0，1)和(0，-1)，则①PAB 的面积的最大值为3

2

【解答】记(),f x y =

①由于f (0，0)=1≠3，于是点(0，0)不在曲线C 上，命题错误；

①根据题意，23|1|y =

=-，于是

22y -≤≤，

等号当x = 0时取得，结合连续性可知曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]，命题正确；

①由于()()f x y =f x -y ，，，于是C 关于x 轴对称，命题正确；

①根据①，点P 位于(0，2)时，①PAB 的边AB 上的高取得最大值为2，此时①PAB 面积取得最大值为2，命题错误。

7. 已知空间一球，SC 为其直径且|SC|=4，A ，B 为球上两点，满足|AB|=，且

①ASC=①BSC=30°，则四面体S -ABC 的体积为______。 【解答】由于SC 为球的直径，于是①SAC=①SBC=90° 于是①SAC 与①SBC 全等，进而SA=SB ， CA=CB

设AB 的中点为M ，则SM①AB ，CM①AB 推出AB①平面SMC ，所以AB①SC 。 在①SAC 中作AH①SC 于点H ，连结BH ，则SC①平面ABH 。因此

11

4334

S -ABC V =ABH SC ⋅⋅=⋅=8. 已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。

【解答】 3

如图，直角三角形有①PAD ，①PDC ，①PAB

9. 已知整数a ，b ，c 为三角形的三边长，其中a≤b≤c ，且b =10，则符合条件的(a ，b ，c )的个数为______。 【解答】55

根据题意a ≤ 10 ≤ c < a +10，于是符合条件的(a ，b ，c )的个数为10

1

55a a ==∑。

10. 在一个44⨯的表格中填入8个1，使得任意每行以及每列都有2个1，则不同的填法数为______。

【解答】把每行的填法记为 第一类：A ：1100，A ：0011 第二类：B ：1010，B ：0101 第三类：C ：1001，C ：0110

情形一：4行的填法均为间一类，则必然为XXXX ，有2

4318C ⋅=种填法。