清华大学2017年暑期学校测试真题

清华大学2017年暑期学校测试真题1. 已知()()()221ax f x =+b,g x =f x x c-+，其中a ，b ，c 为已知参数，且a≠0，c>0。

则以下判断中正确的有______。

①f(x)关于点(0，b )成中心对称； ①f(x)可能在(0，+∞)上单调递增； ①f(x)有界；①g(x)=0的解可能为{±1，±2}【解答】① 函数f(x)的定义域为R ，且()()2f x +f -x b =， 于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。

① 当x > 0时，有()a f x b c x x=++，于是函数f(x)在x =①由于(),0,0b x af x b x c x x =⎧⎪⎪=⎨+≠⎪+⎪⎩，于是f(x)的值域为||||b a b a ⎡-⋅+⋅⎣，进而f(x)为有界函数，命题正确。

①方程()0g x =即()1f x =±，它的解集关于原点对称，于是b =0，若g(x)=0的解为x=±1，±2，则关于x 的方程20x ax c -+=的解集为{1，2}或{-1，-2}，从而()()2233,22x xf x =f x =x x -++和满足要求，命题正确。

772和f(x)=x+2满足要求，命题正确，如图2. 已知无穷数列{}n a 满足11nn+n a a =a +，则1a 的取值范围是______。

【解答】情形一1a =0，则n a =0(n①N*)，符合题意。

情形二1a ≠ 0，则n a ≠0(n①N*)，根据题意，111(1)n nn n a a +-+=-， 于是1111n n a a -=-， 因此1111n a n a =+-，于是，*11,a k N k≠-∈。

综上所述，1a 的取值范围是*1|,N R x x k x k ⎧⎫≠-∈∈⎨⎬⎩⎭，3. 已知()2221f x =x x a --+，若存在0x ，使得(){}00[,2]|0x x x f x +⊆≤，则a 的取值范围是______。

【解答】根据题意，关于x 的方程2221=0x x a --+的两根之差的绝对值不小于22≤，解得a 的取值范围是[-1，1] 【解答】[-1，1]4. 黑板上写有1，2，…，2017这2017个数，每次操作任意擦去其中的某三数a ，b ，c ，写上a+b+c 除以11的余数，则黑板上最后剩下一个数的所有可能为______。

【解答】由于1+2+…+2017模11的余数为10，于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必然为10，必然在集合{}1110|0182m m +≤≤中，容易构造最后一个数为10，21，32，…，2012中的任意一个数的例子5. 已知双曲线22221x y a b-=，2F 为其右焦点，O 为坐标原点，若左支上存在一点P 使得2F P中点M 满足1||8OM =c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是______。

【解答】设1F 为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，11|PF |2|OM|=4c =于是104c c a ≥-> 解得314c a <≤因此双曲线的离心率的取值范围是31,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，6. 曲线C 3=，以下判断中正确的有______。

①曲线C 过点(0，0)；①曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2] ①曲线C 关于x 轴对称；①P 为曲线C 上的动点，A ，B 的坐标为(0，1)和(0，-1)，则①PAB 的面积的最大值为32【解答】记(),f x y =①由于f (0，0)=1≠3，于是点(0，0)不在曲线C 上，命题错误；①根据题意，23|1|y ==-，于是22y -≤≤，等号当x = 0时取得，结合连续性可知曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]，命题正确；①由于()()f x y =f x -y ，，，于是C 关于x 轴对称，命题正确；①根据①，点P 位于(0，2)时，①PAB 的边AB 上的高取得最大值为2，此时①PAB 面积取得最大值为2，命题错误。

7. 已知空间一球，SC 为其直径且|SC|=4，A ，B 为球上两点，满足|AB|=，且①ASC=①BSC=30°，则四面体S -ABC 的体积为______。

【解答】由于SC 为球的直径，于是①SAC=①SBC=90° 于是①SAC 与①SBC 全等，进而SA=SB ， CA=CB设AB 的中点为M ，则SM①AB ，CM①AB 推出AB①平面SMC ，所以AB①SC 。

在①SAC 中作AH①SC 于点H ，连结BH ，则SC①平面ABH 。

因此114334S -ABC V =ABH SC ⋅⋅=⋅=8. 已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。

【解答】 3如图，直角三角形有①PAD ，①PDC ，①PAB9. 已知整数a ，b ，c 为三角形的三边长，其中a≤b≤c ，且b =10，则符合条件的(a ，b ，c )的个数为______。

【解答】55根据题意a ≤ 10 ≤ c < a +10，于是符合条件的(a ，b ，c )的个数为10155a a ==∑。

10. 在一个44⨯的表格中填入8个1，使得任意每行以及每列都有2个1，则不同的填法数为______。

【解答】把每行的填法记为 第一类：A ：1100，A ：0011 第二类：B ：1010，B ：0101 第三类：C ：1001，C ：0110情形一：4行的填法均为间一类，则必然为XXXX ，有24318C ⋅=种填法。

情形二：4行的填法为两类，则必然为XXYY ，有443A 72=种填法；情形三：4行的填法为三类，则必然有某列中有3(或以上)个1或者1(或以下)个1，不可能 因此不同的填法总数为9011. 已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S，且222(c )S 112a b c +-==，，求3b -a 的最大值______。

【解答】根据余弦定理12cos sin 122ab C ab C ⋅= 于是6C π∠=，sin sin sin sin B Aa c c C C-=⋅-⋅2sin 52sin 6cos 2B A B B B B π=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-≤ 等号当2,36B A ππ∠=∠=时取得，因此求最大值为2.12. 投掷一枚均匀的硬币，若出现两次正面朝上的情况即停止投掷，问总投掷次数的数学期望______。

【解答】设所求数学期望为x ，考虑前两次投出的结果可得()()111(1)220244x x x =+++++，解得6x =。

13. 已知曲线222212C :y 5C :y 14x x +=+=，，试证明：对1C 上的任意直径AB ，均存在1C 上的动点P ，使得P A,PB 均与2C 相切______。

【解答】欲证命题即过为曲线1C 上任意一点作2C 的两条切线，这两条切线互相垂直。

设过点()00P x y ，的椭圆的切线为()()000A x x B y y -+-=其中22005x y +=，则根据直线与椭圆位置关系的等效判别式，有()222004A B A By 0x +-+=，即22220000(4)A (1y )B 2ABy 0x x -+--=，于是根据韦达定理以及2200(4)(1y )0x -+-= 可得两条切线互相垂直，命题得证。

14. 已知O为坐标原点，01A O OA OA ()n n n n x y -==+，且，，其中,Z ||3n n n n x y x y ∈+=且。

(1) 求3OA 的最大值； (2) 求2017OA 的最小值。

【解答】(1) 根据题意，|()|||||3n n n n x y x y =≤+=，于是等号当112233()()()(30)x y x y x y ===，，，，时取得，因此所求最大值为9。

(2)注意到20172017201711OA ,k k k k x y ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑而20172017201720171111||||1(mod 2)kkkk k k k k x y xy ====+≡+≡∑∑∑∑于是2017OA 0≠又取112233()(1,2),()(1,2),()(12)x y x y x y ==--=-，，，，以及22222323()(30),()(30),1,2,...,1007k k k k x y x y k ++++==-=，，，，， 则有2017OA (0,1)=- 于是2017OA 的最小值为115. 已知罗尔中值定理：若函数f(x)满足：①f(x)在[a ，b ]上连续；①f(x)在(a ，b )上可导；①f(a)=f(b)，则存在：ξ①(a ，b )，使得()'0f ξ=。

(1) 试证明拉格朗日中值定理：若函数f (x )满足：① f (x )在[a ，b ]上连续；①f (x )在(a ，b )上可导，则存在ξ①(a ，b )，使得f (a )-f (b )=(a -b )()'f ξ；(2) 设f (x )的定义域与值域均为[0，1]，f (0)=0，f (1)=1且f (x )在其定义域上连续且可导。

求证：对任意正整数，存在互不相同12,,[01]n x x x ⋯∈，，使得()()()12'''n f x +f x +?+f x =n 。

()()()()()f b f b g x f x x a b a-=-⋅--对该函数应用罗尔中值定理即得。

(3) 把区间[0，1]划分为n 个区间11210,,,,...,,1n n n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，对f (x )在每个区间应用拉格朗日中值定理，可得存在1,i n i n i x n n ---⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()11'i n i n i f f f x n n n ---⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中12n i =⋯，，，，把这n 个等式相加即得。

16. 记 |A| 表示集合A 中的元素个数，A+B={a+b | a①A ，b①B}，若1|A A |A(|A|1)2+=+，则称集合A 有性质T 。

(1) 设A=12n {}a a a ⋯，，，，{}n a 为等比数列且各项为正有理数，证明A 有性质T 。

(2) 已知A ，B 均有性质T ，且|A|=|B|=n ，求 |A+B| 的最小值。

【解答】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ，且sq t=，其中s ，t①N*，(s ，t)=1 只需要证明若1234n <n n <n ≤，则1423n n n n a a a a +≠+， 也即3142n nn n q q q q +≠+也即3121411n n n n n n q q q ---+-≠也即314321424141n n n n n n n n n n n n st s t t s ------⋅+⋅-≠由于左边是t 的倍数而右边不是t 的倍数，因此命题得证。