复变函数模拟试卷 答案
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杭州商学院2003/2004学年第一学期期末考试试卷
课程:复信号基础 班级: _
学号: 姓名: _
一． 填空题（14 x 1%）
1. z cos 的所有零点是（ ),2,1,0(,2
k k
），且都是（ 1 ）
级零点。
2. 判别
1
n n
n i 的收敛性：（ 条件收敛 ）（绝对收敛|条件收敛|发散）
3.
n z n
1
3
的收敛半径是（ 1 ），z arctan 的Taylor 展开式的收敛
半径是（ 1 ）。
4. )4(i Ln 的主值是（ )2
(4ln )4(
i i Ln ）。
5. 2
1 i
e
=（ ei i e e
i
)(2
1 ）。
6．i
3=（
3ln 2)23(ln 33i k k i i iLn i e e e e ）。
7. 0分别是z
e 1
和22sin z
z
的什么类型奇点：( 本性奇点 )和（ 可
去奇点 )。
8. 0是3]22
[sin
z e e z z
z 的（ 15 ）级极点。 9. 4)1(i =（
3,2,1,0,2)1(4
24
84
k e
i k i
）。
10．列举一个函数， 不是它的孤立奇点：（ z sin 1
）
11．写出Euler 公式： i e =（ sin cos i e i ）。
二、已知调和函数)4)((22y xy x y x u ，求解析函数iv u z f )(.（10%）
)42)(()4(22y x y x y xy x u x ，)24)(()4(22y x y x y xy x u y
y x x x iu u iv u z f )(
令y=0, )1(3)4(2)(22222i x x x i x x x f
iC z i z f z i z f 32)1()(3)1()(
三、把
3
)1(1
z 展开成 z 的以0为中心的幂级数。（7%） n n n n n n n n n z n n z n n z z z )1)(2()1(21)1()1(21)1(21)1(1!21)1(102
203
四、把
)
2)(1(1
z z 在1|2|0 z 和 |1|1z 展开成洛朗级数。（10%）
120 z ，
1
0)2()1()2()1(21)
2(11
211)2(1212111)(n n n n n n z z z z z z z z z z f
11z
4320
20)
2(022
)
1(1)1(1)1(1)1(1)1()1()1(1)
1(111)1(1
1)1(1112111)(z z z z z z z z z z z z z z f n n n n n n
五、把z
e z 13在 ||0z 展开成洛朗级数。（7%）
z z z z n z n z z e z z f n n n n z
!41!31!21!!)(2
30
3031
3
六、计算下列函数在有限奇点的留数：（2X4%） (1)
z
z sin 1
0是函数的二阶极点，)0( k k 是一阶极点，
0!3131
!311sin 0,sin 1Re 0
220
20
z z z z z z z s
k k k z z
k z z s k k )1(cos cos /1,sin 1Re
(2)
z
z
cos 2
k 是一阶极点，
2)1()2
sin(2sin 2,cos Re 12
k k k z z k z z s k k
七、计算下列积分：（4 X 5%） (1) dz i
z z C
)23
14(
, C: |z|=4. i i i dz i
z z C
142324)2314(
(2)
C
dz z z 23)2()1(1
，C: |z|=3,. 3)2()3(221)2(1!211),(Re 1
41
2
z z z f s 删除 00,1)21()1(Re 20,1)2()1(1Re 20,1)1(Re 22),(Re 1),(Re 2)2()1(1
2235
22131223
z z z z s i z z z s i z z f s i z f s z f s i dz z z C
(3) C
zdz tan ，C: |z|=4.
z tan 的奇点是Z k k ,2
1
，其中在积分曲线里的是5.0,5.1,5.2,5.3
都是一阶极点，
1sin sin 21,tan Re 2
1
k z z k z s
i i zdz C
16182tan
(4)
dz z z C
1
100
99
，C: 2|| z . i
z z s i z z z
s i z z z s i z z f s i dz z z C
20,111Re 20,11Re 20,11Re 20,1)1(Re 21100
2100210099210099