人教版高中数学必修二第二章第1节《平面》教学设计

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平面(教案)高中数学人教A版(2019)必修第二册

8.4.1平面（第一课时）一、教学目标1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面.2.掌握并应用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面.3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.二、教学重难点1.教学重点：三个基本事实、三个推论2.教学难点：应用三个基本事实和推论解决问题三、教学过程1.平面的含义1.1情境引入，认识平面【实际情境】在初中,由现实事物直观感觉抽象得到了点和直线,那下图中的桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉呢？几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.1.2深入了解，加深认识平面的特征：①平、②无厚薄、③无限延展. 平面的画法：①水平放置 ②竖直放置平面的表示：①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.②用大写英文字母表示：平面ABCD 、平面AC. 2.平面的性质问题1：两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢?自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 由这些事实和类似经验说明什么？【活动预设】（1）观察现实生活中下某些现象，总结出一般规律.CDABαβ（2）类比：类比初中学习过的两点确定一条直线，探索几点能确定一个平面？并且思考现实生活中有哪些具体的应用.【设计意图】从现实生活入手，思考几点能确定一个平面，让同学们体会数学来源于生活，高于生活，最终也回馈于生活.2.1基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面也可以简单说为：不共线的三点确定一个平面.图形语言：问题2：如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢?实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．【活动预设】通过观察生活中的一些现象，从中找到一般规律.【设计意图】通过观察、实践，体会基本事实2，通过生活中的例子加深对基本事实2的理解.2.2基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.图形语言符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂且 .利用基本事实1和基本事实2可得如下推论：推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.证明：（推论1）在直线l 上任取两点B 和C ，由基本事实1得，经过A,B,C 三点确定一个平面α.由基本事实2，直线l 也在平面α内，则平面α经过直线l 和点A ，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.用类似的方法你能说明推论2和推论3成立吗?【活动预设】对基本事实1和基本事实2的简单应用.【设计意图】有三个意图：其一是对两个基本事实的简单应用；其二是告诉同学们在立体几何里，除了基本事实之外的所有定理和推论都是需要证明的；其三是通过模仿推论1的证明，摸索其他两个推论的证明过程.α Pb a b aα问题3：如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？其依据是什么？【预设的答案】可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内，否则就不在同一个平面内，其依据就是推论2. 【设计意图】（1）对推论2的简单应用；（2）让同学们体会理论可以回馈生活，体会知识是有用的，从而提升同学们学习数学的热情.问题4：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？【活动预设】通过观察、思考、找到一般规律：基本事实3.【设计意图】通过对具体问题的思考，得出一般规律，让同学们体会数学来源于生活，所以我们应该多观察、多总结.2.3基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 图形语言：符号语言：P P l P l αβαβ∈∈⇒⋂=∈且且 .2.4 平面的画法：在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些三、知识应用例1 如下图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，判断下列命题是否正确，并说明理由. (1)直线BD 1在平面CC 1D 1D 内( )(2)平面AA 1C 1C 与平面BB 1D 1D 的交线为OO 1( ) (3)由A,O,C 确定一个平面( )(4)由A,C 1,B 1确定的平面是平面ADC 1B 1( )(5)由A,C 1,B 1确定的平面与由A,C 1,D 确定的平面是同一平面( ) 【预设的答案】×√×√√【设计意图】通过观察，体会 3 个基本事实和推论的简单应用.例2 如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ , CB 的延长线交于M ，RQ , DB 的延长线交于N ，RP , DC 的延长线交于K .求证：M , N , K 三点共线.1【预设的答案】证明：∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面Array BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.同理可证，N、K也在直线l上.所以，M、N、K三点共线.【设计意图】通过演示证明过程，让学生学会用数学语言描述解决问题的过程，同时让同学们体会解题过程需要理论依据.四、课堂小结1.平面的含义：特征：①平、②无厚薄、③无限延展.平面的表示：①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.②用大写英文字母表示：平面 ABCD、平面 AC.2.平面的性质：(1)基本事实 1(2)基本事实 2(3)基本事实 3推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.五、巩固练习1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√ ”，错误的画“×”(1)书桌面是平面. ( )(2)平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点. ( )(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. ( )2.下列命题正确的是( ).(A)三点确定一个平面 (B)一条直线和一个点确定一个平面(C)圆心和圆上两点可确定一个平面 (D)梯形可确定一个平面3.不共面的四点可以确定几个平面?请画出图形说明你的结论.4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形:(1) 点A在平面α内，点B在平面α外；(2)直线a既在平面α内，又在平面β内.【预设的答案】1.××√2.D3.44（1）,A B αα∈∉ (2)a a αβ⊂⊂且如图【设计意图】通过练习，巩固所学知识，加深对平面的理解.。

高中数学 2、1 平面教案新人教版必修2A

第1课时 §2.1.1 平面一、教学目标：（一）知识目标：1.能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2.理解平面的无限延展性3.理解公理1、2、3(二) 能力目标：1.正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系2初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化3.初步应用公理1、2、3解决简单的点、线共线共面问题（三）情感目标：1.提高空间想像能力2．通过图形、符号、语言的转换体会数学的美，激发学习兴趣二、教学重点、难点（一）重点:平面基本性质的三个公理（二）难点:1.三种语言的转化2.三个公理的简单应用三、教具：多媒体、实物投影仪四、教学过程（一）课题导入在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形这节课我们就来认识够构成这些空间图形的基本元素及它们之间的关系和简单性质（二）新知探研1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2.平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等③两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）4空间图形是由点、线、面组成的 a βαB A βB A αβB A ααβa 图 2空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄a （平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅ 或a A α=5 平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．①判定直线在平面内；②判定点在平面内模式：a A A aαα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚公理2及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有这些公共点的集合是一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．6 典例及练习例题课本P47例1练习课本P48练习（三）课堂总结1、点、线、面的位置关系2、平面的基本性质（公理1、2、3）及作用（四）课外练习及作业课本P56习题2、1A 组1、2。

高中数学人教A版必修2 平面教案

2.1.1 平面【教学目标】1．知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面；2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．【教学重点】用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系【教学难点】用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理【教学过程】一、导入新课[来源:]多种多样的空间几何体也是由一些基本的图形：点、线、面组成. 认识空间图形就要研究它们的位置关系！观察海面，它呈现出怎样的现象？观察活动室里的地面，给你一种怎样的感觉？我们今天就来学习: 2.1.1 平面二.新知探究与解题研究（认真阅读教材，完成下列各题） (一)问题导学探究1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是的．探究2.平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成045，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.探究3.点、线、面之间的位置关系直线、平面都可以看成点的集合．点P 在直线l 上，记作l P ∈；点P 在直线l 外，记作l P ∉；点A 在平面α内，记作α∈P ；点A 在平面α外，记作α∉P ；直线l 在平面β内，记作β⊂l ；直线l 在平面α外，记作α⊄l .探究4.平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内，，且， ⇒l ⊂α公理2[来源:学.科.网]的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条， ⇒α∩β＝l ，且P ∈ll A ∈l B ∈α∈A α∈B α∈P β∈P （二）知识运用与解题研究题型一三种语言间的相互转化例1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A ∈α，B ∉α；(2)l ⊂α，m ∩α＝A ，A ∉l ；(3)P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α.【分析】正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译．【点评】三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线变式1用符号语言表示下列语句，并画出图形.三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；题型二共面问题例2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．【证明】因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α. 由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．【点评】证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．变式2.证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.题型三点共线与线共点问题例3、如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线F G 交于点O.求证：B、D、O三点共线．【证明】∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，即B、D、O三点共线．【点评】(1)证明三点共线的常用方法：方法1是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．方法2是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．(2)证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．变式3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.三、当堂检测1．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是()A．A、B、C、D四点中必有三点共线B．A、B、C、D四点中不存在三点共线[来源:Z_xx_]C．直线AB与CD相交D．直线AB与CD平行【答案】B【解析】A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面．2．下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形③圆心和圆上两点可确定一个平面④三条平行线最多可确定三个平面A．1 B．2C．3 D．4【答案】C3．如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过()[来源:学+科+网] A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【答案】D【解析】∵AB⊂γ，D∈AB，∴D∈γ.又D∈l，l⊂β，∴D∈β.∵C∈β，C∈γ，∴β与γ的交线为CD.故选D.四、课堂小结（引导学生总结本节课内容与方法）1.平面的概念；2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言:五、课后作业课本第43页习题1、3题。

人教版高中必修2(B版)1.2.1平面的基本性质与推论课程设计

人教版高中必修2(B版)1.2.1平面的基本性质与推论课程设计一、教材简介《人教版高中数学必修2（B版）》是由人民教育出版社编写的高中数学教材。

本教材较好地体现出了素质教育的理念，强调数学知识在实际生活和各学科中的应用和综合应用能力培养。

其中1.2.1节《平面的基本性质与推论》是初学平面几何的基础，是学好初中数学和高中数学重要的一环。

二、教学目标看完本节课后，学生应该能够：1.掌握平面几何中的各种基本概念；2.熟练掌握平面内直线、角的性质和各种基本定理；3.了解射线和线段的概念及其基本性质；4.在各种问题中熟练运用平面几何中的基本知识和定理。

三、教学内容（一）平面几何基本概念1.区分平面和空间；2.点、直线和角的概念；3.“相交”、“平行”概念及其性质。

（二）平面内的直线和角1.直线的分类及性质，包括垂直、平行、相交的直线性质；2.角的基本概念和性质，特别是对顶角、平行线夹角和同旁内角、反向角的研究；3.五线定理、角平分线定理、中垂线定理等基本定理的探究。

（三）线段和射线1.线段和射线的概念及相关性质，包括延长线及其相关性质、异面直线的关系等。

（四）平面几何的基本性质探究1.角的外延：定义、性质、本质；2.端点与线段的关系：交叉性、重叠性、并列性等；3.线段的中点；4.垂足点：定义、性质。

（五）平面几何的实际应用1.利用平面几何的知识解决一些测量问题；2.利用平面几何的知识理解衣服尺码的相关知识；3.平面几何在建筑、设计和美术中的应用。

四、教学重点1.掌握平面内直线、角的性质和各种基本定理；2.了解射线和线段的概念及其基本性质；3.在各种问题中熟练运用平面几何中的基本知识和定理。

五、教学建议1.建立直观感受：通过学生自身的经验，探究点、直线、角和平面以及它们之间的关系；2.图象教学法：在教学中使用动态图象或幻灯片，通过图象去描绘这些点、线段、射线、任意线和角的相互关系，从而加深学生的理解；3.创设问题：通过贴近实际的问题，让学生去运用所掌握的知识，培养学生的问题解决能力；4.课后扩展：提供丰富的课外资料，引导学生去了解平面几何知识在各个领域中的实际应用。

人教课标版高中数学必修2《平面》教学设计

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解平面的概念与表示方法，进一步培养学生的空间想象能力. （二）学习目标1.利用生活中的实物对平面进行描述;2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图;3.掌握平面的基本性质及作用;4.培养学生的空间想象能力.（三）学习重点1.点线面的关系.2.平面的性质与作用.（四）学习难点1.平面概念的理解.2.平面的基本性质与作用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第40页到第43页.回答问题:公理1公理2公理3答案:公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 ：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.预习自测问题1：判断下列命题的真假,真的打“√”，假的打“×”.(1)可画一个平面，使它的长为4cm，宽为2cm.( )(2)一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分.( )(3)一个平面的面积为20 cm 2.( )(4)经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面.( )【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√问题2：如何用符号语言来表达下列图形的位置关系?图①中，点A 在直线l 上，记作；点B 不在直线l 上，记作 . 图②中，点A 在平面α内，记作；点B 不在平面α内，记作 . 图③中，直线l 在平面α内，记作 .图④中，直线1l 不在平面α内，记作；直线2l 不在平面α内，记作 .【答案】(1)l A ∈，l B ∉ (2)αα∉∈B A , (3)α⊂l (4)αα⊄⊄21,l l(二)课堂设计问题探究探究一结合实例，认识平面●活动① 平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α，平面ABCD ，平面AC 等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：（1）点A 在平面α内，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉.（2）点P 在直线l 上，记作P l ∈，点P 在直线外，记作P l ∉.（3）直线l 上所有点都在平面α内，则直线l 在平面α内(平面α经过直线l )，记作l α⊂；否则直线就在平面外，记作l α⊄.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程.●活动② 平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ，直线l 是否在平面α内？有两个公共点呢？新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 用集合符号表示为：,,A l B l ∈∈且,A B l ααα∈∈⇒⊂问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一个点？为什么?新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.用集合符号表示为,P a ∈且P β∈⇒l αβ=,且P l ∈.注：平面α与平面β相交于直线l ，记作l αβ=. 图形文字叙述符号表示公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 αα∈∈B A ,则α⊂AB 公理2 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面C B A ,,不共线,则C B A ,,共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线βα∈∈P P ,则l P l ∈=,βα ,l 唯一【设计意图】通过概念辨析，加深对平面内涵与外延的理解，突破重点. ●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对3个公理的理解与认识.例1 在空间内可以确定一个平面的条件是( )A.三个点 B .一个点和一条直线 C .两条直线 D .一个三角形【知识点】平面的含义，公理1、2、3的基本应用.【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】三个点确定一个平面,需要三个点不共线.一个点和一条直线确定一个平面,需要点不在该直线上.两条直线确定一个平面,需要两条直线平行或相交.【思路点拨】通过平面的含义与判定判断.【答案】D同类训练以下命题正确的是( )A.两个平面可以只有一个交点B .一条直线与一个平面最多有一个公共点C.两个平面有一个公共点,它们可能相交D.两个平面有三个公共点,它们一定重合【知识点】平面的含义，公理1、2、3的基本应用.【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】由两平面相交于一条直线,知D A 、错误;当一条直线在平面内,直线和平面有无数个公共点,B 错误.【思路点拨】通过平面的含义与判定判断.【答案】C●活动④ 强化提升、灵活应用例2 如图所示，1O 是正方体1111D C B A ABCD -的上底面1111D C B A 的中心，M 是对角线C A 1和截面11D AB 的交点.求证：1O 、M 、A 三点共线.【知识点】公理3的应用.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】11111O D B C A = ，C C AA O D AB O 111111,∈∈∴.又C C AA M D AB M 1111,∈∈，C C AA A D AB A 1111,∈∈∴1O A M 、、在平面11D AB 和平面C C AA 11的交线上,1O 、M 、A 三点共线.【思路点拨】要证1O 、M 、A 三点共线，只要证明这三点同在两个相交平面内即可.【答案】已证.同类训练如图，ABC ∆与111C B A ∆不全等，且∥AB 11B A ，CB ∥11B C ，AC ∥11C A .求证：111CC BB AA 、、交于一点.【知识点】公理3的应用.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】如图所示,∥AB 11B A ，所以11B A 与AB 确定一平面，记为平面α.同理，将11B C 与CB 所确定的平面记为平面β，11C A 与AC 所确定的平面记为平面γ.易知1CC =γβ .ABC ∆与111C B A ∆不全等，∴1AA 与1BB 相交，设交点为P ，∴γβ∈∈P P ,∴P 在平面β与平面γ的交线上.又1CC =γβ ，∴1CC P ∈， ∴111CC BB AA 、、交于一点P .【思路点拨】利用公理3来证明.【答案】已证.3.课堂总结知识梳理（1）平面是从现实生活中抽象出来的；是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.（2）通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α，平面ABCD ，平面AC 等.（3）公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.重难点归纳（1）平面是从现实生活中抽象出来的概念，认识了解它需要从特殊到一般.（2）文字语言，符号语言，图形语言的相互表示.（3）3个公理的认识与理解，利用他们来判断共面、共点、共线问题.（三）课后作业基础型自主突破1.下列命题：①书桌面是平面；②10个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是m 50，宽是m 20；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【知识点】平面的基本性质.【数学思想】【解题过程】平面是是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分，所以④正确.【思路点拨】根据平面的基本性质进行判断.【答案】A2.下列图形中不一定是平面图形的是( )A.三角形B.平行四边形 C .梯形 D.四边相等的四边形【知识点】平面的基本性质.【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.【思路点拨】根据平面的基本性质进行判断.【答案】D3.已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )条A.1或2B.2或3C.1或3D.1或2或3【知识点】平面的基本性质.【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】利用公理3可知：当平面α过平面β与平面γ的交线时，这三个平面有1条交线；当平面β∥平面γ时，平面α与平面β和平面γ各有一条交线，共有2条交线；当平面β∩平面γ=b，平面α∩平面β=a，平面α∩平面γ=c时，有3条交线.故选D.【思路点拨】根据平面的基本性质进行判断.【答案】D4.四条直线两两平行,无三线共面,它们可确定平面的个数是.【知识点】平面的基本性质.【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】利用公理2可知：因为四条直线两两平行，无三线共面，所以任意两条直线确定一个平面，所以共有6个平面.【思路点拨】根据平面的基本性质进行判断.【答案】65.若点M在直线a上，a在平面α上,则M，a，α间的关系可用符号语言表示为.【知识点】符号语言的使用.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】点属于线，线包含于面.【思路点拨】点线面的关系认识.【答案】αaM,.∈a⊂能力型师生共研6.过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定的平面的个数是________.【知识点】平面的确定.【数学思想】数形结合.【解题过程】如图所示：.【思路点拨】公理2的应用.【答案】6探究型多维突破7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是 .【知识点】点线面的关系认识.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错.【思路点拨】构建相应的模型.【答案】08.在正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为11C D 、11C B 的中点，P BD AC = ，Q EF C A = 11，如图：(1)求证：F E B D 、、、四点共面；(2)作出直线C A 1与平面BDEF 的交点R 的位置.【知识点】共面的证明.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】(1)证明：由于1CC 和BF 在同一个平面内且不平行，故必相交.设交点为O ，则C C OC 11=.同理直线DE 与1CC 也相交，设交点为O '，则C C OC 11='，故O '与O 重合.由此可证得O BF DE = ，故F E BD ,,,四点共面(设为α).(2)解:由于11CC ∥AA ，所以11,,,C C A A 四点共面(设为β).BD P ∈，而α⊂BD ，故α∈P .又AC P ∈，而β⊂AC ，故β∈P ，所以()βα ∈P ，同理可证得()βα ∈Q ,从而有PQ =βα ，又因为β⊂C A 1，所以C A 1与平面α的交点就是C A 1与PQ 的交点.连接C A 1，则C A 1与PQ 的交点R 就是所求的交点.【思路点拨】四点共面的证明，先由不在同一直线上的三点确定一个平面，然后证明另一个点在这个平面上.【答案】已证.自助餐1.若点A 在直线b 上,直线b 在平面β内,则A ,b ,β之间的关系可以记作( )A.β∈∈b b A ,B.β⊂∈b b A ,C.β⊂⊂b b A ,D.β∈⊂b b A ,【知识点】点线面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.【思路点拨】利用点线面的位置关系讨论.【答案】B2.经过空间任意三点作平面( )A.只有一个B.可作二个C.可作无数多个D.只有一个或有无数多个【知识点】平面的性质.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个,故选D.【思路点拨】构建模型.【答案】D3.在三棱锥BCD A -的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点,如果P GH EF = ，则点P ( )A.一定在直线BD 上B.一定在直线AC 上C.在直线AC 或BD 上D.不在直线AC 上,也不在直线BD 上【知识点】点线面的位置关系.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】如图所示,因为⊂EF 平面ABC ，⊂HG 平面ADC ，P GH EF = ,所以∈P 平面ABC ，∈P 平面ADC .又因为平面 ABC 平面AC ADC =,所以AC P ∈,故选B.【思路点拨】点线面的位置关系讨论.【答案】B4.给出下列四个命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.其中正确命题的序号为________.【知识点】平面的性质.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】由平面的基本性质容易知道,①④错误，②③正确.【思路点拨】利用平面的基本性质讨论.【答案】②③5.在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是1BD 的中点，直线C A 1交平面11D AB 于点M ，给出下列四个结论：①O M A 、、1三点共线；②A O M A 、、、1四点共面；③C O M A 、、、四点共面；④O M B B 、、、1四点共面.其中正确结论的序号是________.【知识点】平面的性质.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】因为O 是1BD 的中点，由正方体的性质知，O 是1AC 的中点，所以点O 在直线1AC 上，又直线C A 1交平面11D AB 于点M ，则O M A ,,1三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以①②③正确.【思路点拨】模型解决问题.【答案】①②③6.如图所示,平面 ABD 平面CBD BD =,H G F E ,,,分别在DA CD BC AB 、、、上,求证:EH 与FG 的交点P 与D B 、三点共线.【知识点】平面的性质.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】因为直线EH ∩直线P FG =，所以∈P 直线EH ，而EH ⊂平面ABD ，所以∈P 平面ABD .同理∈P 平面CBD ,即点P 是平面ABD 与平面CBD 的公共点.显然,点D B 、是平面ABD 和平面CBD 的公共点.由公理3知,点P D B 、、都在平面ABD 和平面CBD 的交线上,即点P D B 、、共线.【思路点拨】模型解决问题.【答案】已证7．过直线l 外一点P 引两条直线PA 、PB 和直线l 分别相交于A 、B 两点，求证：三条直线PA 、PB 、l 共面.【知识点】共面的证明.【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】∵l P ∉，∴P 与l 确定一个平面α，∴α⊂l ，∵A l PA =⋂，B l PB =⋂，∴l A ∈，l B ∈，∴α∈A ，α∈B ，又∵α∈P ，∴α⊂PA ，α⊂PB ，∴PA 、PB 、l 共面于α.【思路点拨】如图所示，由形反应信息，由l P ∉可知，P 与l 确定一个平面，只须证明PA 、PB 都在此平面内.【答案】已证.。

人教版高中数学必修二平面》教学教案

C O
，
B A
D
正确
C1 D1 O1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否正确，并说明理由： ③由点A，O，C可以确定一个平面；错误
C
B
O
D
A
C1 D1 A1
B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由： ④由 A, C1 , B1 确定的平面是 ADC1B1 ；正确 ⑤由 A, C1 , B1 确定的平面与由 A, C1 , D 确定的平面是同一个平面．正确

作用： ①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．

l
P
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

a

A l

a l b P （ 2）
B

（ 1）
解：在（1）中， l , a A, a B.
在（2）中， l , a , b , a l P, b l P.
C
B A
D
C1 D1 A1
B1
知识小结
实例引入平面
平面的画法和表示
点和平面的位置关系
平面三个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
平面公理
如果直线 l 与平面α有两个公共点，直线 l 是否在平面α内？实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．

高中数学 2.1.1平面精品教案新人教A版必修2

（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入日常生活中有哪些东西给我们以平面的形象？师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面，平静的湖面等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多的例子吗？引导学生观察、思考、举例和相交交流，教师对学生活动给予评价，点出主题.培养学生感性认识探索新知1．平面的概念随堂练习判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.师：刚才大家所讲的一些物体都给我们以平面的印象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是向四周无限伸展的，现在请大家判定下列命题是否正确？生：平面是没有厚度，无限延展的；所以①②③错误；④正确.加深学生对平面概念的理解.探索新知2．平面的画法及表示（1）平面的画法通常我们把水平的平面画成平行四边形，用平行四边形表示平面，其中平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一师：在平面几何中，怎样画直线？(一学生上黑板画)师：这位同学画的实质上是直线的部分，通过想象两端无限延伸而认为是一条直线，仿照直线的画法，我们可以怎样画一个平面？加深学生对平面概念的理解，培养学生知识迁移能力，空间想象能力个平面遮挡住. 我们常把被遮挡的部分用垂线画出来.（2）平面的表示法1：平面α，平面β.法2：平面ABCD，平面AC或平面BD.（3）点与平面的关系平面内有无数个点，平面可看成点的集合. 点A在平面α内，记作：Aα∈. 点B在平面外，记作：Bα∉.生：画出平面的一部分，加以想象，四周无限延展，来表示平面.师：大家画一下.学生动手画平面，将有代表性的画在黑板上，教师给予点评，并指出一般画法及注意事项(作图)和发散思想能力.探索新知3．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形如图（2）符号表示为：A lB llABααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭（3）公理1的作用：判断直线是否在平面内.公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面.（1）公理2的图形如图（2）符号表示为：C ∉直线AB ⇒存在惟一的平面α，使得ABCααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，师：我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理，就是不必证明而直接被承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据. 先研究下列问题：将直线上的一点固定在平面上，调整直线上另一点的位置，观察其变化，指出直线在何时落在平面内.生：当直线上两点在一个平面内时，这条直线落在平面内.师：这处结论就是我们要讨论的公理1（板书）师：从集合的角度看，公理1就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合，点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P ∉l；如果直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作lα⊂，否则就说直线l在平面α外，记作lα⊄.下面请同学们用符号表示公理1.学生板书，教师点评并完善.通过实验，培养学生观察、归纳能力.加深学生对公理的理解与记忆.加强学生对知识的理解，培养学生语言（符号图形）的表达能力.而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.” （2）过A 、B 、C 三点的平面可记作“平面ABC ”公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （1）公理3的图形如图（2）符号表示为： l P P lαβαβ=⎧∈⇒⎨∈⎩（3）公理3作用：判断两个平面是否相交.大家回忆一下几点可以确定一条直线生：两点可确定一条直线. 师：那么几点可以确定上个平面呢？学生思考，讨论然后回答.生1：三点可确定一个平面师：不需要附加条件吗？生2：还需要三点不共线师：这个结论就是我们要讨论的公理2师投影公理2图示与符号表示，分析注意事项.师：下面请同学们观察教室的天花板与前面的墙壁，思考这两个平面的公共点有多少个？它们有什么特点.生：这两个平面的无穷多个公共点，且所有这些公共点都在一条直线上. 师：我们把这条直线称为这两个平面的公共直线.事实上，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（板书）这就是我们要学的公理3.学生在观察、实验讨论中得出正确结论，加深了对知识的理解，还培养了他们思维的严谨性.典例分析例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.学生先独立完成，让两个学生上黑板，师生给予点评巩固所学知识在（2）中，αβ=，a α⊂，β⊂，a P =，b l P =.1．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面．经过一条直线和一个点确定一个平面备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ，但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ，则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α．同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可. 解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1CA 1C ⊂平面A 1C又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D C B Aαb adcG F EAa bcd α H K图1图2AC∩BD = M⇒M∈平面BC1D且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C = C1M⇒O∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.。

必修二高中数学平面教案

必修二高中数学平面教案
教学目标：
1. 理解平面几何的基本概念和性质；
2. 掌握平面图形的性质和相关定理；
3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学重点：
1. 熟练掌握平面几何的基本概念；
2. 理解并掌握平面图形的性质和相关定理；
3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学难点：
1. 理解和掌握平行线的性质；
2. 能够熟练运用勾股定理求解问题；
3. 掌握同位角、对顶角等相关性质。

教学过程：
第一节：平行线及其性质
1. 引入平行线的概念，让学生通过实际操作和观察理解平行线的性质；
2. 教授平行线的性质定理，让学生掌握平行线之间的角度关系；
3. 练习相关题目，检验学生的掌握情况。

第二节：三角形及其性质
1. 介绍三角形的定义及性质，让学生了解三角形的构成要素；
2. 教授三角形的内角和定理、外角和定理，并演示相关题目的解答方法；
3. 练习相关题目，巩固学生对三角形性质的理解和掌握。

第三节：四边形及其性质
1. 介绍四边形的定义及性质，让学生了解四边形的特点；
2. 教授四边形的四边相等、对角相等等性质，以及四边形的内角和定理；
3. 练习相关题目，让学生熟练掌握四边形的性质。

课堂小结：
1. 总结本节课的重点内容，强调学生需要重点掌握的知识；
2. 鼓励学生多做练习，提高对平面几何的理解和应用能力；
3. 帮助学生解答疑问，确保学生对本节课内容的掌握。

作业布置：
1. 完成本节课的练习题目，巩固学习成果；
2. 阅读相关教材内容，准备下节课的学习任务；
3. 提醒学生及时复习，确保对本节课内容的掌握。

高中数学人教A版必修二2.1.1【教学设计】《平面》

《平面》平面是最基本的几何概念，教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例，对它只是加以描述而不定义。

立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。

为了更准确地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书中的三个公理，这也是本节的重点。

另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。

【知识与能力目标】（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

【过程与方法目标】（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

【情感态度价值观目标】使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

【教学重点】掌握平面的基本性质及作用、三种数学语言的转换与翻译。

【教学难点】用三个公理证明共点、共线、共面问题。

多媒体课件。

（一）导入新课观察平静的水面、教师的地面等图片，它们都给我们怎样的形象？（二）推进新课、新知探究、提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念；②平面的画法与表示方法；③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示。

活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果：①平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。

平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。

②平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2。

平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍。

人教A版高中数学必修2教学案2.1.1平面

2. 1.1 平面【教学目标】1.使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。

【教学重难点】教学重点：三个公理的教学是重点。

教学难点：公理的理解与运用是难点。

【教学过程】1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？2．新课（1）、生活中的平面生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说的平面（plane ）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。

（2）、平面的画法与表示法常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD ，或平面AC 或平面B D 。

如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。

平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P 在平面α内，记作P ∈α，点Q 在平面α外，记作Q ∉α。

（3）、公理1公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

此公理可以判断直线是否在平面内。

点动成线、线动成面。

直线、平面都可以看成点的集合。

点P 在直线l 上，记作P ∈l ，点P 在直线l 外，记作P ∉l 。

如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内，或者说平面α经过直线l ，记作l ⊂α；否则，就说直线l 在平面α外，记作l ⊄α。

公理1也可以表示：A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α（4）、公理2三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（补充3个推论）：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。

数学：2.1《平面》教案(新人教A版必修2).pdf

第二章直线与平面的位置关系§2.1.1 平面一、三维目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的三维目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打D C BA α出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

高中数学必修二(2.1.1 平面)示范教案新人教A版必修2

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a ⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C. 于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l,∴P、Q、R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，图20∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.。

人教版高中数学必修二平面》教学教案

D
C
A B
实例引入
观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？
实例引入
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
实例引入
观察海面，它又呈现出怎样的形象？
引入新课
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
记作：平面平面
点与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示． B

A
点A在平面内，记作 A ．读作记作 B ．点B在平面外，读作
平面公理
如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？
平面公理
测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
平面公理
存在性公理2 平面．过不在一条直线上的三点，有且只有一个唯一性
B

A
C
不再一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．作用：确定平面的主要依据．
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？

B
平面公理
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？

B
平面公理
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
P l, 且P l

人教A版高中数学必修二 2.1.1 平面教案2

2.1.1 平面教案一、说教材1.教材的地位和作用本节课是高一数学必修2第二章第一节《点、直线、平面之间的位置关系》第一课时内容，是由初中平面几何进入高中立体几何的第一课，承上启下，也是高中立体几何模块中的理论基础。

2.知识目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

3.教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

如何突出重点：①对比初中平面几何知识，紧扣概念，公理；②几何作图时，用不同颜色的粉笔表示不同的元素进行区分；③多联系实际；④鼓励学生自己多实践，多操作难点：平面基本性质的掌握与运用。

突破难点：①多对比初中平面几何知识，紧扣概念，公理；②阐述清楚公理体系建立的来龙去脉；③教师多演示，学生多动手，最后多总结。

二、说教法1.教学方法：（1）对于平面的基本概念，采用类比与实例相结合的教学方式；（2）对于平面的表示方法，采取讲练结合法；（3）对于三个公理，采取讲授法和演示法。

2.学法：学生通过联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

3.教学用具：多媒体4、教学过程：一、问题情境投影立体几何平面几何现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？二、学生活动思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．三、建构数学1．平面的认识（无限延展的、没有厚薄）；2．平面的表示；(1)图形语言通常用平行四边形表示平面(2)符号语言通常用希腊字母α、β、γ等来表示，也可以用表示平行四边形的对角顶点字母来表示，如平面α、平面AC等3. 点、直线、平面之间的基本关系点P在直线AB上，记作P∈AB；点C不在直线AB上，记作C∉AB；点M在平面AC内，记作M∈平面AC；点A1不在平面AC内，记作A1∉平面AC；直线AB与直线BC交于点B，记作AB∩BC=B；直线AB在平面AC内，记作AB⊂平面AC；直线AA1不在平面AC内，记作AA1⊄平面AC；4．平面的基本性质；实验1：把直尺和桌面分别看作一条直线和一个平面.（1）若直尺的两个端点在桌面内，问直尺所在直线上各点与桌面所在的平面有何关系？（2）若直尺有一个端点不在桌面内，直尺所在的直线与桌面所在的平面的关系如何？引导学生得出：公理1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.l图形语言:符号表示: A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭思考：公理1的作用是什么？它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).实验2：（1）把一个三角板的一个角立在桌面上，观察三角板所在的平面与桌面所在的平面有几个公共点.（2）把教室门及其所在的墙面看成两个平面，当门打开时，它们的公共点分布情况如何？引导学生归纳出：公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.图形语言:符号表示:P P l l P ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且思考：公理2可以帮助我们解决哪些几何问题？（1）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫这两个平面的交线. 实验3：（1）两个合页与一把锁就可以把门固定，为什么？（2）照相机的支架为什么只需要三条腿？问题：经过一点有几个平面？经过二点、三点、四点？…… 引导学生归纳出：四、数学运用 1．例题.αβlP例1 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱BB 1的中点，画出由A 1，C 1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线.例2 已知：△ABC 在平面α外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，BC ∩α＝Q ，求证：P ，Q ，R 三点共线．例3 如图，点P 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 上一点(不同于端点A 、B )，试画出由D 1，C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．2．练习.（1）下列叙述中，正确的是_______ ①因为P ∈α，Q ∈α，所以PQ ∈α； ②因为P ∈α，Q ∈β，所以α∩β＝PQ ； ③因为AB ⊂α，C ∈AB ，D ∈AB ，所以CD ∈α； ④因为AB ⊂α，AB ⊂β，所以α∩β＝AB . （2）用符号表示下列语句，并画出图形： ①点A 在平面α内，点B 在平面α外；②直线l 经过平面α外一点P 和平面α内一点Q ； ③直线l 在平面α内，直线m 不在平面α内； ④平面α和β相交于直线AB ；⑤直线l 是平面α和β的交线，直线m 在平面α内，l 和m 相交于点P ．A BCDA 1C 1B 1D 1A B C DP PABC RQαABCDA 1C 1B 1D 1A B C DP五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．平面的含义、表示和画法；2．点、直线、平面之间的基本关系；3．平面的基本性质（公理1，公理2，公理3）．。

2019-2020学年人教A版必修二 2.1.1 平面教案

2.1.1 平面一、教学目标：利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图，掌握平面的基本性质及作用.二、教学重点、难点重点：平面的概念及表示，平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板.四、教学设想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流，与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）D CαAB平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

点A 在平面α内，记作：A ∈α点B 在平面α外，记作：B α 2.1-4 3、平面的基本性质教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。

师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（教师引导学生阅读教材相关内容，并加以解析）.符号表示为A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2. α β α β ·B ·A α LA · α ·B公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

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