数列求和与求通项公式方法总结(已打)
数列求和与求通项公式方法总结
数列求和与求通项公式方法总结数列是数学中的一种重要概念，它是由一列按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在数列中，求和与求通项公式是两个重要的问题，本文将对这两个问题的方法进行总结。
首先，我们来讨论数列的求和问题。
数列的求和是指对一个给定的数列中的所有元素进行求和的操作。
数列求和的方法主要有以下几种。
1.等差数列求和公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列求和的公式为Sn=[(a1+an)n]/2，其中an为末项。
这个公式适用于等差数列的求和问题，可以更快地求得数列的和。
2.等差数列求和差法：对于一个等差数列，当项数为n时，可以通过求和的差法Sn=(a1+an)(n/2)来求得数列的和。
这个方法适用于项数较多且公差较小的等差数列。
3.等比数列求和公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列求和的公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r不等于1、这个公式适用于等比数列的求和问题，可以轻松地求得数列的和。
4.等比数列求和减法：对于一个等比数列，当公比r满足，r，<1时，可以通过求和的减法Sn=a1/(1-r)来求得数列的和。
这个方法适用于公比绝对值小于1的等比数列。
其次，我们来讨论数列的求通项公式问题。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置n来快速计算出数列中相应位置上的数值的公式。
数列求通项公式的方法主要有以下几种。
1.等差数列通项公式：对于一个等差数列，其通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
2.等比数列通项公式：对于一个等比数列，其通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
通过这个公式，我们可以直接根据位置n来计算出数列中第n项的数值。
数列求和及求通项方法总结
数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。
例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。
二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ， 所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。
数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
数列的通项公式与求和的常用方法
解法三
由已知得,(n∈N*) ①， 所以有 ②， 由②式得， 整理得Sn+1－2·+2－Sn=0， 解得， 由于数列{an}为正项数列，而， 因而， 即{Sn}是以为首项，以为公差的等差数列
所以= +(n－1) =n,Sn=2n2， 故an=即an=4n－2(n∈N*)
对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜－1
(1)求证 {an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足 b1=a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*) 试问当m为何值时，成立？
6 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145
(1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{an}的 前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论
②假设当n=k时，结论成立，即有ak=4k－2，由题意，有，将ak=4k －2
代入上式，解得2k=，得Sk=2k2， 由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1， 将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)， 整理得ak+12－4ak+1+4－16k2=0，由ak+1＞0，解得ak+1=2+4k， 所以ak+1=2+4k=4(k+1)－2， 即当n=k+1时，上述结论成立
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn; (3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m， 使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说 明理由
数列的通项公式与求和公式总结
数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。
以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。
等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。
等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。
求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。
求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。
这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。
在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。
数列的通项与求和计算方法总结
数列的通项与求和计算方法总结(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列的通项与求和计算方法总结第一章 数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n na n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
求数列通项公式与数列求和的几种方法
求数列通项公式与数列求和的几种方法数列是由一定规律形成的数的序列，通常可以用数学公式表示。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
数列的求和是指将数列中所有项相加的过程。
在数学中，有多种方法可以求解数列的通项公式和数列的求和问题。
下面将介绍一些常见的方法。
一、通过递推关系求解通项公式与求和递推关系是指数列中相邻项之间的数学关系。
通过观察数列中的规律，可以找到数列的递推关系，从而求解通项公式和数列的求和。
1.1等差数列等差数列是指数列中相邻项之间的差是一个常数。
设数列的第一项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
通过该递推关系，可以求解等差数列的通项公式和求和。
1.2等比数列等比数列是指数列中相邻项之间的比是一个常数。
设数列的第一项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)。
通过该递推关系，可以求解等比数列的通项公式和求和。
1.3斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
设数列的第一项为a1，第二项为a2，则斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2、通过该递推关系，可以求解斐波那契数列的通项公式和求和。
二、通过数学工具求解通项公式与求和2.1代数方法对于一些特定的数列，可以使用代数方法求解通项公式和求和。
例如，对于等差数列和等比数列，可以使用代数方法推导出通项公式和求和公式。
2.2比较系数法比较系数法是一种常用的方法，适用于具体的数列。
通过对比数列中的系数和常数，可以列方程组求解通项公式和求和。
2.3拆分合并法对于一些数列，可以通过拆分合并法求解通项公式和求和。
该方法将数列分为不同的部分进行拆分和合并，从而得到整个数列的通项公式和求和。
三、通过数学工具和技巧求解通项公式与求和3.1差分法差分法是一种常见的求解通项公式和求和的方法。
对于一些特殊的数列，可以通过数列和数列之间的差值来推导出数列的特征，进而求解通项公式和求和。
数列通项公式和数列求和--最全-最经典
例7设正项数列 满足 ， （n≥2）.求数列 的通项公式.
解：两边取对数得： ， ，设 ，
则 是以2为公比的等比数列， .
， ， ，∴
变式:
1.已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
2、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{ }满足 时， ，求通项公式。
例6已知无穷数列 的的通项公式是 ，若数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
【解析】： , , =1+ + +
= .
反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 .
跟踪训练3.已知 , ,求数列 通项公式.
已知数列 满足 ，求数列 的通项公式
例4.若在数列 中， ， ，求通项 。
累乘法：求形如 = 的递推数列通项公式的基本方法。（其中 可求前n项
积即可）。利用恒等式 求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列 可求前 项积).
例1.若满足 求这个数列的通项公式。
分析：由 知数列 不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似，因而，可累加法求数列的通项。
解：
以上各式相乘得：
将n＝1代入上式得
变式练习：设 是首项为1的正数组成的数列，且 ，则它的通项公式为 ．
例四已知 , ,求数列 通项公式.
【解析】： , ,又有 =
1× = ,当 时 ，满足 ， .
例3:已知 ， ，求 。
解：
。
变式:（2004，全国I,）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项
解：由已知，得 ，用此式减去已知式，得
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列求和与求通项公式方法总结(已打)
12、已知 为等比数列, , ,则 。
13、已知 得三边长成公比为 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
14、已知等比数列 为递增数列,且 ,则数列的通项公式 _____.
15、等比数列{ }的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比 =_______
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)求数列 的通项公式.
（1）求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 。
数列练习题（近三年各地高考题选编）
一、填空题
1、在等差数列 中, ,则 的前5项和 =。
2、等差数列 中, ,则数列 的公差为。
3、在等差数列 中,已知 =16,则 。
4、如果等差数列 中， + + =12，那么 + +•••…+ =。
5、 为等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ________.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，问 > 的最小正整数 是多少
2、（2012广州一模）已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ．
3、（2012惠州三模）已知函数 ，且数列 是首项为 ，公差为2的等差数列.
6、{an}的前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
7、已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 .
(I)求数列 与 的通项公式;
(word完整版)求数列的通项公式和求和方法总结,推荐文档
专题—求数列的通项公式方法归纳1．归纳法【例1】已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：____________________ 2．公式法（1）利用等差、等比通项公式；（2）利用a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【例2】已知下面各数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式，求{}n a 的通项公式．(1)S n ＝3n －2. (2)S n ＝2a n ＋13．累加法形如)(1n f a a n n +=+形式，()f n 可以求和．转化为)(1n f a a n n =-+．【例3】已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n +=+，求n a ．【例4】已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a ．练习1． 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
练习2．已知数列{}n a 中，12a =满足12n n n a a n +=++,求数列{}n a 的通项公式．练习3．已知数列{}n a 中，11a =满足1n n a a +=,求数列{}n a 的通项公式．4．累乘法形如1()n n a a f n +=⋅形式，()f n 可以求积．转化为1()n na f n a +=． 【例5】练习1．已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.练习2.已知数列{a n }满足)(,2)1(,11N n a n S a nn ∈+==，求{a n }的通项公式。
{}12,3,1已知中，求通n n n n n a a a a a +==⋅5．构造等差、等比数列（构造法） 类型1：q pa a n n +=+1，)01(、p ≠方法一：待定系数法设)(1x a p x a n n +=++，解出x ，数列{}x a n +即为等比数列； 方法二：结论法：1-=p qx .【例6】已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .练习1．已知数列{a n }满足a 1＝1，3121n n a a +=+，求n a 的通项公式．练习2．已知数列{a n }的前n 项和n S 满足21()n n S a n n N *+=+∈，求n a 的通项公式．类型2：形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p方法一：待定系数法令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列；方法二：作差法，两式相减【例7】设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .练习1．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．求数列{}n a 的通项公式；类型3：形如21n n a pa an bn c +=+++)001(≠≠，a 、p方法：待定系数法，即令221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,z.从而转化为{}2n a xn yn c +++是公比为p 的等比数列。
数列求和求通项(已打)
第4讲 数列的通项的求法★ 知 识 梳理 ★数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项.⑵利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n nn （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ ⑶构造等差、等比数列求通项：① q pa a n n +=+1；②nn n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：掌握由常见数列递推关系式求通项公式的方法.2.难点：由数列递推关系式的特点，选择合适的方法.★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点 求数列的通项公式 题型1 利用公式法求通项【例1】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=nn S .【解题思路】已知关系式0),,(=n a S f n n ，可利用⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当1=n 时，411312211=-⨯+⨯==S a ，当2≥n 时，[]1)1(3)1(2)132(221--+---+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n . 而1=n 时，15114a ≠=+⨯，⎩⎨⎧≥+==∴)2(14)1(4n n n a n .⑵当1=n 时，31211=+==S a ，当2≥n 时，1112)12()12(---=+-+=-=n n nn n n S S a .而1=n 时，11112a ≠=-，⎩⎨⎧≥==∴-)2(2)1(31n n a n n .【名师指引】任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项【例2】⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.【解题思路】⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；⑵已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+，可利用迭乘法.【解析】⑴方法1：（迭加法）)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，∴121-=--n a a n n ∴11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----135)52()32()12(++++-+-+-= n n n 22)112(n n n =+-=方法2：（迭代法） )2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，∴12)1(21221-+-+=-+=--n n a n a a n n n =-+-+-+=-12)1(2)2(23n n n a n212)1(2)2(2531n n n n =-+-+-++++= ，∴2n a n =.⑵ 11=a ，n n a n S ⋅=2，∴当2≥n 时，121)1(--⋅-=n n a n S∴11)1(11221+-=⇒--=-=---n n a a a n a n S S a n n n n n n n . ∴1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- .)1(21314213211+=⋅⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=n n n n n n n n 【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项【例3】已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.【解题思路】递推关系形如“q pa a n n +=+1”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列.【解析】 321+=+n n a a ，∴)3(231+=++n n a a ∴{}3+n a 是以2为公比的等比数列，其首项为431=+a ∴.3224311-=⇒⨯=++-n n n n a a【名师指引】递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a . 【例4】已知数列{}n a 中，nn n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.【解题思路】递推关系形如“nn n q pa a +=+1” 适当变形转化为可求和的数列. 【解析】方法1： n n n a a 321+=+，∴nn n n n a a )23(2211+=-+，令n n n b a =-12则 n n n b b )23(1=-+，∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---123)23()23()23()23(2321++++++=--- n n n 2)23(2-⨯=n ∴n n n a 23-= 方法2： nn n a a 321+=+，∴1332311+⋅=-+n n nn aa ，令n n nb a =-13则 1321+=+n n b b ，转化为“q pa a n n +=+1“ （解法略） 【名师指引】递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为：“q pa a n n +=+1”或“nn n n f a a )(1+=+求解.【例5】已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式. 【解题思路】递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”可用待定系数法或特征根法求解. 【解析】令)(112n n n n a a a a ⋅+=⋅++++αβα 由⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=⋅=-2123βαβααβ或⎩⎨⎧=-=12βα，∴)(2112n n n n a a a a -=-+++∴数列{}n n a a -+1是等比数列，∴112-+=-n n n a a∴11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----14322112222----=++++++=n n n n .1.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.【解析】当1=n 时，1231111-=⇒+==a a S a ，当2≥n 时，)23()23(11+-+=-=--n n n n n a a S S a .∴233211=⇒=--n n n n a a a a ∴{}n a 是以23为公比的等比数列，其首项为11-=a ，∴.)23(11-⋅-=n n a 2.已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】由0)1()2(1=+-++n n a n a n 得，211++=+n n a a n n ∴1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- 14232431211+=⋅⋅⋅⋅--⋅-⋅+=n n n n n n n . 3.⑴已知数列{}n a 中，232,111-==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知数列{}n a 中，n a a a n n +==+2,111，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】⑴)6(32623211+=+⇒-=++n n n n a a a a ，∴6)32(71-⨯=-n n a ； ⑵令)(21n a n a n n ⋅-=⋅-+λλ，得1-=λ∴)(21n a n a n n +=++，∴122-⨯=+n n n a ， ∴n a n n -=24.已知数列{}n a 中，nn n a a a 33,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.【解析】 nn n a a 331+=+，∴13311+=-+n n n n a a ，令n n nb a =-13∴数列{}n b 是等差数列，n n b n =-+=)1(11，∴13-⋅=n n n a .5. （11年韶关市二模） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(3,11++∈+==N n S a a a nn n ，设nn n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式．【解析】依题意，n n n n n S S S a 311+=-=++，即nn n S S 321+=+， 由此得)3(2311n n n n S S -=-++， ∴ .2)3(31-⋅-=-=n n n n a S b6.(2010广东文∙节选)已知数列{}n a 中，)3(3231,2,12121≥+===--n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】由213231--+=n n n a a a 得)3)((32211≥--=----n a a a a n n n n又0112≠=-a a ，所以数列{}n n a a -+1是以1为首项，公比为23-的等比数列，∴11)2(-+-=-n n n a a11)32()32()32()32(232++-+-++-+-=-- n n 1)32(5358---=n ．第5讲 数列求和★ 知 识 梳 理 ★ 1.基本数列的前n 项和⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⋅+⋅-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)(⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ：①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11；⑶ 基本数列{}2n 的前n 项和：n S )12)(1(61++=n n n . 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：掌握由数列通项公式求数列的前n 项之和的方法；2.难点：利用裂项相消法、错位相减法求数列的前n 项之和.3.重难点：灵活选择数列求和的方法，注意裂项相消法求和中项数及项的处理. ⑴抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.问题1：⑴已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a ； ⑵等差数列{}n a 中，公差21=d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . 分析：利用（或转化为）等差、数列等比前n 项和公式是最基本的方法；⑴要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；⑵把99531a a a a ++++ 当作一个整体考虑.解析：⑴ )()()(99639852974199a a a a a a a a a S +++++++++++=)()111(99632a a a q q +++⋅++= ，∴.44777499963=⨯=++++a a a a ⑵ 21=d ，且6099531=++++a a a a ，.852560)(99531=+=+++=a a a a ∴.8560100321+=++++a a a a⑵裂项相消法求和中注意项数及项的处理. 问题2：数列,)1(4321,,4321,321,21++++++++k 的前n 项和=n S 分析：此数列的第n 项应为)3(2+=n n a n （注意不是)1(2+=n n a n ？），裂项求和时注意项数.解析： 此数列的第n 项)311(32)3(2+-=+=n n n n a n ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-311n n 的前n 项和)311()6131()5121()411(+-++-+-+-=n n T n )31615141()131211(+++++-++++=n n.31211161131211131211+-+-+-=+-+-+-++=n n n n n n∴).312111(3291132+-+-+-==n n n T S n n★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点 已知数列的通项公式，求数列前n 项之和 题型1 公式法、性质法求和【例1】⑴等比数列 ,222132，，，中的第5项到第10项的和为： ⑵等差数列{}n a 的前n 项和为18，前n 2项为和28，则前n 3项和为【解题思路】⑴可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ， 由10765,,,,a a a a 成等比数列求解；⑵利用等差数列的性质求解.【解析】⑴利用等比数列前n 项和公式求解.由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S ⑵利用等差数列的性质求解.{}n a 是等差数列，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n S n n S n n n n 3,3,2,2,,32三点共线.∴3023228321822833=⇒--=--n n S nn n n S n n n n .【名师指引】利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算. 题型2 拆项分组法求和【例2】求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S .【解题思路】根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的. 【解析】 144)12(22+-=-n n nn n n n n n ++⨯-++⨯=)1(214)12)(1(614)14(312-=n n . 【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.题型3 裂项相消法求和 【例3】求和：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 【解题思路】观察通项公式的特点，发现111)1(1+-=+=n n n n a n . 【解析】111)1(1+-=+n n n n ∴原式)111()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n 111+-=n 1+=n n. 【名师指引】数列的常见拆项有：111)1(1+-=+n n n n ；n n n n -+=++111； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++)2)(1(1)1(121)2)(1(1n n n n n n n ；)!1(1!1)!1(+-=+n n n n . 题型4错位相减法求和【例4】(广东省深圳市2011年高三年级第一次调研考试)若数列{}n a 的通项nn n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .【解题思路】利用等比数列前n 项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.【解析】 nn n S 3)12(35333132⋅-++⨯+⨯+⨯= ， ①∴14323)12(3533313+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n S ② ①-②，得14323)12(32323232312+⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-n nn n S14323)12()3333(231+⋅--+++++⨯=n nn 63)22(1-⋅-=+n n .∴n S 33)1(1+⋅-=+n n .【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法. 题型5 倒序相加法求和【例5】设221)(xx x f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(213141f f f f f f +++++；⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++【解题思路】观察)(x f 及⎪⎫⎛f 1的特点，发现1)1()(=+f x f .【解析】 221)(x x x f +=，∴1)1()(=+xf x f . ⑴441)4()3()2()()()(213141=⨯=+++++f f f f f f⑵原式2009)12010(1=-⨯=.【名师指引】通过分析对应的通项，可结合等差数列前n 项和的推导方法求解. ☆ ⑴ 数列求和应该从通项入手；⑵ 数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 【新题导练】1.已知等比数列{}n a 中，91,,0a a a n >为016102=+-x x 的两个根，则=⋅⋅654a a a .【解析】由已知得，0>n a ，1691=a a ，∴6435654==⋅⋅a a a a .2.设函数)(x f 定义如下表，数列}{n x 满足5= x 且))((1N n x f x n n ∈=+，则=2010x .x1 2 3 4 5 )(x f41352【解析】经计算2,1,4,53210====x x x x 得，}{n x 是一个以4为周期的周期数列，.412010==x x 注意项数的处理.3.求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 【解析】=n S )21(813412211n n +++++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=n n 21814121)321(211)211(21)1(21--++=n n n n n n 211)1(21-++=. 4.求数列 ,321,,321,21,1n +++++++的前n 项和n S .【解析】 n n n n n 2121)1(213212+=+=++++ ∴)321(21)321(212222n n S n +++++++++=)12)(1(6121++⨯=n n n )1(2121+⨯+n n )2)(1(61++=n n n .5.⑴ 求和：)2(1531421311+++⨯+⨯+⨯n n ； ⑵ 求和：)13)(23(11071741411+-++⨯+⨯+⨯n n ；【解析】⑴)211(21)2(1+-=+n n n n∴原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-+-=)211()5131()4121()311(21n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=1121121n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212321n . ⑵⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-13123131)13)(23(1n n n n∴原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-+-=)131231()10171()7141()411(31n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=131131n 13+=n n. ⑶n n nn -+=++111∴nn +++++++++11341231121 ()()()()n n -+++-+-+-=1342312 11-+=n .6.求数列)0()12(,5,3,112≠--a a n a a n ，的前n 项和n S .【解析】12)12(531--++++=n n an a a S ①①a ⨯得，nn a n a a a aS )12(5332-++++= ② ①-②得，n n n a n a a a S a )12(2221)1(12--++++=--当1=a 时，2n S n =；当1≠a 时，nn n a n aa a S a )12(1)1(21)1(1----+=--∴21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+. 7.求和：.ln ln ln ln 1253-++++=n n xx x x S【解析】1253ln ln ln ln -++++=n n xx x x S x n x x x ln )12(ln 5ln 3ln -++++= ， ①则 x x x x n x n S n ln ln 3ln 5ln )32(ln )12(++++-+-= ② ①+②得，x n S x n x n x n x n S n n ln ln 2ln 2ln 2ln 222=⇒++++= .。
数列通项公式及其求和公式
2n12，依此类推有b n 1 b n 2、b n 2 b n 3b 2 1b 1-、数列通项公式的求法(1) 已知数列的前n 项和S n ,求通项a n ； (2) 数学归纳法：先猜后证；(3) 叠加法(迭加法)：a n (a n a ni ) (a n 1 a n 2) L (a ? ai) ai ；【叠加法主要应用于数列｛a n ｝满足a n 1 a n f (n),其中f (n)是等差数列或等比数列的条件下，可 把这个式子变成a n 1 a nf(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n ，从而求出S n 】(4)构造法(待定系数法)：形如a n ka n 1 b 、a * ka * 1 b n ( k, b 为常数)的递推数列；【用构造法求数列的通项或前 n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列 的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前 n 项和.】(5)涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决 .【根据递推公式求通项公式的常见类型】①c 1=a,a n +1 a n f(n)型，其中f(n)是 可以和 数列，a f(n 1)f(n 2 ……f(2) f(1) a类型 1: a n 1 a n f (n)类型 2: a n 1 pa n f(n)那么问题就可以转化为类型一进行求解了 例题： 已知 a 1 2 , a n 1 4a n 2n 1，求 a n叠乘法(迭乘法):a na n a n 1 an 2a 3 a 2 an 1 a n 2 an 3a ： a 1用累加法求通项公式，即思路 (叠加法)a n a n 1 f(n 1)，依次类推有：a n 1 a n 2f (n 2)、0.2 q 3 f(n 3)、…、a 2 a 1 f(1)， 将各式叠加并整理得n 1a n a 1f(n)'即 a . i 1n 1a 1f(n)i 1例题 1 ：已知a 1 1，a n a n 1 n ,求a n解：T a n a n 1a n an 1n ，依次类推有:12 3n 2、…a 2 a 1•••将各式叠加并整理得 a na 1nn ，a ni 2n(n 1) 2思路(转化法)a n pq 1 f (n1),递推式两边同时除以a n npb n ,解：T a n 1 4a n 2• an 4an1 2n ，则2i•- a n 4nb类型 3: a n 1 f (n)a nf (n 2) f(n 1) a当p 1时，数列｛a n ｝是等差数列；当 p 0,q0时，数列｛a n ｝是等比数列；当p 0且p 1,q 0时，可以将递推关系转化为 a n1pq Q ，则数列 a n —⑴ 是以p 1 p 1p 1a 1 —匚为首项，p 为公比的等比数列.p 1•••各式叠加得 b n bl，即 b n bia n f(n) ② 6=4 4+1a n f(n 1) f(n 2) 型 苴 …f(2)f(1Rf （n ）是可 求积数 求通项思路（叠乘法）：旦a nf （n 1），依次类推有: 邑f(n an 22)、3nan 3f(n3）、…、a2a 1f(1)，将各式叠乘并整理得 a n f(1)f(2) f(3)…f(n2) f(n 1),a n f(1)f(2) f(3)…例题：已知 a 1 1, n 1，求 an .解：T a nn 1 1a na n ，依次类推有:a n 1 a n 2 a 3 a n 1a na na 2a2a 1•将各式叠乘并整理得a na n2 1 43 n(n2 1)③ a 1=a, a n+1pa n q 型（其中 p q 是常数） ，可以采用待定系数法、换元法求通项公式,p(a n冷，设6 a n 壮则b n 1 pb n .利用②的方法求出b n 进而求出a n3思路 （构造法）：设a n 1 p a n,即p 1 q 得—,数列a n 是以a 1为p 1首项、 p 为公比的等比数列，则 a nqp 1qn 1 a 1p p 1即 qn 1q，即 a na 1pp 11 p例题: 已知数列 a n 满足a n 2a n 13且a 1 1，求数列 a n 的通项公式解：设a n 1 2 a n ，即 3• ai即化为③.•••数列a n 3是以3i3 4为首项、 2为公比的等比数列④ ai=a,a n+i3 4 2n 12n 1，即 a n 2pa n q n 型，其中p q 是常数且q 0，q 1 导丄设* b n ，则b n 1qb n类型5: 思路（构造法）：Oi pan rqa n 1n 1qrq1 ,从而解得例题：已知 a 1a n a n-为首项,q2n ，求解：•••设即2nan 1班2n是以1 6为首项，⑤ a n+1pa n -型, qp为公比的等比数列q1 2n 2n 1，解得1a —为公比的等比数列，即n22n其中p 、q 是常数且a n o ,可以采用等式两边取倒数2n a n1 思路（转化法）：对递推式两边取倒数得—an 1 pa n dc a n an 1c an三，令bn丄，这样,a n问题就可以进行求解了例题：已知a1 4 , a n 12 a n 2a n解：•••对递推式左右两边取倒数得a n 1 2a n2a n an 1 a n1•••令b n 则b n 1a n 1bn1.设b n 1 ，即是以彳为首项、1-为公比的等比数列，则2b n 2 点’即bn2n 27~2* 1 ~ ，2* 1ana a n b类型7: a n 1----------- (c 0、ad bc 0)c a n d思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为心即cx2 (d a)xcx d b 0 .当特征方程有两个相等实根X1x2时，数列一a n11为等差数列，我们可设a da n2c1a d 2c a n1a d2c（为待定系数，可利用印、a2求得）；当特征方程有两个不等实根花、X2时,数列X1a n a nX2是以引a1鱼为首项的等比数列，我们可设色x2 a nX1X2a1%a1x2n 1（为待定系数,可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列a n 通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论.例题：已知a112 a n 4an13 ( nan 122),求a n解：•••当n 2时，递推式对应的特征方程为2x 3 0,解得x11、x2 3数列旦」是以- 1为首项的等比数列a“ 3 a X2 2a X21 n 4.⑵等比数列求和公式： & a 1 (1 q n )(q 1):r (q 1)另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有:n(n 1)；nk 2k 1n (n 1)(2 n 1)；6n k 3[0(1)]2k 12例1、 已知数列 f n 的前n 项和为S n ,且S nn 2 2n.若 a 1 a n,求数的前n 项和T列a n分析：根据数列的项和前 通项公式后，确定数列的特点，根据公式解决 解：T 当 n 2 时，f n S n S n 1 2n 1.当 n 1 时，f1 3, a n 1 2a n 1 nn 项和的关系入手求出 n ,再根据a n 1f a n ( nN )求出数列a n 的S 1 3,适合上式，即 a n 11 2(a n 1)f n 2n 1 n N , a 1•••数列a n 1是首项为4、公比为2的等比数列.•- a n 1a 1 1 2n 1 2n 1, a n 2n 1 1 nN ； T n【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和，一些综合 性的数列求和的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题 变式训练1:已知log 3 xlog 2 3•求 x x 2 x 3x n 的前n 项和.二、数列求和的几种常见方法数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法，是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素 材，是历年高考的一大热点，在高考命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现，一般数 列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，因此，我们有必要对数列求和的各种 方法进行系统探讨•1、公式求和法通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后，可直接利用等差、等比数列的求和公式 求和，或者利用前n 个正整数和的计算公式等直接求和 •运用公式求解的注意事项： 首先要注意公式的 应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算 •特别地，注意数列是等比数列时需要讨论q 1和 q1的情况•⑴等差数列求和公式：S nn(a 1 a n )n(n 1)d2 2•••设生J a n3n1，由 a i3，即a n a n3n 1，从而a n3n1 3n 11a n1 2 3n ,n 13n ^l'n 21x1 2例2、已知函数F x3x 2 2x丄.求F2 2009F —2009F 20082009分析：由所求的和式的特点, 用倒序相加法求和• 易想到探究：和为1的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否【解析】••• F x3x 2 2x31 x 2 21 x 13.•••设 S F —200920092008.①S 20092008 2009F 20072009F — 20092S1 2009 2008 20092 2009 2007 2009F 200820092008 【能力提升】倒序相加法来源于课本， 求和方法.当求一个数列的有限项和时, 3012例3 :已知f (x)解：•••由 f(x)•••原式 f(1)f(2)变式训练1:求si n 216024,所以S是等差数列前项和公司推导时所运用的方法，它是一种重要的 若是“与首末两端等距离” 的两项和都相等，即可用此法 ，则 f (1)1 x 2sin 2 2f(2) f(3)f(3) fsin 2 32x1 x 21 1 x 211sin 2 88 sin 289的值*S变式训练2:设s n 1 2… n(n N ),求f(n)-的最大值.(n 32) S n 12、倒序相加法2 3a n a n 1与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法 .我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”S nda 2 S na na n 1a n 1 a nn 1n则a ? a 〔如果一个数列｛a n ｝，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，可采用把正着写 a n 1 2S na 1 a na 1 a n a 22 3a n a n 1a k a k da kn1 n1 1 1 1 1 k 1 3k 3k 1k 1d a ka k 1da 1例5 、 数列a n满 足23n22 2 2T n3 3 3 3a 〔a 2 a 2a 3 &a 4 a n a n 1丄丄 1” , • 1• •1 a 2a 2a 3a na n 11, a 25 5 2a 1,a n 2 a n 1 — a n 3 3 31丄 1d a 1a n 1分析：根据给出的递推式求出数列a n ，再根据的特点拆项解决变式训练2 :如已知函数f(x)对任意x € R 都有f(x) f(1 x) 1SSn2f (0)f(-) n23f(—) f ㈠+… n n-f(n 2) f(n 1)n n f(1), (n N *)，求S n1 1f(1) f(2)f(2008) f(2)f(3)3、裂项相消法裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的 前n 项和• 一般地，我们把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求1 ak a kf (x)x 2 1 x 2f (i 2008得其和•适用于类似a n a n 1(其中a n 是各项不为0的等差数列，c 为常数)的数列，以及部分无理数列和含阶乘的数列等•用裂项法求需要掌握些常见的裂项方法(2n 1)(2 n 1) 2 2n 1 2n 1k)例 4:a n 是公差为 d 的等差数列,的等比数列，故a n 1 a n【能力提升】用裂项相消法求和的关键是先将形式复杂的式子转化为两个式子的差的形式因此需要掌 握一些常见的裂项技巧.变式训练 1: 在数列 {a n }中，a n1 2—，又 b n，求数列b n 的前n 项n 1 n 1n 1a nan 1的和•变式训练 :2 :求和： s 111L11 21 2 3 1 2 3 L n变式训练 3: 求和：11 11.2 1. 3 、2 4 3..n 1,n •4、错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式•即若在（差比数列）｛a n b n ｝中，｛a n ｝成等差数列, 减整理后即可以求出前 n 项和•解：•••由已知条件，得a n 2 a n 12 a n 1 a n3a n 122a n 是以a 2 a i为首项，一为公比33aana n aa 3｛b n ｝成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相 例题：S n 12x 3x 2 4x 3 n ..... nxx- S n x 2x 2 3x 3 4x 4…… ①一② 1 x S n 1 2 x x ............当x 1 时，S n1x n nxnx 1x1 x1n 1 x n 1①nnx②n 1 x n nx 当x 1时，S n 1 2 3n n 1n2【能力提升】错位相减法适用于数列a nb n ，其中a n 是等差数列, b n 是等比数列•若等比数列b n中公比q 未知，则需要对公比 q 分q 1和q1两种情况进行分类讨论例6、已知数列a n 是首项为a-i-,公比为q 丄的等比数列，设b n 4 42 3log 1 a n n4N ，数列C n 满足C n a n b n .求数列C n 的前n 项和S n .比数列对应项的乘积构成的数列，因而可考虑用错位相减法来解决5、（分组）拆项求和法（裂项重组法）所谓裂项重组法就是针对一些特殊的数列，既不是等差数列，也不是等比数列的数列，我们可以 通过拆分、合并、分组，将所求和转化为等差、等比数列求和例7、已知数列a n 的通项公式为a n 2n 3n 1,求数列a n 的前n 项和. 2n 与一个等差数列 3n 1组成的，所以可将其转化为一个等比数列与一个等差数列进行分组求和 【解析】S n a 1 a 2a n 21 2 22 5构成等差数列或等比数列，那么我们就可以用此方法求和例8、数列a n 的前n 项和是S n n N ,若数列a .的各项按如下规则排列：分析：根据等比数列的性质可以知道数列 b n 为等差数列，这样数列 C n 就是一个等差数列与一个等解：•••由题意知，a n3log ! a n 2，故 b n 3n2n N41 …G 3n 2- nN 42311 1 二 S n 14 7 L 3n 4441 C 1 1 1 S n 1 - 4 -7 -L 4 444233111•••两式相减，得3S n 1 3 1- 4 4 4451 n1 1 n 443n 2, n一n 111 3n 53n 244nn 1n 111113n 23n 24424S n2 3n 22 3变式训练1、求Sn 1 2x 3x 4xn 1nx变式训练2、若数列｛a n ｝的通项a n （2n 1） 3n ，求此数列的前n 项和S n .变式训练3、2 4求数列亍豕623，2n ，歹前n 项的和.分析：该数列的通项是由一个等比数列 2n 3n 1=2122=22n2 53n 1 . 21 2nn 2 3n 1=1 22-n 2.2【能力提升】在求和时, 定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别若存在自然数k k N ，使S k 10, S k 1 10，则a k分析：数列的构成规律是分母为 2的一项，分母为 3的两项，分母为 4的三项，•…，故这个数列的和 可以并项求解.11 123 3 1 2 31 2 3 4解：S 1 S 3 —,S 63, S103 -52 23 22 451 2 3 4 5 15十 1 2 3 45 621S 15 5,而3,这样S 2110,而627215 1 2 3 4 5 15 15 15 55 + 5S2010,故 a k，故填272 7 2 277【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性，特别是一些正负相间或者是周期性的数列等，可以考虑用并项求和的方法 变式训练3:求数列｛n(n 1)(2n1)｝的前n 项和.一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数 列有关或具备某种方法适用特点的形式， 从而选择合适的方法求和•高考数学试题中所涉及的数列求和 问题往往具有一定的技巧性，需要考生具有很强的分析问题、解决问题的能力才能解决，但是基本的 求和方法就是上面介绍的这些 •希望广大考生熟练掌握，灵活适用 • 三、数列的综合应用⑴求解等差、等比数列的综合问题的基本途径是：应用等差数列和等比数列的基本量(首项、公差、 或公比、通项、前n 项和)表示数列中的项，适时地应用它们的基本性质求解 .此外，应该熟悉等差数列与等比数列的递推公式•⑵数列与函数、数列与不等式的综合问题主要是：由函数的解析式得到的数列递推公式，转化为等差 数列或等比数列进行求解.⑶数列的应用问题：一般地，涉及递增率通常用到等比数列；涉及依次增加或减少要用到等差数列; 复利和分期付款问题，用等比数列解决1 12 1 23 1 2 34 1—J — J — J — J — J — J — J — J — J — J —23344455556变式训练1：求和:2536+4 7+ ........ +n(n+3)变式训练2:求数列1,1+2,1+2+2 2 2 n 1,•- ,1+2+2 + …+2的前n 项和。
数列通项公式、前n项和求法总结全
2n2+n
变式练习：
1.已知数列｛an｝满足an厂an•2n •1,a^1，求数列佝｝的通项公式
2. 已知数列:
3. 类型2特征：递推公式为an彳=f（n）an
变式练习：
1.已知数列Q匚中，3 = 2，an d= 3an，求通项公式an。
2.设G｝是首项为1的正项数列，且（n+1）a；卅-na；+a^an= 0（n= 1，2， 3，…），求数 列的通项公式是an类型3特征：递推公式为an1二pan• q（其中p，q均为常数）
*
(1)求an,bn；
⑵求数列:an-bn［的前n项和Tn.
2.若公比为c的等比数列的首项为a^1，且满足an二a22甌(n二3,4,...)。
(1)求c的值；(2)求数列｛nan｝的前n项和Sn
3.倒序相加法
如果一个数列订奁，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特^E： a1an=a?an4 =...
设an，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得
anan +b2
bnbn，再转化为类型1 （累加法），求出bn之后得a^ pnbn
p
例6•已知数列｛an｝满足an^2an43n」，a^1,求数列®｝的通项公式。
变式练习：已知数列：an*满足a1=1，an=3n• 2an」（n一2），求an.
二
1.公式法
（1）等差数列前n项和：Sn二"去 空=门a1^^d
2 2
(2)等比数列前n项和:
(2)求数列 ｛俎｝ 的前n项和Sn。
数列的通项公式和求和公式
数列的通项公式和求和公式数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列的研究中，通项公式和求和公式是两个重要的概念。
本文将详细介绍数列的通项公式和求和公式，并探讨它们的应用。
一、数列的通项公式数列的通项公式是一个能够直接推算出数列的第n项的公式，通过这个公式我们可以快速计算数列的任意项。
常见的数列有等差数列和等比数列，它们的通项公式如下：1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1为首项，n为项数，d为公差。
2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)其中，an表示等比数列的第n项，a1为首项，n为项数，r为公比。
除了等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，它们的通项公式根据数列的规律有所不同。
通过找出数列的规律并利用递推关系，我们可以得到数列的通项公式，从而方便计算数列的各项值。
二、数列的求和公式求和公式是用来计算数列前n项和的公式，它可以帮助我们快速求解数列的和。
常见的数列求和公式如下：1. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式为：S = (n/2) * (a1 + an)其中，S表示等差数列的前n项和，n为项数，a1为首项，an为末项。
2. 等比数列的求和公式等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S表示等比数列的前n项和，n为项数，a1为首项，r为公比。
对于其他类型的数列，其求和公式也有所不同。
我们可以通过找出数列的和与前一项之间的递推关系，从而得到数列的求和公式，从而快速求解数列的和。
三、数列公式的应用数列的通项公式和求和公式在数学中有着广泛的应用。
比如，在预测数值规律方面，我们可以利用通项公式来计算未知项的值，从而推断出数列的任意项。
在实际问题中，数列的通项公式和求和公式也经常被应用于求解具体的数值。
此外，数列的通项公式和求和公式也在数学的相关领域中起到重要的作用，比如在微积分中用于求解积分，或在概率论中用于计算概率等等。
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一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：=n S =（2）等比数列的求和公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=n S例1.求和（1）1+2+3+…+n（2）232222n ++++二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。
例2.求和（1）()()()()n S nn -++-+-+-=2322212321 ； （2）13421n n a n -=-- ，求n S ； （3）123n n a -=+，求n S三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：（1）111)1(1+-=+n n n n (2) 1111()(2)22n n n n =-++ (3) )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n （4）n n n n -+=++111 例3. （1）已知数列{}()11+=n n a a n n 中，，求前n S n 项和.（2）已知数列{}2(21)(21)n n a a n n =-+中，，求前n S n 项和.（3）求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。
例4. （1）2nn a n = ，求n S 。
n n n S 2)12(...252321232⨯-++⨯+⨯+⨯=、求和：（3）求数列()13231,,35,34,33,2-⨯+⨯⨯⨯n n 的前n S n 项和.五、课后练习1、（2012惠州一模）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =。
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，问n T >10012012的最小正整数n 是多少?2、（2012广州一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．3、（2012惠州三模）已知函数()f x x =，且数列{})(n a f 是首项为2，公差为2的等差数列. (1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2) 设)(n n n a f a b ⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值..4、（2013惠州二模）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且*1()2nn b S n N -=∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1； （3）求数列{}n c 的前n 项和n T ．求通项公式一、定义法（1）等差数列：1n n a a d +-=； （2）等比数列：1n na q a +=。
例1：若11a =，求通项公式n a 。
（1）12n n a a +=+ （2）12n n a a += 练习：（1）12n n a a +=- （2）12n n a a += 二、累加法：()1n n a a f n +-= 例2：若11a =，求通项公式n a 。
（1）11n n a a n +=++ （2）12nn n a a +=+练习：（1）12n n a a n +=+ （2）13nn n a a n +=++三、累乘法：()1n na f n a += 例3：若11a =，求通项公式n a 。
（1）12nn n a a +=⋅ （2）1)1(++=n n a n na练习：（1）13nn n a a +=⋅ （2）1(2)n n na n a +=+四、固定结构 结构一：例4：（1）数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=*()n N ∈，求n a 。
（2）数列}{n a 满足2123n a a a a n ⋅⋅= ，则求n a 。
结构二：1n n a Ca D +=+ 解法分析：例5：若11a =，求通项公式n a 。
（1）121(2)n n a a n -=+≥ （2）134(2)n n a a n +=+≥练习：（1）122(2)n n a a n -=+≥ （2）132(2)n n a a n -=+≥结构三：1nn n Ca a Da E+=+解法分析：例6：若11a =，求通项公式n a 。
（1）11n n n a a a +=+ （2）123nn n a a a +=+（3）（2011年广东高考改） 数列{}n a 满足11a =,112(2)1n n n na a n a n --=+-≥，求通项公式n a 。
结构四：21n n n a Ca Da ++=+ 解法分析：例7：（1）已知数列}{n a 满足*12211,4,43().n n n a a a a a n N ++===-∈（1）求34,a a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式。
（2）（2008年广东高考改）设数列{}n a 满足121,2a a ==，()12123n n n a a a --=+ (3,4)n = 。
（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)记n n c na =(1,2,)n = ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。
数列练习题（近三年各地高考题选编）一、填空题1、在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = 。
2、等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为 。
3、在等差数列{}n a 中,已知48a a +=16,则210a a += 。
4、如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +•…+7a = 。
5、{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________. 6、．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k= 7、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______。
8、{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a = 。
9、S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．10、在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝ 。
11、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ 12、已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += 。
13、已知ABC ∆的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.14、已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a =_____.15、等比数列{n a }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =_______16、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比不为1。
若11a =,且对任意的*n N ∈都有2120n n n a a a +++-=,则5S =____。
18、已知{}n a 是等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______19、若等比数列{}n a 满足a n a n+1=16n，则公比为 。
20、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 。
二、解答题1、已知{}n a 为等差数列,且13248,12,a a a a +=+=(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,若12,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值.2、已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{a n }的前k 项和435S =-，求k 的值．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+。
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和n s 。
（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .5、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .6、{a n }的前n 项和为S n ,且S n =22n n +,n∈N﹡,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n∈N﹡. (1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .7、已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且114444,27,=10a b a b S b =+=-. (I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II)记1122=+++n n n T a b a b a b (*n N ∈)证明:*118(,2)n n n T a b n N n ---=∈>.8、（2012广东高考）设数列{}a 的前n 项和为S ,数列{}S 的前n 项和为T ,满足22T S n =-,n ∈*N .。