高中物理竞赛习题集06(万有引力)

第七章 万有引力与天体运动

例题：设地球的密度为ρ，半径为R ，求距离地心为r 处的重力加速度。 解：取m 质点置于r 处。 分二种情形进行讨论：

（1）r R ≥时，324

3m R F G r πρ= 则：3243R G g r πρ=

（2）r R <时， 324

433m r Gm F G r r πρπρ== 则：43

G

g r πρ=

例题：沿地球直径贯穿打一洞，从洞口将一小球由静止释放，小球如何运动。

解：简谐振动

F kx =中的43

Gm

k πρ=

振幅：A=R （地球半径）

周期：T =最大速度:m V

解一：据动能定理：21

2

m W mV =

其中重力为线性力，可取平均值，而求出W 。 解二：利用振动的能量守恒

221122m KA mV =或201

22

A m F R mv += 解三：利用匀圆在直径上的投影即为简振。物体在表面各点所受重力沿直径投影力即为

小球沿直径运动中各位置所受的力。所以，该简振之参考圆即为绕地表转的卫星的运动所形成的圆。则m V 等于第一宇宙速度。

例题：如图，密度为ρ，半径为R 的均质球体将2R 的半径球部分掏空。质点m 距球心r 。求万有引力。

解：利用填补法 解略

注意：若r

例题：证明：质量为M ，半径为R 的匀质薄球壳内任一点P 处的质量为m 质点，受到球壳对其万有引力为零。

解：取微元，θ极小。

2

11222

S r S r = 1212m m S S =

112

1Gm m f r =，22

22Gm m

f r = 由上可知：12f f =

例题：一颗陨石在飞向质量为M 的行星途中（沿着通过行星中心的直线）碰到绕此行星沿半径为R 的圆周轨道运行的宇宙站，站的质量为陨石质量的10

倍，碰撞使得陨石陷入

站内，宇宙站过渡到与行星最近距离为

2

R

的新轨道上，求碰撞前陨石的速度u 。 解：设1υ是碰撞前站的速度，2υ是碰撞后站和陨石具有的瞬时速度，m 是陨石的质量，10m 是站的质量，在碰撞前站绕行星沿半径为R 的圆周轨道运动，于是站的速度满足

2121010mM

G m R R

υ=

列出在x 轴和y 轴方向上动量守恒定律

()121010x m m m υυ=+

()210y mu m m υ=+

碰撞后站过渡到椭圆轨道上，机械能守恒

()2222211111111222

x y

mM m mM G

G m R R υυυ-++=-+ 式中υ是站离行星最近时的速度，再根据开普勒第二定律得22

x R

R υυ=

解得u =例题：地球m 绕太阳M 做椭圆运动，已知轨道半长轴为a ，半短轴为b ，如图所示，求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径。

解：对顶点1、2，由机械能守恒：

22121122mM GmM

mv G mv a c a c

-=-

-+ （1） 由开普勒第二定律： 12()()v a c v a c -=+ （2）

（2） 式中c =由（1）（2）式得：

1v =

=

2a v b ==由万有引力提供向心力得：

2

12

1

()

mv Mm

G a c ρ=- （3） 2

2

2

2

()

mv Mm

G

a c ρ=- （4） 解得：2

12b a

ρρ==

对顶点3，由机械能守恒：

22311122mM mM mv G mv G a a c -=-- =2122mM mv G a c

-+ （5）

将1v 代入（5

）式得：3V =2

3a b

ρ=

例题：在宇宙空间，有一远离太阳的彗星以速度0υ趋向太阳，太阳到彗星运动方向的垂直距离为d ，如图所示，求彗星在

绕太阳轨道运动时最大速度和最短距离。

解：彗星在运动过程中，其最大速度垂直于此时的最短距

离，由于系统中只有引力做功，故系统机械能守恒2

2

0max min 22m m GMm r υυ=- （1）

由开普勒的定律可知0min max d r υυ= （2） 由（1）式和（2）式解得

max 0GM d υυ=

22min r =

例题：假设宇宙空间中远离其它星体有两质点A 和B ，它们的质量分别为m 和M 。开始时，A 和B 相距为0l 。相对于某惯性系，A 静止，B 以初速0v 沿AB 连线方向运动，为维持B 的速度不变，应对B 施加一个沿着其运动方向的外力F ，如图所示。

（1）求当A 、B 间距离最大时，外力F 的值。

（2）计算从开始起到AB 距离最大时，变力F 做的功。 解：在B 惯性系中研究该问题

令

200102mM m G υ-

= 得

00

υ=

由上知,当0υ≥时,A 点脱离B 的引力而到无限远处,A 和B 不存在间距的最

大值,F

0→∞→时

若0υ<

20012m

mM mM

m G G

υ-=- 得 02

00

22m GM

GM υ=- 则 200220

(2)4m

GM mM

F

G

m GM υ-=

=

在原参考系中,利用动能定理 当0υ<

222

00111()()222A B mM GmM W m M G M m υυυ=+---

22

0111()2m

m

GmM m

υυ=+-= 在υ≥

时