数学归纳法在高中数学中应用

数学归纳法在高中数学中的应用-中学数学论文

数学归纳法在高中数学中的应用

冯宁

（东莞市玉兰中学，广东东莞523413）

摘要：《全日制高中数学课程标准》指出在培养学生演绎推理能力的同时要重视合情推理能力的培养，与之对应的是归纳、猜想的思想和数学归纳的方法。数学归纳法是高中阶段一种重要的数学方法，它可用来解答或证明数列、函数、恒等式、不等式和几何等方面的问题，培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力。

关键词：数学归纳法；高中数学；合情推理；演绎推理

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-02-0123-01 数学归纳法是高中阶段一种重要的数学方法，它常用来处理数列通项和其它关于自然数N的变化规律问题，以培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力。在实际的教学中，教师对于数学归纳法的讲授和应用多停留在数列相关问题上。其实数学归纳法在中学数学中的应用远不止于此，它还可用来解答或证明恒等式、不等式、整除性和几何等方面的问题。

一、利用数学归纳法处理恒等式问题

例1、证明:C1n+2C2n+…+nCnn=n·2n－1n∈N。

分析:本题可运用二项展开式定理和倒序相加的技巧方法来证明，也可应用数学归纳法来证明。

证明:（1）当n=1时，显然命题成立；

（2）假设当n=k时命题成立，即:C1k+2C2k+…+kCkk=k·2k－1。

则当n=k+1时，C1k+1+2C2k+1+3C3k+1+…+k+1Ck+1k+1=C0k+C1k+2C1k+C2k+3C2k +C3k+…+k+1Ckk=C1k+2C2k+…+kCkk+C0k+2C1k+…+k+1Ckk=k·2k－1+C0k+C1k+…+Ckk+C1k+2C2k+…+kCkk=k·2k－1+2k+k·2k－1

=k+1·2k

即当n=k+1时等式成立。

综上所述，当n∈N时，等式C1n+2C2n+…+nCnn=n·2n－1恒成立。二、利用数学归纳法处理不等式问题

四、数学归纳法解决整除性问题

例4、n是非负整数，求证32n+2+26n+1能被11整除。

证明:（1）n=0时，32+21=11，命题成立；

(2)假设n=k(k≥2,k∈Z+)时，命题成立，即32k+2+26k+1=11A(A∈N)，可得32k+2=11A－26k+1.

那么当n=k+1时，

32(k+1)+2+26(k+1)+1

=32(11A－26k+1)+26(k+1)+1=32·11A－26k(27－2·32)

=11·(9A+10·26)

即，当n=k+1时命题也成立。

综上所述，对于任意非负整数n，都有32n+2+26n+1能被11整除。

对数学问题进行“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，是高中学生应该习得的一种处理问题的思想方法。从解题过程看，数学归纳法的过程自然、质朴，符合学生的顺向思维方式；从数学思想看，数学归纳法更能揭示数学发现发明的探索活动过程，培养辩证思维素质。但学生对于数学归纳法的使用往往只会死记步骤，生搬硬套，而不会具体灵活应用。因此教师有必要对数学归纳法在高中数学中的各个方面应用进行深入探讨，把握规律，方能做到在教学中胸有成竹，成功地引导学生掌握归纳猜想的思想和相应的数学归纳法。