四年级下册数学讲义竞赛思维训练专题：第7讲.破译乘除法竖式
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例5
在下面算式的空格内，各填入一个数字，使算式成立．
【分析】由于余数是 8，根据余数要比除数小这个原则，可以确定除数为 9．再按“被除数=商×除数 ＋余数”求出被除数是 936 8 332，然后再做一次除法，即可把所有 里的数填上．
【想想练练】 如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使除法竖式成立．
3. 有一个算式如图．请填出式中画“□”的数字．
□ 2 □□
□6
1234
56
□□ 0 4
7404
□□ 7 0
6170
□ □ □ □□
69104
【分析】从与 6 相乘可知，被乘数的个位数字可能是 4 或 9．又与乘数的十位数字相乘，可知乘数 的十位数字是 5，而被乘数的个位数字是 4．被乘数的十位数字与 5 相乘，积的末位为 5， 所以被乘数的十位数字是奇数，它与 6 相乘，积的末位数字应该是10 2 8 ，所以被乘数 的十位数字是 3．又因为 6 与被乘数之积是四位数，被乘数的千位数字只能是 1．这样竖式 是1234 56 的计算过程.
8
5
3 0
【分析】根据题意，除数应为 7，则商的个位应为 5．所以85 7 595 ．依次填写即可． 6. 在下边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A 和 B 表示商的数字．求 A 和 B 的值．
AB 5 □□ □ □ □
□ 6 □□ □ □□ 4 3 2 0
【分析】由于 B 5□ 432 ，所以 B 8 ，除数是 54；又可得 A 54 □6□，可得 A 3 ．
家庭作业
1. 如图，请在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立．
【分析】从末位开始，依次可得，乘式应为： 475687 332976 ．
2. 把 2，3，4，5，6，7 这 6 个数字分别填在下面竖式中的空格内，每个数字使用一次，使竖式成 立.
【分析】273×2=546 或 267×2=534
【想想练练】 如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使乘法竖式成立．
92
×
65
【分析】从被乘数的百位与运算结果的千位可以看出，乘数为 7，则运算结果的个位为 4，依次类推
可得乘式： 922 7 6454 ．
例3
如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使乘法竖式成立．
4
×
6
1
0
5
8
【分析】根据题意，被乘数的末位应为 5，由于被乘数与 6 运算后的结果的千位为 1，所以乘数为 245，又整个运算结果的千位为 8，而 245 与一个一位数运算后的结果又为 5，所以，这个 个位只能是 3，所以有： 245 36 8820 ．
【A 版学案 3】 在□中填上适当的数字，使下面的算式成立。
【分析】（1）观察上面算式，容易发现第一个余数为 3。设除数为 ab ,2□－□□=3，而 ab ×1=□□,所
以 a=1 或 2。
（2）当 a=2 时， 2b ×c 得第二个积是两位数为 36，这是不可能的，所以 a 只能等于 1，当 a=1 时，1b ×c=36，b=8，c=2。
9
6
7
1
【分析】根据题意，可知商的百位必为 1，而运算结果后余数为 1，则 9 与除数的乘积的末位为 6， 所以除数为 64，则商为 109，所以被除数为 6977，其他依次填写即可．
找相同点 善于寻找事物的异同点和内在的联系，善于发现事物的发展规律，是做好任何研究工作应 具备的基本素质和条件。请你找找看，下面的两个数有多少相同点？
十年寒窗，进了八九家书院， 抛却七情六欲，苦读五经四书， 考了三番两次，今日一定要中。
例4
在如图所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了．请问：算式的结果是多少？
×
2
8 5
【分析】根据题意，被乘数与 2 的乘积后的运算结果的十位数字为 7，则被乘数的十位为 8，因为被 乘数与 2 乘积是三位数，与十位乘积是两位数，乘数十位是 1，被乘数个位是 8。则运算为： 88 12 1056 ．
【A 版学案 4】如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立．
27 1 4 5
1 0
【分析】根据题意，商的十位应为 5，则商的个位为 3．有：1431 27 53 ，依次填写即可．
2468 3579
答案：乍一看好像只有不同点，没有相同点。其实只要你善于寻找，相同之处 还是不少的，这是一种很有用的能力的培养。现举数例：①都是阿拉伯数字 ②都是 4 位数③都是正数④都是整数⑤相邻两个数字的差相等。
杯赛提高
在如图所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字．请找出每一个汉字对应的数字，并把这个竖式 写出来．
例题思路
模块一：给定条件的分析（例1) 模块二：个位、首位、位数分析（例2— 例4） 模块三：除法竖式之余数分析法（例5）
例1
如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为 1，3，5，7，9，11，13 这七个数的平均数，那么“学
习改变命运”代表的多位数是
．
学习改 变 命 运
变
19 9 9 9 9 8
喝茶
喝
上好 茶
请喝
上茶 上茶
好ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【分析】从商的十位可知，则喝×喝=请喝，所以喝为 5 或者 6，如果喝为 5，则请为 2，而好=0．所 以：喝=5，显然不符．所以喝=6，请喝为 36，好为 0，上为 4，茶为 8．所以408 6 68 ．
知识点总结
解数字谜 ，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口 ．推理时应注意： （1）数字谜中的字母或符号，只取 0～9 中的某个数字； （2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； （3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； （4）数字谜解出之后，最好验算一遍
数．字．谜．的．十．大．分．析．法．：既包括填空格，又包括字母数字谜 1、 尾数分析法：通常就是个位分析法； 2、 高位分析法：即首位分析法； 3、 进位分析法 4、 特殊结构分析法 5、 极端分析法：常用于估计某个数的范围 6、 整体换元法：如果某个数字串在算式中重复出现，有时可以将其视为一个整体来处理； 7、 方程分析法：其实从本质上来说，每一个数字谜都是不定方程问题，因此有时可借助解不定方 程解某些数字谜； 8、 特殊数分析法：某些特殊数在速算中有重要应用，在数字谜中同样也是常用的线索； 9、 数论分析法：又包括（1）奇偶分析法；（2）整除分析法；（3）因数分析法；（4）同余分析法等； 10、枚举假设分析法：这也是最重要的分析法，因为前面的 9 种分析法往往只能给出所填之数的候 选范围，因此有必要对范围内的数进行假设试算，方能避免漏解.
经典精讲
数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．这种不完整的算式，就像“谜”一样， 要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、 尾数规律等）来进行正确的推理、判断．
解数字谜 ，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口 ．推理时应注意： （1）数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 0～9 中的某个数字； （2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； （3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； （4）数字谜解出之后，最好验算一遍
【想想练练】 如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使乘法竖式成立．
7
×
0
8
【分析】由运算结果的个位可知，乘数的个位应为 4，而且根据×4 之后还是一个两位数，可以判断 被乘数的十位上为 1，所以使得乘法竖式成立的乘法运算结果应为：17 64 1088 ．
词2首 下面含有数字一到十及十到一的两首词，传说是古代一考生向主考官申诉未能按时到达考 场的原因及表示应试决心的，独具匠心，极具情趣。 一叶孤舟，坐了二三个骚客， 启用四浆五帆，经过六滩七湾， 历尽八颠九簸，可叹十分来迟。
课堂引入
算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则 运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和 竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式
谜的延伸 ，用文字或字母来代替未知的数字 ，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字， 相同的数字或字母表示同一个数字 。
【分析】根据题意，运算结果的末位为 2，则运算式子中的个位应为 3×4 或者 4×8，即乘数只能是 3 或者 4．乘数的百位为 1，当乘数为 3 时，被乘数的个位只能为 4，经试验没有符合条件的； 当乘数为 4 时，被乘数的个位只能为 3 或者 8，被乘数的个位为 3 时，没有符合条件的； 被乘数的个位为 8 时，也没有符合条件的．所以有：158 4 632 ．
4. 如图是一个残缺的乘法算式．现在知道其中一个位置上的数字为 8，这个算式的结果是多少？
×8
【分析】根据题意，被乘数与 8 运算结果为两位数，则被乘数最大只能是 12，而被乘数与另外一个 个位数的乘积是 3 位数，则其最小为 12，所以其只能是 12,12 89 1068 ．
5. 如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立．
A 版学案
【A 版学案 1】如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立．
4 87
×
4 8 71
【分析】从末位开始，乘数应为 3，则被乘数的十位应为 5，递推依次可知，式子应为： 142857 3 428571．
【A 版学案 2】如图，在图中的空格内填入 1、2、3、4、5、6、8 这几个数字（其中 2 已经填好）， 每个数字使用一次，使竖式成立．
【分析】“变”就是 7， 1999998 7 285714
例2
在如图所示的乘法竖式中， 、 、 、 分别代表不同的数字．问： 是多少？
这个三位数
×
7
44
【分析】根据题意，知 为 6，而 与 7 的乘积为 20 多或是接近 20，经试验，只有 3 符合，则
与 7 运算后的结果应为 20 多．所以其只能是 4．则整个三位数是 634．
第七讲 破译乘除法竖式
知识站牌
五年级秋季 四年级春季 数字谜中的最值 四年级暑假 破译横式 三年级春季 破译乘除法竖式 三年级暑假 巧填算符 破译加减法竖式
掌握乘除法竖式的解题方法，并会运用所学知识解决含有字母 的乘除法竖式谜问题
漫画释义
教学目标
1、 重点掌握通过认真观察、分析、找准竖式数字谜的突破口 2、 综合运用首位分析、个位分析、数位分析、枚举试算等技巧破译乘除法竖式 3、 培养学生的观察、 分析、 归纳、 推理等思维能力
在下面算式的空格内，各填入一个数字，使算式成立．
【分析】由于余数是 8，根据余数要比除数小这个原则，可以确定除数为 9．再按“被除数=商×除数 ＋余数”求出被除数是 936 8 332，然后再做一次除法，即可把所有 里的数填上．
【想想练练】 如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使除法竖式成立．
3. 有一个算式如图．请填出式中画“□”的数字．
□ 2 □□
□6
1234
56
□□ 0 4
7404
□□ 7 0
6170
□ □ □ □□
69104
【分析】从与 6 相乘可知，被乘数的个位数字可能是 4 或 9．又与乘数的十位数字相乘，可知乘数 的十位数字是 5，而被乘数的个位数字是 4．被乘数的十位数字与 5 相乘，积的末位为 5， 所以被乘数的十位数字是奇数，它与 6 相乘，积的末位数字应该是10 2 8 ，所以被乘数 的十位数字是 3．又因为 6 与被乘数之积是四位数，被乘数的千位数字只能是 1．这样竖式 是1234 56 的计算过程.
8
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3 0
【分析】根据题意，除数应为 7，则商的个位应为 5．所以85 7 595 ．依次填写即可． 6. 在下边的除法算式中，方格表示擦掉的数字，A 和 B 表示商的数字．求 A 和 B 的值．
AB 5 □□ □ □ □
□ 6 □□ □ □□ 4 3 2 0
【分析】由于 B 5□ 432 ，所以 B 8 ，除数是 54；又可得 A 54 □6□，可得 A 3 ．
家庭作业
1. 如图，请在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立．
【分析】从末位开始，依次可得，乘式应为： 475687 332976 ．
2. 把 2，3，4，5，6，7 这 6 个数字分别填在下面竖式中的空格内，每个数字使用一次，使竖式成 立.
【分析】273×2=546 或 267×2=534
【想想练练】 如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使乘法竖式成立．
92
×
65
【分析】从被乘数的百位与运算结果的千位可以看出，乘数为 7，则运算结果的个位为 4，依次类推
可得乘式： 922 7 6454 ．
例3
如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使乘法竖式成立．
4
×
6
1
0
5
8
【分析】根据题意，被乘数的末位应为 5，由于被乘数与 6 运算后的结果的千位为 1，所以乘数为 245，又整个运算结果的千位为 8，而 245 与一个一位数运算后的结果又为 5，所以，这个 个位只能是 3，所以有： 245 36 8820 ．
【A 版学案 3】 在□中填上适当的数字，使下面的算式成立。
【分析】（1）观察上面算式，容易发现第一个余数为 3。设除数为 ab ,2□－□□=3，而 ab ×1=□□,所
以 a=1 或 2。
（2）当 a=2 时， 2b ×c 得第二个积是两位数为 36，这是不可能的，所以 a 只能等于 1，当 a=1 时，1b ×c=36，b=8，c=2。
9
6
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1
【分析】根据题意，可知商的百位必为 1，而运算结果后余数为 1，则 9 与除数的乘积的末位为 6， 所以除数为 64，则商为 109，所以被除数为 6977，其他依次填写即可．
找相同点 善于寻找事物的异同点和内在的联系，善于发现事物的发展规律，是做好任何研究工作应 具备的基本素质和条件。请你找找看，下面的两个数有多少相同点？
十年寒窗，进了八九家书院， 抛却七情六欲，苦读五经四书， 考了三番两次，今日一定要中。
例4
在如图所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了．请问：算式的结果是多少？
×
2
8 5
【分析】根据题意，被乘数与 2 的乘积后的运算结果的十位数字为 7，则被乘数的十位为 8，因为被 乘数与 2 乘积是三位数，与十位乘积是两位数，乘数十位是 1，被乘数个位是 8。则运算为： 88 12 1056 ．
【A 版学案 4】如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立．
27 1 4 5
1 0
【分析】根据题意，商的十位应为 5，则商的个位为 3．有：1431 27 53 ，依次填写即可．
2468 3579
答案：乍一看好像只有不同点，没有相同点。其实只要你善于寻找，相同之处 还是不少的，这是一种很有用的能力的培养。现举数例：①都是阿拉伯数字 ②都是 4 位数③都是正数④都是整数⑤相邻两个数字的差相等。
杯赛提高
在如图所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字．请找出每一个汉字对应的数字，并把这个竖式 写出来．
例题思路
模块一：给定条件的分析（例1) 模块二：个位、首位、位数分析（例2— 例4） 模块三：除法竖式之余数分析法（例5）
例1
如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为 1，3，5，7，9，11，13 这七个数的平均数，那么“学
习改变命运”代表的多位数是
．
学习改 变 命 运
变
19 9 9 9 9 8
喝茶
喝
上好 茶
请喝
上茶 上茶
好ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【分析】从商的十位可知，则喝×喝=请喝，所以喝为 5 或者 6，如果喝为 5，则请为 2，而好=0．所 以：喝=5，显然不符．所以喝=6，请喝为 36，好为 0，上为 4，茶为 8．所以408 6 68 ．
知识点总结
解数字谜 ，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口 ．推理时应注意： （1）数字谜中的字母或符号，只取 0～9 中的某个数字； （2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； （3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； （4）数字谜解出之后，最好验算一遍
数．字．谜．的．十．大．分．析．法．：既包括填空格，又包括字母数字谜 1、 尾数分析法：通常就是个位分析法； 2、 高位分析法：即首位分析法； 3、 进位分析法 4、 特殊结构分析法 5、 极端分析法：常用于估计某个数的范围 6、 整体换元法：如果某个数字串在算式中重复出现，有时可以将其视为一个整体来处理； 7、 方程分析法：其实从本质上来说，每一个数字谜都是不定方程问题，因此有时可借助解不定方 程解某些数字谜； 8、 特殊数分析法：某些特殊数在速算中有重要应用，在数字谜中同样也是常用的线索； 9、 数论分析法：又包括（1）奇偶分析法；（2）整除分析法；（3）因数分析法；（4）同余分析法等； 10、枚举假设分析法：这也是最重要的分析法，因为前面的 9 种分析法往往只能给出所填之数的候 选范围，因此有必要对范围内的数进行假设试算，方能避免漏解.
经典精讲
数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．这种不完整的算式，就像“谜”一样， 要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、 尾数规律等）来进行正确的推理、判断．
解数字谜 ，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口 ．推理时应注意： （1）数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 0～9 中的某个数字； （2）要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； （3）必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； （4）数字谜解出之后，最好验算一遍
【想想练练】 如图 ，在图中的空格内填入合适的数字 ，使乘法竖式成立．
7
×
0
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【分析】由运算结果的个位可知，乘数的个位应为 4，而且根据×4 之后还是一个两位数，可以判断 被乘数的十位上为 1，所以使得乘法竖式成立的乘法运算结果应为：17 64 1088 ．
词2首 下面含有数字一到十及十到一的两首词，传说是古代一考生向主考官申诉未能按时到达考 场的原因及表示应试决心的，独具匠心，极具情趣。 一叶孤舟，坐了二三个骚客， 启用四浆五帆，经过六滩七湾， 历尽八颠九簸，可叹十分来迟。
课堂引入
算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则 运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和 竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式
谜的延伸 ，用文字或字母来代替未知的数字 ，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字， 相同的数字或字母表示同一个数字 。
【分析】根据题意，运算结果的末位为 2，则运算式子中的个位应为 3×4 或者 4×8，即乘数只能是 3 或者 4．乘数的百位为 1，当乘数为 3 时，被乘数的个位只能为 4，经试验没有符合条件的； 当乘数为 4 时，被乘数的个位只能为 3 或者 8，被乘数的个位为 3 时，没有符合条件的； 被乘数的个位为 8 时，也没有符合条件的．所以有：158 4 632 ．
4. 如图是一个残缺的乘法算式．现在知道其中一个位置上的数字为 8，这个算式的结果是多少？
×8
【分析】根据题意，被乘数与 8 运算结果为两位数，则被乘数最大只能是 12，而被乘数与另外一个 个位数的乘积是 3 位数，则其最小为 12，所以其只能是 12,12 89 1068 ．
5. 如图，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立．
A 版学案
【A 版学案 1】如图，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立．
4 87
×
4 8 71
【分析】从末位开始，乘数应为 3，则被乘数的十位应为 5，递推依次可知，式子应为： 142857 3 428571．
【A 版学案 2】如图，在图中的空格内填入 1、2、3、4、5、6、8 这几个数字（其中 2 已经填好）， 每个数字使用一次，使竖式成立．
【分析】“变”就是 7， 1999998 7 285714
例2
在如图所示的乘法竖式中， 、 、 、 分别代表不同的数字．问： 是多少？
这个三位数
×
7
44
【分析】根据题意，知 为 6，而 与 7 的乘积为 20 多或是接近 20，经试验，只有 3 符合，则
与 7 运算后的结果应为 20 多．所以其只能是 4．则整个三位数是 634．
第七讲 破译乘除法竖式
知识站牌
五年级秋季 四年级春季 数字谜中的最值 四年级暑假 破译横式 三年级春季 破译乘除法竖式 三年级暑假 巧填算符 破译加减法竖式
掌握乘除法竖式的解题方法，并会运用所学知识解决含有字母 的乘除法竖式谜问题
漫画释义
教学目标
1、 重点掌握通过认真观察、分析、找准竖式数字谜的突破口 2、 综合运用首位分析、个位分析、数位分析、枚举试算等技巧破译乘除法竖式 3、 培养学生的观察、 分析、 归纳、 推理等思维能力