网格中的相似三角形概要

在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法

在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法随着计算机科学的发展，图形学已经成为一门重要的学科，日益受到广大研究者的关注。

在计算机图形学中有很多有趣的研究问题，其中之一是在连续正方形网格中绘制面积最大的格点相似三角形的基本方法。

本文主要讨论这一问题，首先介绍面积最大的格点相似三角形的定义和计算方法，其次探讨在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本方法，最后小结。

一、格点相似三角形的定义和计算方法一个格点相似三角形就是由格点组成的三角形，其定义如下：定义：一个格点相似三角形由三个格点组成，每个格点之间有一条直线相连，并且每个格点之间的距离都相等。

根据定义，一个格点相似三角形的面积可以计算出来，它等于三个格点之间的距离的平方，也就是底边的长度的平方，用公式表示为： S=a2其中，S表示三角形的面积，a表示三角形的底边长度。

二、在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法将正方形的网格分割成n行，每行有n个格子，每个格子的长度为a，最终将网格分割成均等的m个正方形小模块（m=n*n）。

那么在这样一个正方形网格中画出最大面积的格点相似三角形的最基本算法是什么呢？下面将用一个示例来说明。

假设现在要画一个面积最大的格点相似三角形，从模块（2，2）开始，分别选取模块（2，3）、模块（3，2），用它们三个模块形成的三角形就是面积最大的格点相似三角形，此时此三角形的面积为3a2。

同样的，这一算法也适用于n行n列的正方形网格，最终可以画出面积为n*(n-1)*a2的格点相似三角形。

三、小结本文介绍了在正方形网格中画面积最大的格点相似三角形的基本方法。

首先介绍了面积最大的格点相似三角形的定义和计算方法，然后讨论了在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本算法，最后总结了讨论的结果。

由上述讨论可知，在正方形网格中画出面积最大的格点相似三角形的基本算法是每行每列选取三个格子，每个格子间连线，最终得到的三角形的面积为n*(n-1)*a2。

“网格”中的相似三角形 ppt课件

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【例4】如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+ ∠3+∠4+∠5+∠6+ ∠7+∠8+∠9的度数是_____度.
2020/12/27
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【分析】图中的角分以下几种情况：
（1）易知∠3=∠5=∠7=450；∴原题中 ∠3+∠5+∠7=1350.
（2）∠1、∠4与∠8、∠9具有下图1的相同的位置：
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【练习】 Sin∠BAC的值为
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【例3】（2012·江苏泰州）如图，
在边长相同的小正方形组成的AB、CD相交于点P，则
tan∠APD的值是
．
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分析：∠APD不是某个直角三角形的角，需要构造出直角三角形。由ΔBDP～ΔACP 可求出AP、BP、CP、DP的长，ΔBCP三边一定。作CH⊥AB于H，求出CH即可。由网格ΔABC的面积求出CH。
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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分析：∠A不是某个直角三角形的角，需要构造出直角三角形。作CD⊥AB于D，求出CD即可。ΔABC的三边一定，面积一定，一边上的高CD易求。法1：由三边长度求面积；法2：由网格求面积。
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我

相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

相似三角形的知识点总结

相似三角形的知识点总结相似三角形是几何学中的重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在相似三角形中，对应角度相等，对应边的比例相等。

相似三角形的知识点包括相似比例、相似条件、相似性质以及相似定理等。

下面将逐一介绍这些知识点。

1. 相似比例：相似三角形的对应边的比例相等。

即若两个三角形ABC和DEF相似，则有AB/DE = AC/DF = BC/EF。

2. 相似条件：两个三角形相似的条件有三种情况：a) 两个三角形的对应角度相等；b) 两个三角形的两个对应角度相等，且两个对应边的比例相等；c) 两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等。

3. 相似性质：相似三角形具有以下性质：a) 相似三角形的对应角度相等；b) 相似三角形的对应边的比例相等；c) 相似三角形的对应角的平分线相交于一点；d) 相似三角形的内角平分线相交于一点。

4. 相似定理：相似三角形的定理有多个，其中一些重要的定理包括：a) AA相似定理：若两个三角形的两个对应角度相等，则两个三角形相似；b) SSS相似定理：若两个三角形的对应边的比例相等，则两个三角形相似；c) SAS相似定理：若两个三角形的一个对应角度相等，且两个对应边的比例相等，则两个三角形相似；d) 勾股定理的相似定理：若两个直角三角形的两条直角边分别成比例，则两个三角形相似。

相似三角形的知识点对于解决实际问题非常重要。

例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量阴影的长度和角度，计算出高楼的高度。

又如，在地图上测量两地的距离时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和角度，计算出实际距离。

相似三角形是几何学中的重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

通过掌握相似三角形的知识点，我们可以更好地理解几何学中的相似性质，从而应用于实际生活中的测量和计算中。

中考“网格”中的相似三角形问题

中考“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）分析先利用勾股定理求出△ABC2中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.解由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为122，而与△ABC2它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2ABC＝2，22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（）A.FB.GC.HD.OB A图2C D图1分析若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个图4FE 图3三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC 22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2＝2，所以AB DE ＝BCEF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .透过网格去看相似网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研究相似问题时具有独到上午效果．一、网格与相似三角形例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（）A ．P 1处；B ．P 2处；C ．P 3处；D ．P 4处图1分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题解：答案为C例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。

中考数学复习指导：中考数学“网格”中的相似三角形问题

中考数学“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）分析先利用勾股定理求出△ABC2，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.解由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为122，而与△ABC它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2ABC＝2，22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（）A.FB.GC.HD.OBA 图2 C D图1分析若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .例3在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个图4 图2 图3三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC 22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2＝2，所以AB DE ＝BC EF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .透过网格去看相似网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研究相似问题时具有独到上午效果．一、网格与相似三角形例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（）A ．P 1处；B ．P 2处；C ．P 3处；D ．P 4处图1分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题解：答案为C例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。

相似三角形的基本概念和性质

相似三角形的基本概念和性质相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题和计算中有着广泛的应用。

了解相似三角形的基本概念和性质对于理解几何学的相关知识以及解决问题都有着重要的意义。

本文将介绍相似三角形的概念以及与之相关的一些性质，并着重讨论应用相似三角形进行尺度计算和几何分析的方法。

一、相似三角形的基本概念相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边比例相等的三角形。

具体来说，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。

相似三角形有着相似的形状，但尺寸大小可能不同。

二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的基本性质，它说明了两个相似三角形具有相似的形状。

如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。

2. 相似三角形的对应边比例相等：对应边比例相等是相似三角形的另一个重要性质。

如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们就是相似的。

这一性质可以用来计算相似三角形的边长比例。

3. 相似三角形的周长比例相等：对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF，所以这两个三角形的周长比例也为AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质说明了相似三角形的周长比例是相等的，也就是说，相似三角形的边长比例与其周长比例相等。

4. 相似三角形的面积比例为边长比例的平方：如果两个相似三角形ABC和DEF之间的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。

这一性质可以用来计算相似三角形的面积比例。

三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 尺度计算：相似三角形的性质可以用来进行尺度计算。

例如，在地图上测量两个城市的距离时，可以利用相似三角形的性质来计算实际距离与地图比例尺之间的关系。

中考“网格”中的相似三角形问题

中考“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）分析先利用勾股定理求出△ABC 的三边分别是10、2、2，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比. 解由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为1，5，22，而与△ABC 三边的比分别为12，52，2210＝25显然它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2，5与△ABC 的三边的比分别为12＝22，22，510＝22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例 2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（）A.FB.GC.HD.O分析若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .图4 F E D C B A O H G F E 图 3D C B A图2 B A 图2AC B CD 图1 图3例3 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC ＝22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2，所以AB DE ＝BC EF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .。

初中数学相似三角形定理知识点总结精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。

相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的`预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。

相似三角形的知识点总结

相似三角形的知识点总结相似三角形是数学三角形中的一个重要考点，相关的知识点我们应该要掌握好。

下面就随小编一起去阅读相似三角形的知识点总结，相信能带给大家启发。

相似三角形的知识点总结定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形比值与比的概念比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1判定方法证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

方法一(预备定理)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明) 方法二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

方法三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似方法五(定义)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形三个基本型Z型 A型反A型方法六两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

一定相似的三角形1.两个全等的三角形(全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1)2.两个等腰三角形(两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

)3.两个等边三角形(两个等边三角形，三角都是60度，且边边相等，所以相似)4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形(母子三角形)图形的学习需要大家对于知识的详细了解和渗透，而不是一带而过。

相似三角形的判定(sss)概要

∴
ABC ∽ A' B ' C '
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由． AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 4 1 BC 6 1 (2) , , A' B' 12 3 B' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 AB BC AC . A' B' B' C ' A' C '
B` A
C`
∴
DE BC EA C A , BC BC CA CA
D
E
.
因此 DE BC, EA CA . ∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC ∽△ABC
B
C
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
求证: △A`B`C` ∽△ABC
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵
AB AC BC 又 AB AC BC
AD AB AD AB, AB AB
AD AE DE AB AC BC
C
B′
?
△ABC∽△A′B′C′
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一个与△ABC全等的三角形，证明它△A’B’C’与相似．这里所作的三角形是证明的中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．

网格中的相似三角形

例．在下列网格中探索格点线段的长度：在1×1的网格中，格点线段的长度为1在1×2的网格中，格点线段的长度为12在2×2的网格中，格点线段的长度为12在5×5的网格中，格点线段的长度的最小值为1，格点线段的长度的最大值为=是利用了勾股定理的知识计算三角形的边长。

一.已知相似比例1．在5×5的网格中画出格点△DEF，使格点△ABC∽格点△DEF，例2.在5×5的网格中画出格点△DEF ，使格点△ABC ∽格点△DEF ，且面积最大，并求出相似比。

归纳：寻找相似比的一般方法：可先确定最大边，再根据相似三角形的性质求另两边。

例4．（台州中考题）如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：∠ABC =________，BC =_______；（2）判断△ABC 和△DEF 是否相似，并证明你的结论。

例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）A B C D EF 图2 图1例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（）A.FB.GC.HD.O例3 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.图 3图2 图3 图4 B A。

中考数学复习指导：中考数学“网格”中的相似三角形问题

中考数学“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）分析先利用勾股定理求出△ABC2，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比.解由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为122，而与△ABC它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2ABC＝2，22，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B .例2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（）A.FB.GC.HD.OBA 图2 C D图1分析若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解.解因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C .例3在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中，作格点△ABC 和△OAB 相似(相似比不为1)，则点C 的坐标是_____.分析由于△OAB 是直角三角形，所以求得的格点△ABC 也一定是直角三角形，而在5×5的方格中以点O 为直角顶点的格点Rt △ABC 作不出来，只有分别以点A 或B 为直角的顶点可以作出Rt △ABC .解若以A 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(4，0)，若以B 为直角的顶点，作格点Rt △ABC ，则点C 的坐标为(3，2)，所以点C 的坐标是(4，0)或(3，2).例4 如图4，在4×4的正方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：∠ABC ＝_____，BC ＝_____；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.分析要解答第（1）小问，只要利用正方形的特性和勾股定理即可求解；而要判断△ABC 与△DEF 是否相似，可以利用“如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似”；或“如果一个图4 图2 图3三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似”来验证.解（1）利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC ＝180°－45°＝135°，由勾股定理得BC 22；（2）△DEF 中，∠DEF ＝135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB ＝2，BC ＝22；EF ＝2，DE ＝2.因为ABDE 2，BC EF ＝2＝2，所以AB DE ＝BC EF，且∠ABC ＝∠DEF ＝135°，所以△ABC ∽△DEF .透过网格去看相似网格型试题具有新颖性、直观性、可操作性和综合性，不仅能考查图形的对称、勾股定理、面积公式等数学知识，体现了分类讨论、数形结合等重要数学思想，而且能通过学生的识图、思考、动手操作、自主探究等过程，能较好地把数学知识与多种能力有效地整合在一起，符合新课程标准的要求．在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得；（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．利用这些特征就可以设计出很多有趣的、具有操作性的探究性的题目来，特别是在研究相似问题时具有独到上午效果．一、网格与相似三角形例1．如图1，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（）A ．P 1处；B ．P 2处；C ．P 3处；D ．P 4处图1分析：本题根据网格的特征结合三角形相似的判定条件即可解决问题解：答案为C例2．如图2，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )。

网格中的相似三角形

网格中的相似三角形
蔡盛
【期刊名称】《中学生数理化（八年级数学北师大版）》
【年(卷),期】2009(000)005
【摘要】在正方形网格中，我们称顶点是小正方形顶点的三角形为格点三角形．格点三角形是一类特殊的三角形，它的特殊在于边的长度或比值是确定的．近几年来的中考中，格点三角形的相似问题是命题的一个热点，因此很值得我们去研究．
【总页数】3页(P42-44)
【作者】蔡盛
【作者单位】湖北省黄冈中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.网格中的相似三角形 [J], 蔡盛
2.局域网资源在计算网格中的一种应用方式 [J], 李艳萍
3.服务网格中的事务服务及基于Petri网的正确性分析 [J], 唐飞龙;李明禄;黄哲学;王卓立
4.相似三角形专题复习——构造相似三角形 [J], 李静
5.正方形网格中找相似三角形方法初探 [J], 李厚明
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九年级数学上册25.6相似三角形的应用网格中的相似素材冀教版(new)

网格中的相似网格中的相似问题主要是用勾股定理计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题。

这类问题考查了学生的观察能力、猜想能力、探究能力，体现了新课标以学生为主体,重过程、重方法、重能力的精神.例1 如图1,在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有( )A 。

4对B 。

3对 C.2对 D 。

1对分析：本题是一道网格背景的探索性问题，图中可爱的小狐狸，增强了题目趣味性。

由网格的特征，同学们可以得到三角形三边长，利用“三边对应成比例,两三角形相似”可以使问题得以求解.例如:AC ∶BC ∶AB=,2:1:12:2:2=,2:1:110:5:5::==FG EG EF所以△ABC ∽△FGE;同理△HIJ ∽△HKL.故相似的三角形有2对，答案应选C.本题也可以根据“两边对成比例且夹角相等”来解决，例如:因为∠HIJ=∠HKL=0135,且IH ∶KH=IJ ∶KL=1:2，所以△HIJ ∽△HKL,同理有△ABC ∽△FGE.例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形。

在如图5×5的方格中,作格点△ABC 和△OAB 相似（相似比不为1)，则点C 的坐标是____________.分析：本题把正方形网格放在平面直角坐标系中，探索和△OAB 相似的△ABC 中点C 的坐标,体现了数形结合的数学思想，因为△OAB 是直角三角形，所以与它相似的△ABC 也是直角三角形;因为相似比不为1,所以AB 不可能为直角三角形的斜边,因此AB 为△ABC 的直角边,这样就出现了两种情形，∠BAC或∠ABC 是直角,根据图形可得符合条件的点C 有两个，坐标分别为(4，0)或(3，2).例 3 如图3,AB C D E G H M N ，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）,要使DEF △与ABC △相似，则点F 应是G H M N ，，，四点中的( ）A ．H 或NB ．G 或HC ．M 或ND ．G 或MH FGE DC BA图1LKJ I1C2C 图2E A BC NMG H图3分析：因为△DEF 与△ABC 相似，对应顶点不确定,因此解题时需分类讨论.根据网格的特征，知AB 的对应边为DE,若点D 的对应顶点是A ，利用“相似三角形对应高的比等于相似比"这条性质的逆向运用，可知点F 应取N;若点D 的对应点是B ，根据对称性,则点F 应取M.故选C ．例4 如图4,在4×4的正方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.⑴填空：∠ABC=_____，BC=_____;⑵判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论. 解析：⑴利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC=00013545180=-,由勾股定理得BC=222222=+；⑵△DEF 中,∠DEF=0135，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF,AB=2,BC=22；EF=2，DE=2.∵,2222,222====EF BC DE AB ∴EF BC DE AB =且∠ABC=∠DEF=0135,∴△ABC ∽△DEF 。

网格中的相似三角形

图中的两个三角形全等吗？图中哪个角是直角？如何只用一把直尺画出这个直角的平分线？
作业：
O(∩_∩)O谢谢
如图，在6×6的正方形网格中，已有线段 AB= 10 。以线段AB为公共边，画两个格点三角形，使这两个格点三角形相似但不全等。
（两种画法中，组成两对全等三角形的，算一种画法。）
从上面展示的图形可以看出，有些四边形可以分割成两个相似的三角形
拓展：下面的梯形你能将他们分割成3个彼此相似的三角形吗？
如图△AOB中，O是坐标原点，A的坐标是（2,0），B的坐标是（3,1），找一格点C，使 O,B,C三点所构成的三角形与△AOB相似。请写出C点所有可能的坐标。
如图△AOB中，O是坐标原点，A的坐标是（2,0），B的坐标是（3,1），找一格点C，使 O,B,C三点所构成的三角形与△AOB相似。请写出C点所有可能的坐标。
A
B
D
C
请你在5×5的网格中画出与△ABC 相似，且面积最大的格点三角形。
请你在2×7的网格中画出与△ABC ∠CAD的角平分线。
C
B
D
A
如图△AOB中，O是坐标原点，A的坐标是（2,0），B的坐标是（3,1），找一格点C，使 O,B,C三点所构成的三角形与△AOB相似。请写出C点所有可能的坐标。
网格中的相似三角形
在1×3的网格中，（1）△ABC 与△DBA相似吗？为什么？
（2）∠1+∠2+∠3等于多少度？
1
2
3
在编号为1、2、3、4的四个三角形
中，与△ABC相似的有
。
请你在2×5的网格中画出与△ABC 相似，但彼此不全等的三种格点三角形。
已知△ABC在网格中，
求证：∠BAC=135°.