高考数学大一轮复习 8.6双曲线 理
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第6节 双曲线
A.1
√
B.17
C.1或17
D.8
解析:(2)对于 - =1 ,a2=16,b2=20,
所以c2=a2+b2=36,a=4,c=6,
又|PF1|=9<a+c,所以点P在双曲线的左支,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
所以|PF2|=17,故选B.
)
考点二
双曲线的标准方程
| | +| | -
cos∠F1PF2=
| || |
= ,
整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①
根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,
则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②
解析:(1)由题意,双曲线 C1 的焦距 2c=4 ,又 C1 过点(3,1),
若 C1 的焦点在 x 轴上,设双曲线 C1 的方程为 -=1(a>0,b>0),
将点(3,1)代入 - =1(a>0,b>0),
得 - =1,①
2
2
2
又 a +b =c =8,②
)
解析:(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
= - ,
+ = ,
则
解得
+ = ,
= ,
故双曲线的标准方程为 - =1.故选 B.
考点三
双曲线的简单几何性质
角度一
渐近线
2025年高考数学一轮复习-8.6.1双曲线的定义、方程与性质【课件】
1关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的中
垂线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹是（
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 圆
）
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解析：如图，连接 ON ，由题意可得｜
ON ｜＝1，且 N 为 MF 1的中点，又 O 为 F 1 F 2
的中点，所以｜ MF 2｜＝2.因为点 F 1关于点 N
第1课时 双曲线的定义、方程与性质
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C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
PART
1
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双曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）已知定点 F 1（－2，0）， F 2（2，0）， N 是圆 O ： x
2＋ y 2＝1上任意一点，点 F
合｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝2 a ，运用平方的方法，建立关
于｜ PF 1｜·｜ PF 2｜的方程.
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2. 求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，
列出参数 a ， b ， c 的方程（组）并求出 a ， b ， c 的值；
1
1 2
｜2 ｜2 ＋｜2 ｜2 ＝
1
（ ）2 ＋（
2
21
2
5） ＝
.
2
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双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线问题
【例2】
2
（1）设 F 1， F 2是双曲线 C ： 2
高考数学复习考点知识专题讲解课件47---双曲线
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解析：由题意得ba＝34，c2＝a2＋b2＝25，所以 a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标 准方程为1x62 －y92＝1. 答案：B
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(2)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直
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6．共轭双曲线 (1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么 这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒 数的平方和等于 1.
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题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线．( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线．( × )
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题型分类 深度剖析
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题型一 双曲线的定义 例 1 (1)已知定点 F1(－2,0)，F2(2,0)，N 是圆 O：x2＋y2＝1 上任意一点，点 F1
关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的
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解 析 ： 椭 圆 C1 的 离 心 率 为
a2－b2 a
，
双
曲
线
C2 的 离 心 率 为
a2＋b2 a
，
所
以
2022版新教材高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.6双曲线学案新人教A版202105192134
8.6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做,两焦点间的距离叫做.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;(3)若a c,则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质图形续表2 2−y2b2=1(a>0,b>0)y2a2−x2b2=1(a>0,b>1.过双曲线x2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2−y 0y b 2=1.2.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 0,y 0)为双曲线上任意一点,且不与点F 1,F 2共线,∠F 1PF 2=θ,则△F 1PF 2的面积为b 2tanθ2.3.若点P (x 0,y 0)在双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)内,则被点P 所平分的中点弦的方程为x 0x a 2−y 0y b 2=x 02a 2−y 02b 2.4.双曲线中点弦的斜率公式设点M (x 0,y 0)为双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的弦AB (不平行y 轴)的中点,则k AB ·k OM =b 2a2,即k AB =b 2x0a 2y 0.5.双曲线的焦半径公式双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),当点M (x 0,y 0)在双曲线右支上时,|MF 1|=ex 0+a ,|MF 2|=ex 0-a ;当点M (x 0,y 0)在双曲线左支上时,|MF 1|=-ex 0-a ,|MF 2|=-ex 0+a.6.若P 是双曲线右支上一点,F 1,F 2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF 1|min =a+c ,|PF 2|min =c-a.7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b 2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)双曲线x2m2−y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2=0,即xm±yn=0.()(3)关于x,y的方程x2m −y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)与双曲线x2m −y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m−y2n=λ(λ≠0).()(5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.()2.“m>0”是“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为()A.x212-y2=1 B.x29−y23=1C.x2-y23=1 D.x223−y232=14.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是√5,则a=() A.√6 B.4C.2D.125.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为.关键能力学案突破考点双曲线的定义【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,则双曲线C的虚轴长为.(2)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ,B 两点.若△ABF 2的内切圆与边AB ,BF 2,AF 2分别相切于点M ,N ,P ,且|AP|=4,则a 的值为 .解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 29=1(a>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M 在双曲线C 上,且|MF 2|=6,则|MF 1|=( )A.2或14B.2C.14D.2或10(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线交双曲线C 的左支于A ,B 两点,且|AF 2|=3,|BF 2|=5,|AB|=4,则△BF 1F 2的面积为 .考点双曲线的标准方程【例2】(1)已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切,与圆C 2:(x-4)2+y 2=2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22−y 214=1(x ≥√2) B.x 22−y 214=1(x ≤-√2) C.x 22+y 214=1(x ≥√2) D.x 22+y 214=1(x ≤-√2)(2)在平面直角坐标系中,经过点P (2√2,-√2),渐近线方程为y=±√2x 的双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 22=1 B.x 27−y 214=1C.x 23−y 26=1D.y 214−x 27=1(3)已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ,若(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线的标准方程可能为( ) A.x 24−y 23=1B.x 23−y 24=1C.x 216−y 29=1D.x 29−y 216=1解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法 (1)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1共渐近线的方程可设为x 2a 2−y 2b 2=λ(λ≠0);(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax ,则双曲线的方程可设为x 2a2−y 2b 2=λ(λ≠0);(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x 2m +y 2n=1(mn<0)或mx 2+ny 2=1(mn<0).对点训练2(1)(2020河南安阳模拟)过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点F (c ,0)作其渐近线y=√32x 的垂线,垂足为M ,若S △OMF =4√3(O 为坐标原点),则双曲线的标准方程为( )A.x 24−y 23=1 B.x 28−y 26=1 C.x 216−y 212=1D.x 232−y 224=1(2)过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线,与双曲线C 的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C 的右焦点F 为圆心,4为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( )A.x 24−y 212=1 B.x 27−y 29=1 C.x 28−y 28=1 D.x 212−y 24=1(3)经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7)的双曲线的标准方程为 .考点双曲线的几何性质(多考向探究)考向1 求双曲线的渐近线方程【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F ,点A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB 为直径的圆过点F 且交双曲线C 的左支于M ,N 两点,若|MN|=2,△ABF 的面积为8,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±2xD.y=±12x解题心得求双曲线的渐近线方程的方法依据题设条件,求出双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)中a ,b 的值或a 与b 的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( )A.y=±√33x B.y=±√3x C.y=±√22xD.y=±√2x考向2 求双曲线的离心率【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0),F 为双曲线C 的右焦点,A 为双曲线C 的右顶点,过点F 作x 轴的垂线,交双曲线C 于M ,N 两点.若tan ∠MAN=-34,则双曲线C 的离心率为( )A.3B.2C.43D.√2解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法 (1)求a ,b ,c 的值,由e=ca =√1+b 2a 2直接求出e.(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助b 2=c 2-a 2消去b ,然后转化为关于e 的方程(或不等式)求解.对点训练4(2019全国2,理11)设F 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则C 的离心率为( )A.√2B.√3C.2D.√5考向3 与双曲线有关的取值范围问题【例5】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点,若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36) C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33)解题心得与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化为不等式求解.(2)若条件中没有明显的不等关系,则要善于发现隐含的不等关系来解决. 对点训练5已知焦点在x 轴上的双曲线x 28-m+y 24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .考点双曲线与圆的综合问题【例6】已知点P 为双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,F 1,F 2为双曲线C 的左、右焦点,若|PF 1|=|F 1F 2|,且直线PF 2与以双曲线C 的实轴为直径的圆相切,则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y=±43x B.y=±34xC.y=±35xD.y=±53x对点训练6过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点F 作圆O :x 2+y 2=a 2的两条切线,切点为A ,B ,双曲线的左顶点为C ,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±√3xB.y=±√33x C.y=±√2x D.y=±√22x8.6 双曲线 必备知识·预案自诊知识梳理1.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)< (2)= (3)> 3.坐标轴 原点 (-a ,0) (a ,0) (0,-a )(0,a)a2+b22a2b考点自诊1.(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2.A由“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m<-2,又“m>0”是“m>0或m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程x 2m −y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.3.C由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(√2,√3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得{2a2-3b2=1,b a =√3,解得{a=1,b=√3.故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.4.D∵双曲线的离心率e=ca =√5,c=√a2+b2,∴√a2+1a=√5,解得a=12.故选D.5.5 3由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=√1+b2a2=√1+169=53.关键能力·学案突破例1(1)2√2(2)2(1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=2√3,所以S△AF1F2=2√3,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=2√3,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为2√2.(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.对点训练1(1)C(2)92(1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6<a+c=9,知点M在双曲线C的右支上.由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.(2)因为|AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.例2(1)A(2)B(3)D(1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=2√2<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2√2的双曲线的右支上,所以a=√2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22−y214=1(x≥√2).(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±√2x ,所以可设所求双曲线的方程为2x 2-y 2=k (k ≠0).又点P (2√2,-√2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x 2-y 2=14,所以双曲线的标准方程为x 27−y 214=1.故选B .(3)由(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可知(F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即|F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|F 2A|=|F 1F 2|=2c.又AF 2的斜率为247,所以cos ∠AF 2F 1=-725.在△AF 1F 2中,由余弦定理得|AF 1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a ,即c a=53,所以a ∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x 29−y 216=1.故选D .对点训练2(1)C (2)A (3)y 225−x 275=1(1)由题意易得|FM|=b ,又|OF|=c ,FM ⊥OM ,所以|OM|=√|OF |2-|FM |2=a.联立{ba =√32,12ab =4√3,解得{a =4,b =2√3, 所以双曲线的标准方程为x 216−y 212=1.故选C .(2)不妨设渐近线y=ba x 与直线x=a 交于点A ,则点A (a ,b ).依题意,c=4,√(4-a )2+b 2=4,a 2+b 2=c 2=16,解得a 2=4,b 2=12,故双曲线的标准方程为F 24−y 212=1.(3)设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1(mn<0).因为所求双曲线经过点P (3,2√7),Q (-6√2,7), 所以{9m +28n =1,72m +49n =1,解得{m =-175,n =125.故所求双曲线的方程为y 225−x 275=1.例3B 不妨设点A ,B 在直线y=b a x 上,点F (c ,0),则设点A (x 0,b a x 0),B -x 0,-bax 0.因为以AB 为直径的圆过点F ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2-x 02−b 2a2x 02=c 2-c 2a2x 02=0,所以x 0=±a.所以S △ABF =12·c·|2bax 0|=bc=8.由{x 2+y 2=c 2,x 2a 2-y 2b 2=1,得y=±b 2c ,则|MN|=2b 2F=2,即b 2=c.所以b=2,c=4,所以a=√c 2-b 2=2√3.所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√33x.故选B .对点训练3A 由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=12,即x 2a 22−y 2b 22=1的焦点相同,可得a 2-b 2=a 22+b 22,即a 2=3b 2,所以ba =√33.所以双曲线的渐近线方程为y=±√33x.故选A .例4B 由题意可知tan ∠MAN=2tan∠MAF1-tan 2∠MAF =-34,解得tan ∠MAF=3.令x=c ,则y=±b 2a , 可得tan ∠MAF=b 2ac -a =c 2-a 2ac -a=c+a a=3,则e=ca =2.故选B .对点训练4A 如图,设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴.∵|PQ|=|OF|=c ,∴|PA|=c2.∴PA 为以OF 为直径的圆的半径,A 为圆心,∴|OA|=c2. ∴Pc 2,c 2.又点P 在圆x 2+y 2=a 2上,∴c24+c 24=a 2,即c22=a 2,∴e 2=c2a 2=2,∴e=√2.故选A .例5A 因为点F 1(-√3,0),F 2(√3,0),x 022−y 02=1,所以MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3-x 0,-y 0)·(√3-x 0,-y 0)=x 02+y 02-3<0,即3y 02-1<0,解得-√33<y 0<√33.对点训练5(0,2) 因为双曲线x 28-m+y 24-m =1的焦点在x 轴上,所以{8-m >0,4-m <0,解得4<m<8.所以焦点到渐近线的距离d=√m -4∈(0,2).例6A 如图.由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=√c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc =(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.对点训练6A如图,连接OA,OB.设双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则点C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°.因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.因为FA与圆O相切于点A,所以OA⊥FA.在Rt△AOF中,因为∠AOC=60°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=√c2-a2=√(2a)2-a2=√3a.所以双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√3x.。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
高考数学一轮复习第8章解析几何第6讲双曲线
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1平面内到点F1(0,4,F2(0,－4距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2方程 － ＝1(mn＞0表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3双曲线方程 － ＝λ(m＞0,n＞0,λ≠0的渐近线方程是 － ＝0,即 ± ＝0．( √ )
(4等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 ．( √ )
(5若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0的离心率分别是e1,e2,则 ＋ ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( A )
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|,
∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线．
(2设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|＝4＋|PF1|,所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知,当点A,P,F1共线时,满足|PF1|＋|PA|最小,|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5,故所求的最小值为9．
(4过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5双曲线的离心率公式可表示为e＝ ．
(6双曲线的形状与e的关系：|k|＝ ＝ ＝ ,e越大,即渐近线斜率的绝对值就越大,双曲线开口就越开阔．
(7 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为1．
2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课时跟踪检测理
8.6 双曲线[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届合肥质检)若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得ba＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B. 答案：B2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 解析：由条件e ＝c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.答案：D4．(2017届长春质检)过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19解析：由题可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13.答案：B5．(2018届河南六市第一次联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C.13D ．15解析：由题意，设|AB |＝3k ，|BF 2|＝4k ，|AF 2|＝5k ，则BF 1⊥BF 2.∵|AF 1|＝|AF 2|－2a ＝5k －2a ，|BF 1|－|BF 2|＝5k －2a ＋3k －4k ＝4k －2a ＝2a ，∴a ＝k ，∴|BF 1|＝6a ，|BF 2|＝4a .又|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，即13a 2＝c 2，∴e ＝ca＝13.答案：C6．(2018届合肥市第二次质量检测)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B ．3＋22C.3＋32D ．332解析：由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 答案：A7．(2018届湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<abc c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2. 答案：(2，2)8．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |>|PB |. 因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52， 所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2139．(2017年全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：∵|AM |＝|AN |＝b ，∠MAN ＝60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴在△MAN 中，MN 上的高h ＝32b . ∵点A (a,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc， ∴ab c ＝32b ， ∴e ＝c a＝23＝233. 答案：23310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，当F 1、P 、F 2三点共线时，即∠F 1PF 2＝π时，cos ∠F 1PF 2有最小值为－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得1<e ≤53，即e 的最大值为53.答案：5311．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，|AB |＝43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7，5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R )三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1(λμ<0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以双曲线C 的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，① Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝22＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.[能 力 提 升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635. 2．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2， 即x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2， 即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：8.6 双 曲 线
5 c ＝ ＝ 2 a b 1 所以 ＝ ， a 2 解析：
高频考点全通关——双曲线的几何性质及应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
π x2 y2 1. (2013·湖北高考 )已知 0<θ< ，则双曲线 C1： 2 － 2 ＝1 与 4 sin θ cos θ y2 x2 C2： 2 － 2 ＝1 的( ) cos θ sin θ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
第六节
双 曲 线
考 纲 展 示
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程， 知道它的简单几何性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、 了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用． 3．理解数形结质及应用 闯关一：了解考情，熟悉命题角度
【考情分析】
高频考点全通关——双曲线的几何性质及应用
闯关三：总结问题类型，掌握解题策略
与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略
(1)求双曲线的离心率 (或范围)． 依据题设条件，将问题转化为关于 a， c 的等式(或不等式)， 解方程(或不等式)即可求得． (2)求双曲线的渐近线方程． 依据题设条件，求双曲线中 a， b 的值或 a 与 b 的比值，进 而得出双曲线的渐近线方程． (3)求双曲线方程． 依据题设条件，求出 a， b 的值或依据双曲线的定义，求双 曲线的方程． (4)求双曲线焦点(焦距 )、实虚轴的长． 依题设条件及 a， b， c 之间的关系求解．
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
故得|MC1|-|MC2|=2 2.在④的情况下,
同理得|MC2|-|MC1|=2 2.
由③④得|MC1|-|MC2|=±2 2.
已知|C1C2|=8,根据双曲线定义,
可知点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线,
且 a= 2,c=4,b2=c2-a2=14,
22
其方程为 - =1.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准
xa22-by22=1
方程
(a>0,b>0)
ya22-bx22=1 (a>0,b>0)
图形
性 范围
质
x≤-a 或 x≥a,y∈R
y≤-a 或 y≥a,x∈R
对称轴:坐标轴 对称中心:原 对称性
点
顶点坐标:
顶点坐标:
顶点
A1(-a,0),
A1(0,-a),
A2(a,0)
22
2.已知 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|
4 12
的最小值为 ( )
A.9B.8 C.7 D.6
22
【解析】选 A.由 - =1,得 a2=4,b2=12,
4 12
则 a=2,b=2 3,c= 2 + 2=4,
所以左焦点为 F(-4,0),右焦点为 F'(4,0),
22
4.(结论 1)若双曲线 2- 2=1 的焦点 F(3,0)到其渐近线的距离为 5,则双曲线的方程
为( )
22
22
A. - =1 B. - =1
45
54
22
22
C. - =1 D. - =1
高考理科数学一轮复习双曲线课件
离心率与渐近线的应用
总结词
离心率与渐近线的应用是双曲线复习中 的重点和难点，需要结合具体例题进行 讲解和练习，掌握离心率和渐近线在解 题中的应用技巧。
VS
详细描述
数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，参数方程和极坐标方程是解决双曲线相 关问题的常用方法，能够提高解题效率。
THANKS
高考理科数学一轮复习双曲线课件
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目录
• 双曲线的定义与几何性质 • 双曲线的标准方程与焦点位置 • 双曲线的离心率与渐近线 • 双曲线的切线与法线 • 双曲线的参数方程与极坐标方程
01
双曲线的定义与几何性质
双曲线的定义
总结词
双曲线是由两个固定的点（焦点）和一条连接这两点的线段（准线）所形成的 所有点的集合。
详细描述
双曲线具有对称性，关于x轴和y轴都是对称的。离心率是双曲线的一个重要几何性质，表示焦点到中心的距离与 半径的比值，离心率越大，双曲线的开口越开阔。渐近线是双曲线接近无穷远时的边界线，其方程可以由标准方 程推导得出。
02
双曲线的标准方程与焦点位 置
双曲线标准方程的推导
1 2
3
定义法
根据双曲线的定义，通过两个焦点到任意一点P的距离之差 为常数（2a）来推导双曲线的标准方程。
法线定义
法线是与切线垂直并通过切点的直线 。
切线与法线的求法
切线求法
通过求导数或利用切线的定义，找到曲线在某一点的斜率，然后根据点斜式方程求出切 线方程。
法线求法
利用切线与法线垂直的关系，先求出切线的斜率，然后取其负倒数即为法线的斜率，再 根据点斜式方程求出法线方程。
【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件：8.6 双曲线(共24张PPT)
A.3
B.2
C. 3
D. 2
解析:由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2, 而椭圆与双曲线有相同的焦点.
������
故离心率之比为
������2 ������
������1
=
������������12=2.
第八章
8.6 双曲线
-21-
1234
2.(2013 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C:������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30°,则 C 的离心率为
-17-
(2)设 P 为直线 y=3������������x 与双曲线������������22 − ������������22=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左
焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=
32 4
.
解析:因为 F1 为左焦点,PF1 垂直于 x 轴,
所以 P 点坐标为
点的轨迹叫做 双曲线 .这两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间 的距离叫做双曲线的 焦距 .
想一想双曲线定义中,为什么要规定||PF1|-|PF2||<|F1F2|?
答案:(1)在双曲线的定义中,除了满足||PF1|-|PF2||=定值,还要满 足||PF1|-|PF2||<|F1F2|且不等于零这一条件,动点 P 的轨迹才是双曲 线;若||PF1|-|PF2||=|F1F2|,则动点 P 的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条 射线(包括端点);若||PF1|-|PF2||=0,则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 的垂 直平分线;若||PF1|-|PF2||>|F1F2|,则动点 P 的轨迹不存在.(2)若定义 中的“绝对值”去掉后,则动点 P 的轨迹为双曲线的一支.若 |PF1|-|PF2|=定值,则动点 P 的轨迹为双曲线靠近 F2 的一支;若 |PF2|-|PF1|=定值,则动点 P 的轨迹为双曲线靠近 F1 的一支.
【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：8.6双曲线]
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第6课时双曲线1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．[对应学生用书P140]【梳理自测】一、双曲线的概念(教材改编)已知点F1(－4，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是________．答案：x29－y27＝1(x≥3)◆此题主要考查了以下内容：平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0；(1)当2a＜2c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝2c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞2c时，P点不存在．二、双曲线标准方程及性质1．(教材改编)双曲线x210－y22＝1的焦距为( )A．3 2 B．4 2C．3 3 D．4 32．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A .31414 B .324 C .32D .434．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________． 答案：1.D 2.A 3.C 4.－14◆此题主要考查了以下内容：1．一条规律根据方程中x 2与y 2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置，即焦点在实轴上． 2．两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m －y2n＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．3．三个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．[对应学生用书P141]考向一双曲线的定义及标准方程(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26C．43 D．50(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y23＝1.【答案】 (1)B (2)x 24－y23＝1【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y2n ＝1(mn ＞0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．1．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)与双曲线x 216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解析：(1)设所求双曲线方程为x 29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝14，即x 294－y24＝1. (2)设双曲线方程为x 216－k －y24＋k ＝1，将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y28＝1.考向二 双曲线的性质及应用(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B .7C .13D .15【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7，故选B .【答案】 (1)C (2)B【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bcb 2＋a2＝b ，∴b 2＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝ 1＋b2a2＝ 2. 答案： 2考向三 直线与双曲线的综合应用已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l与y 轴交于点P ，若PA →＝512PB →，则a ＝________．【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a2a 2－1，①x 1x 2＝2a2a 2－1，②又P(0，1)，由PA →＝512PB →，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，从而x 1＝512x 2，③ 由①③，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝517·2a 2a 2－1，x 2＝1217·2a 2a 2－1代入②， 得517×1217×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a 2－12＝2a2a 2－1， 即2a 2a 2－1＝28960，解得a ＝1713，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－1713舍去. 【答案】1713【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.由此转化为两点坐标的关系．(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[对应学生用书P 142]双曲线与渐近线的关系不清致误(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±24x C ．y ＝±x D ．y ＝±22x 或y ＝±24x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2， ∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D . 【答案】 D【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±ba x ，而错选为A .(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2＝a 2－b 2混淆致错．【警示】 (1)对于方程x 2a 2－y 2b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求ba 的值，但要分焦点的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．1．(2013·高考福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A .25B .45C .255 D .455解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．双曲线的渐近线为直线y ＝±12x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝|±2±0|5＝255. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1B .x 24－y25＝1 C .x 22－y 25＝1 D .x 22－y25＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y25＝1，选B .3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1cos θ；双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<π4，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θsin θ＝1cos θ. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等。
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
1.焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线 －x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 － ＝1 . 解析：设所求双曲线的标准方程为 －x2＝－λ（λ＞0），即 － ＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
2.经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为 － ＝1 . 解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，
A.
B.
C.
D.
（2）（2022·全国甲卷 15 题）记双曲线 C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，写出满足条
件“直线 y＝2x 与 C 无公共点”的 e 的一个值 2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可） .
7 / 15
解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝ + － × × × cos °＝ m， 所以 C 的离心率 e＝ ＝ ＝ ｜ ｜ ＝ ＝ .
双曲线定义的应用主要有两个方面
1.已知动点 M（x，y）满足 （ + ） ＋ － （ － ） ＋ ＝4，则动点 M 的轨迹是（ ）
A.射线 C.椭圆
B.直线 D.双曲线的一支
4 / 15
解析：A 设 F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点 M 满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，
PF2｜，则 cos∠F1PF2＝
；
（2）已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点，A（1，4），P 是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜ ＋｜PA｜的最小值为 9 . 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2 ，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4 ，
双曲线高三数学一轮复习考点课件
03
双曲线与圆关系
圆与双曲线交点问题
交点个数判断
通过联立圆与双曲线的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式判断交点个 数。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理求解交点坐标。
切线长公式及应用
切线长公式
切线长公式为$|TA| cdot |TB| = |OP|^2 - r^2$，其中$TA, TB$为切 点，$OP$为圆心到直线的距离，$r$ 为圆半径。
标准方程
双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在x轴上）或$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在y轴上），其中a、b分别为双曲线的实半轴和虚 半轴。
焦点、准线与离心率
焦点
双曲线的两个焦点到曲线上任意 一点的距离之差等于常数，且这
双曲线高三数课学件一轮复习考点
汇报人：XX 2024-01-13
目 录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线与直线关系 • 双曲线与圆关系 • 双曲线综合应用 • 历年高考真题回顾与模拟测试
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长 度之差等于常数（且小于两定点间距离）的点的轨迹”构成 的曲线。
知识梳理
题型训练
建议学生对双曲线的相关知识点进行全面 梳理，形成完整的知识体系。
针对不同类型的题目进行专项训练，提高 解题速度和准确性。
错题总结
考前冲刺
鼓励学生建立错题本，对做错的题目进行 总结和反思，避免重复犯错。
在考试前进行模拟测试和针对性复习，巩 固所学知识，提高应试能力。
高三数学一轮复习 第八章 第6课时 双曲线课件
顶点坐标： 顶点 A1__(_－___a__,0__)__，
A2__(_a__,0__)__
顶点坐标：
A1__(_0_，____－___a_)__， A2_(_0_，___a__)_
渐近线 _y_＝__±_ba_x__
_y_＝__±_ab_x__
性
离心率
c e＝_a__，e∈(_1_，__＋__∞_)，其中c＝__a2_＋_b_2
(2)(2010·辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的
一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
5＋1 D. 2
解析： (1)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， ∴c＝4.∵e＝ac＝2，∴a＝2，∴b2＝12，∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(±4,0)， 渐近线方程为 y＝±bax，即 y＝± 3x，
上存在点 P，满足|PF2|＝|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线 的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
【全解全析】 如图，由题意得
|PF2|＝|F1F2|＝2c，|F2M|＝2a. 在△PF2M 中，|PF2|2＝|F2M|2＋ |PM|2，
3．若双曲线的渐近线方程是 y＝±bax，则双曲线
方程可表示为xa22－by22＝λ(λ≠0)．
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；
(2)与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近线，且过点
M(2，－2)．
解析： (1)∵双曲线经过点 M(0,12)，
8.6双曲线 -2022届高考数学一轮复习讲义
8.6 双曲线一、学习目标1.理解双曲线的定义；2.掌握双曲线的标准方程及简单几何性质；3.会求双曲线的离心率和渐近线方程.二、知识要点1.双曲线定义：平面内，满足c F F a PF PF 222121=<=-的动点P 的轨迹；2.标准方程与几何性质：标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y 图 形性质 范围 a x -≤或a x ≥a y -≤或a y ≥顶点 ),0(),,0(),0,(),0,(2121b B b B a A a A -- )0,(),0,(),,0(),,0(2121b B b B a A a A --渐近线方程x ab y ±= x ba y ±= 对称性 既关于y x ,轴对称，又关于原点O 对称离心率),1(+∞∈=ace c b a ,,关系222b a c +=实轴a A A 221=，虚轴b B B 221=焦半径 a c PF -≥1焦点三角形设θ221=∠PF F ，则θtan 221b S PF F =∆三、课前热身：1.椭圆1322=-y x 的焦点坐标为______，离心率为_____，渐近线方程为_________.【答案】)0,2(±，332，x y 33±= 2. 双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________.【答案】323．已知方程22121x y λλ-=++表示双曲线，则λ的取值范围是________.【答案】),1()2,(+∞---∞4.设21,F F 是双曲线1811622=-y x 的焦点，P 是双曲线上一点，91=PF ，则=2PF ______. 【答案】175. 已知)0,5(-A ，)0,5(B ，动点6=-PB PA ，则点P 的轨迹方程是__________.【答案】116922=-y x （0>x ） 三、典例分析例1.（1）一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线（2）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为 ．【答案】（1）C ； （2）9.例2.（1）与椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程是__________．（2）已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，且过点)23,4(P ，则该双曲线的方程为____________．【答案】（1）1422=-y x ； （2）118822=-y x . 例3．（1）设21,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=（2）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点(,0)F c -，其中c 满足0c >，且222c a b =+，直线330x y c -+=与双曲线在第二象限交于点A ，若||||OA OF =（O 为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．102y x =±B ．22y x =± C ．62y x =±D ．52y x =±【答案】（1）C ； （2）C.例4．（1）已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，它们的离心率分别为12,e e ，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=.若123e e =，则2e =（ ） A ．6+12B ．6+22C ．6+32D ．6+22（2）如图1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是________.【答案】（1）B ； （2）62.五、课外作业基础题：1．双曲线2212x y -=左、右焦点坐标分别是（ ）A ．()2,0-，()2,0B ．()3,0-，)3,0C ．()2,0-，)2,0D ．()1,0-，()1,0【答案】B2．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．14y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，渐近线方程为30x y ±=，则该双曲线实轴长为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．23【答案】A4．已知定点(,0)P m ，动点Q 在圆O ：2216x y +=上，PQ 的垂直平分线交直线 OQ 于M 点，若动点M 的轨迹是双曲线，则m 的值可以是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D5．已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=（a ＞0，b ＞0）的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B （0，-b ），P 为双曲线左支上的动点，若四边形FBAP 为平行四边形，则双曲线的离心率为（ ）A ．43 B ．21+ C ．231-D ．83【答案】B6．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于,A B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若2AF FB =，则（ ）A ．2281e k -=B ．2281e k -=C ．2291e k -=D ．2291k e -=【答案】C7. 已知双曲线2214y x -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则21F PF ∆的面积为________． 【答案】48．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点.若223F Q F P =，则该双曲线的离心率为_______. 【答案】39.设O 为坐标原点，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足1260F PF ∠=︒，7OP a =，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】x y 2±=10．如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以2OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P ，线段1PF 与另一条渐近线交于点Q ，且2OPF △的面积是OPQ △面积的2倍，则该双曲线的离心率为_________.【答案】2C 提高题：1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为A ，直线1AF 与双曲线的左支交于点B ，且2AB AF =，设双曲线的离心率为e ，则2e =（ ） A ．332+ B ．322+ C ．532+ D ．522+【答案】D2．如图，已知椭圆1E 和双曲线2E 在x 轴上具有相同的焦点1F ，2F ，设双曲线2E 与椭圆1E 的上半部分交于A ，B 两点，线段2AF 与双曲线2E 交于点C .若22223AF BF CF ==，则椭圆1E 的离心率是（ ） A ．23B ．12C 5D 3【答案】C。
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1．判一判 (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点 的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等 于8的点的轨迹是双曲线．( ) 答案：(1)× (2)×
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2．已知双曲线
x2 4
－y2＝1的左、右焦点为F1，F2，点P
必考部分
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第八章
平面解析几何
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第六节 双曲线
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主干知识·整合 热点命题·突破
课堂实效·检测 课时作业
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主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
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双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离
之差的绝对值 为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲
线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦 距．
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与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动 点的轨迹一定为双曲线吗？
提示：只有当2a<|F1F2|，且2a≠0时，轨迹才是双曲 线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线； 若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．
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(2)由题意知双曲线的焦点在x轴上，且c＝ 2， 设其方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 又由顶点为(1,0)知a＝1，所以b＝ c2－a2＝1. 故所求双曲线的方程为x2－y2＝1. 【答案】 (1)A (2)x2－y2＝1
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(1)双曲线定义的集合语言：P＝{M|||MF1| －|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}是解决与焦点三角形有关的计算 问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．
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(2)由x92－1y62 ＝1得a＝3，b＝4，c＝5. ∴|PQ|＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知||PQFF||－－||PQAA|＝|＝22aa＝＝66，， ∴|PF|＋|QF|＝28.
∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.
答案：(1)C (2)44
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双曲线的几何性质
【例2】 (1)(2014·广东卷)若实数k满足0<k<9，则
曲线2x52 －9－y2 k＝1与曲线25x－2 k－y92＝1的(
答案：D
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4．若双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则一
条渐近线的方程为( )
A．y＝ 3x＋1 B．y＝3x
C．y＝－3x＋1 D．y＝ 3x
解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±
b a
x＝
± c2－a2a2x＝± e2－1x，故渐近线方程为y＝± 3x.
答案：D
答案： 3
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双曲线的标准方程与几何性质
1．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1
(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
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2.等轴双曲线 实轴 和 虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐 近线方程为 y＝±x ，离心率为e＝ 2 .
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5．已知点(2,3)在双曲线C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：由题意可得
a42－b92＝1 2c＝4
a2＋b2＝c2
a＝1 ，解之得b＝ 3 ，
c＝2
所以所求离心率e＝ac＝21＝2.
答案：2
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热点命题·突破 02
考点突破 解码命题
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双曲线的定义及标准方程
【例1】 (1)(2014·大纲全国卷)已知双曲线C的离心
率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝( )
1
1
A.4
B.3
2 C. 4
2 D. 3
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(2)(2014·北京卷)设双曲线C的两个焦点为(－ 2 ，0)， ( 2，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
则△PQF的周长为________． Nhomakorabea整理ppt
解析：(1)由题意知c＝ 4＋12 ＝4，设双曲线的左焦点 为F1(－4,0)，右焦点为F2(4,0)，且|PF2|＝8.当P点在双曲线 右支上时，|PF1|－|PF2|＝4，解得|PF1|＝12；当P点在双曲 线左支上时，|PF2|－|PF1|＝4，解得|PF1|＝4，所以|PF1|＝4 或12，即P到它的左焦点的距离为4或12.
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双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样 的关系？
提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．
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3．双曲线方程：
x2 |k|－2
＋
y2 5－k
＝1，那么k的范围是
() A．k>5
B．2<k<5
C．－2<k<2
D．－2<k<2或k>5
解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或 k>5.
为左支上一点，且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ________．
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解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n， m2＋n2－2mncos60°＝2c2， n－m＝2a， 所以mm22＋ ＋nn22－ －m2mnn＝＝201， 6， 所以mn＝4，所以S△F1PF2＝12mnsin60°＝ 3.
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【解析】 (1)∵双曲线的离心率为2，∴ac＝2， ∴a b c＝1 3 2.
又∵||AFF1A1||－ ＝2|A|FF22A|＝|，2a， ∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a， ∴|F1F2|＝2c＝4a， ∴cos∠AF2F1＝|AF2|22＋|A|FF12F||F2|12F－2||AF1|2 ＝4a22＋×126aa×2－41a6a2＝146aa22＝14，选A.
(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题 时，弄清点在双曲线的哪支上．
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(1)若双曲线
x2 4
－
y2 12
＝1上的一点P到它的右焦点的距离
为8，则点P到它的左焦点的距离是( )
A．4
B．12
C．4或12
D．6
(2)已知F为双曲线C：x92－1y62 ＝1的左焦点，P，Q为C上
的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，