不定积分毕业论文开题报告
开题报告书模板 (66)
4．指导教师审核意见:
指导教师（签字）： 5．学院学术委员会审查意见
年月日
学院学术委员会主任（签字）
学院（签章） 年月日
说明：
1.本报告必须由承担毕业论文（设计）课程任务的学生在正式开始做论文（设计）前 独立撰写完成，交指导教师审阅、学院审查。
2.本报告作为指导教师、学院审查学生能否承担该毕业论文（设计）课题任务的依据， 并随论文（设计）正文一起统一归档。
n→∞ 时的无穷小。因此，我们可以利用无穷小的比较来判断。实际上，级数的收敛 与否，就取决于通项趋于零的速度：公比绝对值小于 1 的等比数.
为检验非协调元的收敛性，1970 年代西方学者 lrons 提出“小片检验”准则，一 直未获证明。
其后，德国数学家 Stummel 指出该准则并非收敛性的充要条件。中国学者石钟慈 分析了工程计算中一些不满足“小片检验”准则却有收敛效果的实例，从理论上证明 了这些实例在某些场合下确为收敛，否定了“小片检验”的必要性，并给出可获收敛 结果的网格剖分条件。从而扩大了非协调元的使用范围，在理论和实际上均具有重大 意义。
石钟慈还发现并首次从理论上研究了非协调元的一种较普遍存在的奇特的错向收 敛现象。即有限元近似解可收敛到非真解的错误极限。他找到若干这种非协调元，具 体给出其错误极限，证实非协调元的解有时强烈依赖于网格剖分的几何形状。
Stummel 后来提出非协调元收敛的充要条件：广义小片检验。因过于理论化，实践 中不便应用。石钟慈采用了小片检验的某些合理内核，并运用广义小片检验严格的数 学论证方法，提出一种理论上严格、又简便实用的非协调元收敛性的 F—E—M 准则。 运用这一准则可以方便地检验包括未通过小片检验的元在内的大量非协调元。
2．本课题主要研究方法、研究手段和需要重点研究的问题及解决的思路:
孙冰—开题报告
鞍山师范学院数学系12届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：关于含参量反常积分一致收敛性的研究学生姓名：孙冰专业：数学与应用数学班级：08、4学号：32号指导教师：赵艳英2012年2 月15 日论文开题报告论文题目:关于含参量反常积分一致收敛性的研究一、选题意义1.理论意义：含参量反常积分在微积分中占有重要的地位，含参量反常积分不仅是反常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数（特别是非初等函数）的有力工具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础。
一致收敛性以其特有的抽象性让初学者无可是从，难以掌握，也成为数学专业课程数学分析区别于工科课程高等数学的基本要素之一。
讨论含参量反常积分的一致收敛性，对以后的学习和研究有着深远的意义和影响。
2.现实意义：一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的概念，很多重要的结论要有一致收敛的性质作为前提条件。
例如，函数项级数的逐项求导、逐项求积、交换求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一致收敛。
含参量的反常积分对于参数的连续性、可微性都要有含参量反常积分的一致收敛性作为前提。
一般而言，在非数学专业工科的各项课程，特别是高数则回避对一致收敛性的具体讨论。
本文将针对含参量反常积分的一致收敛性问题，分析一致收敛性的一些直观特征，以帮助读者加深对含参量反常积分一致收敛性这一抽象概念的理解与认识。
二、论文综述1．理论的渊源及演进过程含参量反常积分是数学分析中的一个重要分支，人们对含参量反常积分一致收敛性的认识经历了一个漫长的过程.1686年，莱布尼茨发表了一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分问题与微分问题的互逆关系。
到18世纪，欧拉发表了《积分学》，是微积分史上里程碑式的著作，此后很多数学家如狄尼、魏尔斯特拉斯、狄利克莱等人深入研究了一致收敛性问题，进而研究含参量反常积分一致收敛性问题，为此做了不懈努力，取得了一些有成效的成果，对含参量反常积分的发展做出了重要的贡献.2．国外有关研究的综述微积分由在莱布尼茨后者们的推动下蓬勃发展，此后魏尔斯特拉斯、狄利克莱，阿贝尔等人深入研究了一致收敛的问题，提出了魏尔斯特拉斯判别法，狄利克莱判别法，阿贝尔判别法来判断含参量反常积分的一致收敛性。
定积分的应用本科毕业论文开题报告
定积分的应用本科毕业论文开题报告一、选题的性质二、选题的目的和意义选题目的：定积分作为函数的一种特定总和式的极限，是数学知识的重要基础。
通过典型问题，从不同角度，对定积分的特点进行整体把握，探讨定积分在几何学、物理学、以及经济学中的应用，加强对定积分思想的认识，提供用定积分分析解决实际问题的方法。
选题意义：定积分是与应用联系发展起来的，是微积分中的一个重要基本概念，是从实际问题中抽象出来的数学概念，是解决许多实际问题的工具。
在数学方面如求解复杂图形，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中的精确计算成为可能，从而使物理学得到长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用的到积分；把定积分应用到经济管理学中，可以使一些经济现象更明确，使管理更科学化。
三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面研究现状：牛顿，莱布尼茨以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。
定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论和困扰，对于培养人的思维方法，提高分析、解决问题方面有极好的促进作用。
定积分作为微积分的重要组成部分，在几何、物理、经济等方面有着广泛的应用，目前，探究定积分应用的文章非常之多，研究范围也是相当广泛的。
在几何学方面，可以用来计算平面图形面积，立体、旋转体的体积，弧长等；在物理学方面，压力、引力，变力做工，运动轨迹的计算，运动状态分析等也都用到定积分知识；在经济学方面可以用来解决消费过剩，收入流等实际问题。
也正是因为这些应用，推动着积分学的不断发展和完善。
预计创新方面：通过典型例题，从定积分的公式、性质及定积分中值定理出发，来介绍定积分在几何、物理、经济等领域的应用，在前人的基础上对定积分的典型应用进行研究讨论，寻找简单的用定积分解决实际问题的方法。
不定积分毕业论文开题报告
毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。
彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。
去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。
消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。
就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。
有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。
当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。
俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。
火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。
人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。
旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。
几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。
我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。
出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。
那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。
高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。
朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。
那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。
那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。
开题报告 王婷婷
毕业论文开题报告论文题目:《论不定积分与定积分的求解方法及应用》系别：数学系专业：数学与应用数学年级：06.4学号：20姓名：王婷婷导师：李金洋一选题意义（一）理论意义积分包括定积分和不定积分。
它的出现不仅是数学史上也是人类历史上的一个伟大创举.它的产生是由于社会经济的发展和生产技术的进步的需要而促成的,也是自古以来许多数学家长期辛勤发展起来的一连串数学思想的结晶。
因此它在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。
学习定积分和不定积分，要重在提高自已逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想与运算能力及应用能力。
求解定积分和不定积分的过程对于学生的科学思维和文化素质的培养，所起的作用极为明显，随着社会进入信息时代，积分的语言已渗透到各个领域，数学成了语言所能达到的最高境界。
数学与不同学科的结合所形成的新兴学科，都充分体现了量化方法已成为研究经济学、社会科学的重要方法。
掌握了它，会使我们在以后的工作和研究中占有绝对明显的个人优势。
（二）实践意义定积分与不定积分不仅与自然科学有密切关系，几乎所有基础科学都深深依赖着它们，就是社会科学的各个领域中，也与其有着密切关系，例如：（1）社会学家们通过积分计算给出人口增长的精确规律和准确预测（2）可以利用定积分求几何图形的面积、体积等（3）可以利用定积分求位移、速度、功、势能、压力、冲量电量等物理量（4）积分作为数学的一个分支，在经济科学、管理科学中也有着广泛的应用可以说，积分是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的各种问题的重要理论和方法。
二论文综述（一）理论渊源及演进过程从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
三类函数的积分表示、性质及其应用的开题报告
三类函数的积分表示、性质及其应用的开题报告三类函数包括指数函数、对数函数以及三角函数，它们都是高中数学中常见的函数类型，对于每一种函数类型，其积分表示、性质及其应用都有所不同，下面将对三类函数的积分表示、性质及其应用进行详细的介绍。
一、指数函数的积分表示、性质及其应用1. 积分表示指数函数f(x) = e^x的不定积分表示为∫e^xdx = e^x + C，其中C 为常数。
2. 性质(1) e^x在任意区间[a, b]内是连续函数，且具有非负性、单调性、正性和增长性。
(2) e^x的导数仍为e^x，即d/dx（e^x）= e^x。
(3) e^x的反函数为ln x，ln x的导函数为1/x。
3. 应用指数函数在数学、物理、经济学等领域中都有广泛的应用，如金融学中的复利计算、物理学中的指数衰减、化学反应动力学中的速率常数等。
二、对数函数的积分表示、性质及其应用1. 积分表示对数函数f(x) = ln x的不定积分表示为∫(1/x)dx = ln x + C，其中C 为常数。
2. 性质(1) ln x(x > 0)在任意区间[a, b]内是连续函数，且具有单调性、正性、反函数性和增长性。
(2) ln x的导数为1/x，即d/dx（lnx）= 1/x。
(3) ln x的反函数为e^x，e^x的导函数为e^x。
3. 应用对数函数在数学、物理、经济学等领域中也有广泛的应用，如金融学中的折现率计算、物理学中的对数衰减、概率论中的信息熵计算等。
三、三角函数的积分表示、性质及其应用1. 积分表示（1）正弦函数f(x) = sin x的不定积分表示为∫sin x dx = -cos x + C，其中C为常数。
（2）余弦函数f(x) = cos x的不定积分表示为∫cos x dx = sin x + C，其中C为常数。
2. 性质（1）正弦函数和余弦函数在[0,π/2]上是单调递增的，在[π/2,π]上是单调递减的，在[π,3π/2]上是单调递增的，在[3π/2,2π]上是单调递减的。
不定积分的论文
- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（2）班 蓝俊杰 【摘要】 本文简单介绍不定积分的性质，分析常见不定积分各种求解方法：直接积分法（公式法）、第一换元积分法、第二换元积分法（三角代换、倒代换、去根号法）、分部积分法，并且结合实例加以讨论分析，寻找快捷简便的解题方法。
【关键词】 不定积分 换元法 三角代换 倒代换 去根号法 分部积分法不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是学习定积分、广义积分、重积分、曲线积分及各种有关积分函数的基础，因此，掌握不定积分的计算是非常重要的，但是求不定积分没有固定的方法，要根据题型的特点采取不同的方法，同一道题会有不同的解法，是数学分析学习是的一个难点。
本文对不定积分的求解方法进行了总结。
一、不定积分的定义与性质定义1：设()f x ， x I ∈，若存在函数()F x ，使得对任意x I ∈均有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为()f x 的一个原函数。
显然，若f(x)存在原函数，则它的原函数有无穷多个，不同的原函数只相差一个常数。
定义2：()f x 的全部原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()()f x dx F x C =+⎰由[1]，若f(x)在区间I 上连续，则f(x)必定存在原函数。
2.不定积分的运算性质- 2 -[]1.()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰2.()();()()f x dx f x d x dx f x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ 3.'()),()F x dx F x c dF x F x c =+=+⎰⎰（（）二、直接积分法（公式法）利用不定积分运算性质、代数公式、三角函数公式及基本公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）本积分公式如下：10dx c =⎰（）．； 7kdx kx C =+⎰（）；112,11uu x dx x u u +=≠-+⎰（）； 8ln dx x C x=+⎰（）; 3sin cos xdx x c =-+⎰（）；9cos sin dx x c =+⎰（）； 214arctan 1dx x C x =++⎰（）；(10)arcsin ;x C =+ 215tan cos dx x C x =+⎰（）； 21(11)cot ;sin dx x C x=-+⎰ 6x x xe d e C =+⎰（）； 下面具体举例加以讨论：例：2.1.1求不定积分 32(4253)x x x dx -++⎰解：原式=34x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=43x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=.43225332x x x x c -+++注：计算多项式的不定积分时，可用不定积分运算性质［1］[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰进行计算。
开题报告
4、摘要应该是文章主要内容的简述，不要采用提纲的形式。
指导教师签名： 年 月 日
备注：
信阳师范学院本科毕业论文指导教师指导记录
论文题目：正交变换在积分中的应用
学院专业级
阶
段
时间
地点
教师指导情况
1
2010.12.30
布置论文写作任务。召集学生，谈具体写作方法及要求，当务之急是选题、定题，为寒假查阅资料和下学期开题、写作做好充分的准备。同时指导学生制定具体的论文工作计划和方案
该生在答辩过程中，态度端正，思路较清晰，语言较准确流畅，对答辩组成员提出的问题回答基本正确．答辩小组成员一致认为，该同学论文达到本科毕业论文水平，通过答辩．
答辩小组组长签名：年月日
评价项目
评价内容
报告内容
（30分）
答辩情况
（40分）
成果（含作品展示）
（20分）
论文工作量
（10分）
答辩
小组
成员
姓名
性别
合计得分
评议人签名：年月日
信阳师范学院本科毕业论文答辩记录表
问题1 什么是正交变换?
答:正交变换是欧氏空间中一类重要的线性变换——保持向量的内积不变的变换.设 中任意的向量 , ,则称 为正交变换.
一个欧氏空间到它自身的同构映射是正交变换,而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换,标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应,因此,矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
2
2011.3.1
确定选题。学生陆续发来各自选题，其中共同问题是所选题目范围太大，很难从题目上确定论文要从哪方面入手讨论，召集学生一起研讨，最终确定选题。
不定积分计算的各种方法论文.doc
不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。
【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。
不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。
下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。
二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。
在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。
列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。
不定积分毕业论文
本科生毕业论文设计不定积分的计算方法及拓展作者：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业〔系〕：数学与应用数学班级〔届〕：201X届数学X班二〇一五年四月二十四日目录中文摘要、关键字 (1)1 不定积分的计算方法 (2)1.1 分部积分法 (2)1.1.1 分部积分法得基本认识 (2)1.1.2 函数u、v的优选判别 (3)1.2 第一换元积分法 (4)1.2.1 第一换元积分法概念 (4)1.2.2 常用凑微分公式 (4)1.3 第二换元积分法 (5)1.3.1 第二换元积分法概念 (5)1.3.2 第二换元法的常用代换 (5)2 几种特殊类型函数的积分 (8)2.1 计算有理函数的不定积分 (8)2.1.1 有理函数的基本认识 (9)2.1.2 有理真分式分解及部分分式法 (9)2.2 计算三角函数有理式的不定积分 (11)2.3 计算某些无理根式的不定积分 (14)2.4 计算分段函数的不定积分 (16)参考文献 (17)英文摘要、关键字 (18)不定积分的计算方法及拓展数学与信息科学学院数学与应用数学指导教师作者摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位.不定积分是计算微分的逆运算,是计算函数定积分运算的基本前提,是一种处理具体应用如,物理学运动、液体流速等,经济学函数数量统计,以及几何学上曲线、曲面等问题的重要途径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分计算方法.关键字:原函数不定积分变量代换有理式有理化三角函数有理式无理根式引 言不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.针对有理式、三角函数有理式及无理根式三种特殊函数的不定积分在思想及具体方法进行的探究联系与总结.最终,归纳分类形成合理的统一的公式解法.1 不定积分的计算方法应用基本积分公式表、积分性质以及某些复合运算的技巧可解得一些函数的原函数.而一些不符合基本积分公式的函数计算不定积分经转化最终也可归为基本不定积分.对于如ln x ,tan x ,cot x ,sec x ,csc x ,arcsin x ,arctan x 等这类无法直接应用基本积分公式的初等函数求其原函数,我们需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则,扩充不定积分公式.1.1 分部积分法1.1.1 分部积分法得基本认识定理1 假设有()u x 、()v x 可导,且()()u x v x '⎰存在,于是有不定积分()()u x v x '⎰也存在,并有()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x ''=-⎰⎰.常简写作udv uv vdu =-⎰⎰[1].一般地,被积函数中假设含有某些幂函数,无理根式,对数函数,反三角函数等因式时可应用分部积分法计算不定积分,可将这类因式作为u ;对于容易看出v ,且v 的原函数易解得的情况下也可以应用分部积分法[3].例1 计算cos x xdx ⎰.解:令,u x =,cos v x '=则有1u '=,sin v x =.由分部积分公式得cos sin sin sin cos x xdx x x xdx x x x C =-=++⎰⎰.例2 计算arctan xdx ⎰. 解:令arctan u x =,1v '=,则211u x '=+,v x =,由分部积分公式得 221arctan arctan arctan ln(1)C 12x xdx x x dx x x x x =-=-+++⎰⎰. 有些情况下,可能需多次应用分部积分法,假设循环出现某个积分,可应用解方程的思想求解.例3计算I =.分析;同时,需作适当的代换求解.解:2I =,由于2I a =-,可设t x =dt =dt t=;整理得1C 21I +=.1.1.2 函数u 、v 的优选判别分部积分的难点不仅在于积分方法的正确应用还在于函数u 、v 的正确选择[8].函数u 、v 的选择原则:(1)由v '计算v 要容易求得(应用分部积分公式的前提); (2)vdu ⎰需比udv ⎰更容易导出(应用分部积分公式的目的)[4].Ⅰ.()kxn P x a dx ⎰,()sin n Px kxdx ⎰类型积分.()n P x 是关于x 的n 次多项式,0a >;其中kx a ,sin kx 所表示的是指其代表的一类函数,k 是常数.取P ()n u x =.例4 计算2(x 1)3x I dx =+⎰.分析:令21u x =+,3x v '=,需重复应用分部积分公式;解:+1)+1-ln32223(23213()C ln 3ln 3ln 3ln 3x x xx x I x dx x =-⋅=-+⎰. Ⅱ.()ln d n P x x x ⎰,()arcsin d n P x x x ⎰类型积分.其中ln x ,arcsin x 等表示的是其所属的一类函数.取()n v P x '=.例5 计算arccos d x x x ⎰.分析:依据上述说明arccos u x =,v x '=,应用适当的根式代换求解即可;解:22arccos d arccos 2x x x x x =+⎰21arccos d arccos arcsin 24x x x x x x C =+⎰. Ⅲ.sin kx a nxdx ⎰,cos kx a nxdx ⎰类型不定积分.需重复应用分部积分公式或应用公式uv dx uv u v u vdx ''''''=-+⎰⎰.特别的,①()22sin sin cos tte e tdt t t C λλμλμμμλμ=-++⎰; ②22cos (sin sin cos cos sin cos )t te e tdt t t t t C λλμμμλμμμλμλμμμλμ=-+-++⎰.例6 计算cos ,0ax I e bxdx ab =≠⎰.解:设cos u bx =,2ax e v a =则sin u b bx '=-,2cos u b bx ''=-;axe v a'=,ax v e ''=;整理,得22cos sin axa bxb bx I e C a b+=++. 1.2 第一换元积分法1.2.1 第一换元积分法的概念定理2 假设被积函数(x)(())()f g u x u x '=,且()G()g u du u C =+⎰,则有()()d ()f x dx g u u G u C ==+⎰⎰[2].第一积分换元积分法也称“凑”微分积分法,它常常由基础积分公式转化而来通过凑微分的方法引出新的积分变量.1.2.2 常用凑微分公式 Ⅰ.凑常数:1()()f ax b dx F ax b C a+=++⎰. Ⅱ.凑幂函数:1()[()]()[()]()C 1f x f x f x dx f x df x αααα+'==++⎰⎰ Ⅲ.凑三角函数:(sin )cos d (sin )d cos f x x x f x x =⎰⎰;2(tan )(tan )tan cos dxf x f x d x x=⎰⎰;(arcsin)d arcsinf x x=⎰;2(arctan)d(arctan)d arctan1f x xf x xx=+⎰⎰. Ⅳ.凑倒数:()()ln()C()()f x df xdx f xf x f x'==+⎰⎰,(其中(x)0f≠).例7 计算〕.解:1〕令sint x=,则有I==因t=,故,2I==C C==.2〕令sint arc x=,由于,因此dt=322(arcsin)3I x===.1.3 第二换元积分法(代换法)1.3.1 第二换元积分法概念定理3 假设被积函数()g(())()f x x xϕϕ'=,()0u xϕ=≠且存在()()F x f x'=,则有1()d(())()()(())g u u g x x dx f x dx F u Cϕϕϕ-'===+⎰⎰⎰[2].第二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导定理.第二积分换元法,主要应用于计算无理根式的不定积分.针对此类含根式的不定积分,该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.1.3.2 第二换元法的常用代换代换变形去将被积函数化成容易计算的形式.常见的积分的代换有根式代换、三角函数代换、倒置代换[5].Ⅰ.根式代换当被积函数中为根式如t=.例8 计算1〕.解:1〕设t =则235dx t =-,于是2351t dt t =-+⎰,233(75)61C 105x -=-+.2) 令t =则1t >,211x t =-,222(1)tdx dt t -=-;于是2222(1)ln(12C (1)t t t dt x t -=-⋅⋅=-+++-⎰. Ⅱ.三角函数变换① 可设sin x a t =或cos x a t =进行转化;② 可设tan x a t =或cot x a t =进行转化;③ 可设sec x a t =或csc x a t =进行转化.例9 计算1);2);.解:1) 设sin x a t =,则有cos dx a tdt =.于是arcsin x t a =,a x a -≤≤,22t ππ-≤≤;则有222cos cos (1cos 2)2a a tdt a tdt t dt ===+⎰⎰整理得221(t sin 2)C arcsin C 222a a x t a =++=.2) 设tan x a x =,22sec cos a dx dt a tdt t ==;当22t ππ-≤≤时,tan x a x =存在反函数,由此2sec ln sec tan C tdt t t ===++⎰;〔方法引入〕根据tan xt a=构造参考直角三角形,则有sec t =,C Cxa=++=1Cx=+.例10 (区分变形)计算=K.分析:利用分部积分法=K=⎰其中,2222I a===-⎰,整理得2ln x2aK C=+.Ⅲ.倒置代换或分母次数较高时,可令1xt=.例11计算⎰分析:,可应用倒置代换;另外,分母中存在u t=.解:令1tx=,则有1xt=,2dx t dt-=-,于是2-=;令(1)u t=-于是1ln Cxx-==-++.例12 计算71(1)dxx x+⎰.解:假设1xt=,则21dx dtt=-,于是677711ln21C(1)114tdx xx x t-=-=-++++⎰⎰.Ⅳ.指数代换当被积函数含有因子x e 时,可令x t e =以简化被积函数. 例13 计算2(1)x x dxe e +⎰.解:令x t e =,则0t >,x de dt =;于是22222(1)(1)(1)x x x x x dx de dte e e e t t ==+++⎰⎰⎰, 11arctan arctan x x t C e C t e=-++=-++.Ⅴ.反三角函数代换被积函数中存在反三角函数时某些情况下利用分部积分法即可,而对于较复杂的被积函数如复合函数中存在反三角函数则可考虑代换法.例14 计算tan(arcsin )d x x ⎰.解:假设令arcsin t x =,则sin x t =,cos dx tdt =.于是tan(arcsin )d tan cos d sin d cos x x t t t t t t ===-⎰⎰⎰=.2 几种特殊类型函数的积分在掌握了一些最基本的积分运算方法之后,我们将面临一些特殊类型函数的不定积分,本节内容将针对有理函数,三角函数有理式以及某些无理根式的不定积分进行研究与讨论.然而,无论这些不定积分多么复杂,在原则上我们都可以通过求不定积分的方法与技巧按一定步骤求解得出.2.1 计算有理函数的不定积分2.1.1 有理函数的基本认识有理函数,指由两个多项式的商表示的函数.其具体形式为:10111011()()()n n n nm m m ma x a x a x a P x R x Q xb x b x b x b ----⋯++++==++++⋯,其中m ,n 都是非负整数;01,,,n a a a ⋯及01,,,m b b b ⋯都是实数,同时00a 0b ≠,()P x 、()Q x 为互素的多项式[1].有理函数分有真分式和假分式两种类型:假设n<m,称此有理函数为真分式;假设n m ≥,称此有理函数是假分式.利用多项式除法,假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和(称为部分分式分解),因此讨论有理函数的积分只需考虑真分式的积分方法即可[1].如果()Q x 在实数范围内可分解成一次因式与二次质因式(0∆<)的乘积形式,即……220()()()()()Q x b x a x b x px q x rx s αβλμ=--++++,其中2240,,40p q r s ⋯-<-<,则真分式()()P x Q x 可以分解为如下部分分式之和形式: ………121211()()()()()()B A A A B B P x Q x x a x a x a x b x b x bβαααββ--=++++++++------ (1122)2212()()M x N M x N M x N x px q x px q x px qλλλλ-++++++++++++++ (1122)2212()()R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s μμμμ-+++++++++++++.其中,…,12,,;A A A α…,12,,;B B B β …,12,;M M M λ…,12,,;N N N λ…,12,,;R R R μ…,12,S S S μ都是常数[6].最简真分式只有如下四种: ①A x a-,②()m A x a -,(1)m >;③2Bx C x px q +++,④2()kBx C x px q +++,2(1,40)k p q >-<. 2.1.2 有理真分式分解及部分分式法依据以上理论,求有理函数的不定积分只需要由分解部分分式分别求其不定积分,应用待定系数法分解部分分式步骤简述如下:①对()Q x 在实系数内进行标准的因式分解:…()0()()Q x b x a x b αβ=--…(22())x px q x rx s λμ++++;②根据()Q x 所含各个因子,列出与之对应的部分分式: 如,分母()Q x 含因式()k x a -,与之对应的部分分式是 (12)2()()k kA A A x a x a x a +++---; 对于所有与因式2()k x px q ++对应的部分分式为 (1122)2222()()k k kB xC B x C B x C x px q x px q x px q ++++++++++++.所有部分分式之和为()R x . ③确定待定系数:一般,所有部分分式经过通分相加,所得分式分母即为()Q x ,同时,分子必然与原分子()P x 恒等.因此,各同幂项系数分别相等,于是我们可得出一个待定系数的线性方程组,方程组的解即为各项所需确定的系数.注:分母()Q x 中如果含有因子k M (M 为关于x 的一次因式或二次质因式),则()R x 分解后为k 个部分分式之和 (12)2k k A A A M M M+++. 计算有理函数积分的步骤:先用待定系数法或赋值法将有理分式转化为部分分式之和的形式,再对各部分分式分别求不定积分.例15 计算21001(1)x dx x +-⎰. 分析:被积函数是有理真分式,假设逐步确定12100,,,A A A ⋯比较困难,因此,可令分子应用赋值法转换成与分母的组成因子相关联的形式.方法一 令分子221(1)(1)x A x B x C +=-+-+,解得1A =,2B =-,2C =,于是210098*********[](1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x +=-+----⎰⎰ 979899112(1)(1)(1)974999x x x --=---+-. 方法二 令1x t -=,那么1x t =-,则dx dt =-,于是229798991001001(1)1112(1)974999x t dx dt t t t x t --+-+=-=-+-⎰⎰ 979899112(1)(1)(1)974999x x x --=---+-. 当有理真分式的分母次数较大(大于等于4)时,常规的待定系数法显然比较麻烦,此时可以选择采用凑微分法或变量代换的方法;特别地,当被积函数的分母中含有因子n x (2,n n Z ≥∈)时,一般采用倒置代换可将被积函数的分母中所含变量因子n x 消去.例16 计算56323x dxx x --⎰.分析:此题中被积函数的分母次数较大,根据其特点使3t x =,采用凑微分法可将6x ,3x ,5x 消去.解:令3t x =,则有23dt x =,于是5631233(1)(3)x dx tdtx x t t =--+-⎰⎰ 整理得,5336311ln 3ln 123412x dx x x C x x =-+++--⎰. 经过以上探索,我们会发现:有理函数的不定积分一定可以通过初等函数,如对数函数、有理函数及反正切函数等表达出来.那么,求一个函数的原函数就可以予以适当的换元,使被积函数转化为有理函数,于是这个函数的不定积分总能被”积”出——这样的方法称为”有理化法”[6].2.2 计算三角函数有理式的不定积分三角函数有理式是指三角函数、常数经过有限次的四则运算构成的函数,记为(sin ,cos )R x x ;所谓计算三角函数有理式的不定积分,即计算(sin ,cos )R x x dx ⎰;求三角函数有理式的不定积分,其基本思想为:通过适当的变换,从而将三角函数的积分化成有理函数的积分,转化的过程通常利用到三角函数的”万能公式”[3].求(sinx,cosx)R dx ⎰,通常通过变换使tan 2x t =,则有221dx dt t=+, 22sin 2sin cos 221x x t x t ==+;221cos cos sin 221x x t x t-=-=+. 所以,2222212(sin ,cos )(,)111t t R x x dx R dt t t t -=+++⎰⎰. 三角有理式的积分分类:Ⅰ.假设(sin ,cos )R x x 是关于cos x 的奇函数,即(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-,令sin t x =即可;例17 计算42tan cos sin x xdx x⎰.分析:432tan cos cos sin sin x x xx x=是关于cos x 的奇函数,可利用sin t x =代换求解.解:令sin t x =,则cos dt xdx =,于是42tan cos 1()sin x x dx t dt x t =-⎰⎰, 整理得422tan cos 1ln sin sin sin 2x x dx x x C x =-+⎰. Ⅱ.假设(sin ,cos )R x x 是关于sin x 的奇函数,即(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-,令cos t x =即可;例18 计算34sin cos xdx x⎰. 分析:34sin cos x x是关于sin x 的奇函数,使用代换cos t x =求解.解:令cos t x =,则sin dt xdx =-,于是32443sin 111cos 3x t dx dt C x t t t -==-++⎰⎰, 整理得343sin 11cos cos 3cos x dx C x x x=-++⎰. Ⅲ.假设(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--,令tan t x =即可;例19 计算24cos 1sin x dx x+⎰. 分析:24444424cos 12cos sin 2tan (tan )sin sin cos tan x x x xx x x x x +++'==⋅可令tan t x =进行代换. 解::令tan t x =,2co 1s dt x xd =,于是24344cos 122sin 3x t dx dt t t C x t -++==-+⎰⎰, 整理得243cos 12tan sin 3tan x dx x C x x-+=-++⎰. Ⅳ.被积函数形如sin cos m n x x ,其原函数的计算具体情形分为两种:①假设m 、n 至少存在一个为奇数,假设有21n k =+(*k N ∈),则可设sin t x =. 如,2sin cos sin cos cos m n m k x xdx x x xdx =⎰⎰22sin (1sin )(sin )(1)m k m k x x d x t t dt =-=-⎰⎰. ②假设m 、n 均为偶数,可借用三角函数的二倍角公式:21sin (1cos2)2x x =-,21cos (1cos2)2x x =+,1sin cos sin 22x x x =将被积函数化简,所得结果为含sin 2x 或cos2x 奇数次幂时可借情形①求解;另外,假设同时含sin 2x 、cos2x 的偶数次幂则需继续应用公式化简,化为含sin 4x 或cos4x 的幂函数形式,以下情形类推.例20 计算42sin cos x xdx ⎰.分析:被积函数三角函数次数均为偶数,可利用公式”降次升倍”代换化简.解:2421cos 2sin 2sin cos 24x xx xdx dx -=⋅⎰⎰, 整理得423sin 41sin cos sin 2166448x x x xdx x C =--+⎰. Ⅴ.形如sin sin mx nx ,sin cos mx nx ,cos cos mx nx 可应用积化和差公式进行代换:1sin sin [cos()cos()]2mx nx m n x m n x =--+;1sin cos [sin()sin()]2mx nx m n x m n x =++-;1cos cos [cos()cos()]2mx nx m n x m n x =++-.例21 求sin(32)cos(23)x x dx -+⎰.解:1sin(32)cos(23)[sin(51)sin(5)]2x x dx x x dx -+=++-⎰1cos(51)cos(5)10x x C =-+--+.2.3 计算某些无理根式的不定积分Ⅰ.R dx ⎰型根式不定积分(0ad bc -≠).令t =.其中,,,a b c d 均为常数,正整数2n ≥;由t =()n n dt b x t a ct ϕ-==-,()dx t dt ϕ'=,于是[(),(x ()]R dx R t t t dt ϕϕ'=⎰⎰(其中,12()()()n n n ad bc t t a ct ϕ--'=-). 有理函数所求导数仍是有理函数,即[(),]()R t t t dt ϕϕ'⎰为关于t 的有理函数. 例22 计算.分析:有理化,于是有=,可应用上述代换.解:令t =于是221a bt x t +=+,222()(1)b a tdx dt t -=+;222212()()(1)t b a tt dt b a t t +-=⋅⋅-+⎰2arctan t C C =+=. 拓展1 对于1(,(),()),np p ax b ax b R x dx cx d cx d⋯++++⎰(其中,*n N ∈,1,,n p p Q ⋯∈, ,,,a b c d 为常数且0ad bc -≠,R 为1n +元有理函数.)型根式不定积分的.对此,设m ax x dt bc ++=,m 为1,,n p p ⋯的公分母,即可将此无理根式的不定积分转化为有理函数的积分.例23 计算分析:这里,2n =,112p =,213p =,于是6m =, 解:令6t x =,则52322116666arctan (1)1t t dt dt t t C t t t +-===-+++⎰⎰,整理得C =.Ⅱ.(R x dx ⎰型根式的不定积分(0a >时240b ac -≠;0a <时240b ac ->).由于,2222424b ac b ax bx c a x a a ⎡⎤-⎛⎫++=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,假设取2b u x a =+,2244ac b k a -=于是,22()(,,)f x g a u k =,函数g 有三种表示()22a u k +;()22a u k -;()22a k u -.于是可转化为(R u dx ⎰;(R u dx ⎰;(R u dx ⎰类型的积分计算[1].例24计算⎰解:=3()3arcsin 3x d x C --==+. 拓展2对(R x ⎰;(R x ⎰;(R x ⎰型无理根式的不定积分.采用三角换元法代换求解,具体代换如下:①(R x dx ⎰,可使sin x a t =或cos x a t =;②(R x dx ⎰,可使sec x a t =;③(R x dx ⎰,可使tan x a t =.Ⅲ.二项微分式的积分,形如()m n p x ax b dx +⎰,(,a b R ∈,,,m n p Q ∈,且均不为0),此类积分在三种情况下可转化为有理函数的积分:①p 为整数;②1m n +是整数;③1m p n++是整数[3]. ①可使N x t =,N 为,m n 的公分母;情况②、③可使n r ax b t +=或n s a bx t -+=,r 为p 的分母. 例25计算⎰.分析:14(2)x x dx =-⎰⎰,其中1m =,1n =,14p =,于是12m n+=符合上述②.解:设42x t -=,则42x t =+,34dx t dt =,于是439548(2)495t t t dt t t C =+⋅⋅=++⎰⎰,整理得954448(2)(2)95x x C =-+-+⎰.2.4 计算分段函数的不定积分假设分段函数连续,则原函数连续.在分别计算得到各区间的函数的原函数后,需由原函数在分界点的连续性确定得出各积分常数的关系[7].例26 已知1,01,(ln ),1,x f x x x x ⎧<≤⎪'= ⎨⎪>⎩且(0)0f =,求()f x .分析:由于11y x=与2y x =在(0,0)处连续,则该函数的原函数也连续. 解:令ln t x =,则tx e =,12,0,,0,()(),0.,0x t xt e C x e t f t f x e C x e t --⎧⎧-+≤≤'= ⇒= ⎨⎨+>>⎩⎩ 又有(0)0f =,得11C =;因()f x 在0x =处连续,于是20lim(1)lim()0x xx x e e C -+-→→-=+=, 因此,21C =-,1,0,()1,0.x x e x f x e x -⎧-+≤= ⎨->⎩参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].-3版.北京:高等教育出版社,2001[2]毕志伟.经济数学——微积分题解[M].武汉:华中科技大学出版社,2003.10[3]张伟,汪赛,朱金艳.微积分〔经济管理〕学习辅导[M].北京:机械工程出版社[4]朱孝春.不定积分分部积分中渗透逻辑推理与辩证法则的教学研究[J].浙江同济科技职业学院.高师理科学刊,2013,9.第33卷,第5期.97[5]刘玉琏.数学分析讲义(上册)[M].第五版,高等教育出版社.[6]刘正荣.数学分析:全2册[M].北京:科学出版社,2012.[7]孙明岩,冯明军.微积分学习指导[M].沈阳:东北大学出版社,2011.9[8]孙振绮,(乌克兰)O.Φ.包依丘克.工科数学分析教程[M].-2版.北京:机械工业出版社,2007.5The calculation methods of indefinite integral and expandAbstract: The indefinite integral in mathematical analysis course occupies an important position. The indefinite integral is the inverse operation of calculating differential, the basic premise is the calculation of definite integral function operation, Is an important way to deal with the specific application problems, such as, the problem of motion , the velocity of the liquid in Physics, the curve, and the surface geometry. This paper mainly expounds the indefinite integral of three kinds of commonly used calculation method and calculation method of four kinds of special functions.Key: The original function; The indefinite integral; Variable substitution; The rational formula; The rational; The rational formula of trigonometric function; Irrational root。
(完整版)西安工业大学_毕业设计(论文)开题报告
毕业设计(论文)开题报告题目：ABS塑料骨架注塑模具设计院（系）机电工程学院专业机械设计制造及其自动化班级110213姓名任琦学号导师钟玲2015年3月15日开题报告填写要求1．开题报告作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。
此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计（论文）工作前期内完成。
2．开题报告内容必须按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）填写并打印（禁止打印在其它纸上后剪贴），完成后应及时交给指导教师审阅。
3．开题报告字数应在1500字以上，参考文献应不少于15篇（不包括辞典、手册，其中外文文献至少3篇），文中引用参考文献处应标出文献序号，“参考文献”应按附件中《参考文献“注释格式”》的要求书写。
4．年、月、日的日期一律用阿拉伯数字书写，例：“2005年11月26日”。
注：1、正文：宋体小四号字，行距22磅。
2、开题报告装订入毕业设计（论文）附件册。
附件（本页不打印）：参考文献注释格式1.学术期刊：作者.论文题目.期刊名称，出版年份，卷(期)：页次如果作者的人数多于3人，则写前三位作者的名字后面加“等”，作者之间以逗号隔开。
例如：[1] 李峰,胡征,景苏等.纳米粒子的控制生长和自组装研究进展. 无机化学学报，(3):315～324[2] J.Y.Li, X.L.Chen,H.Li. Fabrication of zinc oxide nanorods.Journal of Crystal Growth,:5～72.学术会议论文集：作者.论文题目.文集编者姓名.学术会议文集名称，出版地：出版者，出版年份：页次例如：[3] 司宗国，谢去病，王群.重子湮没快度关联的研究.赵维勤，高崇寿编.第五届高能粒子产生和重离子碰撞理论研讨会文集，北京：中国高等科学技术中心，1996：1053.图书：著者.书名.版本.出版地：出版者，出版年.页次如果该书是第一版则可以略去版次。
不定积分求解方法毕业论文设计
不定积分求解方法毕业论文设计
一、引言
随着物理学研究及新技术的发展，对不定积分的研究也变得愈加重要。
不定积分是微积分的一种，其中的积分变量与积分常数可以用不同的方法
求解积分，也叫做非线性积分。
不定积分求解的常用方法有曲线拟合法、
拉普拉斯变换法、对偶变换法、拉格朗日变换法、函数表法、高斯积分以
及展开变换法等。
本次设计中，将介绍不定积分的求解方法，并结合具体
的例子，分析不定积分的各种求解方法，对比不定积分的求解方法的优劣，最后得出求解不定积分的最佳方法。
二、不定积分求解方法
2.1曲线拟合法
曲线拟合法是用拟合曲线来对积分进行近似求解。
拟合的曲线可以是
线性、抛物线、三次曲线等，其中最常用的是二次曲线。
曲线拟合法必须
在精确求解之前，进行较为复杂的拟合工作，得出近似结果，然后再结合
实际情况进行精确求解。
2.2拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法将微分方程变换成拉普拉斯积分变换形式，用拉普拉
斯变换去解决积分。
由于拉普拉斯变换具有明显的特点，能够有效地解决
积分，并且对不定积分的求解具有很大的帮助，广泛应用于物理学、数学
等领域。
2.3对偶变换法。
不定积分的求解方法毕业论文开题报告
不定积分在理论上十分简明但利用基本积分公式只能求出一些简单的积分对于比较复杂的积分在运算上则有一定难度正确选用不定积分的方法取决于对被积函数的分析从被积函数的特点出发由易到难进行剖析着眼点不同就有不同的方法
不定积分的求解方法毕业论文 开题报告
一、主要内容
包括不定积分的基本原理，常见不定积分 的各种求解方法以及一些特殊的积分的求解方 法：直接积分法、换元法、分部积分法以及一 些特殊技巧的方法，并结合实际例题加以讨论 ，以便于解不定积分题目时，能快捷的寻找出 最佳的解题方法。
二、选题的意义
理论意义： 不定积分的计算是微积分中的重要一环，因此，探 讨不定积分的求解方法是很有意义的。
实践意义：不定积分在理论上十分简明，但利用基本积分公式 ，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，在运算上则 有一定难度，正确选用不定积分的方法取决于对被积函数的分析 ，从被积函数的特点出发，由易到难进行剖析，着眼点不同就有 不同的方法。由此可见，要想灵活运用基本方法得到解法，必须 抓住被积函数的特点，进行多角度、多方位的剖析，对各类不同 函数进行归纳总结，经过多次这样的尝试与探索才能丰富解题经 验，产生解题意识，从而提高求不定积分的解题能力。
三、提纲
（一）、不定积分的基本原理 （二）、不定积分的求解方法及相关例题
1、直接积分法 2、换元积（三）、总结
四、遇到的问题
1、不定积分的求解方法多种多样且技巧性较强， 在解决问题时，费时多，效果差，见到生题无从下手 ；
2、不定积分的求解过程复杂而烦琐，没有统一的 规律可以遵循;
刘鹏毕业生开题报告
毕业设计(论文)开题报告题目:积分区域对称性相关问题的研究院系名称：理学院专业班级：数学F1002学生姓名：刘鹏学号： 201046800106指导教师：张应奇教师职称：副教授2014年3月17日开题报告填写要求1．开题报告（含“文献综述”）作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。
此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计（论文）工作前期内完成，经指导教师签署意见及所在专业审查后生效。
2．开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。
3．“文献综述”应按论文的格式成文，并直接书写（或打印）在本开题报告第一栏目内，学生写文献综述的参考文献应不少于15篇（不包括辞典、手册）。
4．有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。
如“2006年11月20日”或“2006-11-30”。
毕业设计（论文）开题报告1．结合毕业设计（论文）课题情况，根据所查阅的文献资料，每人撰写2000~4000字左右的文献综述：文献综述一、积分对称区间的引入优点对称性为数学研究提供了一种独特的方法,即对称方法。
科学家利用这一税利武器,揭示和发现了很多自然界的奥秘,其中最典型的例子如麦克斯韦方程,笛沙格定理等。
它被著名科学家狄拉克称为“自然科学家时代新方法的精华”。
运用这一方法,也体现了在解积分题中的妙用。
高等数学课程作为理工科学生的一门重要基础课，在培养学生的各种思维能力和科学处理问题的能力等方面，是其它任何课程所无法取代的．而积分学是高等数学的重要组成分，高等数学的教学过程中，教师在讲清楚基本概念，基本理论的同时，教会学生学会解题就成为老师们需要急切解决的一件任务．求解积分学问题正是令同学们头疼的一件事情，而如果在求解积分的问题中，考虑到积分区域和被积函数的特性，利用积分区域的对称性，根据积分问题的几何意义，就可以简化积分问题的求解过程．积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.二、论文研究的大致方向主要从积分区间对称性在定积分计算中的应用、积分区间对称性在二重积分中的应用、积分区间对称性在三重积分中的应用、奇偶函数在对称积分区间上的应用、积分区间对称性在曲线积分中的应用、积分区间对称性在曲面积分中的应用。
不定积分的求解方法论文
重庆三峡学院毕业设计〔论文〕题目：归结不定积分的求解方法专业：数学与应用数学年级：2021级学号：202106034208作者：林相群指导老师：吴艳秋〔讲师〕完成时间：2021年5月目录摘要 (I)Abstract........................................................................................................................................................ I I1 引言 (1)2 不定积分的求解方法 (1)2.1 根本公式法 (1)2.2 分项积分法、因式分解法 (2)2.3 “凑〞微分法〔第一类换元积分法〕 (3)2.4第二类换元积分法 (4)2.5分部积分法 (4)2.6有理函数的积分 (5)3 各种方法所对应的题型 (5)3.1 根本公式法 (5)3.2 分项积分法、因式分解法 (6)3.3 “凑〞微分法〔第一类换元积分法〕 (7)3.4第二类换元积分法 (8)3.5分部积分法 (8)3.6有理函数的积分 (9)4 解决不定积分的一般步骤 (10)致谢 (11)参考文献 (11)归结不定积分的求解方法林相群〔重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2021级重庆万州 404000〕摘要：不定积分的求解方法在本科阶段可以归为六大类：根本公式法、分项积分法+因式分解法、“凑〞微分法〔第一类换元积分法〕、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法。
当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法〞求解。
但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进行变换，使其满足公式再计算。
“分项积分法+因式分解法〞通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。
当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。
不定积分的求解方法毕业论文开题报告
不定积分的求解方法毕业论文 开题报告
一、主要内容
包括不定积分的基本原理，常见不定积分 的各种求解方法以及一些特殊的积分的求解方 法：直接积分法、换元法、分部积分法以及一 些特殊技巧的方法，并结合实际例题加以讨论 ，以便于解不定积分题目时，能快捷的寻找出 最佳的解题方法。
二、选题的意义
理论意义： 不定积分的计算是微积分中的重要一环，因此，探 讨不定积分的求解方法是很有意义的。
实践意义：不定积分在理论上十分简明，但利用基本积分公式 ，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，在运算上则 有一定难度，正确选用不定积分的方法取决于对被积函数的分析 ，从被积函数的特点出发，由易到难进行剖析，着眼点不同就有 不同的方法。由此可见，要想灵活运用基本方法得到解法，必须 抓住被积函数的特点，进行多角度、多方位的剖析，对各类不同 函数进行归纳总结，经过多次这样的尝试与探索才能丰富解题经 验，产生解题意识，从而提高求不定积分的解题能力。
三、提纲
（一）、不定积分的基本原理 （二）、不定积分的求解方法及相关例题
1、直接积分法 2、换元积分法 3、分部积分法 4、有理函数的积分方法 （三）、总结
四、遇到的问题
1、不定积分的求解方法多种多样且技巧性较强， 在解决问题时，费时多，效果差，见到生题无从下手 ；
2、不定积分的求解过程复杂而烦琐，没有统一的 规律可以遵循;
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毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。
彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。
去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。
消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。
就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。
有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。
当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。
俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。
火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。
人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。
旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。
几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。
我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。
出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。
那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。
高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。
朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。
那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。
那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。
或是为了远离当时一片狼藉的场面，家境拮据的她，怀着可能被众叛亲离的勇气，报考了一个三本院校。
当她怀揣着自己暑假赚的6000块钱踏进学校的时候，她以为一切喧闹终将与自己隔绝。
但是事实上，天真的想法只维系了几天，便不攻自破。
专业老师并不看好这个寡言少语的孩子，因为在她看来，法律专业除了要掌握专业知识之外，利索的嘴皮子也是一名律师出人头地不可缺少的法宝，而这个孩子，显然并没有这方面的天赋。
糟糕的情况在不断地蔓延，那段时期，她如同造物者手中的失败品，什么都做不好，注意力像手中的沙子一般怎么握都握不住。
课文理解不了，丧失阅读能力，法律条款、单词统统在跟她作对，连最简单的问题都会堵住她的嘴。
考试更不用提了，考前总是睡不好觉，刚迈进考场全身就开始发抖，像个从来没有上过战场的士兵一样。
她一直溺在泪水中，从未上岸，深度抑郁，一度心生退学的想法。
她深夜给母亲打去电话，想要获取安慰，家人说当初你自己做的决定，于是她只好自己硬撑着。
为了防止自己再胡思乱想，她报了八门选修课，把自己的时间填得满满的。
为了应付每科超过6000字的论文，她总是第一个跑到食堂去打饭，背日语，背法语，做英语听力，背法律常识虽不至于像匡衡一样凿壁偷光，但是只要有光的地方，她都待过。
一个追着阳光跑的人，是永远不会输在路上的。
在不停歇的灌输之下，大脑勉强接受了来自外界的压迫。
虽不能到达天才的地步，但是起码恢复了正常的记忆功能。
四年的大学生涯也在马不停蹄中准备落下帷幕，为了能够拿到好的工作机会，她到处参加比赛，只是为了让自己在与聘用单位较量时能够多一点筹码。
与此同时，她还要忙毕业论文。
在有限的时间内打一场不能失败的战争，是那时她的唯一目标。
上天果然不会亏待努力的人，她的毕业论文很惊艳，老师甚至生出了让她留校任教的打算，不过还是被她拒绝了，因为她已经进入了当地最着名的一家律师事务所。
在刚进入事务所的时候，她过去光鲜的外衣再次黯然失色。
为了能够追赶同事的步伐，她过上了每天哒哒哒飞速敲打键盘的生活。
为了跟进一个案子，她常常整夜都在做准备，等到一切就绪时，晨光也恰好如期而至。
如今，她已经成为北京最着名的律师事务所的招牌律师之一。
这次她本可坐飞机回京，只是因为贪恋沿途的风景才会与我相遇。
在最难熬的时光要学会一路狂奔，不要多想，也不要把希望寄托在别人身上，人生来便是要努力的，你可以哭泣，但是不要忘了奔跑。
她拍着我的肩膀，身上散发着莲花的香味，清新而让人愉悦。
终点站很快到达，天空依然阴沉着，不知下一秒云上染墨，雨滴降落，还是阳光冲破云雾，普照大地。
当我与她告别，重新背着沉重的行李，阔步向前，我知道等待我的不一定是美好的未来，但是只有拼一拼，才足够对得起自己。
每个人都有一个蜕变的过程，这个过程只能自己咬着牙度过，熬过了便化茧成蝶，熬不过，便像蒲公英一样，被生活的风吹着走。
一辈子走好一条路有两个西班牙人，一个叫布兰科，一个叫奥特加。
虽然他们同龄，又是邻居，但家境却相差很远。
布兰科的父亲是一个富商，住别墅，开豪车。
而奥特加的父亲却是一个摆地摊的，住棚屋，靠步行。
从小，布兰科的父亲就这样对儿子说：“孩子，长大后你想干什么都行，如果你想当律师，我就让我的私人律师教你当一名好律师，他可是出名的大律师;你如果想当医生，我就让我的私人医生教你医术，他可是我们这里医术最高的医生;如果你想当演员，我就将你送去最好的艺术学校学习，找最好的编剧和导演来给你量身定做角色，永远让你当主角;如果你想当商人，那么我就教你怎样做生意，要知道，你老爸可不是一个小商人，而是一个大商人，只要你肯学，我会将我的经商经验全都传授给你!”奥特加的父亲则总是这样对儿子说：“孩子，由于爸爸的能力有限，家境不好，给不了你太多的帮助，所以我除了能教你怎样摆地摊外，再也教不了你任何东西了。
你除了跟我去学摆地摊，其他的就是想也是白想啊!”两个孩子都牢牢地记住了自己父亲的话。
布兰科首先报考了律师，还没学几天，他就觉得律师的工作太单调，根本就不适合他的性格。
他想，反正还有其他事情可以干，于是，他又转去学习医术。
因为每天都要跟那些病人打交道，最需要的就是耐心，还没干多久，他又觉得医生这个职业似乎也不太适合他。
于是，他想，当演员肯定最好玩，可是不久后，他才知道，当演员真的是太辛苦了。
最后，他只得跟父亲学习经商，可是，这时，他父亲的公司因为遭遇金融危机而破产了。
最终，布兰科一事无成。
奥特加跟父亲摆了几天地摊后，就哭着不肯去了，因为摆地摊日晒雨淋不说，还常遭人白眼。
可是，一想到除了摆地摊，再也没别的事可干，他又硬着头皮跟父亲出发了。
可是，还没干几天，他又受不了了，又吵着闹着不肯去了。
因为没事可干，不久，他又跟着父亲出发了。
慢慢地，他竟然从摆地摊中发现，要想永远摆脱摆地摊的工作，就得认真地将地摊摆好。
结果，几年后，他终于拥有了自己的专卖店。
30年后，他拥有了属于自己的服装集团。
如今天，该集团在世界68个国家中总计拥有3691家品牌店，一跃成为世界第二大成衣零售商。
奥特加(AmancioOrtega)以250亿美元个人资产，位列《福布斯》2010年世界富豪榜第9位。
人并不是选择越多越好，因为多了反而拿不定主意，无法坚持到底。
反而是那些没有选择的人，最终获得了成功。
把理想推远一点比尔·拉福是美国当代的著名企业家。
比尔从商的志向来自他的父亲，他的父亲在商界滚打多年却始终没有取得什么骄人的成绩。
受父亲影响，比尔从小就立志要做一位成功的商人，更何况他的父亲也认为他做事机敏果断，敢于创新，非常具有商业天赋，所以一直鼓励比尔去读经济或者商贸类大学。
让父亲没有想到的是，比尔在高中毕业后，却来到麻省理工学院学习工科中最基础最普通的机械制造专业。
比尔的父亲生气地指责比尔说：“你一定是忘记了自己的理想，要知道，你并不是要做一位出色的工人，而是做一位成功的商人，你为什么不读商业贸易，反而要来学机械制造呢?你这不是拉近理想，分明是把理想推得更远了!”比尔不赞同父亲的观点，他觉得适当把理想推远一点是正确的，因为工业商品在商贸中占了绝对的大多数，如果不具备工科知识，就不能了解产品的性能、生产制造等各方面的情况，将来很难保证能在经商中占到优势，更何况工科学习不仅是增强工业技能，还能帮助一个人建立严谨求实的思维能力，培养一种脚踏实地的工作态度，这些素质都是经商所不能缺少的。
听了比尔的解释，他的父亲终于明白了比尔的想法，比尔也得以留在麻省理工学院继续读书，四年的大学，比尔没有拘泥于本专业，他同时还学习了许多化工、建筑、电子等方面的基本知识，毕业后，立志从商的比尔并没有立刻带着这些知识投身商海，而是考入了芝加哥大学继续攻读经济学的硕士学位，这期间，比尔掌握了大量的经济学基本知识，掌握到了决定商业活动正确性的众多因素。
取得学位后，按理说比尔应该可以向理想进发了，可是他不仅没有立刻下海经商，反而还进一步把理想推远了：他又花了三年时间进入别的私人学校学习法律知识，之后又进入了一所法学院旁听法律课程，同时他还学习了一些微观经济活动的专业经济学以及企业管理知识!完成这一切之后，比尔又考进了政府部门工作，直到这时，他的父亲终于忍不住了，他指责比尔已经彻底忘记了自己的理想，他提醒比尔说他应该努力让自己成为一名成功的商人，而不是去从事政治。
比尔有自己的想法，因为经商必须要具备很强的交往能力，要想在商业上获得成功，必须要深知处世规则，善于人际交往，然而这种能力是在任何学校都学不到的，只有在实践中才能磨炼出来，而磨炼这种能力的最佳去处就是政府部门。
比尔在政府部门一干就是5年，他也在工作中培养起了深思稳重、沉着冷静的个性。
5年的政府工作结束后，比尔开始慢慢向商业靠近，他应聘到一家公司去熟练商情与商务技巧，因为表现突出，两年后，公司打算出高薪让他担任副总经理，但比尔却辞职了，他意识到自己是时候正式向自己的理想迈开脚步了，随后，他开办了自己的拉福商贸公司，这时，比尔已经是一位35岁的中年人。
因为比尔的准备工作实在充分，在接下来的商务操作中，他几乎能考虑到每个细节，能应对一个合格的商人应该能应对的一切，并且能够嗅到各种商机，避免各种法律纠纷，他之前所学的每一点知识和所做的每一步准备，都在他之后的商业活动中发挥出了不可忽略的作用，生意进展异常顺利。
也正因如此，在此后短短的25年时间里，比尔的公司从最初20万美元的资产发展成了现在200亿美元，比尔本人也成为美国商业圈的一个神话人物。
对于比尔的成功，2011年诺贝尔经济学奖得主托马斯·萨金特就曾在一本书中这样评论：“急于求成在很多时候往往是欲速则不达，而适当推远理想反而是一种备战人生的最佳方式，比尔所拥有和依赖的，就是这种独特的智慧!”。