角的相关计算和证明(讲义及答案)

角的相关计算和证明（讲义）

➢课前预习

背默我们到目前学习过的定理：

（1）平行线：

判定：

①，两直线平行；

②，两直线平行；

③，两直线平

行．性质：

①两直线平行，；

②两直线平行，；

③两直线平行，．

（2）余角、补角、对顶角：

同角（等角）的余角；同角（等角）的补角；

对顶角．

（3）三角形：

三角形的内角和等于；

直角三角形两锐角；

三角形的外角等于．

➢知识点睛

在证明的过程中，

由平行想到、、；

由垂直想到、；

由外角想到．➢精讲精练

1. 如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=45°，∠CEF=155°，则

∠BCE= ．

1

2.如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠A=40°，DC 平分∠ACB 交

AB 于点D，过点D 作DE∥BC 交AC 于点E，则∠EDC= ．

第2 题图第3 题图

3.如图，在正方形ABCD 中，∠ADC=∠DCB=90°，G 是BC 边

上一点，连接DG，AE⊥DG 于点E，CF⊥DG 于点F．若

∠DAE=25°，则∠GCF= ．

4.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，在Rt△AFG

中，∠G=90°，∠FAG=45°，∠CAG=20°，则∠AEB= ，∠ADC= ．

第4 题图第5 题图

5.如图，ED⊥AB 于点D，EF∥AC，∠A=35°，则∠DEF= ．

6.如图，在△ABC 中，∠B=60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，

则∠APD= ．

7.如图，E，F 分别在AB，CD 上，EC⊥AF，垂足为点O，

∠1+∠C=90°，∠2=∠D．求证：AB∥CD．

8.如图，在△ABC 中，∠B=35°，∠C=75°，AD⊥BC 于D，AE

平分∠BAC，求∠EAD 的度数．

9.如图，直线AD 分别与直线BF，EG 相交于点C，D．若

∠D=∠A+∠B，∠BFE=75°，∠G=35°，求∠EFG 的度数．

10.如图，BP 平分∠ABC，CP 平分△ABC 的外角

∠ACE．求证：∠A=2∠P．

证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β

∵BP 平分∠ABC （）∴∠ABC=2∠PBC=2α（）∵CP 平分∠ACE （）∴∠ACE= = （）∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（）∴∠ACE =∠ABC+∠A （）∴= +∠A （）∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（）

∴

∴β= + （）（）

∴2β=2α+2∠P （）∴∠A=2∠P （）

11.已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB．

求证：∠D = 90︒+1

∠A ．

2

【参考答案】

➢课前预习

（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互

补．同位角相等；内错角相等；同旁内角互补．

（2）相等；相等；相等．

（3）180°；互余；与它不相邻的两个内角的和．

➢知识点睛

同位角、内错角、同旁内角；

直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等；

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

➢精讲精练

1. 20°

2. 40°

3. 25°

4. 65°，70°

5. 125°

6. 60°

7.证明：如图，

∵EC⊥AF（已知）

∴∠COF=90°（垂直的定义）

∴∠C+∠2=90°（直角三角形两锐角互余）

∵∠1+∠C=90°（已知）

∴∠1=∠2（同角的余角相等）

∵∠2=∠D（已知）

∴∠1=∠D（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

8.解：如图，

在△ABC 中，∠B=35°，∠C=75°（已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C

=180°-35°-75°

=70°（三角形的内角和等于180°）∵AE 平分∠BAC（已知）

∴∠BAE= 1

∠BAC

2

1

= ×70°

2

=35°（角平分线的定义）

∵∠AED 是△ABE 的一个外角（外角的定义）

∴∠AED=∠B+∠BAE

=35°+35°

=70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角

的和）

∵AD⊥BC（已知）

∴∠ADE=90°（垂直的定义）

∴∠AED+∠EAD=90°（直角三角形两锐角互余）

∴∠EAD=90°-∠AED

=90°-70°

=20°（等式的性质）

9.解：如图，

∵∠ACF 是△ABC 的一个外角（外角的定义）

∴∠ACF=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内

角的和）

∵∠D=∠A+∠B （已知）

∴∠ACF=∠D（等量代换）

∴BF∥DG（同位角相等，两直线平行）

∴∠BFE=∠FEG（两直线平行，内错角相等）

∵∠BFE=75°（已知）

∴∠FEG=75°（等量代换）

在△FEG 中，∠FEG=75°，∠G=35°（已知）

∴∠EFG =180°-∠FEG-∠G

=180°-75°-35°

=70°（三角形的内角和等于180°）

10.证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β

∵BP 平分∠ABC （已知）

∴∠ABC=2∠PBC=2α（角平分线的定义）

∵CP 平分∠ACE （已知）

∴∠ACE=2∠PCE=2β（角平分线的定义）

∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（外角的定义）

∴∠ACE=∠ABC+∠A （三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角的和）∴2β=2α+∠A （等量代换）

∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（外角的定义）

∴∠PCE=∠PBC+∠P （三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角的和）∴β=α+∠P （等量代换）

∴2β=2α+2∠P （等式的性质）

∴∠A=2∠P （等式的性质）

11.证明：如图，设∠DBC=α，∠DCB=β

∵BD 平分∠ABC（已知）

∴∠ABC=2∠DBC=2α（角平分线的定义）

∵CD 平分∠ACB（已知）

∴∠ACB=2∠DCB=2β（角平分线的定义）

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形的内角和等于180°）∴2α+2β+∠A=180°（等量代换）

∴α+β+1

∠A = 90︒（等式的性质）2

∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°（三角形的内角和等于180°）∴α+β+∠D=180°（等量代换）

∴ ∠D = 90︒+1

∠A （等式的性质）

2