新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

合集下载

人教数学八年级下册《勾股定理》典型例题分析.docx

初中数学试卷桑水出品《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

5、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用

∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝
1 2
AC·BC＝
1 2
CD·AB，
∴150×200＝250·CD，
∴CD＝150 200 ＝120（m）．
C
250
∵拖拉机周围 130 m 以内为受噪声影响区域，
B D
∴学校 C 会受噪声影响．
A
（2）若拖拉机的行驶速度为 50 m/min，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
解：（2）当 a2＋b2＞c2 时，△ABC 为锐角三角形；当 a2＋b2＜c2 时，△ABC 为钝角三角形．
在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设 c 为最长边，当 a2＋b2＝c2 时，△ABC 是直角三角形；当 a2＋b2≠c2 时，利用代数式 a2＋b2 和 c2 的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．
分析：（2）利用勾股定理得出 ED 以及 EF 的长，进而可得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
B
C
F
D
E
A
解：（2）如图，取 EC＝130 m，FC＝130 m，当拖拉机在 EF
上时学校会受噪声影响．
∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，
∴ED＝50（m）， ∴EF＝100（m）．
（1）当△ABC 三边分别为 6，8，9 时，△ABC 为__锐__角___三角形；当△ABC 三边分别为 6，8，11 时，△ABC 为__钝__角___三角形．
6
9
8
6
10
8
6
11
8
解：（1）直角三角形两直角边分别为 6，8 时，斜边＝ 62＋82 ＝10，

人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用

（2）构造直角三角形； 25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
第二十一章一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程；本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧化非直角三角形为直角三角形将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理：如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。

把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2=144,所以AC=12.例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分B C 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC 2+CD 2=AD 2设水深AC= x 米，那么AD=AB=AC+CB=x +0.5x 2+1.52=（ x +0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米.题型三：勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ CB D A解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。

仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB 41 可以设AB=4a ，那么BE=CE=2 a ,AF=3 a ,BF= a ,那么在Rt △AFD 、Rt △BEF 和 Rt △CDE 中，分别利用勾股定理求出DF,EF 和DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF 是否是直角三角形。

人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)

人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案）类型一利用勾股定理解决三角形的折叠问题1．如图 △ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝8 BC ＝6 将△ADE 沿DE 翻折使点A 与点B 重合则CE 的长为．思路引领：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x 在Rt △BCE 中由勾股定理可得62+x 2＝（8﹣x ）2 即可解得答案．解：设CE ＝x 则AE ＝BE ＝8﹣x在Rt △BCE 中 BC 2+CE 2＝BE 2∴62+x 2＝（8﹣x ）2解得x =74故答案为：74．总结提升：本题考查直角三角形中的折叠问题解题的关键是掌握折叠的性质熟练应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•介休市期中）如图所示有一块直角三角形纸片 ∠C ＝90° AC ＝8cm BC ＝6cm 将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处折痕为AD 则CE 的长为 cm ．思路引领：根据勾股定理可将斜边AB 的长求出根据折叠的性质知 AE ＝AB 已知AC 的长可将CE 的长求出．解：在Rt △ABC 中∵∠C＝90°AC＝8cm BC＝6cm∴AB=√AC2+BC2=10cm根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10cm∵AC＝8cm∴CE＝AE﹣AC＝2cm即CE的长为2cm故答案为：2．总结提升：此题考查翻折问题将图形进行折叠后两个图形全等是解决折叠问题的突破口．3．（2020秋•金台区校级期末）如图在△ABC中∠ACB＝90°点E F在边AB上将边AC沿CE翻折使点A落在AB上的点D处再将边BC沿CF翻折使点B落在CD的延长线上的点B′处（1）求∠ECF的度数；（2）若CE＝4 B′F＝1 求线段BC的长和△ABC的面积．思路引领：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB' 再根据∠ACB＝90°即可得出∠ECF＝45°；（2）在Rt△BCE中根据勾股定理可得BC=√41设AE＝x则AB＝x+5 根据勾股定理可得AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41 求得x=165得出AE的长和AB的长再由三角形面积公式即可得出S△ABC．解：（1）由折叠可得∠ACE＝∠DCE=12∠ACD∠BCF＝∠B'CF=12∠BCB'又∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠BCB'＝90°∴∠ECD+∠FCD=12×90°＝45°即∠ECF＝45°；（2）由折叠可得：∠DEC＝∠AEC＝90°BF＝B'F＝1 ∴∠EFC＝45°＝∠ECF∴CE＝EF＝4∴BE＝4+1＝5在Rt△BCE中由勾股定理得：BC=√BE2+CE2=√52+42=√41设AE＝x则AB＝x+5∵Rt△ACE中AC2＝AE2+CE2Rt△ABC中AC2＝AB2﹣BC2∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2即x2+42＝（x+5）2﹣41解得：x=16 5∴AE=165AB＝AE+BE=165+5=415∴S△ABC=12AB×CE=12×415×4=825．总结提升：本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2022秋•安岳县期末）如图在△ABC中∠C＝90°把△ABC沿直线DE折叠使△ADE与△BDE 重合．（1）若∠A＝34°则∠CBD的度数为；（2）当AB＝m（m＞0）△ABC的面积为2m+4时△BCD的周长为（用含m的代数式表示）；（3）若AC＝8 BC＝6 求AD的长．思路引领：（1）根据折叠可得∠1＝∠A＝34°根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC＝56°进而得到∠CBD＝22°；（2）根据三角形ACB的面积可得12AC•BC＝2m+4 进而得到AC•BC＝4m+8 再在Rt△CAB中CA2+CB2＝BA2再把左边配成完全平方可得CA+CB的长进而得到△BCD的周长；（3）根据折叠可得AD＝DB设CD＝x则AD＝BD＝8﹣x再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2再解方程可得x的值进而得到AD的长．解：（1）∵把△ABC 沿直线DE 折叠使△ADE 与△BDE 重合∴∠ABD ＝∠A ＝34°∵∠C ＝90°∴∠ABC ＝180°﹣90°﹣34°＝56°∴∠CBD ＝56°﹣34°＝22°故答案为：22°；（2）∵△ABC 的面积为2m +4∴12AC •BC ＝2m +4 ∴AC •BC ＝4m +8∵在Rt △CAB 中 CA 2+CB 2＝BA 2 AB ＝m∴CA 2+CB 2+2AC •BC ＝BA 2+2AC •BC∴（CA +BC ）2＝m 2+8m +16＝（m +4）2∴CA +CB ＝m +4∵AD ＝DB∴CD +DB +BC ＝m +4．即△BCD 的周长为m +4故答案为：m +4；（3）∵把△ABC 沿直线DE 折叠使△ADE 与△BDE 重合∴AD ＝DB设CD ＝x 则AD ＝BD ＝8﹣x在Rt △CDB 中 CD 2+CB 2＝BD 2x 2+62＝（8﹣x ）2解得：x =74AD ＝8−74=254．总结提升：此题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理完全平方公式关键是掌握勾股定理以及折叠后哪些是对应角和对应线段．5．（2021秋•章丘区期中）（1）如图① Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2cm 另一直角边BC 长为6cm 求AC 的长．（2）拓展：如图②在图①的△ABC的边AB上取一点D连接CD将△ABC沿CD翻折使点B的对称点E落在边AC上．①AE的长．②求DE的长．思路引领：（1）在Rt△ABC中由勾股定理可求AB的长即可求解；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm于是得到答案；②在Rt△ADE中由勾股定理可求DE的长．解：（1）设AB＝xcm则AC＝（x+2）cm∵AC2＝AB2+BC2∴（x+2）2＝x2+62解得x＝8∴AB＝8cm∴AC＝8+2＝10（cm）；（2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°DE＝DB EC＝BC＝6cm∴∠AED＝90°AE＝AC﹣EC＝4（cm）；②设DE＝DB＝ycm则AD＝AB﹣BD＝（8﹣y）cm在Rt△ADE中AD2＝AE2+DE2∴（8﹣y）2＝42+y2解得：y＝3∴DE＝3（cm）．总结提升：本题考查了翻折变换折叠的性质勾股定理利用勾股定理列出方程是本题的关键．类型二利用勾股定理解决长方形的折叠问题6．（2022•纳溪区模拟）如图在矩形ABCD中AB＝5 AD＝3 点E为BC上一点把△CDE沿DE翻折点C 恰好落在AB 边上的F 处则CE 的长为．思路引领：利用勾股定理得出AF 的长度再利用折叠的性质在△BEF 中求解BE 的长即可得出CE 的长度．解：在矩形ABCD 中 AB ＝5 AD ＝3 由折叠的性质可得：DF ＝DC ＝AB ＝5∴AF =√DF 2−AD 2=√52−32=4∴BF ＝AB ﹣AF ＝5﹣4＝1设CE ＝x 则：EF ＝CE ＝x BE ＝BC ﹣CE ＝3﹣x在Rt △BEF 中由勾股定理可得：12+（3﹣x ）2＝x 2解得：x =53∴CE =53故答案为：53．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点解题的关键是利用AF 求出BF 的长度．7．（2021•郯城县校级模拟）如图在长方形ABCD 中 AB ＝3cm AD ＝9cm 将此长方形折叠使点D 与点B 重合折痕为EF 则△ABE 的面积为（）cm 2．A ．12B ．10C ．6D ．15思路引领：由长方形的性质得BAE ＝90° 再由折叠的性质得BE ＝ED 然后在Rt △ABE 中由勾股定理得32+AE2＝（9﹣AE）2解得AE＝4（cm）即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形∴∠BAE＝90°∵将此长方形折叠使点B与点D重合∴BE＝ED∵AD＝9＝AE+DE＝AE+BE∴BE＝9﹣AE在Rt△ABE中由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2∴32+AE2＝（9﹣AE）2解得：AE＝4（cm）∴S△ABE=12AB•AE=12×3×4＝6（cm2）故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．8．（2020春•余干县校级期末）如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠使点B落在边AD上的点B'处点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF；（2）设AE＝a AB＝b BF＝c试猜想a b c之间的关系并说明理由．思路引领：（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形△A'B'E中由勾股定理可得a b c之间的关系．（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF∠B'FE＝∠BFE在长方形纸片ABCD中AD∥BC∴∠B'EF＝∠BFE∴∠B'FE＝∠B'EF∴B'F＝B'E∴B'E＝BF．（2）解：a b c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°A'E＝AE＝a A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中∵∠A'＝90°∴A'E2+A'B'2＝B'E2∴a2+b2＝c2．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．9．（2020秋•罗湖区校级期末）如图把一张长方形纸片ABCD折叠起来使其对角顶点A与C重合D 与G重合若长方形的长BC为8 宽AB为4 求：（1）DE的长；（2）求阴影部分△GED的面积．思路引领：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中根据AG2+EG2＝AE2构建方程即可解决问题；（2）过G点作GM⊥AD于M根据三角形面积不变性AG×GE＝AE×GM求出GM的长根据三角形面积公式计算即可．解：（1）设DE＝EG＝x则AE＝8﹣x在Rt△AEG中AG2+EG2＝AE2∴16+x2＝（8﹣x）2解得x＝3∴DE＝3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M则12•AG ×GE =12•AE ×GM AG ＝AB ＝4 AE ＝CF ＝5 GE ＝DE ＝3 ∴GM =125∴S △GED =12GM ×DE =185．总结提升：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．类型三利用勾股定理解决正方形的折叠问题10．（2019•黔东南州一模）如图将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠使点D 落在AB 边中点E 处点C 落在点Q 处折痕为FH 则线段AF 的长为（）A ．32B ．3C ．94D ．154思路引领：由正方形的性质和折叠的性质可得EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90° 由勾股定理可求AF 的长．解：∵将边长为6cm 的正方形纸片ABCD 折叠使点D 落在AB 边中点E 处∴EF ＝DE AB ＝AD ＝6cm ∠A ＝90°∵点E 是AB 的中点∴AE ＝BE ＝3cm在Rt △AEF 中 EF 2＝AF 2+AE 2∴（6﹣AF ）2＝AF 2+9∴AF=9 4故选：C．总结提升：本题考查了翻折变换正方形的性质勾股定理利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠使点D落在BC边的中点E处点A落在点F处折痕为MN则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm思路引领：由折叠的性质可得DN＝NE由中点的性质可得EC＝4cm结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的∴DN＝NE．∵E是BC的中点且BC＝8cm∴EC＝4cm．∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝90°．设CN的长度为xcm则EN＝DN＝（8﹣x）cm由勾股定理NC2+EC2＝NE2得x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．故选：A．总结提升：本题考查翻折变换的问题折叠问题其实质是轴对称对应线段相等对应角相等找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2022秋•慈溪市校级期中）在Rt△ABC中∠B＝90°AB＝4 BC＝8 D、E分别是边AC、BC上的点将△ABC沿着DE进行翻折点A和点C重合则EC＝．思路引领：设EC ＝x 在Rt △ABE 中由勾股定理得42+（8﹣x ）2＝x 2 即可解得答案．解：设EC ＝x 则BE ＝8﹣x∵将△ABC 沿着DE 进行翻折点A 和点C 重合∴AE ＝EC ＝x在Rt △ABE 中 AB 2+BE 2＝AE 242+（8﹣x ）2＝x 2解得x ＝5∴EC ＝5故答案为：5．总结提升：本题考查直角三角形中的翻折问题解题的关键是掌握翻折的性质能应用勾股定理列方程解决问题．2．（2021秋•靖江市期中）如图在Rt △ABC 中 ∠C ＝90° D 是AB 的中点 AD ＝5 BC ＝8 E 是直线BC 上一动点把△BDE 沿直线ED 翻折后点B 落在点F 处当FD ⊥BC 时线段BE 的长为．思路引领：分点F 在BC 下方点F 在BC 上方两种情况讨论由勾股定理可BC ＝4 由平行线分线段成比例可得BD AD =BP BC =DP AC =12 求出FP 由勾股定理可求BE 的长．解：若点F 在BC 下方时 DF 与BC 交于点P 如图1所示：∵D 是AB 的中点∴BD ＝AD ＝5∴AB ＝2AD ＝10∵∠C ＝90° BC ＝8∴AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6∵点D 是AB 的中点∵FD ⊥BC ∠C ＝90°∴FD ∥AC∴BD AD =BP BC =DP AC =12 ∴BP ＝PC =12BC ＝4 DP =12AC ＝3∵△BDE 沿直线ED 翻折∴FD ＝BD ＝5 FE ＝BE∴FP ＝FD ﹣DP ＝5﹣3＝2在Rt △FPE 中 EF 2＝FP 2+PE 2∴BE 2＝22+（4﹣BE ）2解得：BE =52；若点F 在BC 上方时 FD 的延长线交BC 于点P 如图2所示：FP ＝DP +FD ＝3+5＝8在Rt △EFP 中 EF 2＝FP 2+EP 2∴BE 2＝64+（BE ﹣4）2解得：BE ＝10故答案为：52或10．总结提升：此题考查了折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．3．如图在Rt △ABC 中 AC ＝6 BC ＝8 D 为BC 上一点将Rt △ABC 沿AD 折磨点C 恰好落在AB 边上的E 点求BD 的长．思路引领：由勾股定理求出AB＝10 由折叠的性质得出CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6 得出BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得出方程解方程即可．解：∵Rt△ABC中AC＝6 BC＝8∴AB=√62+82=10由折叠的性质得：CD＝DE∠C＝∠AED＝90°AE＝AC＝6∴BE＝AB﹣AE＝4 ∠BED＝90°设CD＝ED＝x则BD＝8﹣x在Rt△BDE中由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得：x＝3∴BD＝8﹣3＝5．总结提升：本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．4．（2018秋•襄汾县校级月考）如图在Rt△ABC中∠C＝90°AC＝8 BC＝6 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在边AB上的点C'处求AD的长及四边形BCDC′的面积．思路引领：利用勾股定理列式求出AB根据翻折变换的性质可得BC′＝BC C′D＝CD然后求出AC′设AD＝x表示出C′D、AC′然后利用勾股定理列方程求解即可求出AD；然后根据三角形的面积公式计算即可求出四边形BCDC′的面积．解：∵∠C＝90°AC＝8 BC＝6∴AB=√AC2+BC2=10由翻折变换的性质得BC′＝BC＝6 C′D＝CD∴AC′＝AB﹣BC′＝10﹣6＝4设CD＝x则C′D＝x AD＝8﹣x在Rt△AC′D中由勾股定理得AC′2+C′D2＝AD2即42+x2＝（8﹣x）2解得x＝3即CD＝3∴AD＝8﹣x＝5；由折叠可知：S△BCD＝S△BC′D∴四边形BCDC′的面积＝2S△BCD＝2×12×CD•BC＝3×6＝18．总结提升：本题考查了翻折变换的性质勾股定理此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．（2021春•厦门期中）在矩形ABCD中AB＝3 BC＝4 E是AB上一个定点点F是BC上一个动点把矩形ABCD沿直线EF折叠点B的对应点B′落在矩形内部．若DB′的最小值为3 则AE＝53．思路引领：连接DE则DB′+EB′≥DE由EB′＝EB为定值故当D E B′三点共线时DB′最小利用勾股定理建立方程即可求解．解：如图1 连接DE由折叠性质可得：EB′＝EB∵DB′+EB′≥DE∴DB′≥DE﹣EB′＝DE﹣EB∵点E为定点∴EB为定值∴当D E B′三点共线时DB′最小且最小值为3∴DB′＝3如图2∵四边形ABCD 为矩形∴∠A ＝90° AD ＝BC ＝4设AE ＝x 则：EB ′＝EB ＝AB ﹣AE ＝3﹣x∴ED ＝EB ′+DB ′＝3﹣x +3＝6﹣x在Rt △AED 中由勾股定理可得：x 2+42＝（6﹣x ）2解得：x =53∴AE =53故答案为：53．总结提升：本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点解题的关键是运用方程思想．6．（2021秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠使顶点B 和点D 重合折痕为EF ．若AB ＝3cm BC ＝5cm 则重叠部分△DEF 的面积是（）cm 2．A ．2B ．3.4C ．4D ．5.1思路引领：由矩形的性质得AD ＝BC ＝5cm CD ＝AB ＝3cm ∠A ＝90° 再由折叠的性质得A 'D ＝AB ＝3cm ∠A '＝∠A ＝90° AE '＝AE 设AE ＝xcm 则A ′E ＝xcm DE ＝（5﹣x ）cm 然后在Rt △A 'DE 中由勾股定理得出方程解方程进而得出DE 的长即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是矩形 AB ＝3cm BC ＝5cm∴AD＝BC＝5cm CD＝AB＝3cm∠A＝90°由折叠的性质得：A'D＝AB＝3cm∠A'＝∠A＝90°AE'＝AE 设AE＝xcm则A′E＝xcm DE＝（5﹣x）cm在Rt△A'DE中由勾股定理得：A′E2+A′D2＝ED2即x2+32＝（5﹣x）2解得：x＝1.6∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）∴△DEF的面积=12DE•CD=12×3.4×3＝5.1（cm2）故选：D．总结提升：此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质由勾股定理得出方程是解题的关键．7．（2017秋•金牛区校级月考）如图在矩形ABCD中E是AD的中点将△ABE沿BE折叠后得到△GBE 延长BG交CD于点F结果发现F点恰好是DC的中点若BC＝2√6则AB的长为？思路引领：连接EF由折叠性质得AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB则∠EGF＝90°易证EG＝DE由矩形的性质得AB＝CD∠C＝∠D＝90°推出∠EGF＝∠D＝90°由HL证得Rt△EGF≌Rt△EDF得出FG＝FD求得CF＝DF＝FG=12CD=12AB BF＝BG+FG=32AB由勾股定理得出BC2+CF2＝BF2即可得出结果．解：连接EF如图所示：由折叠性质得：AE＝EG∠A＝∠EGB＝90°BG＝AB ∴∠EGF＝90°∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴EG＝DE∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠C＝∠D＝90°∴∠EGF ＝∠D ＝90°在Rt △EGF 与Rt △EDF 中 {EG =ED EF =EF∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ）∴FG ＝FD∵F 点恰好是DC 的中点∴CF ＝DF ＝FG =12CD =12AB∴BF ＝BG +FG ＝AB +12AB =32AB在Rt △BCF 中 BC 2+CF 2＝BF 2即：（2√6）2+（12AB ）2＝（32AB ）2 解得：AB ＝2√3．总结提升：本题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识熟练掌握折叠的性质证明三角形全等是解题的关键．8．（2018春•新抚区校级期中）如图在矩形ABCD 中已知AD ＝10 AB ＝8 将矩形ABCD 沿直线AE 折叠顶点D 恰好落在BC 边上的F 处求CE 的长．思路引领：先根据矩形的性质得AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8 再根据折叠的性质得AF ＝AD ＝10 EF ＝DE 在Rt △ABF 中利用勾股定理计算出BF ＝6 则CF ＝BC ﹣BF ＝4 设CE ＝x 则DE ＝EF ＝8﹣x 然后在Rt △ECF 中根据勾股定理得到x 2+42＝（8﹣x ）2 再解方程即可得到CE 的长．解：∵四边形ABCD 为矩形∴AD ＝BC ＝10 AB ＝CD ＝8∵矩形ABCD 沿直线AE 折叠顶点D 恰好落在BC 边上的F 处∴AF＝AD＝10 EF＝DE在Rt△ABF中∵BF=√AF2−AB2=6∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4设CE＝x则DE＝EF＝8﹣x在Rt△ECF中∵CE2+FC2＝EF2∴x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3即CE＝3．总结提升：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换它属于轴对称折叠前后图形的形状和大小不变位置变化对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．（2018秋•通川区校级期中）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2））折痕交AE于点G则EG 的长度是（）A．8﹣4√3B．4√3−6C．4﹣2√3D．2√3−3思路引领：由于正方形纸片ABCD的边长为2 所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1 由折叠的性质得出AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长进而求出EH的长再设EG＝x在Rt△EGH中利用勾股定理即可求解．解：∵正方形纸片ABCD的边长为2∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成∴AD＝DH＝2 AG＝GH在Rt△DFH中HF=√HD2−DF2=√22−12=√3∴EH＝2−√3在Rt△EGH中设EG＝x则GH＝AG＝1﹣x∴GH2＝EH2+EG2即（1﹣x）2＝（2−√3）2+x2解得x＝2√3−3．∴EG＝2√3−3．故选：D．总结提升：本题考查了正方形的性质折叠的性质勾股定理关键是学会用方程的思想方法解题．10．（2020秋•新都区校级月考）如图AD是△ABC的中线∠ADC＝45°把△ADC沿着直线AD对折点C落在点E的位置．如果BC＝6 那么以线段BE为边长的正方形的面积为（）A．6B．72C．12D．18思路引领：由题意易得BD＝CD＝DE＝3 再求出∠BDE＝90°然后根据勾股定理求出BE最后由正方形的面积进行求解即可．解：∵D是BC中点BC＝6∴BD＝CD＝3由折叠的性质得：CD＝DE＝3 ∠ADC＝∠ADE＝45°即∠CDE＝90°∴BD＝DE＝3 ∠BDE＝90°在Rt△BDE中由勾股定理得：BE=√BD2+DE2=√32+32=3√2∴以BE为边的正方形面积为：（3√2）2＝18故选：D．总结提升：本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的面积计算等知识熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．。

2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版

【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.

∴CE＝ AC＝

DE＝

km.∴AE＝

km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋＝＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝

人教版八年级下册数学专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ．4 D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

人教版八年级数学下册《勾股定理》（提高）知识点讲解及例题解析

勾股定理（提高）知识点讲解及例题解析【学习目标】1. 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．会运用方程思想解决问题．3. 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．用方程思想解决问题．【要点梳理】【勾股定理知识要点】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系的数量关系. .（（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的来，达到了解决问题的目的. .（（3）理解勾股定理的一些变式：）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+- 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（11）所示的正方形的正方形. .图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（22）所示的正方形的正方形. .图（图（22）中，所以.方法三：如图（方法三：如图（33）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形梯形. .，所以.要点三、勾股定理的作用 1.1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.2. 用于解决带有平方关系的证明问题；用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 3. 利用勾股定理，作出长为利用勾股定理，作出长为的线段的线段..【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝2，CD CD＝＝1，∠，∠A A ＝4545°，∠°，∠°，∠B B ＝∠＝∠D D ＝9090°，求多边形°，求多边形ABCD 的面积．的面积．【答案与解析】解：延长AD AD、、BC 相交于点E∵ ∠∠B ＝9090°，∠°，∠°，∠A A ＝4545°° ∴ ∠∠E ＝4545°，∴°，∴°，∴ AB AB AB＝＝BE BE＝＝2 ∵ ∠∠ADC ADC＝＝9090°，∴°，∴°，∴ ∠∠DCE DCE＝＝4545°，°，°， ∴ CD CD＝＝DE DE＝＝1∴ 12222ABE S=´´=△，111122DCE S =´´=△．∴ 13222ABE DCE ABCD S S S =-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．决面积问题．举一反三：【变式】（20182018•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC=2BC=2BC=2，，S △ABC =3=3，∠ABC=135°，求，∠ABC=135°，求AC AC、、AB 的长．的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D ，在△ABC 中，∵S △ABC =3=3，，BC=2BC=2，， ∴AD===3=3，，∵∠ABC=135°，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3BD=AD=3，，在Rt△ADC 中，中，CD=2+3=5CD=2+3=5CD=2+3=5，，由勾股定理得，由勾股定理得，AC=AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．形的面积．【思路点拨】欲求Rt Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解．【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则，则2222262a b a b ì++=+ïí+=ïî 即即2264a b a b ì+=ïí+=ïî①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③ ③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、的值．本题运用了方程思想解决问题．思想解决问题．3、（2018春•黔南州期末）春•黔南州期末）长方形纸片长方形纸片ABCD 中，中，AD=4cm AD=4cm AD=4cm，，AB=10cm AB=10cm，按如图方式折叠，使点，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF EF，，求DE 的长．的长．【思路点拨】在折叠的过程中，在折叠的过程中，BE=DE BE=DE BE=DE．从而设．从而设BE 即可表示AE AE．在直角三角形．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm DE=xcm，则，则BE=DE=x BE=DE=x，，AE=AB AE=AB﹣﹣BE=10BE=10﹣﹣x ，△ADE 中，中，DE DE 22=AE 22+AD 22，即x 22=（1010﹣﹣x ）22+16+16．．∴x=（cm cm））．答：答：DEDE 的长为cm.思路点拨】其中一只猴子从另一只猴子从B→D→A于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：解：如图②所示，由题意可得： 12AA ¢=，12392A B p ¢=´´=在在Rt Rt△△AA AA′′B 中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ¢¢=+=+=则则AB AB＝＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是所以需要爬行的最短路程是15cm ．。

勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)

A. 2
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1

八年级数学下第十七章勾股定理经典例题(人教版附答案和解释)

八年级数学下第十七章勾股定理经典例题（人教版附答案和解释）经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC 中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，， . 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC 的长. 解析：作于D，则因，∴ （的两个锐角互余）∴ （在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中，. ∴ .举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证： . 解析：连结BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有. ∴ 又∵ （已知），∴ . 在中，根据勾股定理有，∴ .【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理求最短路径问题优秀教学案例

3.关注学生的情感态度和价值观，引导学生关爱生活、关注社会，培养学生的社会责任感。
4.教师针对学生的评价结果，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
本章节的教学策略立足于情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价四个方面，旨在全面提高学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，灵活运用教学策略，让每个学生在课堂中都能得到充分的发展。
3.培养学生关爱生活、关注社会的情怀，使学生认识到数学与生活的紧密联系。
4.培养学生诚实守信、团结协作的品质，提高学生的人际沟通能力。
本章节的教学目标立足于知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度，全面培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高和发展。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的证明方法及其应用，能运用勾股定理解决简单的实际问题。
2.引导学生了解最短路径问题的背景，掌握利用勾股定理求解最短路径的方法，并能应用于实际情境。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
（二）过程与方法
1.通过情境创设、问题引导，让学生经历探索、发现、总结的过程，培养学生的自主学习能力和合作学习能力。
2.运用讨论、探究、实践等教学方法，引导学生动手操作、动脑思考，提高学生解决问题的能力。
3.注重培养学生团队协作能力和沟通能力，让学生在讨论和合作中发现问题、分析问题、解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极的学习态度，树立学生自信心。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，让学生体验到成功的喜悦。

勾股定理的应用十种最常考类型(解析版) 八年级数学下册专题训练

专题05勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）类型一大树折断问题【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部8m处．【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．类型二水杯中的筷子问题及类似问题【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，∵下底面半径是5，高是12，∴AB＝12，BC＝5，∴AC=B2+B2=122+52=13，∴a的长度的取值范围是12≤a≤13，故选A．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2022秋•安阳县期末）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43，竖着比城门高23，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为103．【思路引领】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：设竹竿的长为x米，由题意得：(−43)2+(−23)2=2，解得：1=103，2=23（舍去），故答案为：103．【总结提升】本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．类型三梯子滑动问题【典例3】（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【思路引领】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=82+62=10（米），故选：A．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023秋•新泰市期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐．则梯子的长度为（）A．13m B．12m C．15m D．172【思路引领】设梯子的长度为x m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：设梯子的长度为x m，根据勾股定理得，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，答：梯子的长度为13m，故选：A．【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•北京期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．【思路引领】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和Rt △DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，解得：x＝1.5，答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．3．（2023秋•宝丰县期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 3.2米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．【思路引领】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝2.4米，PA＝NB＝0.7米，即可求出AB＝PA+PB；（3）①根据平角的定义即可求出∠MPN＝60°；②根据PM＝PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM=B2+B2=1．62+1．22=2，∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案为：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，∠B =∠B ∠B =∠B =90°B =B，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝2.4，∵PA =B2−B 2=0.7，∴AB ＝PA +PB ＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．设AB ＝x ，且AB ＝ND ＝x ．∵梯子的倾斜角∠BPN 为45°，∴△BNP 为等腰直角三角形，△PNM 为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND ＝15°．∵∠APM ＝75°，∴∠AMP ＝15°．∴∠DNM ＝∠AMP ，∵△PNM 为等边三角形，∴NM ＝PM ．∴△AMP ≌△DNM （AAS ），∴AM ＝DN ，∴AB ＝DN ＝AM ＝2.8米，即丙房间的宽AB 是2.8米．【总结提升】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．类型四立体图形中的最短距离问题【典例4】（2021春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要13cm．【思路引领】把立体图形转化为平面图形解决即可．【解答】解：将长方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，AB=52+122=13cm；故答案为：13【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式训练】1．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，圆柱形容器中，高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为20cm．（容器厚度忽略不计）【思路引领】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝16cm，BD＝12cm，∴在直角△A′DB中，A′B=162+122=20（cm）．故答案为：20．【总结提升】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．（2022春•桦甸市期末）如图，是一块长，宽，高分别为6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是85cm．【思路引领】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是AB=92+42=97（cm）．第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是AB=72+62=85（cm）．第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是AB=102+32=109（cm）．∴它需要爬行的最短路径是85cm．故答案为：85cm．【总结提升】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．3．（荆州中考）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．42dm B．22dm C．25dm D．45dm【思路引领】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝22dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝42dm．故选：A．【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．类型五选址满足条件问题【典例5】（2023春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=213km，A、B两村到河的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）．【思路引领】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可．【解答】解：如图所示，作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，此时AO+BO最小，∵AC＝2km，BD＝6km，∴BF＝4km，DE＝2km，∵AB＝213km，∴AF=(213)2−42=6（km），在Rt△BA'E中，由勾股定理得：A'B=′2+B2=62+(6+2)2=10（km），∴AO+BO＝10（km），∴铺设水管的总费用W＝10×2000＝20000（元）．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求AE＝13.3km．【思路引领】设AE＝x km，即可得到EB＝（20﹣x）km，结合DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B根据勾股定理列式求解即可得到答案．【解答】解：设AE＝x km，则EB＝（20﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，∵C、D两村到E站的距离相等，∴x2﹣40x+596＝x2+64，解得：x＝13.3，故答案为：13.3．【总结提升】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．类型六航海问题【典例6】（2023春•黄陂区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点Q，R处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．【思路引领】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．【解答】解：由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，∵162+122＝202，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，∴∠RPN＝40°，∴“海天”号沿北偏西40°方向航行．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．【变式训练】1．（2023秋•泰山区期末）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？【思路引领】由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面积求出BE=485海里，然后由勾股定理得CE=645海里，即可解决问题．【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°，∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∵MN⊥AC，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，=12AB•BC=12AC•BE，∵S△ABC∴BE=B⋅B B=12×1620485（海里），∴CE=B2−B2==645（海里），∴645÷8=85（小时）＝96分，∴9时30分+96分＝11时6分．答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．类型七受台风或噪声影响问题【典例7】（2022秋•清水县月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？【思路引领】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．【解答】解：（1）A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB＝300，∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；（2）如图，∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD=A2−B2=507，∴DE＝1007，则t===10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．【总结提升】本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．【变式训练】1．（2022春•紫云县期末）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【思路引领】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，∴AH=12OA＝40米，∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=B2−B2=502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意，构造出直角三角形是解题的关键．类型八求旗杆（大树）高度问题【典例8】（2023秋•开封期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（）A．14m B．15m C．16m D．17m【思路引领】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．【变式训练】1．（2023春•岳阳楼区期末）小华和小侨合作，用一块含30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆AB的高度为（）A．6.5米B．(63+0.5)米C．12.5米D．(65+0.5)米【思路引领】根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC＝BC，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：由题意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，∴BC＝2CD＝12米，A=63米，∵AD＝0.5米，∴B=(63+0.5)米，故选：B．【总结提升】本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•岱岳区期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则旗杆的高度为214米．【思路引领】在Rt△ABC中，由勾股定理得出关于AB的方程求解即可．【解答】解：如图，由题意可知，BD＝2米，BC＝5米，AC＝AB+BD＝（AB+2）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，即AB2+52＝（AB+2）2，解得AB=214，∴旗杆的高度为214米．故答案为：214．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．3．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为15米．【思路引领】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故这棵树高15m．【总结提升】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．类型九小鸟飞行距离问题【典例9】（2022秋•嵩县期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6B．8C．10D．12【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10m．故选：C．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．【变式训练】1．（2023秋•青羊区期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C 点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．（1）求出BC的长度；（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．【思路引领】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可求解；（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）由题意知∠B＝90°，∵AB＝20米，AC＝25米．∴BC=252−202=15米，（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝20﹣x，在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，∴x2＝（20﹣x）2+152，解得x=1258，∴小鸟下降的距离为1258米．【总结提升】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．类型十利用勾股定理表示无理数【典例10】（2022春•武昌区期末）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（）A．2B．4C．23D．25【思路引领】利用勾股定理计算可得结论．【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：42+22=20=25．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【思路引领】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可解决问题．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB=B2+B2=12+22=5，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB=5，∴OC＝AC+OA=5+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（5+1，0）．故答案为：5+1．【总结提升】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022秋•芗城区月考）用尺规作图在数轴上作出表示实数=10的点P（保留作图痕迹，不写作法）．【思路引领】过表示1的点A作数轴的垂线AB，在垂线上截取AB＝3，连接OB，以O为圆心，OB为半径作弧交数轴于P，则P即为所求的点．【解答】解：如图：点P表示的数即为10．【总结提升】此题主要考查了勾股定理以及作图，关键是掌握10是两直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长．3．（2023•长阳县一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（）A．3B．3−3C．3+12D．3−12【思路引领】如图：连接AE，则AE＝2、AD＝1，由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．【解答】解：如图：连接AE，则AE＝2，AD＝1，∴DE=B2−A2=22−12=3，∴CE＝CD﹣DE=3−3．故选B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．4．（2022秋•埇桥区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．3−1B．3−5C．5D．22【思路引领】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．【解答】解：连接AD，由题意知：AD＝AB＝3，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED=A2−B2=32−22=5，∴CD＝CE﹣DE＝3−5，故选：B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．。

人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)

求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,

人教数学八年级下册专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结.docx

初中数学试卷桑水出品专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ．4 D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB ==⑵8BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC ==， 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mAB CD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m在Rt ADE ∆中，由勾股定理得10AD =答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c = 解：①22221.52 6.25a b +=+=，222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=，22516a =，222bc a +≠ABC ∴∆不是直角三角形例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=，且264c =222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线，5BD DC ∴==cm在ABD ∆中，22169AD BD +=，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=.。

人教版数学八年级下册《勾股定理—利用勾股定理解决最值问题》课件

1
B3
B2
1
1
解：如图，将正方体展开。
12 + 1 + 1
2
= 5
2 =
12 + 1 + 1
2
= 5
3 =
12 + 1 + 1
2
= 5
B
B1
1
1
1
A
1 =
1
1
∴蚂蚁走的路程最短为 5cm。
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂蚁从顶点A出发，沿
长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程最短为多少厘米？
∴ 在Rt△A'BE中， A' B
A' E 2 BE 2 302 402 =50 (km)
∴ 最短距离为 AP+PB =A'P+PB =A'B =50(km）
∴ 总费用为 50×3= 150（万元）.
D
E
正方体中的最值问题
如果把圆柱换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，一只蚂蚁从A点出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
解：如图，将圆柱体展开，
BC=18÷2=9
C
AC=12
∵△ABC为直角三角形
∴ = 2 + 2 = 15
答：蚂蚁爬行的最短路线是15cm。
沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬行的最短路程。
C
B
A
D
我怎么走
会最近呢?
为什么这
样走最短？

人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（）A ．ACB ADB ∠=∠B ．AB BD =C ．AC AD = D ．CAB DAB ∠=∠3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°4．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4 5．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．96．下列四个命题中，真命题是（）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等7．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 8．下列命题中，真命题是（）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等9．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 10．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 11．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 12．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12 13．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 14．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b 15．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题16．如图所示的是一张直角ABC 纸片（90C ∠=︒），其中30BAC ∠=︒，如果用两张完全相同的这种纸片恰好能拼成如图2所示的ABD △，若2BC =，则ABD △的周长为______．17．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．18．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．19．如图，两根旗杆间相距22米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，=．已知旗杆此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM DMBD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是________秒．20．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．P m m-，当m=____时，点P在二、四象限的角平分线上．21．已知点(2,1)△的面积是22．如图，ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC， AB＝5，CD＝2，则ABD______23．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．24．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）25．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．26．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．三、解答题27．如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线EF 经过点C ，BF ⊥EF 于点F ，AE ⊥EF 于点E ．（1）求证：△ACE ≌△CBF ；（2）如果AE 长12cm ，BF 长5cm ，求EF 的长．28．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．29．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．30．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．。

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

人教数学八年级下册《勾股定理》典型例题分析.docx

八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用

人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

人教版八年级数学下册《利用勾股定理解决折叠问题的技巧》练习题(附带答案)

2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版

人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结

人教版八年级数学下册《勾股定理》（提高）知识点讲解及例题解析

勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)

八年级数学下第十七章勾股定理经典例题(人教版附答案和解释)

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理求最短路径问题优秀教学案例

勾股定理的应用十种最常考类型(解析版) 八年级数学下册专题训练

人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)

人教数学八年级下册专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结.docx

人教版初中数学八年级下册勾股定理知识点与常见题型总结

人教版数学八年级下册《勾股定理—利用勾股定理解决最值问题》课件

人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》知识点总结(含答案解析)

人教版八年级下册数学专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结