排列组合综合应用3,4(其他问题)

宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用3、4导学案 编号：59-60

编写：丁红平 审核：高二数学理科备课组

学习目标：

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 ；

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。.

学习重点：排列组合在其他一些方面的应用 学习难点：排列组合在其他一些方面的应用 学习过程：

一、

（约3分钟）

引例1：交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式

()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.

1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不

同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

()()()()n I n A n B n A B --+⋂4332

6554252A A A A =--+=种.

2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少

种选派方法?

(1)队长至少有1人参加；(2)既要有队长，又要有女运动员．

解：(1)设A ＝{选派5人有男队长参加的}，B ＝{选派5人有女队长参加的},则原题即求n(A ∪B), 而

n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A ∩B). n(A)=49C =n(B), n(A ∩B)=38C , 故n(A ∩B)=19623

849=-C C .

另解：设A ＝{选派5人有1个队长参加的}，B ＝{选派5人有2个队长参加的}，则原题即求n(A ∪B),

n(A)=4812C C , n(B)=3822C C , n(A ∩B)=n(

)=0. 因此n(A ∪B)=n(A)+n(B)=4812C C +3

822C C ＝196．

说明：A ∩B 即选派5人既要有1个队长参加又要有2个队长参加这件事，这是不可能事件．

(2)设A ＝{选派5人有队长参加的}，B ＝{选派5人有女运动员参加的}，则原题即求n(A ∩B)， 又)()()(B A n I n B A n ⋂-=⋂)()(B A n I n ⋃-=

)()()()(B A n B n A n I n ⋂+--=19155

56

585

10=+--=C C C C

即有191种选派方法． 说明：

即选派5人，既无队长又无女运动员参加．

从以上例题我们可以看出，用集合与对应思想分析处理排列组合问题，实质上就是将同一问题中满足

不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系，而将各限制条件之

间的关系转化为集合与集合之间的运算关系，通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数，这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有1个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理，这可大大简化复杂的分类过程，从而降低了问题的难度． 例2、（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A 、70种

B 、64种

C 、58种

D 、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成4

8C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶

点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A 、150种

B 、147种

C 、144种

D 、141种 解析：10个点中任取4个点共有4

10C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为4

6C ，四个面共有4

64C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱

上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44

106436141C C ---=种.

（3）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面

体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有4

81258C -=个，所以8个顶点可连成的异面

直线有3×58=174对

.

（约10分钟）

例1、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？ 【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法； 2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）； 3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

（a ）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 1

66C =种

（b ）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有

2615C =种走法。 4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空

中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种

125515C C +=走法； 6）有5次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37种。

例2.如果从数1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出321,,a a a ，使同时满足312≥-a a 与323≥-a a ，