2020-2021年中考数学一轮复习 第4章 第17讲 解直角三角形
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点P. (1)如图①，当OA＝OB且AAOD＝14时，求tan∠BPC的值； (2)如图②，当AD∶AO∶OB＝1∶n∶2 n时，直接写出tan∠BPC的值．
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解：如图，延长AC至点H，使CH＝CA，连接BH. ∵C为OB中点，∠BCH＝∠OCA， ∴△BCH≌△OCA(SAS)． ∴∠CBH＝∠O＝90°，BH＝OA. 由AAOD＝14，设AD＝t，则OD＝3t， 则BH＝OA＝OB＝4t. 在Rt△BOD中， BD＝ （3t）2＋（4t）2＝5t，
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锐角三角函数的概念
1. 锐Biblioteka Baidu三角函数
如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)正弦：sin
A＝∠A斜的边对边＝
a c
．
(2)余弦：cos
A＝∠A斜的边邻边＝
b c
．
(3)正切：tan
A＝∠∠AA的的对邻边边＝
a b
．
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方向角 叫做方向角．如图，射线 OA 的方向为南偏西 25°；射线 OB 的方向为北偏西 70°；射线 OC 的方向为南偏东 60°
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中考状元 ·生物 4．解直角三角形的实际应用 (1)斜坡的坡度是1∶ 3，则坡角α＝ 30° . (2)如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1 200米，从飞机上
1. 解直角三角形的理论依据 在Rt△ ABC中，∠C＝90°，则： (1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2 (勾股定理)． (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝ 90° ． (3)边角之间的关系：锐角三角函数． 2. 解直角三角形的基本类型：已知两边求第三边或锐角；已知一边和一锐角，求 另外两边．
B．
26 26
C．
26 13
D．
13 13
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在网格中求锐角三角函数值都是通过构造寻找直角三角形，然后由定义求出相关 的函数值．
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中考状元 ·生物 2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方
形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2 ．
2. 特殊角的三角函数值
锐角三角函数值
锐角α
sin α cos α tan α
30°
1
33
223
45°
2 2
2 2
1
60°
31 22
3
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1．锐角三角函数
8
15
8
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.则sin A＝17，cos A＝17，tan A＝15 .
2．特殊角的三角函数值
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中考状元 ·生物 3. 解直角三角形的两种基本图形
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中考状元 ·生物 3．解直角三角形 如图，在△ABC中，sin B＝13，tan C＝ 22，AB＝3，则AC的长为 3．
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仰角、俯角；坡度(坡比)、坡角；方向角
仰角、 俯角
(1)计算：2sin 30°－3tan 45°＋4cos 60°；
(2)计算：cos
sin 45° 30°－tan
60°＋cos
45°·sin
60°.
解：(1)原式＝2×12－3×1＋4× 12＝0.
2
(2)
原式＝ 2 23－
＋ 22× 23＝－126. 3
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解直角三角形
(2)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值， 北师：九下第一章P2～P23；
由已知三角函数值求它的对应锐角．
华师：九上第24章P99～P124
(3)能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知
识解决一些简单的实际问题.
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第四章 三角形
第17讲 解直角三角形
忆知识·巧导妙引 过考点·夯实基础 破重难·讲透练活 练好题·课堂达标
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课标要求
版本导航
(1)利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角
函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角
的三角函数值．
人教：九下第二十八章P60～P85；
看地面控制点B的俯角α＝30°，则飞机A到控制点B的距离约为 2 400 米．
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中考状元 ·生物 (3)如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向
东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 40 海里．
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中考状元 ·生物 重难点 三角函数与相似三角形 【例3】 如图，在矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°， 点A，C分别落在点A′，C′处，如果点A′，C′，B在同一直线上，那么tan∠ABA′的 5－1
值为 2 ．
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中考状元 ·生物 3．已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，D为线段OA上一点，连接AC，BD交于
(1)朝上看时，视线与水平线的夹角为仰角． (2)朝下看时，视线与水平线的夹角为俯角． (3)两者的范围都是0°～90°
坡度 (1)坡度(坡比)：是指坡面的铅直高度与水平宽度 (坡比)、 之比．
坡角 (2)坡角：坡面与水平面的夹角
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续表 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于 90°的角
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重难点 构造直角三角形求三角函数值
【例 1】 求 tan 15°的值． 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD． 设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝ 3. tan D＝tan 15°＝2＋1 3＝2－ 3.
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1．求 tan 22.5°的值． 解：tan 22.5°＝（1＋a 2）a＝ 2－1.
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中考状元 ·生物 重难点 格点图形背景下的锐角三角函数
【例2】 (2020·南充)如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝
( B)
A．
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解：如图，延长AC至点H，使CH＝CA，连接BH. ∵C为OB中点，∠BCH＝∠OCA， ∴△BCH≌△OCA(SAS)． ∴∠CBH＝∠O＝90°，BH＝OA. 由AAOD＝14，设AD＝t，则OD＝3t， 则BH＝OA＝OB＝4t. 在Rt△BOD中， BD＝ （3t）2＋（4t）2＝5t，
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锐角三角函数的概念
1. 锐Biblioteka Baidu三角函数
如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)正弦：sin
A＝∠A斜的边对边＝
a c
．
(2)余弦：cos
A＝∠A斜的边邻边＝
b c
．
(3)正切：tan
A＝∠∠AA的的对邻边边＝
a b
．
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方向角 叫做方向角．如图，射线 OA 的方向为南偏西 25°；射线 OB 的方向为北偏西 70°；射线 OC 的方向为南偏东 60°
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中考状元 ·生物 4．解直角三角形的实际应用 (1)斜坡的坡度是1∶ 3，则坡角α＝ 30° . (2)如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1 200米，从飞机上
1. 解直角三角形的理论依据 在Rt△ ABC中，∠C＝90°，则： (1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2 (勾股定理)． (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝ 90° ． (3)边角之间的关系：锐角三角函数． 2. 解直角三角形的基本类型：已知两边求第三边或锐角；已知一边和一锐角，求 另外两边．
B．
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C．
26 13
D．
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在网格中求锐角三角函数值都是通过构造寻找直角三角形，然后由定义求出相关 的函数值．
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中考状元 ·生物 2．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方
形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2 ．
2. 特殊角的三角函数值
锐角三角函数值
锐角α
sin α cos α tan α
30°
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33
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45°
2 2
2 2
1
60°
31 22
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1．锐角三角函数
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如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.则sin A＝17，cos A＝17，tan A＝15 .
2．特殊角的三角函数值
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中考状元 ·生物 3. 解直角三角形的两种基本图形
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中考状元 ·生物 3．解直角三角形 如图，在△ABC中，sin B＝13，tan C＝ 22，AB＝3，则AC的长为 3．
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仰角、俯角；坡度(坡比)、坡角；方向角
仰角、 俯角
(1)计算：2sin 30°－3tan 45°＋4cos 60°；
(2)计算：cos
sin 45° 30°－tan
60°＋cos
45°·sin
60°.
解：(1)原式＝2×12－3×1＋4× 12＝0.
2
(2)
原式＝ 2 23－
＋ 22× 23＝－126. 3
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解直角三角形
(2)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值， 北师：九下第一章P2～P23；
由已知三角函数值求它的对应锐角．
华师：九上第24章P99～P124
(3)能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知
识解决一些简单的实际问题.
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第四章 三角形
第17讲 解直角三角形
忆知识·巧导妙引 过考点·夯实基础 破重难·讲透练活 练好题·课堂达标
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课标要求
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(1)利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角
函数(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角
的三角函数值．
人教：九下第二十八章P60～P85；
看地面控制点B的俯角α＝30°，则飞机A到控制点B的距离约为 2 400 米．
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中考状元 ·生物 (3)如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向
东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 40 海里．
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中考状元 ·生物 重难点 三角函数与相似三角形 【例3】 如图，在矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°， 点A，C分别落在点A′，C′处，如果点A′，C′，B在同一直线上，那么tan∠ABA′的 5－1
值为 2 ．
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中考状元 ·生物 3．已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，D为线段OA上一点，连接AC，BD交于
(1)朝上看时，视线与水平线的夹角为仰角． (2)朝下看时，视线与水平线的夹角为俯角． (3)两者的范围都是0°～90°
坡度 (1)坡度(坡比)：是指坡面的铅直高度与水平宽度 (坡比)、 之比．
坡角 (2)坡角：坡面与水平面的夹角
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续表 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于 90°的角
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重难点 构造直角三角形求三角函数值
【例 1】 求 tan 15°的值． 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD． 设AC＝1，则BD＝BA＝2，BC＝ 3. tan D＝tan 15°＝2＋1 3＝2－ 3.
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1．求 tan 22.5°的值． 解：tan 22.5°＝（1＋a 2）a＝ 2－1.
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中考状元 ·生物 重难点 格点图形背景下的锐角三角函数
【例2】 (2020·南充)如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝
( B)
A．
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