三角函数的求值、化简与证明(教案)

三角函数的求值、化简与证明

教学目标

1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正

确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；

2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。

教学重点

掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 教学难点

能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值

教学过程

一、知识归纳

1、两角和与差公式：

()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()t a n t a n t a n 1t a n t a n

αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22t a n t a n 21t a n αα

α=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-

公式变形：1sin cos sin 22

ααα=

21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求：

①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值

④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数

4、求值问题的基本类型及方法：

(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的

关系。

（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键

在于变角，使其角相同。

（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。

5、证明三角恒等式的思路和方法：

①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。

②证明三角不等式的方法：

比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用

单位圆三角函数线及判别法等。

二、典例分析：

题型一：三角函数式的化简

例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22

αβαβαβ∙+∙-∙ 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。

解略。

演练反馈：

144x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

解：原式=12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭

2．（全国卷2）22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα

∙=+ （ B ） A.tan α B.tan 2α C.1 D. 12

题型二：三角函数式的求值

例250(13tan10)cos 20)

cos801cos 20+--（金版教程例2 p144）

解：原式 例3：已知3sin 5

α=

，α是第二象限角，且tan()1αβ+=，则tan β的值是（ ） A.-7 B.7 C.34- D. 34 演练反馈：

1．tan15cot15+=（ C ）

A.2

B.2

C.4

D.

2.

cot 20cos103sin10tan702cos40∙+∙-=2

3.y=44cos sin x x -的最小正周期（π ）

3.已知sin 2cos 2+=a,则cos 4=（4a ）

4.已知223sin cos 222

A B A B +-+=，（c o s c o s 0A B ∙≠）求tan tan A B ∙ 的值。 解：12

5．设1cos()29βα-

=-，2sin()23αβ-=,且2παπ<<，02πβ<<，求 c o s ()αβ+ 解：239729- 6.已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1,A B A B =++则

cos()A B +=（2

-）。

7．若sin A B ==，且A,B 均为钝角，求A+B 的值。

解：A+B= 74

π 8.已知cos()0,tan 0,2

θθπ-<>则下列不等式关系式中必定成立的是：（ c ） A 、tan cos 22θθ< B 、tan cos 22θθ> C 、sin cos 22θθ< D 、sin cos 22

θθ< 9、A 、B 、C 是ΔABC 的三个内角，且tan ,tan A B 是方程23510x x -+=的两个实数根，

则ΔABC 是（ 钝角三角形 ）

题型三：三角函数式的证明

例4：证明

1cos sin sin 1cos x x x x

-=+ 证明略

演练反馈： 求证: 1cos cos

sin 21cos sin sin 2

x x x x x x ++=-+ 三、小结

1.三角函数的化简、求值、证明的基本思路是：一角二名三结构，即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；再次观察代数式的结构特点.

2.(1)三角函数的化简、求值、证明的基本解题规律：观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.

(2)三角函数求值问题一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解.在解题中，特殊角的三角函数值一般情况下可先求出，同时要注意观察各角之间的和、差是否构成特殊角，以便化繁为简，从而使求值(或证明)问题化难为易.

3.常见三角函数式的求值问题的四种类型：

(1)不含特殊角的三角函数式的求值；

(2)含特殊角的三角函数式的求值；

(3)给出某些角的三角函数的值，求与该角有关的三角函数式的值；

(4)给出三角函数式的值求角.

解法：(1)发现、挖掘角的某种特殊关系；(2)灵活运用三角公式中切与弦、和与差、倍与半、升幂与降次的转换方法；(3)关键在于“变角”(角的配凑)；(4)先解所求角的三角函数，再确定角的取值.