专题1.1 集合(精讲精析篇)(解析版)

专题1.1集合（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 集合的基本概念

元素与集合

（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示

数集 自然数集

正整数集 整数集 有理数集

实数集 符号

N

N *或N ＋

Z

Q

R

【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． 5M B.0M ∉

C.1M ∈

D.π

2

M -

∈ 【答案】D 【解析】

由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<，

由51>，故5M ∉；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉； 由π212-<-<，故π

2

M -∈． 故选D ．

【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合

中的

元素个数为( ) A ．5 B ．4

C ．3

D ．2

【答案】D 【解析】 由已知得中的元素均为偶数，

应为取偶数，故

，故选D.

【特别提醒】

1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．

2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

热门考点02 集合间的基本关系

集合间的基本关系

（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．

（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．

（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．

（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2010·陕西省高考真题（理））已知全集

，集合2

{|320}A x x x =-+=，

{|2}B x x a a A ==∈，，则集合

()U

A B 中元素的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】

化简{}1,2A =，{}{}2,41,2,4B A B =⇒⋃=，

{}()3,5U

A B ⋃=,

集合

()U

A B 中元素的个数为2个，

故选B ．

【例4】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{

}

2

4,A x x x R ==∈,集合{}

4,B x kx x R ==∈,若

B A ⊆,则实数k =_________.

【答案】0,2,2- 【解析】

{}

{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.

当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；

当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=； 当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-； 因为方程4kx =最多有一个实数根,故2,2B 不可能成立.

故答案为：0,2,2- 【特别提醒】

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．

(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

热门考点03 集合的基本运算

（1）三种基本运算的概念及表示

交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合 A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }

并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合 A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }

补集

由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合

∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }

（2）三种运算的常见性质

A A A =， A ∅=∅ ， A

B B

A = ， A A A =， A A ∅=， A

B B A =．

(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．

A B A A B =⇔⊆， A B A B A =⇔⊆， ()U U U C A B C A C B =， ()U U U C A B C A C B =． 【典例5】（2018·全国高考真题（理））已知集合{

}

2

20A x x x =-->，则A =R

A ．{}

12x x -<< B ．{}

12x x -≤≤

C ．}{

}

{

|12x x x x <-⋃ D ．}{}{

|1|2x x x x ≤-⋃≥

【答案】B 【解析】

解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}

|12A x x x =<->或，

所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.

【典例6】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–11}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1） B.（1，2）

C.（–1，+∞）

D.（1，+∞）

【答案】C 【解析】 ∵ ，

∴ ，

故选C.