导数的概念及运算

第15讲 导数的概念及运算

1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为(C)

A ．(0，＋∞)

B ．(－1,0)∪(2，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．(－1,0)

x >0，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0， 所以x ∈(2，＋∞)．

2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(B)

A ．f ′(x A )>f ′(x

B ) B ．f ′(x A )

C ．f ′(x A )＝f ′(x B )

D ．不能确定

分别作出曲线y ＝f (x )在A ，B 两点的切线，设曲线y ＝f (x )在A ，B 两点的切线的斜率分别为k A ，k B ，则由图象可知k B >k A ，即f ′(x A )

3．(2018·河北五校高三联考)曲线y ＝x －1x ＋1

在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(B)

A.18

B.14

C.12

D ．1 因为y ′＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2

， 所以k ＝y ′x ＝0＝2，

所以曲线在(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1.

它与两坐标轴围成的面积为S ＝12×12×1＝14

. 4．已知函数f (x )＝ln x ＋tan α(α∈(0，π2

))的导函数为f ′(x )，若使得f ′(x 0)＝f (x 0)成立的x 0满足x 0<1，则α的取值范围为(B)

A ．(0，π4)

B ．(π4，π2

) C ．(π6，π4) D ．(0，π3

) 因为f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0

， 由f ′(x 0)＝f (x 0)，得1x 0

＝ln x 0＋tan α， 所以tan α＝1x 0

－ln x 0. 又0

－ln x 0>1，即tan α>1， 又α∈(0，π2)，所以α∈(π4，π2

)． 5．(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 1 .

因为f ′(x )＝a －1x

，所以f ′(1)＝a －1. 又因为f (1)＝a ，所以切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )，

所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)．

令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.

6．(2015·新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝ 1 .

因为y ′＝3ax 2＋1，所以y ′|x ＝1＝3a ＋1， 所以7－(a ＋2)2－1＝3a ＋1，所以a ＝1. 7．(2016·四川卷改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－ln x ， 0＜x ＜1，ln x ， x ＞1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，求△P AB 的面积的取值范围．

由图象易知P 1，P 2位于f (x )的两段上，不妨设P 1在f (x )＝－ln x ，x ∈(0,1)的图象上，P 2在f (x )＝ln x (x >1)的图象上，

设P 1(x 1，－ln x 1)，x 1∈(0,1)，P 2(x 2，ln x 2)，x 2∈(1，＋∞)，

则l 1：y ＋ln x 1＝－1x 1(x －x 1)，l 2：y －ln x 2＝1x 2

(x －x 2)． 由l 1⊥l 2知，－1x 1·1x 2

＝－1，所以x 1x 2＝1. 又l 1，l 2分别与y 轴交于点A ，B ，

所以A (0,1－ln x 1)，B (0，－1＋ln x 2)．

由⎩⎨⎧ y ＋ln x 1＝－1x 1

(x －x 1)，y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，

得P 点的横坐标x ＝2x 1＋x 2

. 所以S △ABP ＝12×|1－ln x 1＋1－ln x 2|×2x 1＋x 2

＝|2－ln x 1x 2|×1x 1＋x 2＝2x 1＋x 2＝2x 1＋1

x 1

. 因为x 1∈(0,1)，所以x 1＋1x 1>2，所以0<2x 1＋1x 1

<1. 即△P AB 的面积的取值范围是(0,1)．

8．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是(A)

A ．y ＝sin x

B ．y ＝ln x

C ．y ＝e x

D ．y ＝x 3

若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.

对于A ，y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；

对于B ，y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2

＝－1，即x 1x 2＝－1，因为x ＞0，所以不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；