2020-2021学年北师大版初二数学上册难点突破02 勾股定理求最短路径长度问题(含解析)

专题02　勾股定理求最短路径长度问题

【专题说明】求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．

一、通过计算比较解最短问题

1、如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A 走到B ，为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m )，却踩伤了花草．

(第1题)

【答案】4来

2、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A 坐客车到武昌客运站B ，现在可以在黄石A 坐“武黄城际列车”到武汉青山站C ，再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB ＝80 km ，BC ＝20 km ，∠ABC ＝120°.请你帮助小明解决以下问题：

(1)求A ，C 之间的距离．(参考数据：≈4.6)

21(2)若客车的平均速度是60 km /h ，市内的公共汽车的平均速度为40 km /h ，“武黄城际列车”的平均速度为180 km /h ，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)

解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于点E .

∵∠ABC ＝120°，∴∠BCE ＝30°.

在Rt △CBE 中，∵BC ＝20 km ，

∴BE ＝10 km .

由勾股定理可得CE ＝10 km .

3在Rt △ACE 中，∵AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE )2＋CE 2＝8 100＋300＝8 400，

∴AC ＝20≈20×4.6＝92(km )．21

(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为＝1(h )，乘“武黄城际列车”所需时间约为80601

3＋＝1(h )．∵1>1，

921802040190131

90∴选择乘“武黄城际列车”．

二、用平移法求平面中最短问题

1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )

A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm

【答案】C　

点拨：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为

BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50 cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16 900，所以AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.

2、如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．

(第4题)

【答案】10

三、用对称法求平面中最短问题

1、如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．

解：如图所示，

∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，

∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND.

∴DN＋MN＝BN＋MN.

连接BM交AC于点P，

∵点N为AC上的动点，

∴由三角形两边之和大于第三边，

知当点N运动到点P时，

DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度．

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，

∠B CM＝90°，

BC2＋CM282＋62

BM＝＝＝10.

即D N＋MN的最小值为10.

2、高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2

km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．

(第6题)

解：如图，作点B关于直线MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时

A，B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，

AD＝A′B′＝8 km，DC＝6 km.

AD2＋DC2

∴AC＝＝10 km，

∴这个最短距离为10 km.

四、用展开法求立体图形中最短问题

类型一、 圆柱中的最短问题

如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径．若一只小虫从A 点出发，沿2π圆柱侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．

(第7题)【答案】2　

2点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA ′D ′D ，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最

短路线．根据题意得AB ＝×2π×＝2.在R t △ABC 中，由勾股定理，得

2π1

2AC 2＝AB 2＋BC 2＝22＋22＝8，∴AC ＝＝2.82

类型二、 圆锥中的最短问题

已知：如图，观察图形回答下面的问题：

(1)此图形的名称为________．

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS 剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．

(3)如果点C 是SA 的中点，在A 处有一只蜗牛，在C 处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC 爬到C 处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？

(4)SA 的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．

解：(1)圆锥　(2)扇形

(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线．

(4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC 2＝102＋52＝125，