圆中最定值
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
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揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213.答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________．解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.答案 64．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于2 2，由点到直线的距离公式，得12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－b22且b∈[－2，2]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋(b－1)2＝12b2－2b＋2，因此当b＝－2时，d取最大值，此时d max＝3＋22＝2＋1.答案2＋15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由P A＝PB易知四边形P ACB的面积＝12(P A＋PB)＝P A，故P A最小时，四边形P ACB的面积最小．由于P A ＝PC2－1，故PC最小时P A最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，P A＝PC2－1＝22，所以四边形P ACB面积的最小值是2 2.答案2 26．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 27．若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－28．过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝12.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝09．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)10．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 5 二、解答题11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152. 则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝⎛⎭⎪⎫1522＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝12， 得(x 0＋6)2＋y 20(x 0－s )2＋(y 0－t )2＝12，整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.①又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎨⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0，解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．13．已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．14. 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.又∵e ＝12，即c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ→＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．。
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真题感悟(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.考点整合1.最值与范围问题(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.(2)常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一 最值与范围问题【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.热点二 与圆有关的定点问题【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，从而x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 故以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】 已知圆x 2＋y 2＝9的圆心为P ，点Q (a ，b )在圆P 外，以PQ 为直径作圆M 与圆P 相交于A ，B 两点.(1)试判断直线QA 与圆P 的位置关系；(2)若QA ＝QB ＝4，试问点Q 在什么曲线上运动？(3)若点Q 在直线x ＋y －9＝0上运动，问：直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)因为以PQ 为直径的圆M 与圆P 相交于A ，B ，所以P A ⊥QA ，又AP 为圆P 的半径，所以AQ 为圆P 的切线，从而直线QA 与圆P 相切.(2)因为P A ⊥QA ，AP ＝3，AQ ＝4，所以PQ ＝32＋42＝5，故点Q 在以P 为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q (a ，b )在直线x ＋y －9＝0上，所以点Q (a ，9－a )，所以，以PQ 为直径的圆M 的方程为x 2＋y 2－ax －(9－a )y ＝0，又AB 为圆P 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为ax ＋(9－a )y －9＝0，即a(x－y)－9y－9＝0，从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的定值问题【例3】(2018·高邮调研)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x－y＋22＝0，点P是直线l上的动点，过点P作圆O的切线P A，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，对于圆O上任意一点M，平面内是否存在一定点R，使MR MP为定值？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.解(1)连接OP，OA，OB，因为P A，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OA⊥P A，OB⊥PB.因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2.设点P的坐标为(t，t＋22)，则t2＋(t＋22)2＝4，t2＋22t＋2＝0，即(t＋2)2＝0，解得t＝－2，所以点P的坐标为(－2，2).(2)假设存在符合条件的定点R.设点M(x，y)，R(x0，y0)，MR2MP2＝λ，则x2＋y2＝1，即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋2)2＋(y－2)2]，整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(22x－22y＋5)，上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，则⎩⎨⎧－2x 0＝22λ，－2y 0＝－22λ，x 20＋y 20＋1＝5λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，x 0＝－24，y 0＝24或⎩⎨⎧λ＝1，x 0＝－2，（舍去）y 0＝2.所以R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， 经检验，符合条件MR MP ＝12，所以对于圆O 上任意一点M ，平面内存在一定点R ，使MR MP 为定值，且R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24. 探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M 的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M 的坐标无关来研究问题.【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与坐标轴交于点A 1，A 2，B 1，B 2(如图).(1)点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，A 2Q ，A 1Q 与直线y ＋3＝0交于不同的两点M ，N ，求MN 的最小值；(2)点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.(1)解 由题意可设直线A 2Q 的方程为y ＝k ′(x －2)，直线A 1Q 的方程为y ＝－1k ′(x＋2)，k ′≠0.由⎩⎨⎧y ＝k ′（x －2），y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3k ′，y ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k ′（x ＋2），y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3k ′－2，y ＝－3. 所以直线A 2Q 与直线y ＋3＝0的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ′，－3， 直线A 1Q 与直线y ＋3＝0的交点为N (3k ′－2，－3)，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4. 当k ′＞0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥6－4＝2，当且仅当k ′＝1时等号成立； 当k ′＜0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥|4－(－6)|＝10，当且仅当k ′＝－1时等号成立. 故线段MN 长度的最小值是2.(2)证明 由题意可知点A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，A 2P 的斜率为k ，所以直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 2＋y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＋1，－4k k 2＋1， 则直线B 2P 的方程为y ＝－k ＋1k －1x ＋2， 令y ＝0，则x ＝2（k －1）k ＋1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k －1）k ＋1，0. 因为直线A 1B 2的方程为x －y ＋2＝0，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋2k －1，y ＝4k k －1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k －1，4k k －1， 所以EF 的斜率m ＝4kk －12k ＋2k －1－2（k －1）k ＋1＝k ＋12， 所以2m －k ＝2·k ＋12－k ＝1(定值).【新题感悟】 (2019·苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________.解析 直线l 的斜率k 不存在或为0时均不成立，设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆心C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1.因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，化为：16k 2－8k 2m ＝3k 2＋3，k 2＝313－8m＞0，得：m ＜138.又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1，即3m 2＋8m －16＜0，解得：－4＜m ＜43.综上，－4＜m ＜43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，43一、填空题1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22.(2019·靖江调研)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：3x＋4y－17＝0.若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为________.解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos θ＝ACCM＝1CM，知当θ最小时，cos θ最大，即CM最小，那么CM⊥l，所以k AB＝k l＝－34.设直线AB的方程为3x＋4y＝m.又由CM＝|3＋4－17|5＝2，此时cos θ＝12，则点C到直线AB的距离为AC cos θ＝12，即1 2＝|3＋4－m|5，解得m＝192或m＝92，经检验m＝192，则直线AB的方程为6x＋8y－19＝0.答案6x＋8y－19＝03.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.解析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与直线2x＋y－4＝0垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直径最小，此时OD＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4 5π.答案4 5π4.(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝22，所以2≤S△ABP≤6. 答案[2，6]5.(2019·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________.解析圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－4 3.答案－4 36.(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.解析设P(x0，2ln x0)，x0>0，则函数y＝2ln x在点P处的切线斜率为2x0，则2x0·2ln x0x0－3＝－1，即4ln x0＝－x0·(x0－3)①.由二次函数y＝f(x)的图象经过点O和M可设f (x )＝ax (x －3)，代入点P (x 0，2ln x 0)，x 0>0，得2ln x 0＝ax 0(x 0－3) ②.由①②比较可得a ＝－12，则f (x )＝－12x (x －3)，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98.答案 987.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________.解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心(0，0)到直线2ax ＋by ＝1的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数图象为对称轴为b ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∴f (b )min ＝f (2)＝12(2－2)2， ∴d 的最小值为12（2－2）2＝（2－1）2＝2－1.答案2－18.(2019·南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________. 解析 设AB 的中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即|OD →|2≥18|AB →|2.再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d ＜r ，得|b |2＜3，所以－32＜b ＜32，根据|OD→|2≥18|AB →|2，|AB →|2＝4(9－OD →2)，得|OD →|2≥3.由点到直线的距离公式可得|OD →|2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－ 6.综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32). 答案 (－32，－6]∪[6，32) 二、解答题9.如果实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值； (2)求2x －y 的最小值.解 (1)问题可转化为求圆(x ＋2)2＋y 2＝3上任意一点到原点连线的斜率k ＝yx 的最大值，由图形性质可知，由原点向圆(x ＋2)2＋y 2＝3作切线，其中切线斜率的最大值即为yx 的最大值.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由|－2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝3或k ＝－3，所以yx 的最大值为 3.(2)将2x －y 看作直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的纵截距的相反数，当直线y ＝2x ＋b 与圆(x ＋2)2＋y 2＝3相切时，纵截距b 取得最大值或最小值.此时|－4＋b |22＋1＝3，所以b ＝4±15，所以2x －y 的最小值为－4－15. 10.(2019·扬州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度； (2)如图，设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，点M关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于(0，m )和(0，n )，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由于圆心(0，0)到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|2＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1(－x 1，－y 1)，M 2(x 1，－y 1)， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，可得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0，求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0，求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.所以mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝x 22（4－x 21）－x 21（4－x 22）x 22－x 21＝4. 故mn 为定值.11.如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP→是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.解 (1)由圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上.由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1，2). 设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP→＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2BA →·BP →； 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10. 综上所述，(BM →＋BN →)·BP→为定值－10.。
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
抓住2个考点
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5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到 达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________． 解析 因为点 A(－1,1)关于 x 轴的对称点为 B(－1，－1)，圆心 为(2,3)，所以从点 A(－1,1)出发经 x 轴反射，到达圆 C 上一点 的最短路程为 －1－22＋－1－32－1＝4.
BN，得A→M·B→N＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以 3＋t1t2＝0，即 t1t2
＝－3.
所以 MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2 －t1t2＝2
当且仅当 t1＝ 3，t2＝－ 3时等号成立．
故 MN 的最小值为 2 3.
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3.
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(2)证明 由(1)得 t1t2＝－3.以 MN 为直径的圆的方程为(x－2)2 ＋(y－t1)(y－t2)＝0， 即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0， 也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
抓住2个考点
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考点梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点 几何观点
Δ_＜__0 d_＞__r
Δ_＝__0 d_＝__r
Δ_＞__0 d_＜__r
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答案 4
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初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
圆中的定值问题
圆中的定值问题(一）探究a b⋅型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。
点P是上一动点，连接CP并延长交x轴⋅为定值，并求其于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上运动时，试探究MQ MH值。
练习2、（2010•深圳）如图1所示，以点M（-1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分x交y轴于点F．（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M 于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足M N•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB 于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．（1）求证：BE=IE；（2）若AI⊥CE，①求⊙A的半径；②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G 点，求AT•AG的值；4、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAP的值；（3）AD•AE的值．圆中的定值问题（二）探究a b 型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P 是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.变式练习.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.例.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，当点P在上运动时，探究PC PDPB+为定值，并求其值.练习1、如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，若点P在上运动时，探究PC PDPB-为定值，并求其值.练习2、如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧BC 上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD，当P点在运动时（不与B、C两点重合），给出下列两个结论:①确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值。
直线和圆中的最值求解方法
直线和圆中的最值求解方法作者：赵建勋来源：《中学生理科应试》2014年第04期直线和圆是解析几何的重要内容，而最值问题是其重要题型，解这类题不仅要灵活用到直线和圆的有关知识，而且还要用到求最值的各种方法，解法相当灵活，现举例方法说明，供同学们复习时参考.一、建立二次函数用顶点法例1在直线L∶y=2x上求一点P，使P点到两定点A（3，0）、B（0，4）的距离的平方和为最小.解设P（x,2x)，则有|PA|2+|PB|2=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2=10x2-22x+25∵a=10>0,∴抛物线开口向上，∴函数在顶点处取得最小值.∴当x=-b2a=--222×10=1110时，|PA|2+|PB|2取最小值，故P点坐标为（1110，115）.点评二次函数求最值一般用配方法，本题只求x的值，所以用顶点法要简单.二、设角为自变量用三角法例2过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正向于A、B两点，求|PA|·|PB|最小时的直线l 的方程.分析此直线过已知点，求出斜率即可，若直接设斜率为k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.设角为自变量即可转化为三角函数求最值，易求斜率.图1解如图1，过P做PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设∠BAO=θ，则∠BPD=θ,则|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.三、建立一元二次方程用判别式法例3已知直线l1∶y=4x，和点P（6，4），在直线l1上求一点Q，使过P、Q的直线与l1以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.图2解如图2，设Q（x1,4x1)，则直线PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.令y=0，得x=5x1x1-1,故点A的坐标为（5x1x1-1,0).∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.即10x21-Sx1+S=0(1)∵x1为实数，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,∴S≥40，将S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.故点Q（2，8）.点评问题转化为函数后为分式函数，可考虑用判别式法求最值.四、注意变元为正，用均值不等式法例4过已知点P（1，4）引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这条直线的方程.解设在两个坐标轴上的截距分别为a、b，则所求直线方程为xa+yb=1.(1)将P（1，4）代入方程（1）得1a+4b=1，解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.设截距之和为L，则L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4≥5+2(b-4)·4b-4=5+24=5+4=9.当且仅当b-4=4b-4时取等号，即b=6或b=2.此时a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.故所求直线方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.点评构造变元积为定值，求和的最小值.关键是作b=b-4+4的技巧性的变形.五、注意转化，巧用函数的单调性图3例5如图3，在平面直角坐标系中，在y轴正半轴上（坐标原点除外）给定两点A、B，C点在x轴正半轴上移动，问C点在何处时∠ACB最大，并求最大值.分析要求角的最值，先取一个函数，求函数的最值，关键是用函数的单调性.解设A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)记y=xab+abx≥2,当且仅当x=ab时，y取最小值2.因此，当x=ab时，tanα取最大值a-b2ab.∵在(0,π2)内y=tanα是增函数，∴C点在（ab,0)时，α取最大值arctana-b2ab.即C点在（ab,0）时，∠ACB取最大值，这个最大值为arctana-b2ab.点评此题是求角的最大值，形式新颖，解法灵活、技巧性强，值得一学.六、注意数形结合，巧用对称法例6已知圆C：（x-3)2+(y-1)2=4和直线l:x-y-5=0，在C上求两点，使它们和l的距离分别是最近和最远.解已知圆的圆心为C（3，1），过C点作直线l′⊥l于D，且l′交圆C于A1、A2，又圆是中心对称图形，所以A1、A2是与l的距离分别是最近和最远的点.离垂足近者为最近距离点，离垂足远者为最远距离点.∵直线l的方程为y=x-5,∴kl=1,则kl′=-1.故直线l′的方程为y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程组y=-x+3+1(x-3)2+(y-1)2=4①②把①代入②后，化简整理，得2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,∴x-3=±2,x=3±2，代入①得y1=1-2,y2=1+2.故所求两点是（3+2,1-2),(3-2,1+2).七、注意转化，巧用公式a2+b2≥2ab法例7设满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.解设圆的圆心为P（a,b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°，知圆截x轴所得弦长为2r，故r2=2b2.又圆P截y轴所得长为2,所以有r2=a2+1.从而2b2-a2=1.又点P（a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|5.所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，从而d有最小值.此时a=b2b2-a2=1,解方程组得a=1b=1,或a=-1b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.于是所求圆的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.八、巧变形，用一次函数的单调性法例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分 别为a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P 为△ABC内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值.解由cosAcosB=ba，根据正弦定理，有cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B.∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.图4如图4，设△ABC内切圆的圆心为O′，切点为D、E、F，内切圆半径为r，则2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.建立如图4的直角坐标系，则内切圆方程为（x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为（x,y),则P点到A、B、C的距离的平方和为W=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76=88-4x∵P点在内切圆上，故必有0≤x≤4.∴W最大值=88；W最小值=72.点评解此题的关键是证明△ABC为直角三角形，写出内切圆方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函数式中凑出（x-2)2+(y-2)2=4，整体代入4，为用一次函数单调性创造条件，方法灵活、技巧性强，值得一学.(收稿日期：2013-06-15)。
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
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【训练 2】 (2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 x－y＋1＝0 截以原点 O 为圆心的圆所得弦长为 6. (1)求圆 O 的方程； (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于点 D、E， 当 DE 长最小时，求直线 l 的方程； (3)设 M、P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 x 轴于点(m,0)和(n,0)，问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
所
以PPAB22＝
xx＋＋95522＋＋yy22＝xx22＋ ＋11580xx＋＋92－5＋x29＋－82x152＝
12285··55xx＋＋1177＝
9 25
.
从而PB＝3为常数． PA 5
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得PPAB为常数 λ，则 PB2＝ λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将 y2＝9－x2 代入，得 x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)， 即 2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0 对 x∈[－3,3]恒成立，
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解 (1)设所求直线方程为 y＝－2x＋b，即 2x＋y－b＝0. 因为直线与圆相切， 所以 |2－2＋b|12＝3，得 b＝±3 5. 所以所求直线方程为 y＝－2x±3 5. (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0)． 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点(－3,0)时，PPAB＝|t＋2 3|；
故 mn＝2 为定值．
圆中的定点、定值问题
圆中的定点定值问题问题1．直线2y －3－m (2x ＋y －2)＝0必过一定点，定点的坐标为 ．(14，32)2．圆方程为：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，其必过定点，定点的坐标为 ．(0，2)和(45，25)例1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．解：设P (2m ，m )，MP 的中点Q (m ，m2＋1)，因为P A 是圆M 的切线所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为：(x －m )2＋(y －m 2－1)2＝m 2＋(m2－1)2，化简得：x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式， 故2220,220.x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得02x y =⎧⎨=⎩，或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，25)．变式：直线AB 是否过定点？如果存在定点，求出所有定点；如果不存在，说明理由．解：直线AB 即为圆Q 与圆M 的公共弦所在直线，两圆方程相减得AB ：mx ＋my －2y －2m ＋3＝0，整理为：m (2x ＋y －2)－2y ＋3＝0，此式是关于m 的恒等式，故220,230.x y y +-=⎧⎨-+=⎩解得1432x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1和y 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆M 上不同于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交x 轴于E ，F 两点．当点P 变化时，以EF 为直径的圆H 是否经过圆M 内一定点？请证明你的结论．证明：设P (m ，n )，则m 2＋(n －2)2＝1，∵A (0，3)，B (0，1)，∴l AP ：y －3＝n －3m x ，l BP ：y －1＝n －1m x ，∴E (3m3－n，0)， F (m 1－n ，0)，故以EF 为直径的圆方程：(x －3m 3－n )( x －m1－n)＋y 2＝0， 把m 2＋(n －2)2＝1代入整理得：x 2＋y 2＋6－4nmx －3＝0， 令x ＝0得y ＝±3，∵在圆内，∴过定点(0，3)．法二：可设AP 斜率为k ，则PB 斜率为－1k ，分别求出直线方程和交点，计算更简单．例3．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，点A (0，－3)，若在直线OA 上（O 为坐标原点）存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆M 上任意一点P ，都有PBP A为一常数，求所有满足条件的点B 的坐标． 解：设B (0，t )(t ≠－3)，使得PBP A为常数λ，则PB 2＝λ2P A 2，∴x 2＋(y －t )2＝λ2[x 2＋(y ＋3)2]，将x 2＝1－(y －2)2代入得， (4－2t －10λ2)y ＋t 2－3－6λ2＝0对y ∈[1，3]恒成立，xy． BAP OM yxB A P OM EFyx∴22242100,360.t t λλ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩解得1,59.5t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,3.t λ=⎧⎨=-⎩(舍去)， 所以存在点B (0，95)对于圆M 上任一点P ，都有PB P A 为常数15．例4． 已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：（1）设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2．（2）由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0．因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2．同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．例5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1，0)．（1）若l 1与圆相切，求l 1的方程；（2）若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由． 解：（1）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意． ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0．由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34． ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0．（2）(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．∴AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM ·AN 是定值，且为6．(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1．再由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，(x －3)2＋(y －4)2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0．∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k ＋61＋k 2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2．以下同解法1．。
高中数学-圆中的最值问题
圆中的最值问题例：平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆上的一点，试求的最大值与最小值，并求相应的P点坐标。
错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得，设点P的坐标为，则点P（）在已知圆上，同理，，即。
的最大值为116，最小值为4。
错解2：设点P的坐标为（），则当时等号成立，把代入圆的方程化简，得，解得，取较小值得，这时。
的最小值为，而无最大值。
错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把看成相互独立的，能同时达到最大值、最小值的量。
实际上作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受的约束，这个约束条件表示了与的最大取值区间。
但是，当、成为没有联系的独立变量后，就不一定同时满足约束条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。
例如当取得最大值5时，只能等于4，不能取得最大值6；当取得最大值6时，只能等于3，不能取得最大值5。
同样也不能同时取得最小值。
在不等式的性质中，若“”，但反之，由“”，也就是说，的充分不必要条件。
错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集，比如：设，，可以得到：然而，由却得不出，只能得出。
这是因为中的不是独立的，而是相互制约的，从而扩大了所求S的取值范围。
比如，，但是是不成立的，因为，这也是由于与都受条件约束，当与离开约束条件以后，的范围明显发生了改变，即扩大了取值范围。
错因分析2：在错解2中，利用不等式求最值，不等式的一边必须为定值，若乘积为定值m，则当时，平方和的最小值为；若平方和为定值n，则当时，乘积的最大值为。
但因错解2中乘积不是定值，因而不能应用这一方法求最值。
正解：把已知圆的一般方程化为标准方程得，设点P的坐标为，则点P在已知圆上，的最大值是100，这时点P的坐标是。
S的最小值是20，这时点P的坐标是（）。
印象文华：不等式的性质是解题的理论基础，要深刻理解与正确应用不等式的性质，不仅要弄清每一个性质的条件和结论各是什么，还需要弄清条件和结论之间是“单向”的（如就是单向的，即条件是结论的充分不必要条件；还有，但等也是单向的）、不可逆的，还是“双向”的（如的充分必要条件，即）。
几种常见的有关圆的最值问题
责任编辑:彭深2020748334@几种常见的有关圆的最值问题圃石爱英有关圆的最值问题,在中考中常常以选择、填空的形式出现,这类试题“小而精”，但涉及的知识面广，综合性强。
很多同学对解决这类问题常会感到束手无策。
本文以常见的几种类型入手，带大家一起感悟解决这类问题的思路和方法。
一、利用垂线段最短求最值例1（2019-嘉兴）如图1,在（00中，弦4B=1,点C在AB上移动，连接0C,过点C作CD丄0C交于D点，则CD的最大值为________O【分析】首先连接0D,因为OC1CD.根据勾股定理得CD2^OD2-OC2，因为0D 是定值，所以当0C最小时，CD取到最大值。
解:^OD,.-.OC±CD,根据勾股定理,有cD^oiy-oc2,•••0。
是定值，当0C最小时,CD最大,此时D与B重合，由垂径定理可得:CD=^AB=|o［点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，难度适中。
掌握辅助线的作法,得到当OC1AB时,0C最短是关键o二、利用对称求最值例2如图2,在中，AB是G>0的直径,AB=8cm,AC^CD=BD,M是<4/?上一动点，则CM+DM的最小值是【分析】如图3,作点C关于的对称点C,连接CD与相交于点M.根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM最力、时的位置,根据垂径定理可得AC=AC',然后求出C'D为直径,从而得解。
解:作C关于的对称点C',连接CD,与仙相交于点M,如图3,此时，点M为CM+DM最小时的位置，由垂径定理得紀=紀，，策略方法•••犹=丽=而肿为直径，：.C'D为直径，CM+DW的最小值是8cm。
【点评】本题考查了用轴对称确定最短路线问题、垂径定理,熟记定理并作出图形,判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。
三、利用坐标求最值例3如图4,在平面直角坐标系中，已知点4(l,0),B(l-a,0),C(l+a,0) (a>0),点P在以0(4,4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足Z_BPC=90°,图4【分析】首先得到AB=AC=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出上的点P 到点4的最大距离即可解决问题。
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
圆中最值域定值问题研究类型一、例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B （0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____类型三、随动位似隐圆例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________[分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=12AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
解题技巧专题：圆中的最值问题(含隐圆问题)
8．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延 长线上一点，BC＝m.过点C任作一直线l，若l上总 存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直， 则∠ACP的最大值等于 45°.
解析：设PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互 相垂直，则∠MON＝90°.∴四边形PMON是正方 形．根据勾股定理求得OP＝ 2m.∴P点在以O为圆 心，以 2m长为半径的大圆⊙O上．过C点作大 ⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值， 如图所示．∵PC是大圆⊙O的切线， ∴OP⊥PC.∵OC＝2m，OP＝ 2 m， ∴PC＝ OC2 OP2＝ 2m.∴OP＝PC. ∴∠ACP＝45°. ∴∠ACP的最大值等于45°.故答案为45°.
(2)解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线． ∴OF＝ 1 BC＝3.
2 ∴DF＝OD－OF＝5－3＝2.
(3)若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段 AB上任意一点，试求出PC＋PD的最小值． (3)解：作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于 P，连接OC，如图． ∵PC＝PC′， ∴PD＋PC＝PD＋PC′＝DC′. ∴此时PC＋PD的值最小． ∵ AD＝CD，∴∠COD＝∠AOD＝80°.
9．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2， AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝ 2 3 .
解析：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交 于＝＝O2点BP2＝，′，12∠当AAB点D＝PO2与＝.∵P∠′A重ADO合＝D时2＝，，∠∠DOBPDA最CD短＝＝，4950则°°A.，∴O∴＝DPOO′＝DP′ OD－OP′＝2 2－2.过P′作P′E⊥CD于点E，则易得 P′E＝DE＝2－ 2.∴CE＝CD－ DE＝ 2＋2.∴CP′＝ PE2 CE2 ＝2 3.故答案为2 3.
圆中的定弦定角和最大张角模型(解析版)--中考数学满分突破
圆中的定弦定角和最大张角模型模型分析【模型1】定弦定角模型如图28-1，在ΔABC中，BC的长为定值a，∠A=α为定角度，(1)确定点A的运动轨迹，有3种情况：①如图28-2，当α<90°时，点A的运动轨迹为优弧BAC(不与B、C点重合)；②如图28-3，当α=90°时，点A的运动轨迹为⊙O(不与点B、C重合)；③如图28-4，当α>90°时，点A的运动轨迹为劣弧BAC(不与B、C点重合)。
(2)构成等腰三角形(AB=AC)时：点A到BC的距离最大，且此时ΔABC的面积最大。
【模型变式1】如图28-5，已知点A、B是∠EPF的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，∠AQB最大。
⇒当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。
【证明】如图28-6，作ΔAQB的外接圆⊙O，设点Q 为PE上不同与Q点的任意一点，连接Q A、Q B，Q A与⊙O交于点D，连接BD，∵∠ADB>∠AQ'B,∠AQB=∠ADB∵∠AQB>∠AQ'B∴当ΔAQB的外接圆与边PE相切于点Q时，∠AQB最大。
典例分析【例1】如图，在△ABC中，AC=6，BC=83，∠ACB=60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接CE ．首先证明∠BEC =120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．【解析】解：如图，连接CE ．∵AP ∥BC ，∴∠PAC =∠ACB =60°，∴∠CEP =∠CAP =60°，∴∠BEC =120°，∵BC =83,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC上运动，过点M 作MN ⊥BC ∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°，则劣弧BC度数为120°∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8，∴连接MA 交BC于E ′，此时AE ′的值最小．∵∠ACB =60°，∠BCO =30°，∴∠ACM =90°，∴MA =MC 2+AC 2=82+62=10，∴AE 的最小值为=10-8=2．故答案为：2【例2】数学概念若点P 在ΔABC 的内部，且∠APB 、∠BPC 和∠CPA 中有两个角相等，则称P 是ΔABC 的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ΔABC 的“强等角点”.理解概念(1)若点P 是ΔABC 的等角点，且∠APB =100°，则∠BPC 的度数是°.(2)已知点D 在ΔABC 的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足∠BDC +∠BAC <180°，作ΔBCD 的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当ΔBCD 的边满足下面的条件时，求证：P 是ΔABC 的等角点.(要求：只选择其中一道题进行证明！)①如图①，DB =DC②如图②，BC =BD深入思考(3)如图③，在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 均小于120°，用直尺和圆规作它的强等角点Q .(不写作法，保留作图痕迹)(4)下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.(填序号)【答案】(1)100、130或160；(2)选择①或②，理由见解析；(3)见解析；(4)③⑤【分析】(1)根据“等角点”的定义，分类讨论即可；(2)①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；(3)根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；(4)根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【解析】(1)(i )若∠APB =∠BPC 时，∴∠BPC =∠APB =100°(ii )若∠BPC =∠CPA 时，∴∠BPC =∠CPA =12(360°-∠APB )=130°；(iii )若∠APB =∠CPA 时，∠BPC =360°-∠APB -∠CPA =160°，综上所述：∠BPC =100°、130°或160°故答案为：100、130或160．(2)选择①：连接PB ,PC∵DB =DC ∴DB =DC∴∠BPD =∠CPD∵∠APB +∠BPD =180°，∠APC +∠CPD =180°∴∠APB =∠APC∴P 是ΔABC 的等角点．选择②连接PB ,PC∵BC =BD ∴BC =BD∴∠BDC =∠BPD∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形，∴∠BDC +∠BPC =180°∵∠BPD +∠APB =180°∴∠BPC =∠APB∴P 是ΔABC 的等角点(3)作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°-∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12(360°-∠BQC)=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点Q即为所求．(4)③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15°∴∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=135°，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=105°，∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由(3)可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由(3)可知，当ΔABC的三个内角都小于120°时，ΔABC必存在强等角点Q．如图④，在三个内角都小于120°的ΔABC内任取一点Q ，连接Q A、Q B、Q C，将ΔQ AC绕点A逆时针旋转60°到ΔMAD，连接Q M，∵由旋转得Q A=MA，Q C=MD，∠Q AM=60°∴ΔAQ M是等边三角形．∴Q M=Q A∴Q A+Q B+Q C=Q M+Q B+MD∵B、D是定点，∴当B、Q 、M、D四点共线时，Q M+Q B+MD最小，即Q A+Q B+Q C最小．而当Q 为ΔABC的强等角点时，∠AQ B=∠BQ C=∠CQ A=120°=∠AMD，此时便能保证B、Q 、M、D四点共线，进而使Q A+Q B+Q C最小．故答案为：③⑤．模型演练一、单选题1.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，若∠ABC=20°，则∠BDC的度数是()A.50°B.60°C.80°D.70°【答案】D【分析】由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=20°可知∠CAB=70°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=20°，∴∠CAB=70°，∴∠BDC=∠CAB=70°，故选：D．2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，且AC=BC，∠ADC=130°，则∠ADB的度数为()A.50°B.60°C.70°D.80°【答案】D【分析】利用等边对等角，同弧上的圆周角相等，三角形内角和定理联合解题即可．【解析】∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，2∠CAB+∠BCA=180°，∵∠ADC=130°，∴∠ADB+∠BDC=130°，∵∠BDC=∠CAB，∠BCA=∠ADB，∴2∠ADB+2∠CAB=260°①，2∠CAB+∠ADB=180°②，①-②，得∠ADB=80°，故选D．3.如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．设∠ABC=25°，则∠BDC=()A.85°B.75°C.70°D.65°【答案】D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．【解析】解：∵C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=25°，∴∠BAC=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠BAC=65°，故选：D．4.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB=60°，则∠ADC的度数为()A.20°B.30°C.40°D.60°【答案】B【分析】由圆周角定理，得到∠ACB=90°，则∠ABC=30°，即可求出答案．【解析】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴∠ADC=30°；故选：B．二、填空题5.如图，点D在半圆O上，半径OB=5，AD=4，点C在弧BD上移动，连接AC，作DH⊥AC，垂足为H，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是．【答案】222-2【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得BH取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．【解析】如图，设AD的中点为点E，则EA=ED=12AD=12×4=2由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时BH取得最小值，EH=2连接BD∵AB为半圆O的直径∴∠ADB=90°∴BD=AB2-AD2=(5+5)2-42=221∴BE=BD2+ED2=(221)2+22=222∴BH=BE-EH=222-2故答案为：222-2．6.如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是．【答案】60°【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠CAB= 30°，即可求得∠B的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数．【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠B=90°-∠CAB=60°，∴∠D=∠B=60°．故答案为：60°．7.如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A =30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是．【答案】1【分析】当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD所对弧的中点，则AC⊥BD，利用圆周角定理得到∠BOC=30°，接着计算出BH的长，则可计算出S△ABC=12，从而得到四边形ABCD的面积的最大值．【解析】解：当A点和C点到BD的距离最大时，四边形ABCD的面积最大，此时A点和C点为BD 所对弧的中点，∴AC为⊙O的直径，如图，∴AC ⊥BD ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =30°，在Rt △OBH 中，BH =12OB =12，∴S △ABC =12•BH •AC =12×2×12=12，∴四边形ABCD 的面积=2×12=1，∴四边形ABCD 的面积的最大值为1．故答案为1．8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BAC =50°，∠AED =75°，则AD 的度数是°．【答案】50【分析】连接OA ，OD ，首先根据同弧所对圆周角相等可得∠BDC =∠BAC =50°，再根据三角形外角的性质即可求得∠ABD 的度数，再根据圆周角定理可求得∠AOD =50°，由此即可求得答案．【解析】解：如图，连接OA ，OD ，∵∠BDC =∠BAC ，∠BAC =50°，∴∠BDC =∠BAC =50°，又∵∠AED =75°，∴∠ABD =∠AED -∠D =75°-50°=25°，∴∠AOD =2∠ABD =50°，∴AD的度数是50°，故答案为：50．9.如图，∠MAN =45°，B 、C 为AN 上两点，AB =1，BC =3，D 为AM 上的一个动点，过B 、C 、D 三点作⊙O ，当sin ∠BDC 的值最大时，⊙O 的半径为【答案】52-42【分析】由题意知，∠BDC 小于90o ，，当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时AD 2=AB ·AC ，则AD=2，延长DO 交AN 于点E ，DE =AD =2，设半径为x ，OE =2-x ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，则OH =2(2-x )2，BH =32，在Rt △OHB 中，2x -2 22+322=x 2，最后求得半径x =52-42．【解析】解：当⊙O 与AM 相切时，∠BDC 最大，此时sin ∠BDC 的值最大，∵⊙O 与AM 相切于点D ，AB =1，BC =3，∴AD 2=AB ·AC =AB ∙AB +BC =4，∴AD =2，延长DO 交AN 于点E ，过O 点作OH ⊥BC ，垂足为H ，连接BO ，∴∠ADE =90°，∵∠A =45°，∴△AED 为等腰直角三角形，∴DE =AD =2，设⊙O 半径为x ，则OE =2-x ，∵∠DEA =45°,∠OHE =90°，∴OH =sin45°∙OE =2(2-x )2，BH =12BC =32，在Rt △BOH 中，BO 2=BH 2+OH 2，即2x -2 22+322=x 2，解得：x 1=52-42,x 2=-52-42，∵⊙O 半径大于0，∴x 2=-52-42舍去，∴x =52-42．故答案为：52-42．三、解答题10.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为0,-3 ，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD 的长；(2)已知点E 是“蛋圆”上的一点(不与点A ，点B 重合)，点E 关于x 轴的对称点是点F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 坐标；(3)点P 是“蛋圆”外一点，满足∠BPC =60°，当BP 最大时，直接写出点P 的坐标．【答案】(1)“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3，CD 的长3+3；(2)E 1(1+3，1)，E 2(1-3，1)，E 3(1+3，-1)，E 4(1-3，-1)；(3)点P 的坐标为(1，23)．【分析】(1)求出点A ，B 的坐标，运用待定系数法求出函数解析式；将x =0代入抛物线的解析式得y =-3，故此可得到DO 的长，可得到AB 的长，由M 为圆心可得到MC 和OM 的长，然后依据勾股定理可求得OC 的长，最后依据CD =OC +OD 求解即可．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．由HM 2+EH 2=EM 2，点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，可得方程组，以及对称性求解；(3)根据∠BPC =60°保持不变，点P 在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可．【解析】解：(1)∵圆心M 的坐标为1,0 ，半圆半径为2．∴A (-1，0)，B (3，0)设“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =ax 2+bx +c把A (-1，0)，B (3，0)，D (0，-3)代入解析式得，a -b +c =09a -3b +c =0c =-3解得，a =1b =-2c =-3∴“蛋圆”抛物线部分的解析式为y =x 2-2x -3连接AC ，BC ，MC ∵点D 的坐标为(0，-3)，∴OD 的长为3．∵A (-1，0)，B (3，0)．∴AO =1，BO =3，AB =4，∵M (1，0)．∴MC =2，OM =1．在Rt △COM 中，OC =CM 2-OM 2=3．∴CD =CO +OD =3+3，即这个“蛋圆”被y 轴截得的线段CD 的长3+3．(2)假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设E (m ，n )，则点F 的坐标为(m ，-n )．EF 与x 轴交于点H ，连接EM ．∴HM 2+EH 2=EM 2，∴(m -1)2+n 2=4，⋯①；∵点F 在二次函数y =x 2-2x -3的图象上，∴m 2-2m -3=-n ，⋯②解由①②组成的方程组得：m =1+3n =1 ；m =1-3n =1．(n =0舍去)由对称性可得：m=1+3 n=-1；m=1-3n=-1．∴E1(1+3，1)，E2(1-3，1)，E3(1+3，-1)，E4(1-3，-1)．(3)如图，∵∠BPC=60°保持不变，因此点P在一圆弧上运动．此圆是以K为圆心(K在BC的垂直平分线上，且∠BKC=120°)，BK为半径．当BP为直径时，BP最大．在RtΔOCB中，MO=1,MC=2∴OC=MC2-MO2=3，BC=OC2+OB2=23∴tan∠BCO=OBOC =33=3∴∠BCO=60°∵∠BCP=90°∴∠PCR=30°在RtΔPCB中，∠BPC=60°∴BCPC=tan60°∴PC=BCtan60°=233=2在Rt△PCR中，∠PCR=30°∴PR=12PC=1∴RC=PC2-PR2=3∴OR=OC+CR=3+3=23∴点P的坐标为(1，23)．11.如图，抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0)，B(3,0)，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1=S2时，求点P的坐标；(3)连接BQ，点M在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且∠BMQ=45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)P52,-74；(3)22≤t≤3+172．【分析】(1)运用待定系数法将A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3，即可求得答案；(2)利用配方法可求得抛物线顶点坐标D(1,-4)，由AE⎳PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E e,12e+2，P(m, m2-2m-3)，结合中点坐标公式建立方程求解即可；(3)根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1，0)，B(3,0)，∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：a-b-3=0 9a+3b-3=0，解得：a=1 b=-2，∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；(2)如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴D(1,-4)，∵AE⎳PD交直线l：y=12x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(0≤m≤3)，∴△AEF∽△PDF，设E e,12e+2，P(m,m2-2m-3)，又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1=S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF=PF，EF=DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A(-1，0)，P(m,m2-2m-3)，E e,12e+2，D(1,-4)，∴由中点坐标公式得：m-12=e+12m2-2m-3+02=12e+2-42，解得：m1=0(与“AE⎳PD”不符，应舍去)，m2=5 2，∴e2=12，∴P52,-74，E12,94；(3)①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′32,32，OO′=O′B=322，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M(1,t)，过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM=90°，O′H=12，O′M=OO′=322，∴MH=O M2-O H2=3222-12 2=172，∴t=32+172=3+172，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB=OC=3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM=OB=3，OE=1，∵∠MEO=90°，∴ME=OM2-OE2=32-12=22，∴t=22，综上所述，22≤t≤3+172．12.一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．(1)证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；(2)应用(1)的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物PQ高度为96cm，放置文物的展台QO高度为168cm，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大(视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的∠PAQ)，则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．(说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高)【答案】(1)见解析；(2)围栏应摆在距离展台167cm处，见解析【分析】(1)写出“已知”“求证”，设BP交⊙O于点Q，连接AQ，画出图象，用三角形外角大于不相邻的内角即可证明；(2)先计算120名队员平均身高，再根据题意把实际问题“数学化”，画出图形，在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ，由(1)的结论可知队员的眼睛A 与M 重合时，观看该展品的视角最大，此时队员站在MN 处，故求出ON 长度即可．【解析】解：(1)已知：如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，点P 在⊙O 外．求证：∠ACB >∠APB ．证明：设BP 交⊙O 于点Q ，连接AQ ，∵∠ACB 与∠AQB 同对AB，∴∠ACB =∠AQB ．∵在△APQ 中，∠AQB =∠APB +∠PAQ ，∴∠AQB >∠APB ，∴∠ACB >∠APB ；(2)解：设合唱队员平均身高为x cm ，则x =142×15+146×18+150×18+154×30+158×3915+18+18+30+39=152．在QO 上取一点B ，使得BO =152cm ，则BQ =16cm ，过B 作射线l ⊥QO 于B ，过P ，Q 两点作⊙C 切射线l 于M ．依题意可知，参观的队员的眼睛A 在射线上．而此时，射线l 上的点只有点M 在⊙C 上，其他的点在⊙C 外．根据(1)的结论，视角∠PMQ 最大，即队员的眼睛A 与M 重合(也即队员站在MN 处)时，观看该展品的视角最大．所以围栏应摆放在N 处．连接CM 并延长交地面OD 于N ，过C 作CH ⊥PQ 于H ，连接CP ，CQ ，从而四边形HBMC 和四边形HONC 均为矩形．∵在⊙C 中，CP =CQ ，CH ⊥PQ ，∴PH =HQ =12PQ =48．∴ CQ =CM =HB =48+16=64．∵在Rt △CHQ 中，∠CHQ =90°，CQ 2=CH 2+HQ 2，∴CH =CQ 2-HQ 2=642-482=167．∴ON =CH =167．即围栏应摆在距离展台167cm 处．13.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，EF 与⊙O 相切于点D ，EF ∥BC 分别交AB ，AC 的延长线于点E 和F ，连接AD 交BC 于点N ，∠ABC 的平分线BM 交AD 于点M ．(1)求证：AD 平分∠BAC ；(2)若AB :BE =5:2，AD =14，求线段DM 的长．【答案】(1)见解析；(2)DM =2【分析】(1)连接OD ，根据切线的性质得OD ⊥EF ，由EF ∥BC 得OD ⊥BC ，由垂径定理得BD =CD ，进而即可得出结论；(2)由平行线分线段定理得DN =2147，再证明△BDN ∽△ADB ，可得BD =2，最后证明∠BMD =∠DBM ,进而即可求解．【解析】(1)证明：连接OD 交BC 于点H .∵EF 与⊙O 相切于点D∴OD ⊥EF ，∴∠ODF =90°，∵BC ∥EF ，∴∠OHC =∠ODF =90°，∴OD ⊥BC ，∴BD =CD ，∴∠BAD =∠CAD 即AD 平分∠BAC ；(2)解：∵BC ∥EF ，∴BE AE =ND AD，∵AB :BE =5:2，AD =14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2。
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圆中最定值类型一、圆中将军饮马例1、如图，AB是。
O的直径，AB=10cm , M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点,P是直径AB上一动点，连接 MP、NP ,_则MP+NP的最小值是_______________分析:作N关于嗣前对称点M「连接鵬交阳于点P ,则点P即为翫求的点「再根据M是半園嗣的i 三等分点,N是半圍嗣的f 六等分点可求出川ON的值f再由勾股定理即可求出M姑的长.B解：作N关于期的对称点冲x连接炳N交锂于点P「则点P即为所求的点」讪是半圆AE的一T三等分点,N是半圆的_个六等分点, 180°ISO0'.M0E =—=60° f zBON =—=30° f=90°「vAB^IOcrn ,/■OM=ON =5cm f___________川N—两為二阿注返cm「即MP+NP的最少值是.故答案为：5返.原谱「本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧弦的关系”根据阳是半圆AB的一T三等分点，N是半圆嗣前一个六等分点「求出川0NT(T是解答此题的关键.1、已知圆0的面积为3二，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB 上任一点，则PC+CD 的最小值为____________________________A/分折：先设園0的半径怖，‘由圆0的面积再3TI 求出尺的值「再作点匸关于AB 的对称点U ;连接0D ,. OO _DC' f 则DU 的长即为PC + PD 的最小值f 由圆心角、弧、弦的关系可知AC=AC^=8^ t 故 BC' = 100° ;由53 = 20°可知L BD = 12^ ..由OC' = OE 河求出/ODC/的.氨数;进而可得出结论..-.AC = AC^ =80° ; .\BC S =100° ;■/BB = 20D ;.'.C D = BC'^ +B 3 = 100° + 20° = 120° ;■.■OC' = OD , .■■ZODC' = 30D.■.DC' = 2OD*cos30° = 2v /3x A r = 3 ;即PC+ PD 的最小值为3 .故笞宰为：3 •2、如图，菱形 ABCD 中，/ A=60 ° , AB=3 , Q A 、O B 的半径分别为2和1, P 、E 、F 分别是边CD 、OA 和QB 上的动点，贝U PE+PF 的最小值是 ___________解苔：解：设圆O 的半径知,.■■■00的面积为, .'.3n: = n:R 2『^PR = \/3 .作点匚关于鮎的对称点U 「连接0D ; 0C ; ; DC-' 小值,/A r --:厂*_s则DC-'BK 即为PC + PD 的最\汀了丿 \C'考点:轴对称-最區至戋问题-菱形的性质，相切两圖圧］性质 专题:"L 何图形冋题圧袖题分析：利用菱形的性贡以及相切两圖的性质得出FWD 重合时PE + PF 的最小值「舍而求出即可. 解答：解：由题倉可得出：当P2口重合时* E 点在AD 上… F 在上（此时 PE +FF>d-•.•菱形ABCD 中 r ZA=6O° , .'.AB =AD ..贝卜ABD 是等边三角形; .-.BD=AB=AD = 3「■■ GA. EB 的半径分别沟2和1,.-.PE = 1』DF = 2 r .'■PE+PF 的最小值是E . 类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）|点A 为圆外一点，P 为圆0上动点，连接AO 并延长交圆于P i - P 2，则AP 的最小值为AP 2,,最大值为A P iB,A试题別斤:如图1 f 達按SI f 过M 為乍MH 丄CD 交CD 的匹氏线于点H则由得”在Rt 丄DH 创中（DM = 1, zHDM=60*, /.HD =1 HXI =^1-/-HC = 2^- = A ・2 2 2 2又•■相据司折对称的性质,A^M=AM = 1 ,. .-CA M 中_两边一走要使XC 长厦的協小即要辰制X 最，」J 此时点A'落在MC 上..如匡IZ■-■M A^NA=1 r /.,YC-NC-MY = V?ZE 的最小值是1、已知一个矩形纸片 OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点 0、P 折叠该纸片，则 CB '勺最小值为 ______________B '在以0为圆心,0B 为半径的圆上.B '在0C 上时，C B'最小.2、四边形 ABCD 中，AD // BC ，Z A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P 是线段 AD 上一动点，将△ ABP 沿 BP 所在 直线翻折得到△ QBP ，则△ CQD 的面积最小值为 _______A （11，0），点B （0，6），点 P例、如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，/ A=60 , M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△ AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△ A' MN ,连接A'C ,请求出AC 长度的最小值.类型三、 随动位似隐圆例、在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 ，/ BAC=30 ,BC=6 .点 D 是边AC 上一点D 且AD=2 3，将线段AD 绕点A 旋转得线段AD'，点F 始终为BD' 的中点，则将线段 CF 最大值为 _______________________________［分析］:易知D'轨迹为以A 为圆心AD 为半径的圆，则在运动过程中AD'为定值2 3 ,故取AB 中点G,则FG 为中位线，FG=— AD'= 3 ,故F 点轨迹为以G 为圆心，•、3为半径的圆。
问题实质 2 为已知圆外一点C 和圆G 上一点F ，求CF 的最大值。
—思路2:倍长BC 到B',则B' D 的中位线，CF — B ，当 , 最大时，CF 也取最大值，问题实质2为D 在圆A 上运动至何处时，BD 取最大。
【方法归纳】③、如图，点A 和点O1为定点，圆01半径为定值，P 为圆O —上动点，M 为AP 中点？点M1、如图，在 Rt A ABC 中，Z ACB= 90，° D 是AC 的中点，M 是BD 的中点，将线段 AD 绕A 点任意旋转（旋 转过程中始终保持点 M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转过程中，线段 CM 长度的取值范围 是2、 如图，△ ABC 是边长为2的等边三角形，以 AC 为直径作半圆，P 为半圆上任意一点， M 为BP 中点, 则在点P 由A 到C 运动过程中，点 M 运动路径长为 ________________________运动轨迹为圆02,且02为A0—中点CB构造中位线【着点】旋转的性质F直第三角形斜辺上的中线"【分析】连接切’，延长CA交①也于“连接旳匚.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出匚町3』CM的长度在二看之间.TAD尸AJ>2・AC=4HJ J V E.'.c 汕二？BDf X32 <CM< 2【点评】本题着査了軌迹*要结合匈股宦理、直粛三角形斜边上的中娃等于斜边的一半解答.类型四、定性分析一一垂线段最短例、如图，半圆0的半径为1 , AC丄AB , BD丄AB，且AC=1 , BD=3 , P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是___________________________【分析】：思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值，要使封闭图形ABDPC 面积取最大值，则使△ CPD面积取最小即可，△ CPD中，底边CD为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点P在圆上运动至何处时，点 P到CD距离最小。
C、D、0为定点，则点 0到CD距离为定值，计算CD、OC、0D长，由勾逆知 0C丄CD,设【解答】解：连接EDi，延长CA交OA于D印连接E%.'.CD1=4- 2=2i 6亍4+2书,点P到CD距离为h,则h+r >0C二h> OC-r，即当O P、M三点共线时，h有最小值，此时M与点C重合，故0C与圆0交点即为所求点Po思路2： P点的确定也可以这样想，平移 CD设平移后的直线为 m,则直线m与 CD间的距离即为 CD边上的高，显然，当直线 m与圆0相切时，高h有最小值。
1、如图,半径为3，OP=J3，则弦BC的最大值为__________________________________ 2、如图，AB为。
0的直径，C为半圆的中点，。
C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与O C切于点M ,_则PM的取值范围为______________用？如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且/ ACB= 9 （9为固定值）？点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）图1 图2例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足/ ACB=60度，请在图中画出点 C的运动轨迹, 简要说明作图步骤步骤1、________________________________________________________步骤2、________________________________________________________练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足/ ACB=120度，请在图中画出点 C的运动轨迹，并写出圆心角/ AOB= ___________BP为圆O内一个定点，A为圆0上一个动点，射线AP,AO分别与圆0交于B, C两点，若圆0的类型五、定弦定角【基本原理】如图O O中，A、B为定上任一点，在C点运动过B点，贝U AB为定弦，点C为优弧程中则/ ACB的度数不变？逆运2、如图，AB为定长，点C 为线段AB 外一点，且满足/ ACB=120度，请在图中画出点 C 的运动轨迹 【实战应用】例、如图，。
O 的半径为1，弦AB=1，点P 为优弧AB 上一动点，AC 丄AP 交直线PB 于点。
，则厶ABC 的最 大面积是_________________________2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，BE 丄AD 于E,则CE 的最小值为2、如图，Rt A ABC 中，AB 丄BC, AB=6，BC=4, P 是厶ABC 内部的一个动点，且满足/ PAB=Z PBC 则线段 CP 长的最小值为 ___________类型六、定弦定角 反客为主例、如图，/ XOY= 45 ° 一把直角三角尺 ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 0Y 上移动，其中 AB = 10,那 么点O 到顶点A 的距离最大值为 ________________ 点O 到AB 的距离的最大值为 _______【分析】：题意中AB 为定长线段在角的两边滑动， O 为定点，滑动中C 为动点， AB 两点位置发生变化，点 O 到AB 距离的最大值的确定有难度，若改变思路， 借助物理中运动的相对性可知，若将△ ABC 固定，将/ XOY 的两边绕AB 滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。