高考数学大一轮复习 8.6双曲线 理

答案：(1)C (2)44
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双曲线的几何性质
【例2】 (1)(2014·广东卷)若实数k满足0<k<9，则
曲线2x52 －9－y2 k＝1与曲线25x－2 k－y92＝1的(
答案： 3
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双曲线的标准方程与几何性质
1．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1
(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
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2.等轴双曲线 实轴 和 虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐 近线方程为 y＝±x ，离心率为e＝ 2 .
为左支上一点，且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ________．
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解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n， m2＋n2－2mncos60°＝2c2， n－m＝2a， 所以mm22＋ ＋nn22－ －m2mnn＝＝201， 6， 所以mn＝4，所以S△F1PF2＝12mnsin60°＝ 3.
答案：D
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4．若双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则一
条渐近线的方程为( )
A．y＝ 3x＋1 B．y＝3x
C．y＝－3x＋1 D．y＝ 3x
解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±
b a
x＝
± c2－a2a2x＝± e2－1x，故渐近线方程为y＝± 3x.
答案：D
考点突破 解码命题
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双曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2014·大纲全国卷)已知双曲线C的离心
率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝( )
1
1
A.4
B.3
2 C. 4
2 D. 3
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(2)(2014·北京卷)设双曲线C的两个焦点为(－ 2 ，0)， ( 2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
则△PQF的周长为________．
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解析：(1)由题意知c＝ 4＋12 ＝4，设双曲线的左焦点 为F1(－4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线 右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲 线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4 或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.
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双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样 的关系？
提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．
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3．双曲线方程：
x2 |k|－2
＋
y2 5－k
＝1，那么k的范围是
() A．k>5
B．2<k<5
C．－2<k<2
D．－2<k<2或k>5
解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或 k>5.
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(2)由题意知双曲线的焦点在x轴上，且c＝ 2， 设其方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 又由顶点为(1,0)知a＝1，所以b＝ c2－a2＝1. 故所求双曲线的方程为x2－y2＝1. 【答案】 (1)A (2)x2－y2＝1
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(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1| －|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算 问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦 距．
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与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动 点的轨迹一定为双曲线吗？
提示：只有当2a<|F1F2|，且2a≠0时，轨迹才是双曲 线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线； 若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．
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1．判一判 (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点 的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等 于8的点的轨迹是双曲线．( ) 答案：(1)× (2)×
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2．已知双曲线
x2 4
－y2＝1的左、右焦点为F1，F2，点P
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5．已知点(2,3)在双曲线C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：由题意可得
a42－b92＝1 2c＝4
a2＋b2＝c2
a＝1 ，解之得b＝ 3 ，
c＝2
所以所求离心率e＝ac＝21＝2.
答案：2
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热点命题·突破 02
必考部分
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第八章
平面解析几何
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第六节 双曲线
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主干知识·整合 热点命题·突破
课堂实效·检测 课时作业
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主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
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双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离
之差的绝对值 为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲
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(2)由x92－1y62 ＝1得a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知||PQFF||－－||PQAA|＝|＝22aa＝＝66，， ∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题 时，弄清点在双曲线的哪支上．
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(1)若双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1上的一点P到它的右焦点的距离
为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
A．4
B．12
C．4或12
D．6
(2)已知F为双曲线C：x92－1y62 ＝1的左焦点，P，Q为C上
的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，
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【解析】 (1)∵双曲线的离心率为2，∴ac＝2， ∴a b c＝1 3 2.
又∵||AFF1A1||－ ＝2|A|FF22A|＝|，2a， ∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a， ∴|F1F2|＝2c＝4a， ∴cos∠AF2F1＝|AF2|22＋|A|FF12F||F2|12F－2||AF1|2 ＝4a22＋×126aa×2－41a6a2＝146aa22＝14，选A.