必修五不等式知识点

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不等式的基本知识

(一)不等式与不等关系

1、应用不等式(组)表示不等关系;不等式的主要性质:

(1)对称性:a b b a <⇔> (2)传递性:c a c b b a >⇒>>,

(3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>;d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)

(4)乘法法则:bc ac c b a >⇒>>0,; bc ac c b a <⇒<>0,

bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)

(5) 倒数法则:b a ab b a 110,<⇒

>> (6)乘方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

(7)开方法则:)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论)

3、应用不等式性质证明不等式

(二)解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式()0002

2≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆,则不等式的解的各种情况如下表:

0>∆ 0=∆ 0<∆

二次函数 c bx ax y ++=2

(0>a )的图象

c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根

002

>=++a c bx ax 有两相异实根

)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(0

2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R

的解集)0(0

2><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅

2、简单的一元高次不等式的解法:

标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;

(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回;(3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<112023

3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0

()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >

若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

(三)线性规划

1、用二元一次不等式(组)表示平面区域

二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点)

3、线性规划的有关概念:

①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件.

②线性目标函数:

关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标函数.

③线性规划问题:

一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解:

满足线性约束条件的解(x ,y )叫可行解.

由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:

(1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数;

(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;

(3)依据线性目标函数作参照直线a x +b y =0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 (四)基本不等式2a b ab +≤ 1.若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2.如果a,b 是正数,那么).""(2

号时取当且仅当==≥+b a ab b a 变形: 有:a+b ≥ab 2;ab ≤22⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3.如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;

如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4

2

S . 注:(1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求

它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.

(2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等”

4.常用不等式有:(1)2222211a b a b ab a b

++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ;(2)a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号);(3)若0,0a b m >>>,则

b b m a a m

+<+(糖水的浓度问题)。 不等式主要题型讲解

(一) 不等式与不等关系 题型一:不等式的性质 1. 对于实数c b a ,,中,给出下列命题:

①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22;

③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 11,0<<<则

若; ⑤b

a a

b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b

c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______

题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)

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