专题1.1 集合(精讲精析篇)(解析版)

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最新高考文科数学专题一：集合题型总结含解析说课讲解

第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A＝{1，2}，B＝|x x A，则集合A 与B的关系为________．解析：由集合B＝|x x A知，B＝{1，2}．答案：A＝B2．若2,x x，则实数a的取值范围|a a R是________．解析：由题意知，2x a有解，故0a．答案：a3．已知集合A＝2y y x x x R，集合B|21,＝|28x x，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A．答案：B A4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝2|0x x x关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N=2|0x x x，得N={-1，0}，则N M ．答案：②5知集合A＝|5x x，集合B＝|x x a，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴A B，∴a<5．答案：a<56．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．练习二组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________．解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1．答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax ＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，N M，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝1a＝1或－1，∴a＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A⊆{1，2，3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1，所以A有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A＝{x|x＝a＋16，a∈Z}，B＝{x|x＝b2－13，b∈Z}，C＝{x|x＝c2＋16，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k 是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg(xy)知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1．从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A ． ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3，4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．，即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x ≤2，故A ＝{x |1≤x ≤2}，而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集，即AB ，则此时B＝{x|1≤x≤ a}，故a>2．(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算练习一组1．设U＝R，A＝|0x x，B＝|1x x，则A∩∁U B ＝____．解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U(A∩B)＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M＝{0，1，2}，N＝|2,x x a a M，则集合M∩N＝________．解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N ＝{0，2}．答案：{0，2}4．设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x ∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当1m时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则1m，即m的取值范围为(1，＋∞)练习二1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，B＝{0，2}，则(∁U A)∩B＝________．解析：∁U A＝{0，1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________．解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B ＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则UA∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0，4，5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y ＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0，2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2．9．设全集I ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2，3，a 2＋2a －3}＝{2，5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a ＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3．(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得矛盾．综上，a的取值范围是a≤－3．11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；(3)求集合M＝{a∈R|A≠∅}．解：(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应(2)当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有要使方程有实数根，。

集合知识点及题型归纳总结(含答案)

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系（1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =．（3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅．（2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=．（3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂．分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃．（5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征(精练)(解析版)

0 是集合0,1 的一个元素 0 0,1 ，则④正确
本题正确选项： D
3（2023·四川绵阳）已知集合 A {2, 1, 0,1, 2, 3} ， B x A x A ，则 B （）
A．{1, 2}
B．{2, 1}
C． {0, 3}
D． {3}
【答案】D
【解析】∵ A {2, 1, 0,1, 2, 3} ，即集合 B 的可能元素 2, 1, 0,1, 2,3，则有：
a
3 2
时，
A
7 2
,
3,12，符合，
故由
a
的值构成的集已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝{2}时，集合 B
＝（）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
【答案】D
【解析】由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x 即 x2 p 1 x q 0 有且只有一个实数解 x 2 ,
由 0 A ，则 0 0 A ，可得 0 B ；由 1 A ，且1 A ，可得 1 B ，且1 B ；由 2 A ，且 2 A ，可得 2 B ，且 2 B ；由 3 A，且 3 A ，可得 3 B ；
综上所述： B 3 .
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（）
D．5
【答案】A
【解析】 0 是自然数，故 0 N ，（1）正确；
π 是无理数，故 π Q ，（2）错误；
由 3、4、5、5、6 构成的集合为3，4，5，6 有 4 个元素，故（3）错误；
数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点集是无限集，（4）错误；

2024年新高一数学初升高衔接《集合的概念》含答案解析

第01讲集合的概念模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过实例了解集合的含义；2．理解集合中元素的特征；3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用.知识点 1 集合的含义1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…表示．2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C ，…表示．3、对集合概念的理解：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．知识点 2 元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，读作a 属于A ．（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A ，读作a 不属于A ．【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合．例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。

必修一专题讲解之《集合》(辅导必备)

《集合》专题复习【考点定位】对集合的考查主要有两种形式：一是直接考查集合的概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用。

从涉及的知识上讲，常与映射、函数、方程、不等式等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势。

一、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征：确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集（集合中元素只有有限个），无限集（集合中的元素是无限多个的）；②按元素特征分：数集（集合是由实数作为元素组成的），点集（集合是由点[坐标]作为元素组成的）。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线上面的所有点组成的集合；③常见数集分类：无理数：无限不循环的小数实数(R) 分数正整数（N+或N*）有理数（Q）自然数（N）整数（Z）0负整数（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法:2、两类关系：（1）元素与集合的关系（2）集合与集合的关系①包含：A⊆B，读作A含于B（B包含A）, 称A是B的子集；②真包含：A≠⊂B，读作A真含于B(B真包含A)，称A是B的真子集；○3相等：A=B，A等于B;3、特殊集合——空集：不含任何元素的集合。

符号：∅。

注意：0，∅，{0}之间的区别。

4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能，此时应分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏。

二、集合的运算1、交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}；A∪B={x|x∈A，或x∈B}；C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集。

补集是相对全集而言，离开全集谈补集没有意义。

2、运算律:①交运算：A ∩A= A ，A ∩∅=∅，A ∩B= B ∩A, 若A ∩B=A ，则A ⊆B ；②并运算：A ∪A= A ，A ∪∅= A ，A ∪B= B ∪A ，若A ∪B=B ，则A ⊆B ；○3补运算：C U U=∅， C U ∅=U ，C U （C U A ）=A ； ○4混合运算：A ∩C U A=∅，A ∪C U A =A ， A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ），A ∪（B ∩C ）=（A ∪B ）∩（A ∪C ），C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ），C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）。

高考数学命题热点名师解密：专题(01)集合的解题技巧(理)(Word版,含答案)

专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题；6．子集中忽视空集问题；7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题；9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。

二．知识点【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集．(2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B.如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ； (3)A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；(4)∁U (A ∩B )＝∁U A ∪∁U B ，∁U (A ∪B )＝∁U A ∩∁U B ，A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A ； (5)A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B . 三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系例1. 已知{0,1}M =,则 A.M N ∈ B.N M ∈ C.N M ⊆ D.M N ⊆【答案】A 【解析】{0,1}M =，M N ∴∈练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可．【解析】由A 中y=log 2（x+1），得到x+1＞0，即x ＞-1，∴A=（-1，+∞），由B 中不等式变形得：（x ﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A∩B=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为A．B．C．D．【答案】D【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．（二）集合中元素重复陷阱例2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A．B．C．D．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B =，求20152016a b ＋.【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解析】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．（三）隐含条件陷阱例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】A【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合，，若，求实数a 的取值范围；若，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。

专题1.1 集合(解析版)

专题1.1集合一、集合的概念和表示【思维导图】【考点总结】一、集合的含义1、元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2、元素与集合的关系3(1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A＝{a1，a2，a3，…，a n}．(2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．二、集合间的基本关系【思维导图】【考点总结】一、子集的相关概念(1)Venn 图①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法．②适用范围：元素个数较少的集合．③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．(2)子集、真子集、集合相等的概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )②集合相等如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .③真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集AB (或BA )④空集定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为：∅.规定：空集是任何集合的子集．二、集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，①若A ⊆B ，且B ⊆C ，则A ⊆C ；②若AB 且BC ，则AC .③若A B 且A ≠B ，则AB .三、集合的基本运算【思维导图】【考点总结】一、并集、交集1、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．2、交集(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：如图所示．二、补集及综合应用补集的概念(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U .(2)补集文字语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言【常用结论】1．三种集合运用的性质(1)并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(2)交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A B 且BC ，则AC .(4)含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．1．若全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2},{2,3,4}A B ==，则()UA B =ð（）A ．{0,1}B ．{1,2,3}C ．{0}D ．{0,1,2,5}【答案】D【解析】由题得{0,1,5}U B =ð，又{0,1,2}A =，所以(){0,1,2,5}=UA B ð.故选：D.2．设13{|}{|}34M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，都是{|01}x x ≤≤的子集，如果b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的长度，则集合M N ⋂的长度的最小值是（）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D【解析】由题意1013m m ≤≤+≤，即203m ≤≤，3014n n ≤-≤≤，即314n ≤≤，由于M 的长度是13，N 的长度是34，13133412+=，13111212-=，所以M N ⋂长度不小于112．则首先有01m n =⎧⎨=⎩或113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，当01m n =⎧⎨=⎩时，11{|}43MN x x =≤≤，M N ⋂的长度为1113412-=，当113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，23,34m n ==，则23{|}34MN x x =≤≤，M N ⋂的长度是3214312-=．故选：D ．3．已知集合{P =正奇数}和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，，，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法【答案】C【解析】若3,1a b ==，则4a b +=P ∉，2a b P -=∉，13b P a =∉，因此排除ABD ．故选：C ．4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）0是自然数；（3）{}123，，是不大于3的自然数组成的集合；（4）N,N a b ∈∈，则a b +不小于2．其中正确的命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】对于（1），集合N 中最小的数是0，故错误，对于（2），0是自然数，故正确，对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，对于（4），当1,0a b ==，则2a b +<，故错误，故选：A5．已知集合|,Z 44k M x x k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,Z 84k N x x k ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．∅B ．MC ．ND ．Z【答案】B【解析】由题意，()21|Z 8k M x x k π⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，()2,Z 8k N x x k π⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为()()21,Z k k +∈表示所有偶数，()2Z k k -∈能表示所有整数，故M N M⋂=故选：B6．以实数x x x -，，）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：当0x >时，||0,0x x x =>=-<，此时集合中共有2个元素；当0x =时，||0x x x =-==，此时集合中共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合中共有2个元素；综上所述，以实数x x x -，，2个元素.故选：C.7．已知集合(){}10A x x x =-=，{}21B x x ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0C ．{}1,1-D ．{}1【答案】A由已知得{}0,1A =，{}1,1B =-，则{}1,0,1A B =-U .故选：A.8．设集合{}2,M x x n n ==∈Z ，{}21,N x x n n ==+∈Z ，{}4,P x x n n ==∈Z ，则（）A ．M P ÜB ．P MÜC ．N P ⋂≠∅D ．MN ≠∅【答案】B【解析】因为{}2M x x n n ==∈Z ，，{}21N x x n n ==+∈Z ，，{}4P x x n n ==∈Z ，，所以M P P M N P MN ≠=∅=∅，，，Ü.故选：B9．已知集合11{|,N}{|,N}623n M x x m m N x x n ==+∈==-∈，，则,M N 的关系为（）A ．M N =B ．N M ÖC ．M N ÜD ．N M⊆【答案】C【解析】解：因为321{|,N}6m M x x m ⋅+==∈，32311{|,N}66n n N x x n --+===∈，所以M N Ü.故选：C ．10．集合{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S z z m m ==+∈之间的关系是（）A ．S 真包含于P 真包含于MB ．S P =真包含于MC ．S 真包含于P M =D ．M P =真包含于S【答案】C【解析】解：{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S y y m m ==+∈，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16M ∴=⋯---⋯，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16P =⋯---⋯，{}1,7,13,19,25,S =⋯⋯，S ∴真包含于P M =，故选：C ．11．已知6{N |N}6M x x=∈∈-，则集合M 的子集的个数是（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】解：因为6N 6x∈-，所以61,2,3,6x -=，又N x ∈，所以0,3,4,5x =，所以集合{}0,3,4,5M =，所以集合M 的子集个数为4216=个．故选：B ．12．设,A B 是两个集合，有下列四个结论：①若A B Ø，则对任意x A ∈，有x B ∉；②若A B Ø，则集合A 中的元素个数多于集合B 中的元素个数；③若A B Ø，则B A Ø；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉．其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】解：对于①，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，故①错误；②若A B Ø，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3,5,6A B ==，故②错误；③若B A Ü，则A B Ø，但B A Ø不成立，故③错误；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉，故④正确．所以正确结论的个数为1个，故选：D.13．设全集{}2,1,1,2U =--，集合{}1,2A =-，{}2320B x x x =-+=，则()U B A =ð（）A ．{}1B ．{}2-C ．{}2,1-D ．∅【答案】B 【解析】{}{}23201,2B x x x =-+==，集合{}1,2A =-，所以{}1,1,2A B ⋃=-，全集{}2,1,1,2U =--，(){}2U A B =-ð．故选：B14．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()UA B =ð（）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}3,5C ．{}2,4D ．{}2,3,4,5,6【答案】C【解析】由题意，{}U 2,4,6B =ð，故(){}U2,4A B =ð故选：C15．以下六个写法中：①{}{}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}0∅∈；④{}{}0,1,22,0,1=；⑤0∈∅；正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．16．已知集合(][),23,A =-∞-+∞，则()R Z=A ð（）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【解析】因为(][),23,A =-∞-+∞，所以()R =2,3A -ð，所以()(){}R Z 2,3Z 1,0,1,2A =-=-ð.故选：B.17．集合{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：∵{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，∴{}0,1,2,3B =，则{}0,1,2A B =，{}0,1,2,3,4,8A B =，选项A 中阴影部分表示的集合为A B ，即{}0,1,2，故A 错误；选项B 中阴影部分表示的集合由属于A 但不属于B 的元素构成，即{}R 4,8A B =ð，故B 正确；选项C 中阴影部分表示的集合由属于B 但不属于A 的元素构成，即{}R 3B A =ð，有1个元素，故C 错误；选项D 中阴影部分表示的集合由属于A B 但不属于A B 的元素构成，即{}3,4,8，故D 错误．18．如图，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，则Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{-5，0，3}B ．{-5，1，3}C ．{0，3}D ．{1，3}【答案】A 因为集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，Venn 图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5，0，3}．故选：A.19．设全集{}*5U x N x =∈≤，集合{}1,2M =，{}2,3,4N =，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{}2B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}2,3,4【答案】B 【解析】解：由Venn 图中阴影部分可知对应集合为N ()UM ð全集*{|5}{1U x N x =∈≤=，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{2N =，3，4}，U M ð={}3,4,5，N ()UM ð={}3,4．故选：B ．20．设全集U =R ，集合{}2A x x =>，{}06B x x =<≤，则集合()U A B =ð（）A ．{}02x x <<B ．{}02x x ≤<C ．{}02x x <≤D ．{}02x x ≤≤【解析】【分析】{}2A x x =>,{}2U A x x ∴=≤ð,而{}06B x x =<≤(){}02U A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：C.。

高中数学知识点精讲精析集合的含义及其表达

1.1 集合的含义及其表达1·1·1 集合的概念与性质1.集合的概念一般地，一定范围内某些确定的.不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素.解读：要判断一些对象能否构成一个集合，主要看这些对象是否是确定的.集合常用大写字母A.B.M.N……标记,一些常用的数集及其记法：自然数集：N；正整数集：N+；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R；2.集合中元素的性质(1)确定性设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.例如:"我国的小河流",由于"小"这个标准不能确定,所以不能构成集合.(2)互异性"集合中的元素必须是互异的",就是说:"对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的".(3)无序性集合与其中元素的排列顺序无关,如集合{a,b,c}与{b,c,a}是同一集合.3.元素与集合的关系：若a在集合中，就说a属于集合A，记作a∈A；若a不在集合A中，就说a不属于集合A，记作a A.4.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：不含任何元素的集合，用符号φ表示.5.集合相等两个集合所含的元素完全相同,则称两个集合相等.解读:与集合相等相关的问题主要是利用集合相等确定集合中的元素,此时集合元素的互异性成为被关注的焦点.[例1] 下列不能形成集合的是（）A.你现在的家庭成员；B.本单位已退休人员；C.老年人；D.本班的学生分析:因为集合一旦形成，那么对任何一个对象而言，它要么属于这个集合，要么不属于这个集合.但是，如何判断一个人是不是老年人尚无统一标准，所以不能形成集合.答:C.[例2] 考察下列每组对象哪几组能够成集合？（）（1）比较小的数；（2）不大于10的非负偶数；（3）所有三角形；（4）高个子男生；A ．（1）（4） B.（2）（3） C.（2） D.（3）分析：集合中的元素具有确定性，（1），（4）中元素不具有确定性，不能构成集合，故选B.[例3] 若集合中有且仅有一个元素.求实数的值. 解:（1）（2）∴[例4]. 已知集合，若，求a. 解:根据集合元素的确定性，得：若a ＋2＝1，得:，但此时，不符合集合元素的互异性.若，得：.但时，，不符合集合元素的互异性.若得：a=-1或-2. ，都不符合集合元素的互异性. 综上可得，a ＝ 0.1·1·2 集合的表示法集合的表示方法主要有以下三种：（1）列举法：将集合中的元素一一列出来（在列举时不考虑元素的顺序），并且写在大括号内的一种表示集合的方法.（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性的一种表示集合的方法，格式为{x ∈A| P （x ）}.（3）图示法：用平面区域来表示集合之间关系的方法，所用图叫文氏图.如图，解读：1.列举法指把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，由方程 x 2-1=0 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}.注意（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，}044|{2=++=x kx x A k 0=k }1{-=A 0≠k 01616=-=∆k 1=k }0,1{∈k }33,)1(,2{22++++=a a a a A A ∈1∴∈A 1 133,11,1222=++=+=+a a a a 或）或（1-=a 21332+==++a a a 1)1(2=+a 2-,0或=a 2-=a 22)1(133+==++a a a ,1332=++a a 1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.2.描述法指用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法.格式为{x ∈A| P （x ）} 含义是在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合. 例如，不等式 x-3>2 的解集可以表示为：{x ∈R|x-3>2} 或{x|x-3>2}所有直角三角形的集合可以表示为：{x| x 是直角三角形} .注意（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分.如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}总之，集合的三种表示方法，各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析.[例1]. 用列举法表示下列集合：（1）（2）（3）解：（1）{-2，2} （2）{1}（3）{（3，-2），（-2，3）}[例2] S 是满足下列两个条件的实数组成的集合 ① ② 若，则（1）若，试写出S 的其它必有元素；（2）若，求证；（3）S 是否会为单元素集.解析：（1） ∴ ∴ ∴∴必在S 内（2） ∴（3）若S 中仅有一个元素 }04|{2=-∈x R x },01|{3R x x x ∈=-}61|),{(⎩⎨⎧-==+xy y x y x S ∉1S a ∈Sa ∈-11S ∈2S a ∈S a ∈-11S ∈2S ∈-=-1211S ∈=+21111S ∈=-221121,1-S a ∈S a ∈-⇒11S a a a a ∈-=---=--111111111∴∴ 无解 ∴ S 不可能仅有一个元素. a a -=11012=+-a a a。

1.1集合的概念(精讲)(解析版)【精讲精练】2022-2023学年高一数学上

1.1集合的概念（精练）A 夯实基础B 能力提升C 综合素养A 夯实基础一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C解：“book ”中的字母构成的集合为{},,b o k ，有3 个元素，故选：C2．（2022·天津河北·高一期末）下列关系中正确的个数是（）①12Q ∈ 2R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A1220不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确．故选：A ．3．（2022·全国·高一课时练习）集合{|23}A x Z x =∈-<<的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D∵集合A={x ∈Z|﹣2＜x ＜3}={-1,0，1，2}， ∴集合A 中元素的个数是4．故选D ．4．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））设集合{}22,1,2A a a a =--+，若4A ∈，则=a （） A ．3-或1-或2 B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或2【答案】C当14a -=时，3a =-，符合题意；当224a a -+=时，2a =或1a =-. 当2a =时，符合题意；当1a =-时，12a -=，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去. 故3a =-或2a =.故选：C5．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设集合{}|31A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是（） A ．25m << B ．25m ≤< C ．25<≤m D ．25m ≤≤【答案】C因为集合{|31}A x x m =-<，而1A ∈且2A ∉， 311m ∴⨯-<且321m ⨯-≥，解得25<≤m ．故选：C ．6．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一开学考试）已知集合{}254,A yy x x x R ==-+-∈∣，则有（） A ．1A ∈且4A ∈ B ．1A ∈但4A ∉ C ．1A ∉但4A ∈ D ．1A ∉且4A ∉【答案】B由2259954244y x x x ⎛⎫=-+-=--+⎪⎝⎭，即集合9{|}4A y y =≤ 则1A ∈，4A ∉. 故选：B7．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知集合20,6x A xx Z x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬-⎩⎭，则集合A 中元素个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 由206x x -≥-得206x x -≤-，解得26x ≤<，所以{}{}20,26,2,3,4,56x A xx Z x x x Z x ⎧⎫-=≥∈=≤<∈=⎨⎬-⎩⎭. 故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（） A ．0 B ．0或2-C ．0或2D ．2【答案】C若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点， ∴2480a a =-=△，∴0a =或2. 故选：C 二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（） A ．{}{}11x x y y x y +==+= B ．(){}{},22x y x y x x y +==+= C ．{}{}22x x y y >=> D ．{}{}1,22,1=【答案】ACD解：方程1x y +=中x 的取值范围为R ，所以{}1R x x y +==，同理{}1R y x y +==，所以A 正确；(){},2x y x y +=表示直线2x y +=上点的集合，而{}2R x x y +==，所以(){}{},22x y x y x x y +=≠+=，所以B 错误；集合{}2x x >，{}2y y >都表示大于2的实数构成的集合，所以C 正确；由于集合的元素具有无序性，所以{}{}1,22,1=，所以D 正确．故选：ACD ．10．（2022·重庆八中高二阶段练习）集合201x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成（） A ．()(){}210x x x -+< B ．102x xx ⎧⎫+<⎨⎬-⎩⎭ C ．{1x x <-或}2x > D ．{|12}x x -<<【答案】ABD 对于集合A ，解不等式201x x -<+，即()()21010x x x ⎧-+<⎨+≠⎩，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<. 对于A 选项，()(){}{}21012x x x x x -+<=-<<，故A 正确；对于B 选项，解不等式102x x +<-，即()()12020x x x ⎧+-<⎨-≠⎩，得12x -<<，即{}10122x xx x x ⎧⎫+<=-<<⎨⎬-⎩⎭，故B 正确；对于C 选项，与集合{}12A x x =-<<比较显然错误，故C 错误；对于D 选项，{|12}x x -<<等价于{}12x x -<<，故D 正确. 故选：ABD三、填空题11．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知集合{}0,1,2A =，则集合{}3,B b b a a A ==∈=______．（用列举法表示）【答案】{0,3,6}因{}0,1,2A =，而{}3,B b b a a A ==∈，所以{0,3,6}B =. 故答案为：{0,3,6}12．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________．【答案】{}0,1##{}1,0①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意； ②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1. 四、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）设集合{}22,3,42A a a =++，集合{}20,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且7A ∈，求集合B ．【答案】B ＝{0，7，3，1}．解：由题得2427a a ++=，解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．14．（2022·全国·高一专题练习）已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20212022a b +的值．【答案】1-因为A B =，集合B 中有一元素为0，0a =显然不成立，故只能0b =，此时{},0,1A a =，{}2,,0B a a =，故满足221a a a ⎧=⎨≠⎩，解得1a =-，经检验{}1,0,1A B ==-，故()2021202120222022101a b +=-+=-.B 能力提升1．（2022·江西省丰城中学模拟预测（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【答案】C{}24[2,2]A x x =≤=-，{}*1B x x N x A =∈-∈且， {1,2,3}B ∴=,故选：C2．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合{}2022A x N x =∈≤，实数a 满足{}2431221aa a -+=，则下列结论正确的是（） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉【答案】D 解：因为2431221aa -+=，所以23120a a -+=，解得23a =因为{}2022A x N x =∈≤，所以a A ∉.所以{}a A ⊆，a A ⊆，{}a A ∈均为错误表述. 故选：D3．（2022·全国·高一专题练习）若集合(){}21420A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数a 的值是____．【答案】±1因为集合(){}21420A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，所以集合A 有1个元素.当a =1时，{}1|4202A x x ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，符合题意；当a ≠1时，要使集合A 只有一个元素，只需()()244120a ∆=--⨯-=，解得：1a =-；综上所述：实数a 的值是1或-1. 故答案为：±1.4．（2021·安徽芜湖·高一期中）函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4,[2.1]2-=-=．若集合{}[][2],01A y y x x x ==+≤≤，则A 中所有元素之和为___________．【答案】4 解：①当102x ≤<时， [)20,1x ∈，∴ [][]20x x ==，[x ]+[2x ]=0 ；②当112x ≤<时，[)21,2x ∈ ，[][]021,x x ∴==，[][]21x x ∴+=； ③当1x =时，[]1x =，[]22x =，[][]23x x ∴+=，{}0,1,3A ∴=，则A 中所有元素的和为0134++=. 故答案为：4.5．（2022·上海·高三专题练习）设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A中所有元素的和．【答案】答案见解析当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>，方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根，由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+，即A 中所有元素之和为2b --，6．（2022·全国·高一专题练习）数集M 满足条件：若a M ∈，则()11,01aM a a a+∈≠±≠-. （1）若3M ∈，求集合M 中一定存在的元素；（2）集合M 内的元素能否只有一个？请说明理由；（3）请写出集合M 中的元素个数的所有可能值，并说明理由. 【答案】（1）113,2,,32--；（2）不能，理由见解析；（3）见解析.（1）由3M ∈，令3a =，则由题意关系式可得：13213M +=-∈-，121123M -=-∈+，11131213M -=∈+，而1123112M +=∈-，所以集合M 中一定存在的元素有：113,2,,32--. （2）不，理由如下：假设M 中只有一个元素a ，则由11aa a+=-，化简得21a =-，无解，所以M 中不可能只有一个元素.（3）M 中的元素个数为()4n n N +∈，理由如下：由已知条件a M ∈，则()11,01aM a a a+∈≠±≠-，以此类推可得集合M 中可能出现4个元素分别为：11,,11,1a a a a a a -+--+，由(2)得11a a a+≠-，若1a a =-，化简得21a =-，无解，故1a a≠-；若11a a a -=+，化简得21a =-，无解，故11a a a -≠+；若111a a a =--+，化简得21a =-，无解，故111a a a ≠--+；若1111a a a a +-=-+，化简得21a =-，无解，故1111a a a a +-≠-+；若111a a a --=+，化简得21a =-，无解，故111a a a --≠+；综上可得：11111a a a a a a -≠+-≠≠-+，所以集合M 一定存在的元素有11,,11,1a a a a a a -+--+，当a 取不同的值时，集合M 中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M 中元素的个数为()4n n N +∈.C 综合素养1．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}{}{}|2,,|21,,|41,P x x k k Z Q x x k k Z M x x k k Z ==∈==+∈==+∈，且,aP b Q ，则（） A ．a bPB ．a b QC ．ab MD ．a b +不属于,,P Q M 中的任意一个【答案】B11,2,.a P a k k Z ∈∴=∈ 22,21,.b Q b k k Z ∈∴=+∈122()121a b k k k Q ∴+=++=+∈12(,,)k k k Z ∈.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习（理））用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =，故选：D ．3．（2022·江苏·高一）定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（） A ．0 B ．2 C ．3 D ．6【答案】D根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B 中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B ，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D ．4．（多选）（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}3,,A x x m n m n Z ==∈，则下列说法中正确的是（） A ．0A ∈但2(13)A -∉B ．若1112223,3x m n x m n ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x x A ±∈C ．若1112223,3x m n x m n ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x x A ⋅∈D ．若1112223,3x m n x m n ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x A x ∈ 【答案】BC(2123133-=-13m =，4n =-，所以2(13)A -∈，A 错误；()())1211221212333x x m n m n m m n n ==±±±±，其中12m Z m ±∈，12n Z n ±∈，故12x x A ±∈，B 正确；()()(212112212122113333x x m n m n m m n n m n m n +++⋅=⋅=12123m m n n Z +∈，2121m n m n Z +∈，故12x x A ⋅∈，C 正确；因为0A ∈，若22230x m n ==，此时12x x 无意义，故12x A x ∉，D 错误.故选：BC5．（2022·全国·高三专题练习）{}1|22,3,n n n x x x A m m N +=<<=∈，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______．【答案】 11 682 【详解】当5n =时，56232m <<，故326433m <<，即1121m ≤≤，511A =，由于2n不能整除3，且112268233=，故从12到112，3的倍数共有682个，12310...682A A A A ++++=.故答案为：11，682.。

专题1.1集合(解析版)

专题1.1集合集合是高考必考内容.命题特点是，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素（不等式的解、函数的定义域或值域），进一步进行交、并、补等运算．常见选择题，属容易题.1.元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法．（4）常见数集及其符号表示2.集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为或．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3.集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示A B ⊆B A ⊇A B ⊆（2）三种运算的常见性质，，，，，．，，．，，，．【典例1】（全国高考真题（文））已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】由已知得A ∩B 中的元素均为偶数，∴n 应为取偶数，故A ∩B ={8,14} ，故选D. 【易错提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．【典例2】（2019·山东济南市历城第二中学月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________. 【答案】0,2,2- 【解析】{}{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=；当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-；A A A =I A ∅=∅I AB B A =I I A A A =U A A ∅=U A B B A =U U (C A)A U U C =U C U =∅U C U ∅=A B A A B =⇔⊆I A B A B A =⇔⊆U ()U U U C A B C A C B =U I ()U U U C A B C A C B =I U因为方程4kx =最多有一个实数根,故{}2,2B =-不可能成立. 故答案为：0,2,2- 【释疑解惑】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.【典例4】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（） A.（–1，1） B.（1，2） C.（–1，+∞） D.（1，+∞）【答案】C 【解析】∵A ={x|−1<x <2},B ={x|>1} ， ∴A ∪B =(1,+∞) ，故选C.【典例5】（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【典例6】（2015·湖北高考真题（理））已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}，定义集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】因为集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．3.解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用． (3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．1.集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（）．M B.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【答案】D 【解析】由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<，1>M ；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉；由π212-<-<，故π2M -∈．故选D ．2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （） A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q , {}3,5A B ∴⋂=,故选C3．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =I （） A ．{0} B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C.4．（2019·全国高三月考（理））集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（） A.1 B.2C.4D.8【答案】C 【解析】因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C.5.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ð（） A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22U A x x =-≤≤ð，故选：C ． 6．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，Z 为整数集，则集合A I Z 中的元素的个数是（） A.4 B.5C.6D.7【答案】C 【解析】39{|}{1,0,1,2,3,4}22A Z x x Z ⋂=-≤≤⋂=-，共6个元素.故选：C.7.（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知全集{1,2,3,4}U =，{1,3}A =，{,3}C 2U B =，则A B =I （） A ．{1} B ．{3}C ．{4}D ．{1,3,4}【答案】A 【解析】因为{1,2,3,4}U =,{,3}C 2U B = 所以由补集定义与运算可得{1,4}B = 又因为{1,3}A =根据交集运算可得{1,3}14{}}{1,A B ==I I 故选:A8.（2020届浙江省杭州地区（含周边)重点中学高三上期中）已知全集U =R ，{|11}M x x =-<<，{|0}N y y =<，则U ()M N =I ð（）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．(0,1)D ．[0,1)【答案】D 【解析】因为{|0}N y y =<，所以U {|0}N y y =≥ð 所以U (){|01}M N x x =≤<I ð 故选：D9.（全国高考真题（理））已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（）A.0B.0或3C.1D.1或3【答案】B 【解析】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.10.（上海高考真题）设常数a∈R，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为（） A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【答案】B 【解析】当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.11.已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有32114211m m m m -≤-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．12.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____. 【答案】{1,6}. 【解析】由题知，{1,6}A B ⋂=.13.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．14．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________．【答案】7 【解析】用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个．故答案为：7.15．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B 锨，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________. 【答案】{|35x x <<或2}x ? 【解析】如图所示：{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，因为{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，所以{}352A B x x x ⨯=<<≤-或. 故答案为：{}352x x x <<≤-或.16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个．【答案】13 【解析】由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：①只有一个元素,即{}1,{}2,{}3,{}4,{}5,符合题意；②有2个元素,则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,3,4,{}1,4,5,{}2,3,5,{}2,4,5, ④有4个元素时,有{}1,2,3,5,{}1,3,4,5,综上,共13个. 故答案为：13。

第01讲集合(讲)解析版

第01讲集合【学科素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算【课标解读】1.学会用集合的语言简洁、准确地表述数学的研究对象．2.学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验．3.会用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理．4.体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性．5.学会通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式．6.会用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式．7.理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性.【备考策略】1.熟练掌握集合的基本运算，以及相关不等式的解法．2.重视基础知识的复习，熟悉在不同知识背景下对充分必要条件的判定．3.注意对利用基本不等式求最值方法的总结和归纳．【核心知识】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∈表示．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B或B A3.集合的基本运算【特别提醒】 1．集合子集的个数对于有限集合A ，其元素个数为n ，则集合A 的子集个数为2n ，真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.2．集合的运算性质(1)并集的性质：A ∈∈＝A ；A ∈A ＝A ；A ∈B ＝B ∈A ；A ∈B ＝A ∈B ∈A . (2)交集的性质：A ∩∈＝∈；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ∈A ∈B . (3)补集的性质：A ∈(∈U A )＝U ；A ∩(∈U A )＝∈；∈U (∈U A )＝A ；∈U (A ∩B )＝(∈U A )∈(∈U B )；∈U (A ∈B )＝(∈U A )∩(∈U B )．【高频考点】高频考点一集合的概念【方法技巧】与集合中的元素有关的问题的求解思路 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．例1.(2020·全国卷∈)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *.由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.【变式探究】(2018·全国卷∈)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为() A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A。