函数的定义域值域及其性质课件

3x
例6:求函数 y
x2
, ( x 0) x 1
的值域。
解： y
3x
3
, (x 0)
x2 x 1 x 1 1
x
x 1 2, x
x 1 1 1, 则 3
3
0
x
x 1 1
x
即 3 y 0,故函数值域为[3,0)
⑦单调性法：根据函数在定义域（或定义域的某个子 集）上的单调性求出函数值域。
1 x 例3：求函数 y 2x 5 的值域。
解法一：（反函数法）由y 1 x 解出x，得x 1 5y ，
2x 5
2y 1
因为2 y
1
0, 所以，函数的值域为 y
y
1 2
,且y R
解法二：（分离常数法）
7
7
y 1 2 ,且 2 0 2 2x 5 2x 5
y 1 2
④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）
函数的定义域值域及其性质
一.函数的定义域和值域 二.函数的一些主要性质
函数的定义域和值域
定义域
定义： 函数的定义域就是使函数式有意义的实数x的
集合，而函数的值域就是在函数 y f ( x) 中，与
自变量x的值对应的y值的集合。
作用：定义域是研究函数的基础，在讨论函数 的性质、作图、解方程和不等式、构造复合函 数等问题中都起着重要的作用。
=0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数
的值值域域常。 用形 此如 方法y求 解aa21xx。22
b1 b2
x x
c1 c2
, (a1 , a2不同时为零的）函数
前提条件：（1）函数的定义域为R，（2）分子分母没
有公因式。
3x 例4：求函数 y x 2 4 的值域。
解：由y 3x 得yx 2 3x 4 y 0, x2 4
确定定义域的原则
（1）当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中表示 自变量的实数的集合；
（2）当函数用图像给出时，函数定义与食指图像在x轴上 的投影所覆盖的实数集合；
（3）当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式 有意义的实数x的集合；
（4）当函数有实际问题给出时，函数定义域是由实际问 题的一一确定。
的函数值域问题，均可用配方法。 例2：求函数 y 4 3 2x x 2 的值域。
解：由3 2x x 2 0, 得 -1 x 3.
y 4 - - (x -1)2 4 , 当x 1时，ymin 2. 当x 1或3时，ymax 4 函数值域为[2,4]
③反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域 的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的 值域。形如 y cx d , (a 0) 的函数的值域，均可 使用反函数法。此ax外，b 这种类型的函数值域也可使用 “分离常数法”求解。
确定初等函数定义域的依据
（1）若f（x）是整式，则定义域为全体实数；
（2）若f（x）是分式，则定义域为使分母不为零的 全体实数；
（3）若f（x）是偶次根式，则定义域为使被开方式 为非负的全体实数；
（4）函数 f (x) x 0 的定义域是
（-∞，0）∪（0，﹢∞）。 某些复合函数的定义域的确定原则
值域
定义：在函数y=f（x）中，与自变量x的值对应的y值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域。
确定函数值域的原则：
（1）当函数y=f（x）用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合；
（2）当函数y=f（x）用图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
（3）当函数y=f（x）用解析式给出时，函数的值域由函数的 定义域及其对应法则唯一确定；
当y 0时，x 0,当y 0时，
因为方程有实根，所以 0得, 3 y 3
4
4
综上，函数的值域为
3 4
，3 4
。
⑤换元法：运用代数或者三角代换，将所给函数化成 值域容易确定的另一函数，从而 求的原函数的值域， 形如 y ax b cx d ,(a,b,c, d均为常数，且a 0) 的函 数常用此法求解。
(2)三角换元
函数的定义域是x 1 x 1 ,设x sint, t
2
2
则y x
1 x 2 化为y sint co st
2 sin(t )
4
3
t , t
2
2
4
44
2
sin(t ) 1, 1 y 2
2
4
函数的值域为
1，,2
⑥不等式法：利用基本不等式 ：a b 2 ab,(a,b R ) 求函数的值域。用此法时要注意均值不等式的使用条 件“一正、二定、三相等”。
（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意 义确定。
求函数值域的常用方法
①图像法 ②配方法 ③反函数法 ④判别式法
⑤换元法 ⑥不等式法 ⑦单调性法 ⑧求导法 ⑨数形结合法
①图像法：通过画出函数的图像从而得出函数的 值域。
例1. 求函数 f (x) x 1 x 2 的值域。
解：函数y x 1 x 2 的零点是x 1, x 2.
当x 1时，y 2x 1;当 1 x 2时, y 3; 当x 2时，y 2x 1
2x 1, (x 1)
f
(
x)
3, (1 x 2)
Biblioteka Baidu
2x 1, (x 2)
作出图像，如图，所以函数的值域为 y y 3
②配方法：是求“二次型函数”值域的基本方法，形 如F(x) af 2 (x) bf (x) c
例5：求下列函数的值域。
(1) y 2x 1 2x , (2) y x 1 x2
解： (1)代数换元
令t 1 2 x (t 0), 则x 1 t 2 2
y t 2 t 1 (t 1 ) 2 5
2
4
当t
1 即x 2
3 8
时，y max
5 , 无最小值。 4
函数值域为(，5 ] 4
x2 5
例7：求函数 y
的值域。
x2 4
解：y x 2 4 1 令t x 2 4 2, x2 4
故不能使用不等式法，但是y t 1 在t 2时为增函数。 t
y2 1 5 22
函数的值域为[ 5 ,). 2
⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其 导数求最值。
例8：函数 f (x) x3 3x 1 在闭区间[-3,0]上的最大