2020高考数学模拟试题专题模板 (18)
2020高考数学模拟试题(13套)数学6
2020高考数学模拟试题(13套)数学6第一卷〔共50分〕一、选择题，每题 5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目 要求的。
1•假设非空集合 A,B,C 满足A U B=C ，且B 不是A 的子集，那么 A. ” x € C "是” x € A "的充分条件但不是必要条件 B. ” x € C "是” x € A "的必要条件但不是充分条件 C. ” x € C "是” x € A "的充分条件D. ” x € C "是” x € A "的充分条件也不是” x € A "必要条件 2 •用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为n,那么球的休积为8A. 一33.函数 f(x)=：—1n(、x 2x3x 22x 3x 4)的定义域为A.(- -,-4) [U 2,+ o o:B.(-4,0) U (0,1)C. [-4,0 : u 〔 0, 仁 i :D. :-4, 0U 〔 0, 1〕1sincos24. tan，那么---- = ()2cos2〔A 〕2〔 B]- -2〔c 〕3〔D 〕-35. 复数i 3 (1 i)2〕A . 2B 2C .2i D . 2i)上为增函数，且f(1) 0，那么不等式f(x) f(x) 0xB. ( , 1)U (01) D. ( 1,0) U (01)C.8 . 232D.36 •假设点 P(2,0)到双曲线 2x""2 a2yb 2 1的一条渐线的距离为■- 2 ,那么双曲线的离心率为()〔A 〕 ,2〔E 〕〔C 〕2、..2〔D 〕2.、37.函数f(x)2, 2,那么不等式f(x) x 2的解集是()〔A 〕[ 1,1]〔B 〕 [2,2] 〔C 〕[ 2,1] 〔D 〕[ 1,2]8.设奇函数f(x)在(0, 的解集为〔〕A. ( 1,0)卩(1，) C. (, 1巾(1,)9. 假设定义在R上的函数f(x)满足：对任意X i,X2 R有f (X i+X2)=f(X i)+f (X2)+1,, 那么以下讲法一定正确的选项是()(A) f (X)为奇函数〔B〕f(X)为偶函数(C) f (X)+1为奇函数〔D〕f(X)+1为偶函数310. 假设数列a n是首项为I，公比为a 3的无穷等比数列，且a n各项的和为a,那么a的值是〔〕1 5A. 1B. 2C. -D.-2 4二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上.〔11〕〔1-2x〕2(1-x)4展开式中X2的系数为_______________ .〔12〕直线l2-x-y+4=0与圆C:〔x-1〕2+(y-1)2=2,那么C上各点到I距离的最小值为(13) 0O的方程是x2+y2-2=0, O O'的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向O O和O O'所引的切线长相等，那么动点P的轨迹方程是______________________ .(14) 下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.k②终边在y轴上的角的集合是｛a|a= —,k Z |.2③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数y 3sin(2x )的图象向右平移—得到y 3sin2x的图象.3 6⑤函数y sin(x 3)在〔0,丨上是减函数.其中真命题的序号是_______________ 〔写出所有情形〕三、解答题：本大题共6小题，共80分，解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤〔15〕〔本小题总分值12分〕cos 1,cos((i)求tan2的值.〔n〕求16. 〔本小题总分值12分〕袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个〔n=1,2,3,4〕.现从袋中任取一球.E表示所取球的标号.〔I〕求E的分布列，期望和方差；〔n〕假设n =a E -b,E n =1,D n =11,试求a,b 的值.17. 〔本小题共14分〕菱形ABCD的顶点A, C在椭圆x2 3y2 4上，对角线BD所在直线的斜率为1.〔I〕当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程;〔n〕当ABC 60：时，求菱形ABCD面积的最大值.3 218.〔14 分〕函数f (x) x ax x 1, a R .〔I〕讨论函数f(x)的单调区间；2 1〔n〕设函数f(x)在区间-1 1内是减函数，求a的取值范畴.3 319. 〔本小题总分值14分〕数列｛a n｝的前N 项和为S n,a1 1,S n 1 2S n 3n 1(n N*).〔I丨证明：数列｛a n 3｝是等比数列；*、口S n a n3n,n 2k 1, 2〔II〕对k N ,设f(n) 求使不等式f(m) f(2m )成立log 2 (a n 3),n 2k,的自然数m的最小值.20. 〔本小题总分值14分〕设f (x)是定义在1, 1上的奇函数，且当 1 x 0时，f(x) 2x3 5ax224a x b .(I )求函数f (x)的解析式；(n )当1 a 3时，求函数f (x)在0,1上的最大值g(a)；(川)假如对满足1 a 3的一切实数a ,函数f (x)在0,1上恒有f(x) 0 ,求实数b 的取值范畴.选择BBDCD AADCB填空，11〕-6. 12 〕 2 。
2020最新高考数学模拟测试含解答(20200404103106)
平面 PAD
∴ BG ∥ 平 面 PAD
∵ EF ∥ BG ∴ EF ∥ 平 面 PAD
（7 分）
（II）∵ BG⊥平面 PDC，EF∥BG ∴EF⊥平面 PDC
2
（B） cos
1
2
1 sin
2
（D） sin
1
2
（ C）
（文）已知曲线 C 与 C′ 关于直线 x y 2 0对称，若 C 的方程为
， x2 y2 4x 4y 7 0
则 C′的方程为
（）
（A ） x 2 y2 8x 8y 31 0
（B） x 2 y2 8x 8y 31 0
（C） x2 y 2 8x 8 y 31 0
又 CD=2a, DP=a,
CP CD 2 DP2 5a
△ PBC 中， G 为 PC 中点，∴ BG⊥PC
易得 BG 3 a, HG 1 a, BH a
2
2
∴ △ BGH 为直角三角形，且
BG ⊥ GH ∴ GB ⊥平面 PDC
（5 分）
∴GB⊥CD 又 CD⊥HB ∴CD⊥平面 BGH ∴平面 BGH ∥
（ 12 ）有一位同学写了这样一个不等式： x 2 1 c 1 c ( x R) ，他发现，
x2 c
c
当 c=1 ，2 ，
3 时，不等式对一切实数 x 都成立，由此他作出如下猜测：
①当 c 为所有自然数时，不等式对一切实数 x 都成立；
②只存在有限个自然数 c，对 x R不等式都成立；
③当 c 1时，不等式对一切 x R都成立；
已 知 z1=3+4 i ， z2=65 cos i sin ) (
2
5
sin(
2020年高考数学仿真押题试卷(Word版,含答案解析)
高考数学仿真押题试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()(a bi += ) A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +【解析】解：a i -与2bi +互为共轭复数，则2a =、1b =，，故选：D ．2．已知全集U R =，{|0}A x x =…，{|1}B x x =…，则集合()(U A B =ð )A ．{|0}x x …B ．{|1}x x …C ．{|01}x x 剟D ．{|01}x x <<【解析】解：或0}x …，，故选：D ．3．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=，解得2d =， 故选：B ．4．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A．13πB．23πC．43πD．53π【解析】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，则3z x y=+的最小值为()A．3 B．4 C．2 D．1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数3z x y=+为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过(0,1)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：D．6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知共有不同的排列法33424A ⨯=种结果， 故选：C ．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是( )A ．716B ．916 C ．35D ．12【解析】解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ，由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．8．在ABC ∆中，2AD DB =，2CE EA =，则( )A ．B ．C ．D ．【解析】解：，故选：A ．9．已知双曲线，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若O A B ∆与OMN ∆的面积之比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±【解析】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则2219a c =， ∴2229a b a +=，∴ba=C ∴的渐近线方程为y =±， 故选：B ．10．设0sin a xdx π=⎰，则8()ax x+展开式中的常数项为( )A ．560B ．1120C ．2240D ．4480 【解析】解：设，则展开式中的通项公式为，令820r -=，求得4r =，可得展开式中的常数项为48161120C =， 故选：B ．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．90︒【解析】解：在堑堵中，90ABC ∠=︒，12AB AA ==，BC =∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0)，1(2A ，0，2)，1(2A C =-，2)-，平面11ABB A 的法向量(0n =，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为θ，则，1CA ∴与平面11ABB A 所成角的大小为45︒．故选：B ．12．已知函数，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是()A ．1(,1)3B ．1(,2)3C ．14(,)25D ．1(,1)2【解析】解：方程()1f x kx =+有四个不相等的实根， 等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，易得：①当直线1y kx =+与函数相切时，12k =， ②当直线1y kx =+与函数相切时，利用导数的几何意义可得：1k =，即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．10的展开式中含2x 项的系数为 5 ．【解析】解：10的展开式的通项公式为，令10223r-=，求得2r =， 故展开式中含2x 项的系数为210159C =， 故答案为：5．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且3tan 4B =，则的值是53． 【解析】解：a ，b ，c 成等比数列，2b ac ∴=，，3tan 4B =，3sin 5B ∴=．则．故答案为：53．15．已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 7+ 【解析】解：121x y+=， 2xy x y ∴=+，，当且仅当26y xx y=时，即y =时取等号， 故xy x y ++的最小值为7+故答案为：7+16．如图，已知过椭圆的左顶点(,0)A a -作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为．【解析】解：AOP ∆是等腰三角形，(A a -，0)(0P ∴，)a ． 设0(Q x ，0)y ，2PQ QA =，0(x ∴，，0)y -．∴，解得002313x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．代入椭圆方程得，化为2215b a=．∴．． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f （A ）0=，1a =，求b c +的取值范围．【解析】解：（1）函数，由，可得，可得函数的单调递增区间是(6k ππ-，)3k ππ+，k Z ∈．（2）ABC ∆中，已知f （A ），，3A π∴=．1a =，由正弦定理可得，．2(0,)3B π∈，(66B ππ∴+∈，5)6π，，2]．所以b c +的范围是(1，2]．18．椭圆的左右焦点分别为1(F 0)、2F 0)，点A 1)2在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+与椭圆交于E 、F 两点，以EF 为直径的圆过坐标原点O ，求证：坐标原点O 到直线l 距离为定值．【解析】解：（1）由椭圆定义可知，，所以2a =，因为c =，所以1b =，椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）证明：由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，△，即2241k m +>，设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，又，，∴，，，所以坐标原点O 到直线l． 19．某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？（3）在物理优秀的20人中，随机抽取2人，记数学物理都优秀的人数为X ，求X 的概率分布列及数学期望．附：，其中．【解析】解：（1）由频率分布直方图估计数学成绩的众数是：8090852+=，由频率分布直方图得：[60，80)的频率为：，[80，90)的频率为：．估计数学成绩的中位数是：．⋯（2）列联表是：，所以有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关⋯（3）X的可能取值为0，1，2，，，，X 概率分布列为：数学期望．⋯20．如图①在四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AB =4BC =，6AD =，E 是AD 上的点，13AE AD =，P 为BE 的中点将ABE ∆沿BE 折起到△1A BE 的位置，使得14A C =，如图②． （1）求证：平面1A CP ⊥平面1A BE ；（2）点M 在线段CD 上，当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --的余弦值．【解析】证明：（1）BPC ∆中，2BP =，PC =，4BC =，所以BP PC ⊥，同理△1A PC 中，12A P =，PC =，14A C =， 所以1A P PC ⊥，因为1A P ⊂平面1A BE ，PB ⊂平面1A BE ，，所以PC ⊥平面1A BE ，又PC ⊂平面1A PC ， 所以平面1A CP ⊥平面1A BE ．⋯解：（2）以点P 为坐标原点，PE ，PC 所在直线为x ，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，1(0A ，1，C ，0，0)，D ，4，0)，(0E ，2，0)设M a ，0)，则1A M =1a -，，1(0PA =，1，PD =4，0)，设平面1A PD 的法向量为(m x =，y ，)z ，由100m PA m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得．令2x =，得(2m =，1)，直线1A M 与平面1A PD ，，解得2a =或8a =（舍)，∴1A M =1，， 设平面1A PD 的法向量为(n x =，y ，)z ，由，取1x =，得(1n =，1)，设二面角1M A P D --的平面角为θ，则，所以当直线1A M 与平面1A PD 1M A P D --．⋯21．某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y （单位：万元）是每日产量x （单位：吨）的函数：．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）； （2）记每日生产平均成本yx为m ，求证：16m <； （3）若财团每日注入资金可按数列2241n na n =-（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于111n 亿元．【解析】解：（1）因为22321x y lnx x =-，(1)x >，所以，当3x =时，；证明：（2）要证，只需证设，则所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，所以()h x h <（1）0= 所以16yx<， 即16m <； 证明（3）因为，又由（2）知，当1x > 时，12x lnx x ->， 所以，所以，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线（其中t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线关于1C 对称．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 直角坐标方程；（2）将2C 向左平移2个单位长度，按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩变换得到3C ，点P 为3C 上任意一点，求点P 到曲线1C 距离的最大值．【解析】解：（1）由2121x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得20x y --=，由2c os a ρθ=得，得，依题意2C 的圆心2(,0)C a 在上，所以020a --=，解得2a =，故曲线1C 的普通方程为20x y --=，曲线2C 的直角坐标方程为．即．（2）2C 向左平移2各单位长度后得224x y +=，再按照12x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'⎪⎩变换得到，设P 点坐标为，P 点到1C 的距离为，当23πθ=时，点P 到1C的距离最大，最大值为 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m 、n ，求使得不等式恒成立的x 的取值集合M ．【解析】解：（1）函数，当0x …时，不等式()4f x >化为，解得1x <-；当01x <<时，不等式()4f x >化为，解得3x >，所以x ∈∅； 当1x …时，不等式()4f x >化为，解得53x >； 综上，不等式()4f x >的解集为{|1x x <-或5}3x >；⋯（2）对于任意正数m 、n ，，当且仅当1m n ==时“=”成立， 所以不等式恒成立，等价于，由（1）知，该不等式的解集为5{|1}3x x-剟， 所以x 的取值集合是[1M =-，5]3．⋯。
2020年高考数学全真模拟试卷(十八)【含答案解析】
绝密★启用前2020年高考数学全真模拟试卷（十八）数学（理）试卷考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A. 54π- B. 54πC. －34π D.34π 2.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ） A. 15B.14C.13D.123.二项式61)x的展开式中的常数项为（ ） A. －15 B. 20C. 15D. －204.已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x=的定义域为N ，则M ∩N ==（ ） A. {}1x x ≤B. {1x x ≤且0}x ≠C. {1}x x >D. {1x x <且0}x ≠5.设i 为虚数单位，则复数22iz i-=+的共轭复数z =（ ） A.3455i + B.3455-i C. 3455i -+ D. 3455i -- 6.设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(－1,9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,))9⋃+∞ B. 1(,1)9⋃C. 11(,)95⋃D. 11(,)73⋃7.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若53a =，1391S =，则11S =（ ） A. 36 B. 72C. 55D. 1108.已知函数()ln4xf x x=-，则( ) A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C. ()f x 在(0,4)上单调递减D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增 9.下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A. y ＝e x ＋e －x B. y ＝ln(|x |＋1) C. sin xy x= D. 1y x x=-10.已知点F 1是抛物线2:2C x py =的焦点，点F 2为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过F 2作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以F 1，F 2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. 21- B. 221-C. 21+ D. 62 +11.在△ABC中，5sin13A=，3cos5B=，则cos C=（）A. 5665B.3365- C.5665或1665- D.1665-12.执行如图所示的程序框图，若输入的4n=，则输出的j=（）A. 1B. 3C. 5D. 7第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）（22x +1xy）6的展开式中不含x 的项的系数为_____________．（用数字作答） 14.已知函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移4π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[0,]2π上的单调增区间是______.15.在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin 2α=____16.已知O 为坐标原点,F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点,A ,B ,D 分别为椭圆C 的左,右顶点和上顶点,P 为C 上一点,且PF x ⊥轴,过点A , D 的直线l 与直线PF 交于点M ,若直线BM 与线段OD 交于点N ,且ON ND =,则椭圆C 的离心率为__________． 评卷人 得分三、解答题（本题共7道小题，每小题10分，共70分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面P AB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值． 18.设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l 的参数方程为222212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A 、B 两点的距离之积. 20.已知函数()()()ln 101axf x x a x =+->+． （1）若x =1是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （2）若()0f x ≥在[0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：2020201912020e⎛⎫< ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数）． 21.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.（1）求m ，n 的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程ˆ5yx b =-+.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替） 2×2列联表男性 女性 合计 消费金额≥300 消费金额＜300 合计临界值表：20()P K k ≥0.0500.010 0.001 0k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++22.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：CE ∥平面P AD ；（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小.23.已知直线l 的参数方程为1324x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．试卷答案1.B 【分析】由点P,Q 两点可以求出函数的周期，进而求出ω，再将点P 或点Q 的坐标代入，求得ϕ，即求出ωϕ-。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(十八)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（十八）高三数学（理）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A. 3(3,)2-- B. 3(3,)2-C. 3(1,)2D. 3(,3)2【答案】D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合运算. 【此处有视频，请去附件查看】2.若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 1B. 2C.2 D. 3【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1 2.z i =+= 考点：复数的模【此处有视频，请去附件查看】3.若函数1x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）． A. 01a <<且0b > B. 1a >且0b >C. 01a <<且0b <D. 1a >且0b <【答案】C 【解析】1x y a b =+-，经过二、三、四象限，则其图像应如图所示：所以01a <<，010a b +-<，即0b <，故选B. 4.“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ． 考点：1．对数的性质；2．充分必要条件．5.满足条件a =4，b 2，A =45°的△ABC 的个数是（ ） A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在【解析】 【分析】由正弦定理求出角B 值的个数.从而得出结论 【详解】由正弦定理知5sin sin sin 4a b B A B =⇒=无解，即不存在这样的三角形 【点睛】由正弦定理求出角B 值的个数.很多时候还需要结合“大边对大角”特点.属于中档题 6.函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B.【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值. 【此处有视频，请去附件查看】7.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A. 1 B. 6C. 7D. 6或7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B ．考点：等差数列的性质.8.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）=5，且f （x +4）= - f （x ），则f （2012）+f （2015）的值为A. 0B. 5-C. 2D. 5【答案】B 【解析】 【分析】本题函数奇偶性及周期性的综合运用问题，有题中条件(4)()f x f x +=-可获取函数具有周期性【详解】(4)()f x f x +=-，可知[](8)(4)4(4)()f x f x f x f x +=++=-+=所以函数()f x 周期T=8，(2012)(2015)(4)(7)(0)(1)(1)5f f f f f f f ∴+=+=-+-=-=-【点睛】本题考察了函数奇偶性及周期性的综合运用，本题还可以继续探究，比如函数()f x 是否有对称性；比如能否写出该函数的所有对称轴，所有的对称中心……，由函数是奇函数(4)()()f x f x f x ∴+=-=-即函数还会关于2x =对称，再加上周期性我们可以得出所有对称轴的方程 9.函数()()()sin 0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，如果122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A .3B. 12-C.123 【答案】A 【解析】 【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出ϕ的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得1256x x π+=,从而可得()12f x x +的值.【详解】由函数()sin()()0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+∈><⎪⎝⎭的部分图象, 可得122,2236πππωω⨯=-∴=, 再根据五点法作图可得20,63ππϕϕ⨯+=∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为122,,63x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上，且()()12f x f x =， 所以()12216322x x ππ++=,1256x x π∴+=，()12543sin 2sin sin 6333f x x ππππ⎛⎫+=⨯-==-=- ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，是解题的关键.求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.10.如图，正方形ABCD 中，M N 、分别是BC CD 、的中点，若,AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r则λμ+=（ ）A. 2B.83C.65D.85【答案】D 【解析】 试题分析：取向量,AB BCu u u r u u u r 作为一组基底，则有11,22AM AB BM AB BC BN BC CN BC ABu u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=+=+=-，所以1111()()2222AC AM BN AB BC BC AB AB BC λμλμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur又AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r，所以111,122λμμλ-=+=，即628,,555λμλμ==+=. 11.函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B. 关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π12x =-对称 D. 关于直线7π12x =对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称 A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误；B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误； 由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误. 故选:C.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()'f x ．当0x ≥时，恒有()()'02xf x f x +-≤，若()()2g x x f x =，则不等式()()12g x g x <-的解集为A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 为偶函数，则()g x 也为偶函数，利用导数可以判断()g x 在[0,]+∞为减函数，则不等式()(12)g x g x <-可转化为12x x >-，解不等式即可得到答案．【详解】解：Q ()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=．Q 0x ≥时，恒有()()02xf x f x '+-≤，∴2()2()0x f x xf x '+≤又Q 2()()g x x f x =，∴2()2()()0g x xf x x f x '=+'≤∴()g x 在[0,]+∞为减函数．Q ()f x 为偶函数， ∴()g x 也为偶函数∴()g x 在(,0)-∞为增函数．又Q ()(12)g x g x <-，∴12x x >-，即22(12)x x >-，化简得(1)(31)0x x --<，得113x <<．故选A ．【点睛】通过构造新函数来研究函数单调性是本题一大亮点，同时利用抽象函数的单调性、奇偶性解不等式是常考考点，要牢牢掌握．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+3n +5，则a n =______． 【答案】*9,122,2,n n n n N =⎧⎨+≥∈⎩．【解析】 【分析】考察数列n S 与n a 的关系11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩ 12,n n n N *=≥∈ 【详解】当1n =时，119a S ==；当2n ≥时，()()22135131522n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦，又1n =不符合该表达式所以：*9,122,2,n n a n n n N =⎧=⎨+≥∈⎩【点睛】本题考察数列n S 与n a 的关系，千万注意1n n n a S S -=-成立的条件2n ≥.14.已知向量a r =（2，sinθ），b r =（1，cosθ），若a r ∥b r ，则221sin cos θθ+的值为______． 【答案】23. 【解析】 【分析】由向量共线为载体，建立关于角θ的三角函数关系式，借助三角恒等变形可求解本题答案 【详解】(2,sin ),(1,cos )a b θθ==rr，a b rr∥sin 2cos tan 2θθθ⇒=⇒=()22222222tan 421tan 2423sin sin cos sin cos cos θθθθθθθθ====+++++ 【点睛】通过向量共线去得出关于θ的三角函数关系式，再综合三角恒等变形中齐次式的运用，使得做题达到事半功倍的效果．15.下列说法：①正切函数y =tan x 在定义域内是增函数； ②函数()232f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数；③8x π=是函数()524f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴方程； ④扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角为2rad ； 其中正确的是______ ．（写出所有正确答案的序号） 【答案】②③④. 【解析】 【分析】本题通过判断命题方式考察了正弦、余弦、正切函数及扇形圆心角弧度的计算 【详解】①正切函数tan y x =的单调增区间为(,)()22k k k Z ππππ-++∈但是在整个定义域上不单调②函数()22sin 323f x cos x x π⎛⎫=+=-⎪⎝⎭是奇函数，所以成立③因为532sin 18842f sin ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最小值8x π=为其中一条对称轴 ④设扇形弧长与半径分别为,l r 2821442l r r l lr +=⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨==⎩⎪⎩从而由弧度制的定义知弧度2l r θ==成立【点睛】考察了三角函数的单调性、奇偶性、对称性属于常规题，④考生可以结合扇形把将弧长，弦长，圆心角弧度，周长，面积（包括扇形面积，弓形面积）这些量整合起来．16.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB DC ABC AB BC DC ∠====o，若,E F 分别是线段DC和BC 上的动点，则AC EF ⋅u u u r u u u r的取值范围是 __________．【答案】[]46-，【解析】以AB 为x 轴，BC 为y 轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n ，2)故AC EF ⋅u u u r u u u r=2m-3n-4，由图可知：20,02,024,036n m m n -≤≤≤≤⇒≤≤≤-≤，所以2m-3n-4[4,6]∈-点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据题意范围求解结果三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设:22p a x a -≤≤+(0a >)；:q ()()320x x +-≤. （1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，且p 与q 一真一假，求实数x 的取值范围.【答案】（1） 5.a …（2）[)(]3,12,3-⋃ 【解析】 【分析】（1）若q 是p 的充分不必要条件，可得到p ,q 对应集合的关系，从而得到结果.（2）1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真得到p ,q 一真一假，在此两种情况下分别求出满足条件的x 范围.【详解】解：（1）由()()320x x +-„得：3 2.x -剟若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2,a a ≠-⊂-+即023a a >⎧⎨-≤-⎩, 所以 5.a …所以，实数a 的取值范围是 5.a …（2）当1a =时，:13,p x 剟因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以,p q 一真一假． p 真q 假时，得1332x x x ≤≤⎧⎨-⎩或,所以2<x ≤3；p 假q 真时，得1332x x x ⎧⎨-≤≤⎩或,所以-3≤x <1;综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-⋃.【点睛】本题考查了有逻辑联结词的复合命题的真假，以及充分条件的应用求参数的范围.18.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4．（1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的通项公式．【答案】（1）21n a n =-；（2）1213n n --+【解析】【详解】试题分析：（1）求出等比数列{}n b 的公比，再求出a 1，a 14的值，根据等差数列的通项公式求解； （2）根据等差数列和等比数列的前n 项和公式求数列{c n }的前n 项和.试题解析：（1）等比数列{}n b 的公比23933b q b ===， 所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ．因111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =．所以21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）．（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+．从而数列{}n c 的前n 项和 ()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213nn n +--=+- 2312n n -=+． 【考点】等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想（如：求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、分类讨论思想（如：等比数列求和，或）等. 【此处有视频，请去附件查看】19.在△ABC 中，2222a c b ac +=(1)求B 的大小；(2)2cos A ＋cos C 的最大值．【答案】（1）π4（2）1 【解析】 试题分析：（1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===⇒4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=⇒32cos 2cos()4A C A A π+=+-cos()4A π=-⇒当4A π∠=时，2cos A C +取得最大值1．试题解析： （1）由余弦定理及题设得22222cos 222a cb ac B ac ac +-===， 又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=， 32cos 2cos()4A C A A π+=+-222cos 22A A A =-+ 22cos()224A A A π=+=-，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=2cos A C +取得最大值1．考点：1、解三角形；2、函数的最值.【此处有视频，请去附件查看】20.已知函数f （x ）=1232cos x .（Ⅰ）求f （x ）的最小周期和最小值，（Ⅱ）将函数f （x ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象.当x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求g （x ）的值域.【答案】（Ⅰ）π， ，（Ⅱ）.【解析】【详解】（1）211()sin 2sin 2(1cos 2)222f x x x x x ==-+1sin 22sin(2)23x x x π==-,因此()f x 的最小正周期为π，最小值为.（2）由条件可知：g()sin()3x x π=-. 当[,]2x ππ∈时，有2[,]363x πππ-∈， 从而sin()3x π-的值域为1[,1]2，那么sin()3x π-的值域为.故g()x 在区间[,]2ππ上的值域是.考点：1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.【此处有视频，请去附件查看】21.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n -n =2（a n -2），（n ∈N *）（1）证明：数列{a n -1}为等比数列．（2）若b n =a n •log 2（a n -1），数列{b n }的前项和为T n ，求T n ．【答案】（1）见解析；（2）()()111222n n n n T n ++=-⋅++． 【解析】【分析】证明数列是等比数列常用的方法是作商法：当2n ≥时，证111n n a a ---=定值. 考查分组求和，其中又包含错位相减法及等差数列求和公式法【详解】（1）证明：∵S n -n =2（a n -2），n ≥2时，S n -1-（n -1）=2（a n -1-2），两式相减 a n -1=2a n -2a n -1 ，∴a n =2a n -1，∴a n -1=2（a n -1-1）， ∴1121n n a a --=-（常数）， 又n =1时，a 1-1=2（a 1-2）得 a 1=3，a 1-1=2 ，所以数列{a n -1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）11222n n n a --=⨯= ，∴21n n a =+ ，又 b n =a n •log 2（a n -1），∴()21n n b n =+，∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =（1×2+2×22+3×23+…+n ×2n ）+（1+2+3+…+n ），设()231122232122n n n A n n -=⨯+⨯+⨯+⋯-⨯+⨯，()23121222122n n n A n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减()231121222222212n n n n nA n n ++--=+++⋯+-⨯=-⨯-， ∴()1122n n A n +=-⋅+，又 ()11232n n n ++++⋯+=， ∴()()111222n n n n T n ++=-⋅++．【点睛】（1）证明数列是等比数列可以利用作商或者等比中项法；同理证明数列是等差数列一般用做差或者等差中项法（2）错位相减法运算一定要仔细.22.已知函数()()322f x ax a x =-+（a 为实数）. （1） 若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平行，求实数a 的值；（2） 若1a =，求函数()f x 在区间[]1,3上的值域；（3） 若函数()f x 在区间[]1,3上是增函数，求a 的取值范围．【答案】(1) 3a =（2）[]4,0-（3）[)4,+∞.【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()1f '得方程，解得实数a 的值；（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值与值域（3）转化为()()2322f x ax a x '=-+ … 0对于1≤x ≤3恒成立，再分离变量得432a x -…最大值，最后根据函数最值得a 的取值范围试题解析：(1) ()()2322f x ax a x '=-+， ()()13221f a a =+'-=-，解得3a =． （2）1a =时， ()323f x x x =-， ()236f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或2，又()12f =-， ()24f =-， ()30f =，所以()f x 在[]1,3上的值域为[]4,0-．（3）()()2322f x ax a x '=-+，由()f x 在区间[]1,3上是增函数，则()()2322f x ax a x '=-+ … 0对于1≤x ≤3恒成立，所以()324a x -…． 因320x ->，故432a x -…，记()432g x x =-，则()max a g x …， 而函数()g x 在[]1,3上为减函数，则()()max 14g x g ==，所以a …4．4,+∞. 所以a的取值范围是[)。
2020高考数学全真模拟试卷含答案
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！ 一、选择题 (每小题5分,共10小题,50分)1．设I 为全集，M 、N 、P 都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是A. M ∩（N ∪P ）B.M ∩［（I N ）∩P ］C.［（I M ）∩（I N ）］∩PD.（M ∩N ）∪（M ∩P ） （ ）. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18－a 5,则S 8等于 ( )A.18B.36C.54D.723．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是 ( )A.121B.21C.61D.31 4.函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ） A ．周期为π2的奇函数； B ．周期为π2的偶函数； C ．周期为π的奇函数； D ．周期为π的偶函数. 5．已知等差数列{a n }第一项、第三项、第七项分别是一个等比数列｛b n ｝的连续三项，则数列｛b n ｝的公比等于 （ ）Ａ．2 Ｂ．２2 Ｃ．２ Ｄ．３26．已知f (cos x )=cos3x ,则f (sin30°)的值是( )A.1B.23C.0D.－17．若2tan()45πα+=、1tan()44πβ-=，则tan()αβ+= （ ）A ．1B ．1318 Ｃ．518 Ｄ．－１ ８．若函数f(x)＝1()cos 1x a x e +-是奇函数，则常数a 等于（ ）Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．12Ｄ．12-9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上（ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且0)(<x f . 10．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：①f （x ）的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2] ②f （x ）的极值点有且仅有一个③f （x ）的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二. 、填空题 ( 每小题4分,共4个小题,16分)11．过曲线y =x 3－x 上点（1，0）的切线方程的一般式是 .12．已知数列1，4,,21a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则221b a a +的值为13．设sin αβ==，α、β∈(0,)2π，则β－α＝ ．a 114．已知数列{a n }中，a 1＝１，a 6=32，a n+2=21nna a +,把数列{a n }的2a 3a 4a各项排成如图的三角形形状，记A(m,n)为第m 行从左5a 6a 7a 8a 9a…………………………… 起的第n 个数，则A(4,3)＝；A(m,n)＝ ．三、解答题( 共6 小题,总分84分,要求写出必要的解题过程 ) 15．（本题14分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，A=2B ，cos B =，求sinC 的值． 16（本题14分）.：已知函数3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f .（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （6分）（Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合. （6分）17． (本题14分) 如图, 四棱锥P －ABCD 的底面是正方形, PA ⊥底面ABCD, PA ＝AD ＝2, 点M 、N 分别为棱PD 、PC 的中点. (1) 求证: PD ⊥平面AMN; （7分） (2) 求二面角P －AN －M 的大小. （7分）NMDCBAP18．(本题14分)已知定义域为（0，+∞）的函数f(x)满足：①对任意m、n，有f(m﹒n)=f(m)+f(n);②当x＞1时，有f(x)＜０. （1）求证：1()()=-（6分）；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上f f mm为减函数．（8分）19．(本题14分) 某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室，要求全体教职员工都参加其中的某一项目. 据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而去娱乐室的人有20%下次去健身房.(Ⅰ) 设第n次去健身房的人数为a，试用n a表示1 n a；n(Ⅱ) 随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？说明理由.20．（本小题满分14分）已知定义域为R的二次函数f x()的最小值为0且有f x f x ()()11+=-，直线g x x ()()=-41被f x ()的图像截得的弦长为417，数列{}a n 满足a 12=，()()()()a a g a f a n N n n n n +-+=∈10*。
2020年高考数学模拟试卷(文科18)
2020年高考数学模拟试卷（文科18）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=52−i，则|z|=()A. 1B. √5C. 5D. 5√5【答案】B【解析】解：∵复数z=52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i；∴|z|=√22+12=√5；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.已知集合A={x|−2<x<4}，集合B={x|(x−6)(x+1)<0}，则A∩B=()A. {x|1<x<4}B. {x|x<4或x>6}C. {x|−2<x<−1}D. {x|−1<x<4}【答案】D【解析】解：∵A={x|−2<x<4}，B={x|−1<x<6}，∴A∩B={x|−1<x<4}．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3.已知a=log0.63，b=0.63，c=30.6，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】A【解析】解：a=log0.63<0，0<b=0.63<1，c=30.6>1，故c>b>a，故选：A．分别判断a，b，c与0和1的关系，即可求出．本题考查指数函数对数的函数的性质，属于基础题．4.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π.若胡夫金字塔的高为h，则该金字塔的侧棱长为()A. √2π2+1ℎB. √2π2+4ℎ8C. √π2+16ℎ4D. √2π2+16ℎ4【答案】D【解析】解：设该金字塔的底面边长为a，则4a2ℎ=π，可得：a=πℎ2．∴该金字塔的侧棱长=(√2a2)=√ℎ2+24×π2ℎ24=√16+2π24ℎ.故选：D．设该金字塔的底面边长为a，可得4a2ℎ=π，a=πℎ2.利用勾股定理即可得出该金字塔的侧棱长．本题考查了正四棱锥的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数f(x)=ln|1+x1−x|的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，f(−x)=ln|1−x1+x |=ln|(1+x1−x)−1|=−ln|1+x1−x|=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B；又当x→+∞时，f(x)→0，故排除AC；故选：D．利用函数的奇偶性及趋近性即可得解．本题考查函数图象的确定，属于基础题．6.某学校为进行一项调查，先将高三年级800名同学依次编号为1，2，3， (800)然后采用系统抽样的方法等距抽取20名同学，已知抽取到了25号，则下列号码没被抽到的是()A. 185B. 315C. 465D. 625【答案】B【解析】解：采用系统抽样的方法从800名学生中抽取20名学生进行检査． 将他们随机编号为1，2，3，…，800， 则抽样间隔为80020=40，∵随机抽到的号码数为25，∴应抽取的号码为：25+40(n −1)=40n −15.(n 为正整数)； 经检验，只有选项B 对应的n 不是整数． 故选：B ．抽样间隔为80020=40，由此利用随机抽到的号码数为25，能求出应抽取的号码的规律即可判断答案．本题考查样本中号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．7. 已知P 为一圆锥的顶点，AB 为底面圆的直径，PA ⊥PB ，点M 在底面圆周上，若M 为AB⏜的中点，则异面直线AM 与PB 所成角的大小为( ) A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】C【解析】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB =1． ∵PA ⊥PB ，∴OP =OB =OA ，OP ⊥底面AMB ．则O(0,0，0)，B(0,1，0)，M(1,0，0)，P(0,0，1)，A(0,−1,0)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1√2×√2=12， ∴<AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π3， ∴异面直线AM 与PB 所成角的大小为π3．故选：C ．如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB =1.由PA ⊥PB ，可得OP =OB =OA ，OP ⊥底面AMB.利用向量夹角公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、圆锥的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 已知Rt △ABC 中，AB =AC =3，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3B. −3C. 3√52D. 6【答案】D【解析】解：如图：；∵Rt △ABC 中，AB =AC =3，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =[AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0+23×32=6.∖ 故选：D ．直接根据向量的三角形法则以及数量积的运算代入求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．9. 已知π4≈1−13+15−17+19−⋯，如图是求π的近似值的一个程序框图，则空白框中应填入( )A. i =−12n−1 B. i =−1i+2 C. i =(−1)n2n+1 D. i =(−1)n i+2【答案】C【解析】解：初始i =1，n =1，s =0， 1.s =0+1=1，i =−13，n =2； 2.s =1−13，i =15，n =3；…根据1，2判断这里只有C 满足条件， 故选：C ．根据算法流程图，从第一次循环开始，第二次…，推导s 的值，再结合选项判断出结论． 考查算法程序框图的功能，基础题．10. 已知F 为双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，设直线y =1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A ，B ，C ，D ，若|AD|=3|BC|，则F 到渐近线的距离为( ) A. 2√2 B. √3 C. √15 D. 不能确定 【答案】A【解析】解：{y=1x2a2−y2b2=1可得x A=−a√1+b2b，x D=a√1+b2b，{y=1y=−bax可得x B=−ab，{y=1y=bax可得x C=ab，所以|AD|=2a√1+b2b ，|BC|=2ab，若|AD|=3|BC|，所以√1+b2=3，所以b2=8，焦点F(c,0)，到渐近线y=ba x=2√2ax，即2√2x−ay=0的距离d=2√2cc=2√2，故选：A．由双曲线的方程可得渐近线的方程及右焦点F的坐标(由对称性可得任何一个焦点，任何一条渐近线都可以)，将y=1与椭圆，与渐近线联立分别求出A，B，C，D的横坐标，进而求出AD，BC的值可得b的值，由点到直线的距离公式可得所求的结果．本题考查双曲线的性质(对称性)及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．11.已知函数f(x)=|cosx|+sinx，则下列结论中正确的是()①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象是轴对称图形；③函数f(x)的极大值为√2；④函数f(x)的最小值为−1．A. ①③B. ②④C. ②③D. ②③④【答案】D【解析】解：由y=sinx的最小正周期为2π，y=|cosx|的最小正周期为π，可得函数f(x)=|cosx|+sinx的最小正周期为2π，故①错误；由f(π−x)=|cos(π−x)|+sin(π−x)=|−cosx|+sinx=f(x)，可得f(x)的图象关于x=π2对称，故②正确；当−π2<x<π4时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，由x+π4∈(−π4,π2)，f(x)递增，由π4<x<π2时，f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，由x+π4∈(π2,3π4)，f(x)递减，可得f(x)的极大值为f(π4)=√2；同理可得f(x)在x=3π4处取得极大值√2，故③正确；由x∈[−π2,π2]时，f(x)=√2sin(x+π4)，x+π4∈[−π4,3π4]，可得f(x)∈[−1,√2]，且f(x)在x=−π2处取得最小值−1，由x ∈[π2,3π2]时，f(x)=sinx −cosx =√2sin (x −π4)，x −π4∈[π4,5π4]，可得f(x)∈[−1,√2]，且f(x)在x =3π2处取得最小值−1．故④正确．故选：D ．由正弦函数和余弦函数的周期，即可判断①；由f(π−x)与f(x)的关系，可判断②；求得f(x)在一个周期内的单调区间，可得极大值和最值，可判断③、④．本题考查三角函数的图象和性质，主要考查周期性、最值和极值、对称性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 12πB.21π2C.41π4D. 10π【答案】C【解析】解：取AC 的中点E ，做EF ⊥AF 与F ，连接PF 可得PF ⊥AF ，过E 做垂直于面ABC 的直线，由题意可得外接球的球心直线直线EO 上，设球心为O ，过O 做OM ⊥面PAF 交于M ，由正方体性质可得，M 在PF 上，四边形OEFM 为矩形，MF =OE ，OM =EF ，PF =AB =2，连接PO ，OC 可得都是外接球的半径， 由题意可得：CE =√22AB =√2，EF =AB 2=1，在三角形OEC 中，OC 2=OE 2+EC 2=OE 2+(√2)2=2+OE 2，在三角形POM 中，OP 2=OM 2+(PF −FM)2=12+(2−OE)2， 两式联立可得：2+OE 2=1+(2−OE)2，解得：OE =34， 所以OC 2=2+(34)2=4116， 所以外接球的表面积S =4πOC 2=41π4，故选：C ．由题意可得底面外接圆的圆心为对角线AC 的中点E ，过E 做底面的垂线在垂线上取O 使OP =OC ，则O 为外接球的球心，画图可得(详见解答)在两个三角形中求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足不等式组{x ≥0x +y −1≥0x −3y −1≤0，则z =x +2y 的最小值是______．【答案】1【解析】解：作出不等式组对应的可行域(如图阴影)，变形目标函数可得y=−12x+12z，平移直线y=12x可知当直线经过点A(1,0)时，目标函数取最小值，代值计算可得z=x+2y的最小值为1．故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．14.已知函数f(x)={x 2,x≤0lnx,x>0.若方程f(x)=kx−1无实根，则实数k的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：依题意，函数y=f(x)与直线y=kx−1的图象无交点，直线y=kx−1过定点(0,−1)，作图象如下，当x>0时，f(x)=lnx，f′(x)=1x，设直线y=kx−1与f(x)=lnx相切于点(a,b)，则{1a=kb+1a=klna=b，解得{a=1b=0k=1，由图象可知，满足条件的k的取值范围为(1,+∞)．故答案为：(1,+∞)．依题意，函数y=f(x)与直线y=kx−1的图象无交点，作出函数图象，由图象观察即可得解．本题考查函数零点与方程根的关系，同时也考查了利用导数求曲线的切线方程，考查数形结合思想，属于中档题．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =5，c =7，D 为AB 边上一点且CD 平分∠ACB ，则CD =______． 【答案】358【解析】解：∵a =3，b =5，c =7，D 为AB 边上一点且CD 平分∠ACB ，∴{ADDB =53AD +DB =7，解得AD =358，∵cosA =b 2+c 2−a 22bc=52+72−322×5×7=1314，∴由余弦定理可得CD =√AD 2+AC 2−2AD ⋅AC ⋅cosA =√(358)2+52−2×358×5×1314=358．故答案为：358．由已知利用角平分线的性质可求AD 的值，利用余弦定理可求cos A 的值，进而在△ACD 中根据余弦定理可求CD 的值．本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆Γ的左、右焦点，A 为椭圆Γ的上顶点，延长AF 2交椭圆Γ于点B ，若△ABF 1为等腰三角形，则椭圆Γ的离心率为______． 【答案】√33【解析】解：由题意△ABF 1为等腰三角形，可得AF 1=AF 2=a ，AB =BF 1，设BF 2=x 则BF 1=2a −x ，AF 2=a +x ， 所以2a −x =a +x ，解得x =a 2，所以BF 1=AB =3a 2，在三角形ABF 1中，cos ∠ABF 1=AB 2+BF 12−AF 122AB⋅BF 1=(3a 2)2+(3a 2)2−a 22⋅3a 2⋅3a 2=79，在三角形BF 1F 2中cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 22−F 1F 222BF 1⋅BF 2=(3a 2)2+(a 2)2−4c 22⋅3a 2⋅a 2=5a 2−8c 23a 2，所以可得：5a 2−8c 23a 2=79，c 2a 2=13，即离心率e =c a =√33；故答案为：√33．由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设BF 2，AF 1=AF 2=a ，由题意的定义可得BF 1，由国家等腰三角形可得BF 2的值用a 的表达式，在三角形ABF 1中，三角形BF 1F 2中由余弦定理可得∠ABF 1的值相等可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式在北京天安门广场隆重举行，央视对阅兵式进行了直播．为了解市民在直播中观看阅兵式的情况，某机构800观看阅兵式未观看阅兵式合计男300200500女200100300合计500300800(2)经统计，抽取的500名观看阅兵式的市民中有高三学生5名，其中3名男生，2名女生，若从这5名高三学生中随机抽取两人接受采访，求抽取的两名学生性别不同的概率．附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】解：(1)由表中数据，计算K2=800×(300×100−200×200)2500×300×500×300=329≈3.556<3.841，则在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否观看阅兵式与性别有关”．(2)3名男生记为A、B，2名女生记为c、d、e，从这5名学生中随机抽取两人，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种；抽取的两名学生性别不同的基本事件为Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共6种，故所求的概率为P=610．【解析】(1)由表中数据计算K2，对照临界值得出结论；(2)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验知识的运用，也考查了古典概型与计算能力，是基础题．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=√2，BC=AA1=2，O，M分别为BC，AA1的中点．(1)求证：OM//平面CB1A1；(2)求点M到平面CB1A1的距离．【答案】(1)证明：连接BC1交B1C于G，则G为B1C的中点，连接OG，则OG//BB1//A1M，又OG=A1M，∴四边形OGA1M为平行四边形，则OM//A1G.∵OM⊄平面CB1A1，A1G⊂平面CB1A1，∴OM//平面CB1A1；(2)解：∵OM//平面CB1A1，∴点M到平面CB1A1的距离等于点O到平面CB1A1的距离，设B到平面CB1A1的距离为h，由已知三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，且AB=AC=√2，BC=AA1=2，可得A1B1⊥平面AA1C1C，则A1B1⊥A1C，又A1C=√6，A1B1=√2，∴S△A1CB1=12×√6×√2=√3，S△BB1C =12×2×2=2，A1到底面的距离为1．由V B−CA1B1=V A1−BB1C，得13×√3ℎ=13×2×1，得ℎ=2√33．∴点M到平面CB1A1的距离为12ℎ=√33．【解析】(1)连接BC1交B1C于G，则G为B1C的中点，连接OG，可得OG//BB1//A1M，结合OG=A1M，得到四边形OGA1M为平行四边形，则OM//A1G，再由线面平行的判定可得OM//平面CB1A1；(2)OM//平面CB1A1，点M到平面CB1A1的距离等于点O到平面CB1A1的距离，然后利用等积法求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a n≠0，且a1=1，S n=18(a n2+a n+12−λ)．(1)求λ的值及{a n}的通项公式；(2)设b n=a nS n +S nS n+1，求{b n}的前n项和T n．【答案】解：(1)数列{a n}是等差数列，a1=1，设公差为d，又S n=18(a n2+a n+12−λ)，∴a1=18(a12+(a1+d)2−λ)，即1=18[12+(1+d)2−λ]①；a1+a2=18[(a1+d)2+(a1+2d)2−λ]，即1+1+d=18[(1+d)2+(1+2d)2−λ]②，联立①②得：d=2或d=−1，当d=2时，λ=2；当d=−1时，a2=0，不符合题意，舍去．∴a n=1+(n−1)×2=2n−1．(2)∵b n=a nS n +S nS n+1=a nS n+S n+1−a n+1S n+1=a nS n−a n+1S n+1+1，∴b1=a1S1−a2S2+1，b2=a2S2−a3S3+1，…，b n−1=a n−1S n−1−a nS n+1，b n=a nS n −a n+1S n+1+1，将以上n个式子左右分别相加得：T n=b1+b2+⋯+b n=a1S1−a n+1S n+1+n=n+1−2n+1(n+1)2．【解析】(1)数列{a n}是等差数列，a1=1，设公差为d，由S n=18(a n2+a n+12−λ)，可得1=18[12+(1+d)2−λ]①；1+1+d=18[(1+d)2+(1+2d)2−λ]②，联立①②可求得λ的值及{a n}的通项公式；(2)由递推关系b n=a nS n +S nS n+1可得b n=a n Sn−a n+1S n+1+1，利用累加消项法即可求得{bn}的前n项和T n．本题考查数列递推式的应用，(2)中将b n=a n Sn +S nS n+1化为b n=a n Sn+S n+1−a n+1S n+1=a nS n−a n+1S n+1+1是关键，也是难点，考查等价转化思想与函数与方程思想的综合运用，突出考查累加法求和及运算能力，属于难题．20.设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx．(1)讨论函数f(x)在[−π,π]上的单调性；(2)证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点．【答案】(1)解：∵f(x)=x2−4xsinx−4cosx，∴f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x)，∴f(x)为偶函数．∵f′(x)=2x−4(sinx+xcosx)+4sinx=2x(1−2cosx)，∴当x∈[0,π3]时，f′(x)≤0，当x∈[π3,π]时，f′(x)≥0，∴f(x)在区间[0,π3]上单调递减，在区间[π3,π]单调递增；又f(x)为偶函数．∴f(x)在区间[−π,−π3]单调递减，在区间[−π3,0]上单调递增，综上所述，当x∈[−π,−π3]，或x∈[0,π3]，f(x)单调递减；当x∈[−π3,0]，或x∈[π3,π]，f(x)单调递增；(2)证明：∵函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx为R上的偶函数，要证明函数f(x)在R上有且仅有两个零点，只需证明f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点，当x∈(0,+∞)，令f(x)=0，即x2=4xsinx+4cosx，即x24=xsinx+cosx．令g(x)=x24(x>0)，ℎ(x)=xsinx+cosx(x>0)，且ℎ(0)=1>0．则ℎ′(x)=sinx+xcosx−sinx=xcosx，当x∈(0,π2)时，ℎ′(x)>0，x∈(π2,3π2)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)=xsinx+cosx在区间(0,π2)上单调递增，在区间(π2,3π2)单调递减，∴ℎ(x)max=ℎ(π2)=π2>1>π216=g(π4)，ℎ(x)min=ℎ(3π2)=−3π2<0<9π216=g(3π2)，∴g(x)=x24与ℎ(x)=xsinx+cosx在(0,3π2)上有一个交点．在同一作出g(x)=x24与ℎ(x)=xsinx+cosx的图象，x0由图可知，当x>x0(x0为两函数的第一象限的交点的横坐标)时，g(x)=x24(x>0)的图象恒在ℎ(x)图形的上方，∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点，又函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx为R上的偶函数，∴函数f(x)在R上有且仅有两个零点．【解析】(1)利用f(x)=x2−4xsinx−4cosx为偶函数及f′(x)=2x−4(sinx+xcosx)+4sinx=2x(1−2cosx)，可判断函数f(x)在[−π,π]上的单调性；(2)函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx为R上的偶函数，要证明函数f(x)在R上有且仅有两个零点，只需证明f(x)在(0,+∞)上有且仅有1个零点，问题转化为x24=xsinx+cosx在(0,+∞)上只有一个根，分别构造函数g(x)=x24(x>0)，ℎ(x)=xsinx+cosx(x>0)，利用导数法结合图象即可证明原结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查推理证明及作图能力，属于难题．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，当l的倾斜角为45°时，|AB|=4．(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C在点A处的切线为m，BH⊥m于点H，求|BH|的最小值．【答案】解：(1)由题意可得抛物线的焦点F(0,p 2)，由题意可得直线l 的方程为：y =x +p2， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程{x 2=2pyy =x +p 2，整理可得x 2−2px −p 2=0，x 1+x 2=2p ， ∴y 1+y 2=x 1+x 2+p═3p ， 则y 1+y 2+p =4p =8，p =2， 故抛物线的方程为：x 2=4y ；(2)由(1)知，F(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y′|x=x 1=12x 1，则抛物线C 在点A 处的切线为m ：y −14x 12=12x 1(x −x 1)，整理得：2x 1x −4y −x 12=0．由抛物线的性质可得：x 1x 2=−p 2=−4，则x 2=−4x 1，则B(−4x 1,4x 12)，则|BH|=|8+16x 12+x 12|√4x 1+16=|x 14+8x 12+16x 12|2√x 1+4=(√x 12+4)32x 12．令√x 12+4=t ，则t 2>4，由y =(√x 12+4)32x 12=t 32(t 2−4)，得y′=2t 2(t 2−12)2(t 2−4)2，∴当t 2∈(4,12)时，y′<0，当t 2∈(12,+∞)时，y′>0， ∴当t 2=12时，y 取最小值为3√32． ∴|BH|的最小值为3√32． 【解析】(1)由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，再由弦长公式求得p 的值，进而求出抛物线的方程； (2)由(1)知，F(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用导数求出m 的方程，再由抛物线的性质求出B 的坐标，由点到直线的距离公式写出BH ，再由导数求最值．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用导数求最值，属难题．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=m ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程； (2)设曲线C 1与曲线C 2在第二象限的交点为A ，曲线C 1与x 轴的交点为H ，点M(1,0)，求△AMH 的周长l 的最大值．【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ=m ，转换为直角坐标方程为：x =m ． 曲线C 2的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ.转换为直角坐标方程为3x 2+4y 2=12，整理得x 24+y 23=1，转换为参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)．(2)曲线C 1与曲线C 2在第二象限的交点为A(2cosθ,√3sinθ)，M(1,0)，H(2cosθ,0) 所以所以l △ABC =|AM|+|MH|+|AH|=√3sinθ+1−2cosθ+√(2cosθ−1)2+(√3sinθ)2=√3sinθ+1−2cosθ+2−cosθ=2√3sin (θ−π3)+3，当sin (θ−π3)=1时，△AMH 的周长l 的最大值为2√3+3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型阿函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23. 已知函数f(x)=2|x −1|+mx ，m ∈R ．(1)当m =−3时，求不等式f(x)+4<0的解集；(2)若函数f(x)的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值． 【答案】解：(1)当m =−3时，f(x)=2|x −1|−3x ={−x −2,x ≥12−5x,x <1，当x ≥1时，f(x)+4<0即−x −2+4<0，解得x >2；当x <1时，f(x)+4<0即2−5x +4<0，解得x >65，此时无解． 综上，不等式的解集为(2,+∞)； (2)f(x)={(m +2)x −2,x ≥1(m −2)x +2,x <1，令f(x)=0，则x =2m+2(x ≥1)或x =22−m (x <1)，显然需要m −2<0<m +2，即−2<m <2， 如图，则A(2m+2,0),B(22−m ,0),C(1,m)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2m+2,m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−22−m,m)， 依题意，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2m+2)(1−22−m )+m 2=0，解得m =±√3． 当m =√3时，点C 在x 轴上方，不合题意，当m =−√3时，满足题意．故m =−√3．【解析】(1)将m=−3代入，分类讨论解不等式即可；(2)化为分段函数的形式，作出图象，求得A(2m+2,0),B(22−m,0),C(1,m)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2 m+2,m),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−22−m,m)，根据数量积为0，建立方程求解．本题考查绝对值不等式的解法，考查逻辑推理能力以及数形结合思想，属于中档题．。
2020届全国高考数学仿真押题试卷 数学试卷(十八)
2020届全国高考数学仿真押题试卷数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则(AB = )A ．[3-，6]B ．(3,6)-C ．(-∞，3][2-，)+∞D ．(-∞，3][3-，)+∞ 【解析】解：集合或3}x …，集合，或2}(x =-∞…，3][2-，)+∞．【答案】C ．2．已知i为虚数单位，实数a，b满足，则ab的值为() A．6 B．6-C．5 D．5-【解析】解：，∴，解得23ab=⎧⎨=⎩．ab∴的值为6．【答案】A．3．已知x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩………，则6yzx=-的最小值是()A．3-B．35-C．0 D．3【解析】解：作出x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩………对应的平面区域如图（阴影部分）:则z的几何意义为区域内的点到定点(6,0)P的直线的斜率，由图象可知当直线过A点时对应的斜率最大，由，解得(3,9)A，此时PD的斜率，【答案】A．4．已知函数图象的相邻两对称中心的距离为2π，且对任意x R ∈都有，则函数()y f x =的一个单调递增区间可以为( )A ．[,0]2π-B ．2[,]63ππC ．3[,]44ππD ．[,]44ππ-【解析】解：函数()f x 图象的相邻两对称中心的距离为2π， ∴22T π=，即T π=， 2ππω=，2ω∴=，对任意x R ∈都有，∴函数关于4x π=对称，即，k Z ∈，即k ϕπ=，k Z ∈，||2πϕ<，∴当0k =时，0ϕ=，即()sin 2f x x =，由， 得，k Z ∈，即函数的单调递增区间为为[4k ππ-，]4k ππ+，k Z ∈， 当0k =时，单调递增区间为[4π-，]4π， 【答案】D ．5．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】解：初始值9k =，1s =，是， 第一次循环：910s =，8k =，是， 第二次循环：45s =，7k =，是， 第三次循环：710s =，6k =，是， 第四次循环：35s =，5k =，否，输出5k =．【答案】C ． 6．过抛物线的焦点F 作倾斜角为4π的直线l ，若l 与抛物线交于A ，B 两点，且AB 的中点到抛物线准线的距离为4，则p 的值为( ) A ．83B ．1C ．2D ．3【解析】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则，①-②，得：，∴，过抛物线的焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴12121y y x x -=-，AB 方程为：2Py x =-，122y y +为AB 中点纵坐标，，112p y x =-，222p y x =-，，，，AB ∴中点横坐标为32p， 线段AB 的中点到抛物线C 准线的距离为4，∴3422p p +=，解得2p =． 【答案】C ．7．如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．9B ．10C ．12D ．18【解析】解：由三视图可知该几何体是底面是直角梯形，侧棱和底面垂直的四棱锥， 其中高为3，底面直角梯形的上底为2，下底为4，梯形的高为3， 所以四棱锥的体积为．【答案】A ．8．已知双曲线的左，右焦点分别为1F ，2F ，点(2,P 在双曲线上，且1||PF ，12||F F ，2||PF 成等差数列，则该双曲线的方程为( )A ．221x y -=B ．22123x y -=C ．2213y x -=D ．221164x y -=【解析】解：设1||PF m =，12||2F F c =，2||PF n =．2m n a ∴-=．1||PF ，12||F F ，2||PF 成等差数列，4c m n ∴=+．，，联立解得1a =，c =．∴双曲线的标准方程为：221x y -=．【答案】A ．9．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30︒，若向弦图内随机抛掷200颗米1.732)，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64【解析】解：设大正方体的边长为x 12x -， 设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则，解得：27N ≈【答案】B ．10．如果点(,)P x y 满足，点Q 在曲线上，则||PQ 的取值范围是( )A ．1-1]-B ．11]C ．1，5]D ．1，5]【解析】解：曲线对应的圆心(0,2)M -，半径1r =，作出不等式组对应的平面区域如图：直线210x y -+=的斜率12k =， 则当P 位于点(1,0)-时，||PQ 取得最小值， 此时．最大值为：235+=．则||PQ 的取值范围是：1-，5] 【答案】D ．11．在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，，2BC =，若四面体ABCD 的外接球的表面积为6769π，则四面体ABCD 的体积为( )A B ．12 C ．8 D ．4 【解析】解：在四面体ABCD 中，AD ⊥平面ABC ，，2BC =，四面体ABCD 的外接球的表面积为6769π， ∴四面体ABCD 的外接球的半径133r =， 设四面体ABCD 的外接球的球心为O ，则，过O 作OF ⊥平面ABC ，F 是垂足，过OE AD ⊥，交AD 于E ，F ∴是ABC ∆的重心，，，∴四面体ABCD 的体积为：．【答案】A ．12．已知0a >，曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( ) A ．0B ．21e -C ．22e -D ．24e -【解析】解：设()y f x =与在公共点0(P x ，0)y 处的切线相同，，22()a g x x'=，由题意，，得，，由得0x a =或013x a =-（舍去），即有．令，则，当4(1)0t lnt +>，即1t e>时，()0h t '>； 当4(1)0t lnt +<，即10t e <<时，()0h t '<．故()h t 在1(0,)e 为减函数，在1(e ，)+∞为增函数，于是()h t 在(0,)+∞的最小值为211()h e e =-，故b 的最小值为21e -． 【答案】B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．复数z 满足31zi i=-+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ． 【解析】解：由31zi i=-+， 得．则复数z 的模是．【答案】14．61()x x -的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答）【解析】解：61()x x-的展开式的通项公式为，令622r -=，求得2r =，故展开式中2x 的系数为2615C =， 【答案】15．15．已知变量x ，y 满足约束条件332200x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩…………，则3z x y =+的最大值是 6 ．【解析】解：变量x ，y 满足约束条件332200x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图阴影部分， 由022y x y =⎧⎨+=⎩解得(2,0)A目标函数3z x y =+可看做斜率为3-的动直线， 其纵截距越大，z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A 时，．【答案】6．16．已知函数有两个零点1x ，212()x x x <，若其导函数为()f x '，则下列4个结论中正确的为①②④ （请将所有正确结论的序号填入横线上）．①10a e -<<；②1221x x e <； ③21x >； ④．【解析】解：设()g x xlnx =，，得()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(e，)+∞单调递增．当01x <<时()0g x <，11()g e e=-，且0x +→，()0g x →；当1x =时，g （1）0=；当1x >时，()0g x >，且x →+∞，()g x →+∞；函数有两个零点， 得10a e-<<且．故①正确，③错误．由()g x xlnx =在1(0,)e 单调递减快，在1(e，)+∞单调递增慢，所以1212x x e +>．而，即而．，所以，故④正确．构造函数，1))e，则，函数()H x 在1(0,)e单调递增，1()0H e =，从而，即，，因为2111(e x e ∈，)+∞，21(x e ∈，)+∞，()g x 在1(e，)+∞单调递增，所以2211x e x <，即1221x x e <，所以①②④正确，③错误． 故答案为①②④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 满足，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【解析】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为①当1n =时，12a =，当2n …时，②由①-②得：1n a n =+， 因为12a =适合上式，所以（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，210(1)n >+，即1n T <．18．已知四边形ABCD 满足//AD BC ，，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿AE 翻折成△1B AE ，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点． （1）求四棱锥1B AECD -的体积； （2）证明：1//B E 面ACF ；（3）求面1ADB 与面1ECB 所成锐二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）解：取AE 的中点M ，连接1B M ，因为，E 是BC 的中点，所以ABE ∆为等边三角形，所以1B M =， 又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，⋯所以（Ⅱ）证明：连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为AECD 为菱形，OE OD =， 又F 为1B D 的中点，所以1//FO B E ， 因为FO ⊂面ACF 所以1//B E 面ACF ⋯（Ⅲ）解：连接MD ，分别以ME ，MD ，1MB 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 则设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=，则，令1x '=，则设面1ADB 的法向量为(,,)u x y z =，则，令1x =，则则，所以二面角的余弦值为35⋯19．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：（Ⅰ）若测试的同学中，分数段[20，40)、[40，60)、[60，80)、[80，100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成22⨯列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？ （Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（Ⅲ）某评估机构以指标，其中()D X 表示X 的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若0.7M …，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：．【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[20，40)的频率为，故抽取的学生答卷总数为6600.1=，，18x=．性别与合格情况的22⨯列联表为：∴即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关．⋯⋯（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可能的取值为20、15、10、5、0，，．X的分布列为：所以．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：∴．故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案．⋯⋯⋯⋯20．已知ABCAB=，且．以边AB的中垂线为x轴，以AB所∆中，2在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知定点(0,4)P，不垂直于AB的动直线l与轨迹E相交于M、N两点，若直线MP、NP关于y轴对称，求PMN∆面积的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由得：，由正弦定理所以点C的轨迹是：以A，B为焦点的椭圆（除y轴上的点），其中2c=，则b=，a=，1故轨迹E 的轨迹方程为．（Ⅱ） 由题(0,4)P ，由题可知，直线l 的斜率存在，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将直线l 的方程代入轨迹E 的方程得：．由△0>得，2234k m +>，且．直线MP 、NP 关于y 轴对称，，即．化简得：，∴，得1m =．那么直线l 过点(0,1)B ，，所以PMN ∆面积：设21k t +=，则1t >，，显然，S 在(1,)t ∈+∞上单调递减，∴9(0,)2S ∈．21．设函数．（Ⅰ）求函数2()()x F x g x +=单调递减区间； （Ⅱ）若函数的极小值不小于23e -，求实数a 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）由题可知，所以由()0F x '<，解得或．综上所述，()F x 的递减区间为(1--和(0,1-+．（Ⅱ）由题可知，所以．（1）当0a =时，，则()G x 在(,1)-∞为增函数，在(1,)+∞为减函数，所以()G x 在R 上没有极小值，故舍去；（2）当0a <时，，由()0G x '=得，由于0a <，所以111a<-， 因此函数()G x 在(,1)-∞为增函数，在1(1,1)a -为减函数，在1(1,)a-+∞为增函数，所以即．令111t a-=>，则上述不等式可化为．上述不等式①设，则，故()h t 在(1,)+∞为增函数．又h （2）0=，所以不等式①的解为2t …，因此112t a-=…，所以10a a +…，解得10a -<…．综上所述[1a ∈-，0)．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程22．设极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，曲线C 的参数方程为是参数），直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设点(1,)P m ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且8||||PA PB =，求m 的值 【解析】解：（Ⅰ）由题可得，曲线C 的普通方程为．直线l 的直角坐标方程为，即由于直线l 过点(1,)P m ，倾斜角为30︒，故直线l 的参数方程是参数）（注意：直线l 的参数方程的结果不是唯一的．)（Ⅱ）设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得：．所以，解得3m =±．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知．（Ⅰ）关于x 的不等式恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若，且m n <，求m n +的取值范围．【解析】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（Ⅰ），所以()2min f x =-，⋯⋯⋯恒成立，则，解得12a 剟．⋯⋯⋯ （Ⅱ）()2max f x =，()2f m ∴…，()2f n …，则，又，所以，于是4n m >…， 故8m n +>．。
2020高考数学模拟试卷含解答
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！一、选择题（本题每小题5分，共60分）1、若P={2|,y y x x R =∈},Q={}2(,)|,x y y x x R =∈,则必有 A 、P ⋂Q=Φ B 、P ⊂Q C 、P=Q D 、P ⊃Q2、函数y =的定义域是 A 、(,3)(3,)-∞+∞U B 、(2,)+∞ C 、(3,)+∞ D 、(2,3)(3,)+∞U3、(2)(8)(0)x x y x x++=<的值域是 A 、[18，+∞) B 、(-∞，2]C 、[ 2，18]D 、(-∞，2]U [18，+∞)4、不等式 10x x->成立的一个必要不充分条件是 A 、10x -<<或x>1 B 、x<-1或0<x<1C 、x>1D 、x>-15、若的图象与则函数其中x x b x g a x f b a b a ==≠≠=+)()(),1,1(0lg lgA 、关于直线y=x 对称B 、关于x 轴对称C 、关于y 轴对称D 、关于原点对称6、函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又f(x)=f(x-2),如果f(x)在[-1，0]上是减函数，那么f(x)在[2，3]上是A 、增函数B 、减函数C 、先增后减的函数D 、先减后增的函数7、若函数f (x )=x －2p x p +在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是A 、［－1,＋∞)B 、［1,+∞)Ｃ、(－∞,－1］ Ｄ、( －∞,1］8、函数1,(0,)1x x e y x e +=∈+∞-的反函数是 A 、)1,(,11ln -∞∈+-=x x x y B 、)1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C 、),1(,11ln +∞∈+-=x x x y D 、),1(,11ln +∞∈-+=x x x y9、函数)(x f =21log (23)x x π--的递增递减区间分别为A 、(1,)+∞与∞（-，1）B 、∞（-，1）与(1,)+∞C 、∞（3，+）与∞（-，-1）D 、∞（-，-1）与∞（3，+）10、设函数)(x f =x |x | + b x + c 给出下列四个命题： ①c = 0时，y =)(x f 是奇函数 ②b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实根 ③y =)(x f 的图象关于(0 , c)对称 ④方程)(x f =0至多两个实根其中正确的命题是A 、①、④B 、①、③C 、①、②、③D 、①、②、④11、利用数学归纳法证明“22111(1,)1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-L ”时，在验证n=1成立时，左边应该是 A 、1 B 、1a+ C 、21a a ++ D 、231a a a +++12、同一天内，甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12，假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙两地都不下雨的概率是A 、0.102B 、0.132C 、0.748D 、0.982二、填空题（t 本题每小题4分，共16分x ）13、如果复数ibi 212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于________14、已知函数,2))((.0,cos 2,0,)(02=⎩⎨⎧<<≤=x f f x x x x x f 若π则x 0= 15、若对于任意a ∈[－1,1], 函数f (x ) = x 2+ (a －4)x + 4－2a 的值恒大于零, 则x 的取值范围是 .16、如果函数f (x )的定义域为R ，对于)1(,6)()()(,,--+=+∈f n f m f n m f R n m 且恒有是不大于5的正整数，当x >－1时，f (x )>0. 那么具有这种性质的函数f (x )= .（注：填上你认为正确的一个函数即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分。
高考数学套用18个规范答题模板-2020版
模板一求函数值例1【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】▲模板构建已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:【变式训练】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．模板二函数的图象例2【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.▲模板构建有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．结合导数解答此类问题的基本要点如下:【变式训练】【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为模板三 函数的零点问题例3 【2018届北京市十一学校3月零模】已知函数()131,2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ） A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B▲模板构建 利用零点存在性定理可以根据函数y=f(x)在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:【变式训练】【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 模板四 三角函数的性质例4【2018届福建省漳州市5月测试】已知函数（，），满足，且对任意，都有．当取最小值时，函数的单调递减区间为（ ）A. ，ZB. ，Z C. ，Z D.，Z【答案】A 【解析】那么，函数，当时，取得最小值，，，即函数，令，得，所以，函数的单调递减区间为： ，,故选A.▲模板构建 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数()2cos 3sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值与最大值之和为__________． 模板五 三角函数的图象变换例5.将函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线2x π=对称，则φ的最小值是( )A. 4πB. 3πC. 34πD. 38π【答案】D▲模板构建 三角函数图象变换的主要类型:在x 轴方向上的左、右平移变换,在y 轴方向上的上、下平移变换,在x 轴或y 轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需把函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度D. 向右平移4π个单位长度模板六 解三角形例6【2018年理数全国卷II 】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A▲模板构建 利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式训练】【2018河南省南阳市第一中学模拟】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为(),,,sin cos cos 3cos a b c B a B b A c B +=.（1）求B ；（2）若3,b ABC =∆的面积为3ABC ∆的周长. 模板七 利用函数性质解不等式例7已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减且()10f =，则不等式()414log log 0f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为__________． 【答案】1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦▲模板构建 函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:【变式训练】【2018届广东省模拟（二）】已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．模板八 利用基本不等式求最值 例8．【2018广西钦州质量检测】已知（，为正实数），则的最小值为__________． 【答案】【解析】∵a ，b ∈R+，a+4b=1 ∴=≥，当且仅当，即a=2b 时上述等号成立，故答案为：9▲模板构建 拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式训练】已知,x y +∈R ,且满足22x y xy +=,那么34x y +的最小值为____.模板九 不等式恒成立问题例9【2018年天津卷文】已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a 的取值范围是__________． 【答案】［，2］ 【解析】▲模板构建 分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式训练】【2018河南省中原名校联考】已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,+∞C. ()0,1D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭模板十 简单的线性规划问题 例10【2018年理北京卷】若x ,y 满足，则2y−x 的最小值是_________.【答案】3 【解析】 不等式可转化为，即， 满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.▲模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式训练】【河南省2018年高考一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A． B．C． D．模板十一数列的通项与求和例11【2018年专家猜题卷】数列的前项和为，已知，. （Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）证明：∵，∴，∴，又，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∴，①. ②①-②得，∴.▲模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式训练】【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.模板十二 空间中的平行与垂直 例12【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）； （2）．【答案】见解析 【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1．因为AB 平面A 1B 1C ，A 1B 1平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．▲模板构建 证明空间中的平行与垂直的步骤如下:【变式训练】【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中， CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证： BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证： 11AB A C ⊥.模板十三 求空间角例13【2018吉林省实验中学模拟】如图， AB 为圆O 的直径，点E ， F 在圆O 上， //AB EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知2AB =， 1EF =． （Ⅰ）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）当AD 的长为何值时，二面角D FE B --的大小为60︒．（Ⅱ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴，因此，当AD 的长为64时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°. ▲模板构建 空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:【变式训练】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且12BC BB ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求证： 1BD CC ⊥；（2）若动点E 在棱11C D 上，试确定点E 的位置，使得直线DE 与平面1BDB 所成角的正弦值为714． 模板十四 直线与圆的位置关系例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A. 23,23⎡⎤-+⎣⎦ B. 23,32⎡⎤---⎣⎦C. 23,23⎡⎤--+⎣⎦D. 23,23⎡⎤---⎣⎦【答案】B【解析】圆2244100x y x y ++--=可化为()()222218x y ++-= 则圆心为（-2，2），半径为32，1+240b b a a ⎛⎫⎛⎫-⨯≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由直线l 的斜率k=-a b 则上式可化为k 2+4k+1≤0解得2323k --≤≤-+故选B▲模板构建 几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:【变式训练】【2018北京市丰台区模拟】已知直线210x y --=和圆()2211x y -+=交于,A B 两点，则AB =__________．模板十五 圆锥曲线中的最值与范围问题例15【2018辽宁省凌源模拟】知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点33,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.过椭圆C 右焦点且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，且120y y +≠. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点1Q 与点Q 关于x 轴对称，且直线1Q P 与x 轴交于点R ，求RPQ ∆面积的最大值.【解析】（I )依题意， 22222393{1, 4,c a a ba b c =+==+解得3,3,3a b c ===，故椭圆C 的方程为221123x y +=； （2）依题意，椭圆右焦点F 坐标为()3,0，设直线():30l x my m =+≠，直线l 与椭圆C 方程联立223,{ 1,123x my x y =++= 化简并整理得()224630m y my ++-=， ∴12122263,44m y y y y m m +=-=-++， 由题设知直线1Q P 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得()()()11212211221112121233y x x my y my y x y x y x x y y y y y y -++++=-==+++ 22643464m m m m -+=+=-+，∴点(当且仅当22911m m +=+即2m =±时等号成立) ∴RPQ ∆的面积存在最大值，最大值为1.▲模板构建 与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,Δ>0等).解题步骤如下:【变式训练】【2018·合肥市质检】已知点F 为椭圆E ： 22221x y a b+= (a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程； (2)设直线142x y+=与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．模板十六 圆锥曲线中的探索性问题例16【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由△OMF 是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l 交椭圆于P,Q 两点，且使F 为△PQM 的垂心 设P （,）,Q （,） 因为M （0,1），F （1,0），故，故直线l 的斜率于是设直线l 的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且 由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM 不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l ，且直线l 的方程为▲模板构建 圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:【变式训练】【2018届广西柳州市高三上学期摸底】已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由. 模板十七 离散型随机变量例17【2018辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.▲模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:【变式训练】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API（Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]大于300中度重空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染重度污染污染天数101520307612列联表，并判断（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面22能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计10020P(K )k ≥ 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828附： ()()()()()22K n ad bc a b c d a c b d -=++++（Ⅱ）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当API 在区间[]0,100时企业正常生产；当API 在区间(]100,200时对企业限产30%（即关闭30%的产能），当API 在区间(]200,300时对企业限产50%，当API 在300以上时对企业限产80%，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：①在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率； ②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值．模板十八 线性回归方程例18【2018年理数全国卷II 】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5，（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．▲模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题要点如下:(1)作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系.(2)计算.计算出,,,xiyi的值;计算回归系数,.(3)求方程.写出线性回归直线方程y=x+.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点. （1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数(x) 10 20 30 40 50 60 70 80愿意整体搬迁人数(y)8 17 25 31 39 47 55 66请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y bx a=+（b保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望.参考公式及数据：882122111,ˆˆ,16310,20400·ni iii i ini iiix y n x yb a y b x x y xx n x====-⋅⋅==-⋅==-∑∑∑∑.答案部分模板一求函数值【变式训练】【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此模板二函数的图象【变式训练】【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C故正确答案选D.模板三函数的零点问题【变式训练】【答案】–3【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，模板四三角函数的性质【变式训练】【答案】1 2模板五三角函数的图象变换【变式训练】【答案】C【解析】故选C模板六解三角形【变式训练】【解析】（1）由题意及正弦定理得()+=，B A B B AC B sin sin cos sin cos3sin cos()∴+==，B A B BC C B sin sin sin sin3sin cos ()∈，0,Cπ∴>，Csin0∴=，B Bsin3cosB=∴tan3∴2220a c +=，∴()222236a c a c ac +=++=，6a c ∴+=，又23b =，ABC ∴∆的周长为623+.模板七 利用函数性质解不等式 【变式训练】【答案】【解析】 当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.模板八 利用基本不等式求最值 【变式训练】【答案】526+ 【解析】由22x y xy +=，得1112x y+=． ∴()1134342x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=4355262y x x y ++≥+．当且仅当432y xx y =且22x y xy +=时等号成立．∴34x y +的最小值为526+模板九 不等式恒成立问题 【变式训练】【答案】C【解析】记函数()f x 在[]1,e 上的最小值为()g m : ()()1ln mf x x m x x=-+-的定义域为()0,+∞. ()211m mf x x x++'=-. 令()0f x '=，得m x =或1x =.①0m 1<≤时，对任意的1x e <<,()0f x '>， ()f x 在[]1,e 上单调递增， ()f x 的最小值为()11m f =-②当1m e <<时，()f x 的最小值为()()m m 1m 1lnm f =--+;故实数m 的取值范围为()0,1. 故选C.模板十 简单的线性规划问题 【变式训练】【答案】A 【解析】作出不等式组表示的平面区域， 得到如图的及其内部，其中，，圆：表示以为圆心，半径为的圆，由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，，当或时，圆不经过区域上的点，故选模板十一 数列的通项与求和 【变式训练】【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i ）.（ii ）证明见解析.【解析】（I ）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d ，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II ）（i ）由（I ），有，故.（ii ）因为，所以.模板十二 空间中的平行与垂直 【变式训练】【答案】见解析【解析】证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =， 又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A ⋂底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． 又11AB A M ⊥， 1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M ⋂=，所以1AB ⊥平面1A MC ．又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． 模板十三 求空间角【变式训练】【解析】（1）连接1A B ， 1A D ， AC ， 因为1AB AA AD ==， 1160A AB A AD ∠=∠=︒， 所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形， 于是11A B A D =．设AC 与BD 的交点为O ，连接1A O ，则1A O BD ⊥， 又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 而1AO AC O ⋂=，所以BD ⊥平面1A AC ．所以OA 、OB 、1OA 两两垂直．如图，以点O 为坐标原点， OA 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()1,0,0A ， ()0,1,0B ， ()0,1,0D -， ()10,0,1A ， ()1,0,0C -， ()0,2,0DB =， ()111,0,1BB AA ==-， ()111,1,0D C DC ==-，由()111,0,1DD AA ==-，易求得()11,1,1D --． 设111D E DC λ=（[]0,1λ∈）， 则()()1,1,11,1,0E E E x y z λ++-=-，即()1,1,1E λλ---， 所以()1,,1DE λλ=--．模板十四 直线与圆的位置关系【变式训练】【答案】2模板十五 圆锥曲线中的最值与范围问题【变式训练】【解析】 (1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为2222143x y c c+=.∵直线142x y+=与y 轴交于P (0,2)， ∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45， 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由222{ 34120y kx x y =++-=⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得，x 1x 2＝2434k+，且Δ＝48(4k 2－1)>0，∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·2434k +＝1＋2134k +＝54λ， ∴λ＝45 (1＋2134k +)， ∵k 2>14，∴45<λ<1.综上所述，λ的取值范围是[45，1)． 模板十六 圆锥曲线中的探索性问题【变式训练】【答案】（1）24y x =（2）()8,4-【解析】（1）拋物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ，∴直线AB 的方程为: 2p y x ⎫=-⎪⎭.联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得: 22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==.∴6AB ===解得2p =.∴抛物线C 的方程为： 24y x =.（2）由（1）可得点()4,4M ，可得直线DE 的斜率不为0， 设直线DE 的方程为： x my t =+， 联立2{4x my ty x=+=，得2440y my t --=， 则216160m t ∆=+>①.设()()1122,,,D x y E x y ，则12124,4y y m y y t +==-. ∵()()11224,44,4MD ME x y x y ⋅=--⋅--()()12121212416416x x x x y y y y =-+++-++()2222121212124164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭ ()()()2212121212343216y y y y y y y y =-++-++22161232160t m t m =--+-=即2212321616t t m m -+=+，得： ()()226421t m -=+， ∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+， 代人①式检验均满足0∆>，∴直线DE 的方程为： ()4848x my m m y =++=++或()44x m y =-+. ∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不满足题意，故舍去）. 模板十七 离散型随机变量 【变式训练】【解析】（Ⅰ）根据以上数据得到如下列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 23 7 30 非供暖季 65 5 70 合计 8812100()22100657235 5.213 3.84188127030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，②企业甲这一年的利润的期望值为25750365(2210010100⨯⨯+⨯⨯ 11311222)502.9721005100+⨯⨯+⨯⨯=万元，故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是3652502.97227.03⨯-=万元． 模板十八 线性回归方程 【变式训练】【解析】（1）由已知有 1221163108453645,36,0.820400845ˆ54ni i i n i i x y n x y x y b x n x==-⋅⋅-⨯⨯====≈-⨯⨯-⋅∑∑， 360.80450a =-⨯=,故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为0.8y x =，所以当 2500x =时，25000.802000y =⨯=.（2）由题意可知X 的可能取值有1，2,3,4.()()132253534488131,2147C C C C P X P X C C ⋅⋅======，()()2145354488313,4714C C C P X P X C C ⋅======. 所以 X 的分布列为()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
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模板九：不等式恒成立问题
模板
构建
分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:典型
例题（2020·江苏省西亭高级中学高三三模）若关于x 的不等式2121ln n mx e x -≥+在1[,)2+∞上恒成立，则n m
的最大值为__________．试题
解析
题后
反思不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(,)0f x l ³(λ为实参数)对任意的x D ∈恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法;如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的
方法(0a >,∆<0或0a <，>0∆)求解．
针对训练*举一反三。