2020-2021学年度四川省成都市高考三诊模拟考试数学试题(文)及答案
四川省成都列五中学2022-2023学年高三下学期阶段性考试(二)暨三诊模拟考试文科数学试题
= 1(a
> 0,b >
0) 的左，右焦点，过点 F1 作斜率为
2 2
的直线 l 与双曲线的左，右两支分别交于 M ， N 两点，以 F2 为圆心的圆过 M ， N ，
则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
12．设
a
=
1 50
，
b
=
ln
(1
+
sin
0.02)
，
c
=
21n
51 50
x1x2 < a2 . 22．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的
极坐标方程为
r
=
2
cosq
，
q
Î
éêë0,
p 2
ù úû
.
（1）求 C 的参数方程；
（2）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l : y = 3x + 2 垂直，根据（1）中你得到 的参数方程，确定 D 的坐标.
C
满足
uuur CB
=
uuur 2BF
，则
p
=
______.
16．对任意 a Î R ，存在 b Î (0, +¥) ，使得 a + 1 = e ln b ，则 b - a 的最小值为_________．
三、解答题
17．在 VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 a - ccosB =
(1)证明： DF P 平面 ABE；
(2)若
AD
=
1
，
CD
=
四川省成都市2020届高三三诊模拟文科数学试题有答案(精校版)
成都2020届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则AB =（ ）A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ） A ．3144BO AB AC =-+ B ． 1144BO AB AC =-+ C. 3144BO AB AC =- D ．1124BO AB AC =-- 7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652,65⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．25⎤⎥⎣⎦ C. []2524,6⎤⎥⎣⎦D ．{}652,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==，且()21b a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直径交椭圆于,A B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 21. 已知函数()1ln f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（,0a R a ∈≠且）． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线)2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. 4-14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},0426m e ∈-∞--三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 1234C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得3c =，所以1sin 123ABC S ac B ∆==-．18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==．由OH AD OD OA =，且4AD ==，得14OH =．又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G kk ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数． （2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022aa a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sinρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。
2021年四川省成都市高考数学三诊试卷(文科)
2021年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x>3}，B={x|x<4}，则(∁U A)∪B=()A. {x|x<3}B. {x|x≤3}C. {x|x<4}D. {x|x≤4}2.已知复数z=1−3i1−i(i为虚数单位)，则|z|=()A. 1B. √2C. 2D. √53.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=3b，sinA=35，则sin B的值为()A. 15B. 115C. 13D. 594.某市环境保护局公布了该市A，B两个景区2014年至2020年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的折线图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是()A. 景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98B. 景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283C. 分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的众数为m1，m2，则m1>m2D. 分别记景区A，B这七年的空气质量优良天数的标准差为s1，s2，则s1>s25.若实数x，y满足约束条件{y≥0,x−y+1≥0,x+2y−2≤0.，则z=3x+5y的最大值为()A. 10B. 8C. 6D. 56.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的表面积为()A. (20+8√2)πB. (20+4√2)πC. (24+8√2)πD. (24+4√2)π7. 已知函数f(x)=lnx +m x(m ∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线l 的斜率为2，则直线l 在y 轴上的截距为( )A. 3B. −3C. 1D. −18. 设向量a ⃗ =(x,x −1)，b ⃗ =(2,−1).若a ⃗ +2b⃗ 与b ⃗ 共线，则实数x 的值为( ) A. 23B. −53C. 10D. −119. 命题p ：函数f(x)=a −x+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(0,1)；命题q ：当t ∈(−2,2)时，函数g(x)=x 2−3tx +1在区间(−3,3)上存在最小值.则下列命题为真命题的是( )A. p ∧qB. p ∨(￢q)C. (￢p)∨qD. (￢p)∧(￢q)10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2，点M ，N 在双曲线的同一条渐近线上，O 为坐标原点.若直线F 2M 平行于双曲线的另一条渐近线，且OF 2⊥F 2N ，|F 2M|=√52|F 2N|，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±14xB. y =±12xC. y =±√22xD. y =±2x11. 在三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，PA =AB =AC =2，∠BAC =2π3.若三棱锥P −ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为( )A. 1B. √2C. √3D. √512. 已知A ，B 是圆x 2+y 2=4上的两个动点，且满足|AB|=2√3，点P(√3,√6)，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. 12B. √32C. 1D. 7−2√6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 计算8−13+lg6lg2−log 23的值为______ ．14. 已知sin(π−α)=34，则cos2α的值为______ ．15.已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点.若|AF|−|BF|=√6，则线段AB的长为______ ．16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间(7π12,5π6)上单调，且满足f(7π12)=−f(3π4)有下列结论：①f(2π3)=0；②若f(5π12)=1，则函数f(x)的最小正周期为π；③ω的取值范围为(0,4]④函数f(x)在区间[0,2π)上最多有6个零点其中所有正确结论的编号为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《《营造法式》注释》.为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份(每位学生均上交一份作业)，并评出成绩，得到如下频数分布表．(Ⅰ)求y的值，若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[60,80)的概率；(Ⅱ)估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．18.已知数列{a n}中a1=1，a2=3，且满足a n+2+3a n=4a n+1，设b n=a n+1−a n，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)记c n=log3(a n+b n)，数列{c n}的前n和为S n，求S20．19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π3，EB=ED，EF//AC．(Ⅰ)求证：平面BDF⊥平面ACFE；(Ⅱ)若EB=2，EA=EC，EF=14AC，求多面体ABCDEF的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点围成的四边形的面积为2√5，右焦点F2到直线x−y+2=0的距离为2√2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点M(−3,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，过点F2作直线l的垂线，垂足为N(点A，B在点M，N之间).若|MA|=|BN|，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=cosx−ax2，其中a∈R，x∈[0,π2].(Ⅰ)当a=−12时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)若函数f(x)在[0,π2]上有唯一的极值点，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=k2,y=√2k(k为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=1．(Ⅰ)求曲线C与直线l的普通方程；(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点M(√2,0)，求|PM|2+|QM|2的值．23.已知函数f(x)=|x2−4|+|x+2|−4．(Ⅰ)若关于x的方程f(x)=m有唯一实数解，求实数m的值；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的m值，若正实数a，b满足a+b+2m=0，试比较1a+3+1b+5与14的大小，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U =R ，集合A ={x|x >3}，B ={x|x <4}， ∴∁U A ={x|x ≤3}， ∴(∁U A)∪B ={x|x <4}． 故选：C ．推导出∁U A ={x|x ≤3}，由此能求出(∁U A)∪B ．本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z =1−3i 1−i=(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+i−3i−3i 212+(−1)2=4−2i 2=2−i ，∴|z|=|2−i|=√22+(−1)2=√5． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为a =3b ， 由正弦定理得sinA =3sinB ， 因为sinA =35，则sinB =15． 故选：A ．由已知结合正弦定理即可直接求解． 本题主要考查了正弦定理，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A，景区A这七年的空气质量优良天数的极差为313−203=110，故选项A错误；对于B，景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为266，故选项B错误；对于C，由折线图可知，m1=254，m2=262，显然m1<m2，故选项C错误；对于D，由折线图可知，景区A这七年的空气质量优良天数的数据波动要比景区B这七年的空气质量优良天数的数据波动大，所以s1>s2，故选项D正确．故选：D．根据极差、中位数、众数、标准差的定义，结合题中给出的折线图的数据信息，对四个选项进行逐一的分析判断，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的实际应用，折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(2,0)，由z=3x+5y，得y=−35x+z5，由图可知，当直线y=−35x+z5过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为4．则该几何体的表面积为：S=π×22+2π×2×4+π×2×2√2=(20+4√2)π．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为4，再由圆柱、圆锥的侧面积加上圆柱的下底面积得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】B【解析】解：∵f(x)=lnx+mx(x>0)，∴k=f′(x)|x=1=(1x −mx2)|x=1=1−m=2，∴m=−1，∴f(1)=−1，函数f(x)的图象在点(1,−1)处的切线l的方程为：y+1=2(x−1)，令x=0，得y=−3，即直线l在y轴上的截距为−3，故选：B．依题意，利用导数可求得m=−1，继而可得直线l的方程，从而可求得答案．本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵a⃗+2b⃗ =(x+4,x−3)，b⃗ =(2,−1)，且a⃗+2b⃗ 与b⃗ 共线，∴−(x+4)−2(x−3)=0，解得x=23．故选：A ．可求出a ⃗ +2b ⃗ =(x +4,x −3)，然后根据a ⃗ +2b ⃗ 与b ⃗ 共线即可得出−(x +4)−2(x −3)=0，然后解出x 的值即可．本题考查了向量坐标的加法和数乘的运算，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，对于p ，f(x)=a −x+1，令−x +1=0，则x =1，此时f(x)=1， 函数f(x)=a −x+1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(1,1)，p 是假命题； 对于q ，函数g(x)=x 2−3tx +1，其对称轴为x =3t2，又由t ∈(−2,2)，则3t2∈(−3,3)， 则函数g(x)=x 2−3tx +1在区间(−3,3)上存在最小值．q 为真命题； 故p ∧q 、p ∨(￢q)、(￢p)∧(￢q)都是假命题，(￢p)∧q 是真命题； 故选：C ．根据题意，分析p 、q 的真假，由复合命题真假判断方法分析可得答案． 本题考查命题真假的判断，涉及指数函数、二次函数的性质，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：如图，设渐近线y =b a x 的倾斜角为θ，θ∈(0,π2)， 则∠NMF 2=2θ，∠ONF 2=π2−θ，在△MNF 2中，由正弦定理可得NF 2MF 2=sin2θsin(π2−θ)，可得sinθ=1√5，tanθ=12，即可得 b a =12， 则该双曲线的渐近线方程为y =±12x ． 故选：B ．设渐近线y =ba x 的倾斜角为θ，在△MNF 2中，利用正弦定理正弦定理可得NF 2MF 2=sin2θsin(π2−θ)，可得tanθ，即可求得双曲线的渐近线方程．本题考查了双曲线的性质、解三角形，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：∵AB =AC =2，∠BAC =2π3，∴BC =√22+22−2×2×2×(−12)=2√3， ∴三角形ABC 的外接圆直径2r =2√3sin 2π3=4，∴r =2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2， 由于三角形OPA 为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R =√r 2+(12PA)2=√5，故选：D ．求出BC ，可得△ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径即可．本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，是中档题．12.【答案】C【解析】解：设AB 的中点为M ，则OM ⊥AB ，且|OM|=√22−(√3)2=1， 则M 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−3， 要使PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，则|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小， 而|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为|OP|−|OM|=3−1=2， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为22−3=1． 故选：C ．设AB 的中点为M ，由已知可得M 在以O 为圆心，以1为半径的圆上，再由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−3，求得|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】32【解析】解：8−13+lg6lg2−log23=12+log26−log23=12+log22=12+1=32．故答案为：32．直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．本题考查对数的运算法则的应用，指数式求值，是基础题．14.【答案】−18【解析】解：已知sin(π−α)=34=sinα，则cos2α=1−2sin2α=1−2×916=−18，故答案为：−18．由题意利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．15.【答案】8√5117【解析】解：设直线AB的方程为y=x−p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程可得{ y2=2pxy=x−p2，消y可得x2−3px+p24=0，则x1+x2=3p，x1x2=p24，∵|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，|AF|−|BF|=√6，∴x1+p2−x2−p2=x1−x2=√6，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−2x1x2=9p2−p22=172p2=6，∴p=2√5117，∴|AB|=x1+x2+p=4p=8√5117，故答案为：8√5117．设过焦点F的直线方程与y2=2px联立，利用韦达定理，即可得出结论．本题考查抛物线的性质和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.【答案】①②④【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)在区间(7π12,5π6)上单调，故5π6−7π12≤T2，故T ≥π2， 由于T =2πω，所以π4≤πω， 解得0<ω≤4．由于函数满足f(7π12)=−f(3π4) 所以7π12+3π42=2π3，所以(2π3,0)为函数f(x)的对称中心，故①f(2π3)=0正确；对于②，若f(5π12)=1，则x =5π12是函数的对称轴，由于(2π3,0)为函数f(x)的对称中心， 所以(2π3,0)和x =5π12为函数相邻的对称中心和对称轴，所以T =4×(2π3−5π12)=π，则函数f(x)的最小正周期为π，故②正确；对于③，由于f(2π3)=0，且函数在区间(7π12,5π6)上单调，所以5π6−2π3≤T4，所以T ≥2π3，即2πω≥2π3，整理得0<ω≤3，故③错误；对于④，由于T ≥2π3，当T min =2π3时，函数f(x)在区间[0,2π)上的零点最多，有6个零点，故④正确；故答案为：①②④．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知4+x +20+38+30=100，解得x =8，在这100份作业中，∵大三学生的作业共有3+6+15+y +12=36+y(份)， ∴大四学生的作业共64−y(份)，∵选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3：2， ∴36+y64−y =32，解得y =24，∴大四学生作业共40份，其中成绩在[60,70)，[70,80)的作业份数分别为2，5，∴成绩在[60,80)的作业共7份，∴从选修该门课程的大四学生中随机选取1名， 估计其作业成绩在[60,80)的概率为740．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知这100份作业中大三学生作业共60份， 设大三学生作业的平均成绩为x −，则x −=360×55+660×65+1560×75+2560×85+1260×95=81， ∴估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分．【解析】(Ⅰ)求出x =8，由大三学生的作业共有3+6+15+y +12=36+y ，大四学生的作业共64−y 份，由选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3：2，求出y =24，得到大四学生作业共40份，其中成绩在[60,70)，[70,80)的作业份数分别为2，5，从而成绩在[60,80)的作业共7份，由此能求出所求概率．(Ⅱ)这100份作业中大三学生作业共60份，由频数分布表能估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩． 本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布表、概率等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)数列{a n }中a 1=1，a 2=3，且满足a n+2+3a n =4a n+1，设b n =a n+1−a n ，n ∈N ∗．整理得a n+2−a n+1=3(a n+1−a n )， 即a n+2−a n+1a n+1−a n=3(常数)，即数列{a n+1−a n }是以a 2−a 1=2为首项，3为公比的等比数列； 所以a n+1−a n =2×3n−1， 即b n =2⋅3n−1．(Ⅱ)由于a n+1−a n =2×3n−1， a n −a n−1=2×3n−2， .......，a 2−a 1=2×30，所以a n+1−a 1=2×(30+31+...+3n−1)=2×3n −13−1=3n −1．故a n+1=3n ， 则a n +b n =3n ，故S20=c1+c2+...+c20=1+2+...+20=20×(1+20)2=210．【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式和关系式的恒等变换求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用叠加法的应用和对数的运算的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的递推关系式，数列的求和，对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：设AC与BD交于O，连接OE，由于EB=ED，可得BD⊥OE，由四边形ABCD为菱形，可得BD⊥AC，由于EF//AC，可得平面四边形EFCA，而AC，OE为平面ACFE内的两条相交直线，所以BD⊥平面ACFE，而BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACFE；(Ⅱ)由AB=AD=2，∠BAD=π3，可得BD=2，AC=2AO=2√3，由ED=EB=2，BD⊥OE，可得OE=√ED2−OD2=√4−1=√3，由EA=EC，可得OE⊥AC，可得OE为梯形ACFE的高，又EF=14AC=√32，所以梯形ACFE的面积为S=12OE⋅(EF+AC)=12×√3×(√32+2√3)=154，由BD⊥平面ACFE，可得多面体ABCDEF的体积为13BD⋅S=13×2×154=52．【解析】(Ⅰ)由等腰三角形的性质和菱形的性质，以及线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；(Ⅱ)求得梯形ACFE的两底的长和高、面积S，由由BD⊥平面ACFE，可得多面体ABCDEF的体积为13BD⋅S，计算可得所求值．本题考查面面垂直的判定和多面体的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆C 的四个顶点围成的四边形的面积为2√5，∴12⋅2a ⋅2b =2√5，即ab =√5， ∵点F 2(c,0)到直线x −y +2=0的距离为√2=2√2，∴c =2， 又a 2=b 2+c 2， ∴a 2=5a 2+4，即a 4−4a 2−5=0，解得a 2=5或a 2=−1(舍去)，∴b 2=1， ∴椭圆方程为x 25+y 2=1；(Ⅱ)由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my −3， 由{x =my −3x 25+y 2=1，消去x ，得(m 2+5)y 2−6my +4=0， 由△=20(m 2−4)>0，解得m <−2或m >2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x N ,y N )，则y 1+y 2=6mm 2+5,y 1y 2=4m 2+5， 设过点F 2与直线l 垂直的直线方程为x =−1m y +2， 由{x =my −3x =−1my +2，解得y N =5mm 2+1， ∵|MA|=|BN|，∴MA ，BN 在y 轴上的投影相等，即|y 1−0|=|y N −y 2|， ∵点A ，B 在M ，N 之间，∴y 1+y 2=y N ，即6mm 2+5=5mm 2+1，解得m =±√19，满足m <−2或m >2， ∴直线l 的方程为x +√19y +3=0或x −√19y +3=0．【解析】(Ⅰ)根据题意求出a ，b ，c 的值，即可得到椭圆方程；(Ⅱ)设直线l 的方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x N ,y N )，将直线l 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，过点F 2与直线l 垂直的直线方程为x =−1m y +2，将其与直线l 联立可得点N 的坐标，再根据题意可得y 1+y 2=y N ，即6mm 2+5=5mm 2+1，解出m 即得解．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查推理能力及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)当a =−12时，f(x)=cosx +12x 2，则f′(x)=−sinx +x ，设g(x)=−sinx +x ，则g′(x)=−cosx +1，∵x ∈[0,π2]，∴0≤cosx ≤1，∴g′(x)≥0，g(x)在[0,π2]上单调递增， ∴g(x)≥g(0)=0，即f′(x)≥0，f(x)在[0,π2]上单调递增， 又f(0)=1，f(π2)=π28，故函数f(x)的值域是[1,π28].(Ⅱ)∵f(x)=cosx −ax 2，∴f′(x)=−sinx −2ax ， 设ℎ(x)=−sinx −2ax ，则ℎ′(x)=−cosx −2a ，(1)当a ≥0时，ℎ′(x)=−cosx −2a ≤0，则ℎ(x)在[0,π2]上单调递减， ∴ℎ(x)≤ℎ(0)=0，即f′(x)≤0，f(x)在[0,π2]上单调递减，无极值； (2)当a ≤−12时，ℎ′(x)=−cosx −2a ≥0，则ℎ(x)在[0,π2]上单调递增， ∴ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即f′(x)≥0，f(x)在[0,π2]上单调递增，无极值； (3)当−12<a <0时，存在x 0∈(0,π2)，使ℎ′(x 0)=−cosx 0−2a =0， 当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(x 0,π2)时，ℎ′(x)>0， ∴ℎ(x)在(0,x 0)递减，在(x 0,π2)递增，∵ℎ(0)=0，∴ℎ(x 0)<0，又ℎ(π2)=−1−aπ， ①当−1−aπ≤0即−1π≤a <0时，ℎ(π2)≤0， ∴f′(x)≤0，f(x)在[0,π2]上递减，无极值； ②当−1−aπ>0即−12<a <−1π时，ℎ(π2)>0， 则存在x 1∈(x 0,π2)，使得ℎ(x 1)=−sinx 1−2ax 1=0， 当x ∈(0,x 1)时，ℎ(x)<0，即f′(x)<0， 当x ∈(x 1,π2)时，ℎ(x)>0，即f′(x)>0， ∴f(x)在(0,x 1)递减，在(x 1,π2)递增，综上：实数a 的取值范围是(−12,−1π).【解析】(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的取值范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性判断函数的极值点的个数，从而确定a 的取值范围．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x =k 2y =√2k (k 为参数)，消去参数k ， 可得曲线C 的普通方程为y 2=2x ，由ρcos(θ−π4)=1，得ρ(√22cosθ+√22sinθ)=1，即ρcosθ+ρsinθ−√2=0，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −√2=0； (Ⅱ)由题意可得直线l 的参数方程为{x =√2+√22ty =−√22t，代入y 2=2x ，得t 2−2√2t −4√2=0． 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=2√2，t 1t 2=−4√2，∴|PM|2+|QM|2=t 12+t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=8+8√2．【解析】(Ⅰ)直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，可得曲线C 的普通方程，展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；(Ⅱ)写出直线l 的参数方程的标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，再由此时t 的几何意义与根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x 2−4|+|x +2|−4={x 2−x −10,x <−2−x 2+x +2,−2≤x ≤2x 2+x −6,x >2，作出函数f(x)的图象如下图所示，要使方程f(x)=m 有唯一实数解，则函数y =f(x)的图象与直线y =m 有且仅有一个交点，由图象可知，m =−4．(Ⅱ)依题意，a +b =8，则1a+3+1b+5=b+5+a+3ab+5a+3b+15=16a(8−a)+5a+3(8−a)+15=16−a 2+10a+39(0<a <8)， 设g(a)=−a 2+10a +39=−(a −5)2+64，0<a <8，由二次函数的性质可知，39<g(a)≤64，则1664≤16g(a)<3964，即1a+3+1b+5≥14，当且仅当a =5，b =3时取等号．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化为分段函数的形式，作出函数图象，由图象观察即可求得实数m 的值； (Ⅱ)由a +b =8可得，1a+3+1b+5=16−a 2+10a+39，设g(a)=−a 2+10a +39=−(a −5)2+64，0<a <8，求出函数g(a)的值域，进而可判断1a+3+1b+5与14的大小．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查二次函数值域的求法，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．。
四川省成都市2020届高三数学第三次诊断性检测试题 理.doc
四川省成都市2021届高三数学第三次诊断性检测试题 理第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合,}{0,,{02,4}A x B ==，若A B ，则实数x 的值为 (A)0或2 (B)0或4 (C)2或4 (D)0或2或42．若复数z 满足zi ＝2＋5i (i 为虚数单位)，则z 在复平面上对应的点的坐标为 (A)(2，5) (B)(2，-5) (C)(-5，2) (D)(5，-2) 3．命题“∃x 0∈R ，x 02－x 0＋1≤0的否定是0(),A x ∃∈R x 02－x 0＋1＞0 (B)∀x ∈R ，x 2－x ＋1≤0(0)C x ∃∈R ，x 02－x 0＋1≥0 (D) ∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞04．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是5．已知函数2(2)f x x x --＝,则()2log 3f = (A)2 (B)83 (C)3 (D)1036．已知实数x,y 满足10,20,50x x x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为(A)4 (B)6 (C)8 (D)107．在等比数列{a n }中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（A ）-3 (B)3 （C ）±3 (D)98．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则“a>-1”是“f (a )＞f (－1)”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9．已知F 1，F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，经过点F 2且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ∠，则该双曲线离心率的取值范围是()A [5,13] ()B [5,3] (C) [3,13] (D)[7,3]10．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m ，圆心角为π4的扇形空地OPQ 的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD ，如图所示则观赛场地的面积最大值为 （A ）200m 2()B 400(2－2)m 2(C)400(3－1)m 2(D)400(2－1)m 211．在三棱锥P ABC —中,,AB BC P ⊥在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ， DP = DC= 1, 有下列结论： ①三棱锥 P — A B C 的三条侧棱长均相等； ②∠PAB 的取值范围是(π4，π2)③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为2π3④若 A B = B C ，E 是线段PC 上一动点，则+DE BF 的最小值为6＋22其中正确结论的个数是(A)1 (B)2 (C) 3 (D)4 12．已知函数()sin 10,01, )4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭（588f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且f (x )在区间30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为2．若对任意的x 1，x 2∈[0，t ]，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是(A)3π4 (B)2π3 （C)712π (D)π2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上13．已知向量(1,),(2,3),λ==a b 且,⊥a b 则实数λ的值为▲14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为,y bx a ＝＋若下一次实验中x ＝170，利用该回归直线方程预测得117,y =则b 的值为 ▲ 15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1.S 5=35,112(211n n n S S S n n n n -+=+-+且且n +N ,∈则12231011111a a a a a a +++的值为 ▲ 16．已知点F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭的直线与抛物线相交于A ，B 两点,(OAB O ∆为坐标原点)的面积为2sin 2α，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M ，则|FM|的值为 ▲三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年四川省成都市高考数学三诊试卷(一)(有答案解析)
2020年四川省成都市高考数学三诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={x∈Z|（x+l）（x-3）≤0}，集合A={0，1，2}，则∁U A=（）A. {-1，3}B. {-1，0}C. {0，3}D. {-1，0，3}2.复数i（3-i）的共轭复数是（）A. 1+3iB. 1-3iC. -1+3iD. -1-3i3.已知函数f（x）=x3+3x．若f（-a）=2，则f（a）的值为（）A. 2B. -2C. 1D. -14.函数f（x）=sin x+cos x的最小正周期是（）A. 2πB.C. πD.5.如图，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（）A. CEB. CFC. CGD. CC16.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是（）A. b＞aB. b＜aC. |b|＜|a|D. |b|＞|a|8.设数列{}的前n项和为S n，则S10=（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的-个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）816357492A. 75B. 65C. 55D. 4511.已知双曲线C=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，cos∠PF1F2=，则双曲线C的离心率为（）A. 或B. 或3C. 2或D. 2或312.三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AB，AC，AA1两两垂直，AB=AC，且三棱柱的侧面积为+1，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O表面积的最小值为（）A. πB.C. 2πD. 4π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为______14.若cos（+α）=，则cos2α的值等于______．15.已知公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，则的值是______16.在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），直线l：y=k（x-1）+2，设点A关于直线l的对称点为B，则•的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a cos B=b+c．（I）求角A的大小；（Ⅱ）记△ABC的外接圆半径为R，求的值．18.某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．年龄（单位：[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]岁）保费（单位：306090120150元）（Ⅰ）求频率分布直方图中实数a的值，并求出该样本年龄的中位数；（Ⅱ）现分别在年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]中各选出1人共5人进行回访，若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于200元的概率．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；（Ⅱ）若M是棱PB上一点，三棱锥M-PAD与三棱锥P-DEF的体积相等，求的值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2．P是椭圆C上任意一点，满足|PF1|+|PF2|=2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，M为线段AB的中点，求|OM|的最大值．21.已知函数f（x）=x lnx-2ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2＞．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M（0，1）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f（x）=x2-a|x-1|-1，a∈R．（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={x∈Z|（x+l）（x-3）≤0）={x∈Z|-1≤x≤3）}={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，则∁U A={-1，3}，故选：A．求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义进行求解是解决本题的关键．2.答案：B解析：解：∵i（3-i）=3i-i2=1+3i，∴复数i（3-i）的共轭复数是1-3i．故选：B．直接由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵f（x）是奇函数，且f（-a）=2；∴f（-a）=-f（a）=2；∴f（a）=-2．故选：B．容易看出f（x）是奇函数，从而根据f（-a）=2即可求出f（a）=-2．看出奇函数的定义及判断方法．4.答案：A解析：解：∵f（x）=sin x+cos x=（=，∴T=2π，故选：A．把三角函数式整理变形，变为f（x）=A sin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．5.答案：B解析：解：如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD-A1B l C1D1中，由于A1F AC，又OC=AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，可得CF∥平面ABD．故选：B．连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，由A1F AC，又OC=AC，可证四边形A1OCF为平行四边形，可得A1O∥CF，利用线面平行的判定定理即可得解．本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示：由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，作直线2x+y=0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B时，z最大，由，可得B（2，0），此时z=4．故选：D．7.答案：C解析：解：令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，∴a=log2t=，b=log3t=，∴|a|-|b|=-=|lg t|•＞0，∴|a|＞|b|．故选：C．令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，将指数式化成对数式得a，b后，然后取绝对值作差比较可得．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．8.答案：A解析：解：=，所以：，=，=，所以：．故选：A．首先把数列的通项公式进行转换，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.答案：B解析：解：根据程序框图：执行循环前：a=0，b=0，n=0，执行第一次循环时：，a=1，b=2，所以：92+82≤40不成立．继续进行循环，…，当a=4，b=8时，62+22=40，所以：n=1，由于a≥5不成立，执行下一次循环，当a=5时，输出结果n=2故选：B．直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.答案：B解析：解：由1，2，3，4…24，25的和为=325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为=65，故选：B．先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．本题考查了对“即时定义”的理解及进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：D解析：【分析】设PF1=m，PF2=n，根据cos∠PF1F2=和抛物线性质得出PF2=m，再根据双曲线性质得出m=7a，n=5a，最后根据余弦定理列方程得出a，c间的关系，从而可得出离心率．本题考查了双曲线和抛物线的简单性质，属于中档题．【解答】解：过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，不妨设PF1=m，PF2=n，则F1M=PN=PF2=PF1cos∠PF1F2=，∵P为双曲线上的点，则PF1-PF2=2a，即m-=2a，故m=7a，n=5a．又F1F2=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得=，化简可得c2-5ac+6a2=0，即e2-5e+6=0，解得e=2或e=3．故选：D．12.答案：C解析：【分析】由题意画出图形，设AB=AC=x，AA1=y，由三棱柱的侧面积可得．利用分割补形法结合基本不等式求三棱柱外接球半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查分割补形法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．【解答】解：如图，设AB=AC=x，AA1=y，则三棱柱的侧面积为，得．把三棱柱补形为长方体，则其对角线长为．当且仅当，即x=，y=1时上式取“=”．∴三棱柱外接球半径的最小值为，表面积的最小值为．故选：C．13.答案：180解析：【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．【解答】解：由分层抽样的定义得=，得n=12×15=180，即该单位的女职工人数为180，故答案为180.14.答案：解析：解：∵cos（+α）=-sinα=，∴sinα=-，∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（-）2=．故答案为：．由已知利用诱导公式可求sinα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.答案：解析：解：公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，可得：，可得（a2+4d）2=a2（a2+10d），可得8d=a2则===．故答案为：．利用等差数列以及等比数列的通项公式，化简求出公差与a2的关系，然后转化求解的值．本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．16.答案：[-1，3]解析：解：根据题意，设B的坐标为（m，n），又由AB关于直线y=k（x-1）+2对称，则有，解可得：，则B的坐标为（1-，），则=（1-，），=（1，0），则•=1-，当k=0时，•=1，当k＞0时，•=1-，此时k+≥2=2，-1≤•≤1，当k＜0时，•=1-，此时k+=-[（-k）+]≤-2，此时有1＜•≤3；综合可得：-1≤•≤3，故答案为：[-1，3]．根据题意，设B的坐标为（m，n），分析可得，解可得m、n的值，即可得B的坐标，则有=（1-，），=（1，0），由数量积的计算公式可得•=1-，分类讨论k的值，求出•的取值范围，综合即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出B的坐标，属于基础题．17.答案：解：（I）由正弦定理得sin A cos B=sin A+sin C又sin C=sin（A+B）．∴sin A cos B=sin A+sin A cos B+cos A sin B．即cos A sin B+sin B=0，∴cos A=-，∵0＜A＜π，∴A=（II）由余弦定理得b2+c2-a2=2bc cos A=-bc．∴==sin2A，∵：A=，∴sin2A=，即=sin2A=．解析：（Ⅰ）由正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理进行转化求解即可本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键．18.答案：解：（Ⅰ）∵（0.007+0.018+a+0.025+0.020）×10=1，解得a=0.030，设该样本年龄的中位数为x0，则40＜x0＜50，∴（x0-40）×0.030+0.018+0.07=0.5，解得．（Ⅱ）回访的这5人分别记为a20，a60，a90，a120，a150，从5人中任选2人的基本事件有：（a20，a60），（a20，a90），（a20，a120），（a20，a150），（a60，a90），（a60，a120），（a60，a150），（a90，a120），（a90，a150），（a120，a150），共10种，事件“两人保费之和大于200元”包含的基本事件有：（a60，a150），（a90，a120），（a90，a150），（a120，a150），共4种，∴这2人所交保费之和大于200元的概率p=．解析：（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质能求出a的值和该样本年龄的中位数．（Ⅱ）回访的这5人分别记为a20，a60，a90，a120，a150，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人所交保费之和大于200元的概率．本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：连接AC，∵PA=PD，且E是AD的中点，∴PE⊥AD，…1分又∵面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，…2分∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE，…3分又四边形ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，∴EF∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥EF，…4分又BD⊥PE，PE∩EF=E，∴BD⊥平面PEF；…6分（Ⅱ）如图，连接MA，MD，设=λ，则=，∴V M-PAD=V B-PAD=V P-ABD，…8分又V P-DEF=V P-ACD=V P-ABD，…10分∵V M-PAD=V P-DEF，∴=，解得：λ=，即=．…12分解析：（Ⅰ）连接AC，可得PE⊥AD，利用面面垂直的性质可证PE⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质可证BD⊥PE，由EF∥AC，BD⊥AC，可证BD⊥EF，BD⊥PE，PE∩EF=E，利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面PEF；（Ⅱ）连接MA，MD，设=λ，则=，利用V M-PAD=V P-DEF，可得=，进而解得λ的值，即可得解的值．本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由椭圆定义可知2a=2∴a=，由|F1F2|=2可得c=1∴b2=a2-c2=1椭圆方程为（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0∴x1+x2=，x1x2=，=16k2-8m2+8＞0∴M（），OM2=，|AB|==2化简可得，，∴=令4k2+1=t≥1，则OM2===4-2当且仅当t=时取等号∴|OM|=即|OM|的最大值解析：本题主要考查了利用椭圆定义及性质求解椭圆方程及直线与椭圆位置关系的应用，试题具有一定的综合性 .（Ⅰ）由椭圆定义可求a，结合已知可求c，再由b2=a2-c2可求b，即可求解（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，可求x1+x2，x1x2，进而可求M，OM2，结合已知|AB|=2及弦长公式可得，代入后利用基本不等式可求.21.答案：解：（I）f′（x）=ln x-4ax+2，若f（x）在（0，+∞）内单调递减，则f′（x）≤0恒成立，即4a≥在（0，+∞）上恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）的最大值为g（）=e，∴4a≥e，即a≥．∴a的取值范围是[，+∞）．（II）∵f（x）有两个极值点，∴f′（x）=0在（0，+∞）上有两解，即4a=有两解，由（1）可知0＜a＜．由ln x1-4ax1+2=0，ln x2-4ax2+2=0，可得ln x1-ln x2=4a（x1-x2），不妨设0＜x1＜x2，要证明x1+x2＞，只需证明＜，即证明＞ln x1-ln x2，只需证明＞ln，令h（x）=-ln x（0＜x＜1），则h′（x）=＜0，故h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）=0，即＞ln x在（0，1）上恒成立，∴不等式＞ln恒成立，综上，x1+x2＞．解析：本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，考查导数与函数单调性的关系，属于中档题．（I）令f′（x）≤0恒成立，分离参数得出4a≥，利用函数单调性求出函数g（x）=的最大值即可得出a的范围；（II）令=x，根据分析法构造关于x的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可．22.答案：解：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，∴直线l的直角坐标方程为x +y=1．（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数），代入（x-2）2+y2=1得t2+3+1=0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2=-3＜0，t1t2=1＞0，t1＜0，t2＜0，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3解析：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，∴直线l的直角坐标方程为x +y=1（Ⅱ）根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x2-4|x-1|-1=，当x≥1时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，即此时f（x）≥-1，当x＜1时，f（x）=x2+4x-5=（x+2）2-9≥-9，即此时f（x）≥-9，综上f（x）≥-9，即函数f（x）的值域为[-9，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥a|x+1|等价为x2-a|x-1|-1≥a|x+1|，即a（|x+1|+|x-1|）≤x2-1，即a≤在区间[0，2]内有解，当0≤x≤1时，a≤==，当0≤x≤1时，-≤≤0．此时a≤0，当1＜x≤2时，a≤===（x-），当1＜x≤2时，0＜（x-）≤，此时a≤，综上a≤，即实数a的取值范围是（-∞，]．解析：（Ⅰ）当a=4时，结合绝对值的应用，将函数转化为二次函数，利用二次函数的最值性质进行求解．（Ⅱ）（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，等价为a≤在区间[0，2]内有解，利用不等式的性质求出的最大值即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键．。
2020-2021学年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析
四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x03．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．14．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．489．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用女运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则样本中女运动员的人数为42×=6．故选：C．2．命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是（）A．∀x∉（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x B．∀x0∉（﹣1，+∞），ln（x0+1）＜x0C．∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）≥x D．∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈（﹣1，+∞），ln（x+1）＜x”的否定是：“∃x0∈（﹣1，+∞），ln（x0+1）≥x0”，故选：D．3．已知复数z=﹣i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3 B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵z=﹣i=，∴|z|=．故选：A．4．已知α，β是空间中两个不同的平面，m为平面β内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面β内的一条直线，且m⊥α，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥α，所以不一定能得到m⊥α，所以“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件．故选B．5．已知向量，满足=2，•=﹣3，则在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵||=2，•（﹣）=﹣3，∴•﹣=•﹣22=﹣3，∴•=1，∴向量在方向上的投影为=．故选：C．6．某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为（）A．24万元B．22万元C．18万元D．16万元【考点】简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式组即线性目标函数，利用图象可求该厂的日利润最大值．【解答】解：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，工厂获得的利润为z又已知条件可得二元一次不等式组：目标函数为z=3x+4y，由，可得，利用线性规划可得x=6，y=1时，此时该厂的日利润最大为z=3×6+4=22万元，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若依次输入m=，n=0.6﹣2，p=，则输出的结果为（）A．B．C．0.6﹣2 D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，化简比较三个数即可得解．【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出m、n、p中的最小数，并将此最小的数用变量x表示并输出，由于，m==，n=0.6﹣2=，p==，可得，＞＞，即：n＞m＞p．故选：A．8．某学校食堂旱餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为（）A．144 B．132 C．96 D．48【考点】计数原理的应用．【分析】分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，剩下2人选其余主食；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，或没有人选甲选的主食，相加后得到结果【解答】解：分类讨论：甲选花卷，则有2人选同一种主食，方法为C42C31=18，剩下2人选其余主食，方法为A22=2，共有方法18×2=36种；甲不选花卷，其余4人中1人选花卷，方法为4种，甲包子或面条，方法为2种，其余3人，若有1人选甲选的主食，剩下2人选其余主食，方法为3A22=6；若没有人选甲选的主食，方法为C32A22=6，共有4×2×（6+6）=96种，故共有36+96=132种，故选：B．9．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；②当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．（2，3）B．[2，3）C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3m+1﹣x，x∈（3m，3m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，所以f（t）=3f（），取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，因为当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，所以f（）=3﹣，则f（x）=…=3m f（）=3m+1﹣x，且y=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）：因为函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），且函数g（x）恰好有两个零点，所以f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）恰好由两个交点，由图得，直线y=k（x﹣1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，因，，所以k的范围是[，3），故选：D．10．已知O为坐标原点，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（+）=0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质可得|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，求得渐近线的斜率，进而得到c=a，方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，求得两根，求得平方，运用余弦定理，即可判断三角形的形状．【解答】解：由（+）=0，可得（+）•（﹣）=0，即有2﹣2=0，即|AF|=|AO|，△AOF为等腰直角三角形，可得∠AOF=45°，由渐近线方程y=±x，可得=1，c=a，则关于x的方程ax2+bx﹣c=0即为x2+x﹣=0，即有x1x2=﹣，x1+x2=﹣1，即有x12+x22=1+2＜4，可得以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是钝角三角形．故选：A．二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用诱导公式、两角而和的余弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin65°cos35°﹣sin25°sin35°=cos25°cos35°﹣sin25°sin35°=cos（25°+35°）=cos60°=，故答案为：．12．一块边长为8cm的正方形铁板按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，则侧棱SC与底面ABCD所成角的余弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接OC，则∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成角，根据图1可知棱锥底面边长为6，斜高为4，从而棱锥的侧棱长为5．于是cos∠SCO=．【解答】解：由图1可知四棱锥的底面边长为6，斜高为4．∴棱锥的侧棱长为5．连接OC，∵SO⊥平面ABCD，∴∠SCO为侧棱SC与底面ABCD所成的角．∵AB=BC=6，∴OC=AC=3．∴cos∠SCO==．故答案为：．13．已知椭圆C：+=1（0＜n＜16）的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为10，则n的值为12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值，代入|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于10，列式求n的值．【解答】解：由0＜n＜16可知，焦点在x轴上，由过F1的直线l交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=16，即有|BF2|+|AF2|=16﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|===，即为10=16﹣，解得n=12．故答案为：12．14．若直线2ax+by﹣1=0（a＞﹣1，b＞0）经过曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心，则+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，可得：a+b=1．（a＞﹣1，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：曲线y=cosπx+1（0＜x＜1）的对称中心为，∴+b﹣1=0，化为：a+b=1（a＞﹣1，b＞0）．∴+=（a+1+b）=≥=，当且仅当a=2﹣3，b=4﹣2时取等号．故答案为：．15．函数f（x）=（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f （x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立；∈（，），使f（x0）＜tanx0成立；②存在x③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是；④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π．其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．【考点】函数的图象．【分析】利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．【解答】解：当a=1，b=1时，函数f（x）=，①当x=时，f（）==﹣2，=2，故f（x）＞不成立，故①不正确；=时，f（）=＜0，tan=1，故存在x0∈（，），使f（x0）＜tanx0成立，故②正②当x确；③则函数f（x）=与y轴交于（0，﹣1）点，则“囧点”坐标为（0，1），设y=lnx，则y′=，设切点为（x0，lnx0），∴切线的斜率k=，当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，∴•=﹣1，解得x0=1，∴切点坐标为（1，0），故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是=，故③正确，④令“囧圆”的标准方程为x2+（y﹣1）2=r2，令“囧圆”与f（x）=图象的左右两支相切，则切点坐标为（，）、（﹣，）、此时r=；令“囧圆”与f（x）=图象的下支相切则切点坐标为（0，﹣1）此时r=2，故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2π，故④正确，综上所述：其中的正确命题有②③④，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A满足f（A）=1+，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式得到f（x）的解析式，由此得到单调增区间．（2）由f（A）=1+，得A=，由恒等式得到B=，所以得到b．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）+．=sin2x+sin（2x+）+．=2sin（2x+）+，由﹣+2kπ≤2x+≤2kπ+，得：﹣+kπ≤x≤kπ+，（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，kπ+]，（k∈Z）．（2）∵f（A）=1+，∴A=，∵sinB=2sinC=2sin（﹣B），∴cosB=0，即B=，∴由正弦定理得：=，∴b=．17．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，已知底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：平面ABED∥平面GHF；（2））若BC=CF=AB=1，求二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形BHFE是平行四边形，从而BE∥HF，从而∥平面GHF，BE∥平面GHF，由此能证明平面ABED∥平面GHF．（2）以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由已知得三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，∴，∵G，H分别为AC，BC的中点．，∴AB∥GH，EF∥BH，EF=BH，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF，∵AB⊄平面GHF，HF⊂平面GHF，∴AB∥平面GHF，BE∥平面GHF，又AB∩BE=B，AB，BE⊂平面ABED，∴平面ABED∥平面GHF．解：（2）由已知，底面ABC是以AB为斜边的直角三角形，即AC⊥BC，又FC⊥底面ABC，∴以C为原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取AB=2，由BC=CF=，得BC=CF=1，AC=，则A（），C（0，0，0），B（0，1，0），F（0，0，1），E（0，，1），D（，0，1），平面DEF的一个法向量=（0，0，1），设平面ABED的法向量=（x，y，z），，=（﹣，），由，取x=2，得=（2，2），cos＜＞===，由图形得二面角A﹣DE﹣F的平面角是钝角，∴二面角A﹣DE﹣F的余弦值为﹣．18．某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如表：语言表达能力一般良好优秀人数逻辑思维能力一般 2 2 1良好 4 m 1优秀 1 3 n由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；（2）从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，由题意得，从而n=2，m=4，由此利用对立事件概率计算公式能求出从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．【解答】解：（1）用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有（6+n）名，∴P（A）=，解得n=2，∴m=4，用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑能力优秀的学生”，∴P（B）=1﹣=．（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有名，∴P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n+a n﹣3=0，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=，求T n=，求使T n≥成立的n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过3S n+a n﹣3=0与3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0作差，进而可知数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，利用公式计算即得结论；（2）通过（1）及3S n+a n﹣3=0计算可知b n=﹣n﹣1，裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵3S n+a n﹣3=0，∴当n=1时，3S1+a1﹣3=0，即a1=，又∵当n≥2时，3S n﹣1+a n﹣1﹣3=0，∴3a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1，∴数列{a n}是首项为、公比为的等比数列，故其通项公式a n=•=3•；（2）由（1）可知，1﹣S n+1=a n+1=，∴b n==﹣n﹣1，∵==﹣，∴T n==﹣+﹣+…+﹣=﹣，由T n≥可知，﹣≥，化简得：≤，解得：n≥2016，故满足条件的n的最小值为2016．20．已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，建立方程，即可求曲线C的方程；（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P，Q的坐标，进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，换元利用基本不等式求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设圆心C（x，y），则x2+4=（x﹣2）2+y2，化简得y2=4x，∴动圆圆心的轨迹的方程为y2=4x．（2）①设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），与y2=4x联立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P的坐标为（1+，）．由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有1+≠1+2k2，此时直线PQ的斜率k PQ=．所以，直线PQ的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．②由①|PQ|2=（2k﹣）2+（2k+）2=4[（k2+）2+（k2+）﹣2]，记k2+=t∵k2+≥2，∴t≥2，∴|PQ|2=4[（t+）2﹣]，∴t=2，即k=±1时，|PQ|的最小值为4．21．已知函数f（x）=e x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设函数g（x）=（x2+ax﹣2a﹣3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；（2）设函数h（x）=f（x）﹣mx2﹣x，m∈R，若对任意，且x1＞x2都有x2h（x1）﹣x1h （x2）＞x1x2（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；（2）根据已知条件将其转化成，+x1＞+x2，且x1＞x2，构造辅助函数F（x）=﹣（m﹣1）x﹣1，求导，分离变量求得m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=e x（x2+ax﹣2a﹣3），a∈R．∴g′（x）=e x[x2+（a+2）x﹣a﹣3]，=a（x﹣1）（x+a+3），当a=﹣4时，g′（x）=a（x﹣1）2≥0，∴g（x）在R上单调递减，当a＞﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜﹣a﹣3或x＞1，∴g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得﹣a﹣3＜x＜1，∴g（x）在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞﹣a﹣3，∴g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，由g′（x）＞0，解得1＜x＜﹣a﹣3，∴g（x）在（1，﹣a﹣3）上单调递减，综上所述：当a=﹣4时，g（x）在R上单调递减；当a＞﹣4时，g（x）在（﹣∞，﹣a﹣3），（1，+∞）上单调递增，在（﹣a﹣3，1）上单调递减；当a＜﹣4时，g（x）在（﹣∞，1），（﹣a﹣3，+∞）上单调递增，在（1，﹣a﹣3）上单调递减．（2）h（x）=f（x）﹣mx2﹣x=e x﹣mx2﹣x，，∴x2h（x1）﹣x1h（x2）＞x1x2（x2﹣x1），∴﹣＞x2﹣x1，不等式﹣＞x2﹣x1，等价于+x1＞+x2，且x1＞x2，记F（x）==﹣（m﹣1）x﹣1，∴F（x）在[，2]上单调递增，F′（x）=﹣（m﹣1）≥0在x∈[，2]上恒成立，m≤+1，在x∈[，2]上恒成立，记P（x）=+1，∴P′（x）=＞0，∴P（x）在[，2]上单调递增，P（x）min=P（）=1﹣2．∴实数m的取值范围为（﹣∞，1﹣2]．。
2020届高三高中毕业班三诊模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析
成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学（文科）第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A. {}0,1,2B. {}0,1,4C.1,0,1,2D. {}1,0,1,4-【★答案★】B 【解析】 【分析】根据集合A 求得集合B ，由此求得AB .【详解】由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数11iz =+，则z =（ ） A.22B. 1C. 2D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模.【详解】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 3. 设函数()f x 为奇函数，当0x >时，22f xx ，则()()1f f =（ ）A. -1B. -2C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1f f 的值.【详解】函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选：C【点睛】本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题. 4. 已知单位向量1e ，2e 的夹角为23π，则122e e -=（ ） A. 3B. 7C. 3D. 7【★答案★】D 【解析】 【分析】利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -. 【详解】依题意，()222121211212244e e e e e e e e -=-=-⋅+214cos473π=-⨯+=. 故★答案★为：D【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）A. 10B.103C. 10D.109【★答案★】A 【解析】 【分析】由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭求得★答案★. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：b y x a=± 又该双曲线的渐近线方程为3y x =±， ∴3ba=， ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6. 已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 7. 如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A. 3?i ≤B. 4?i ≤C. 5?i ≤D. 6?i ≤【★答案★】C 【解析】 【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出★答案★. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①②③【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A. 99 B. 131C. 139D. 141【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．10. 已知2log πa e =，ln ,πb e =2ln e c π=，则( )A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【★答案★】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、作差法即可得出． 【详解】解：e eπ<，12b ∴<， 又1b c +=．c b ∴>．22πe 2log e ln (2)2220π2a c ln ln ln ln ππππ-=-=--=+->-=．a c ∴>．b c a ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11. 已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为( ) A.11π4B.112πC. 11πD. 22π【★答案★】C 【解析】 【分析】考虑一个长方体1111ABCD A B C D -，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为3,3,2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，即可得外接球的表面积.【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是,,a b c ，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3,3,2，如图：则四面体的外接球即为长方体的外接球，因为229a b +=，229b c +=，224c a +=，所以22211a b c ++=， 所以，长方体的外接球直径211R =， 故外接球的表面积2411S R ππ==. 故选：C.【点睛】本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos ,PA PB 的最大值是（ ） A.624- B.1717C.1776- D.1414【★答案★】A 【解析】 【分析】记,PA PB θ=，考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4ABAPθ==，当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BPAP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围，再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详解】记,PA PB θ=，若θ90>，则cos 0θ<；若90θ=，则cos =0θ；考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P 点位于左顶点， 此时直线AP 斜率不存在，tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时，设(,)P x y ，有2214x y +=，22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+，(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈，则24tan 384tt t θ=-+-，当0t =时，tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-)，当(0,2]t ∈，444tan 234448433883t t t t θ==≥=+<⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =即233t =时取等号， 则()()222111cos 1tan 12366242θθ=≤==++-++. 综上所述，cos ,PA PB 的最大值是624-. 故选：A【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡上.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【★答案★】8 【解析】 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故★答案★为：8【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.14. 已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______.【★答案★】15 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线2y x z =-+在y 轴上截距的几何意义求最大值即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+可得2y x z =-+， 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，2z x y =+在y 轴上截距最大，由17y x y =-⎧⎨+=⎩解得8,1x y ==-，即(8,1)A -,此时z 的最大值为28115z =⨯-=， 故★答案★为：15【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，数形结合，属于中档题. 15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.【★答案★】322π【解析】 【分析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF ，最后由几何概型概率公式计算即可. 【详解】连接AC ，显然，AC 中点O 为ABC ∆的外接圆圆心，设半径为1 连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA ====，AC 为直径，则180454BOC ︒∠==︒，135AOB ∠=︒ 该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO O B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112212222BCO AOB S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF 内的概率为23232212P ππ==⋅故★答案★为：322π【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题.16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_________. 【★答案★】1(1,)e e 【解析】 【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >，设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0xy a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.故★答案★为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a bA B=. （1）求角A 的大小； （2）若7a =，2b =，求ABC 的面积.【★答案★】（1）3A π=（2）332【解析】 【分析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B=和2tan sin a b A B =，得到2sin tan a aA A =，然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.（2）根据7a =，2b =，3A π=，利用余弦定理求得c ，再代入1sin 2ABCSbc A =求解. 【详解】（1）由正弦定理知sin sin a b A B=，又2tan sin a bA B =， 所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =，因为0A π<<， 所以3A π=.（2）因为7a =，2b =，3A π=，由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. 又0c >，所以3c =. 故ABC 的面积为1133sin 23sin 2232ABCSbc A π==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【★答案★】（1）70分；（2）1415. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．（2）“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【详解】（1）得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++= 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40 于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示，其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分（不含i j =对角线上的点），于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()11515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为1415.【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19. 如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =.（1）证明：AB ⊥平面ADM ； （2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥A CEM -的体积.【★答案★】（1）证明见解析；（2）239. 【解析】 【分析】（1）推导出AB AM ⊥，AB AD ⊥，由此能证明AB ⊥平面ADM ．（2）推导出13C AEM C ABM V V --=，111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====，由此能求出三棱锥A CEM -的体积．【详解】（1）因为2AB AM ==，22MB =， 所以222AM AB MB +=，于是AB AM ⊥又AB AD ⊥且,AM AD A AM ⋂=⊂平面ABD ，AD ⊂平面ADM ， 所以AB ⊥平面ADM（2）因为2,23AM AD MD ===，所以3ADM S =△ 因为2BE EM =，所以13C AEM C ABM V V --= 又,CD//AB AB ⊥平面ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====1111232333339ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=所以三棱锥A CEM -的体积为239. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知函数22(),(,)ln x x e f x x e x x++=∈+∞.（1）证明：当(e,)x ∈+∞时，3ln x ex x e->+； （2）证明：()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.（其中e 2.71828=是自然对数的底数）.【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）构造函数3()ln x eg x x x e-=-+，利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式；（2）求出函数()f x 的导数，利用（1）中所证不等式判断()f x 的导数中分母的符号即可确定导数的符号，从而确定()f x 的单调性.【详解】（1）令3()ln ,(,)x eg x x x e x e-=-∈+∞+，则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++ 于是()g x 在(,)e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln ,(,)x ex x e x e->∈+∞+ （2）22222222(21)ln ()(ln 1)()ln ()()(ln )(ln )x x x x x e x x e x x x e f x x x x x +-+++--++'==令2222()()ln (),(,)h x x e x x x e x e =--++∈+∞ 当(,)x e ∈+∞时，由（1）知3ln x ex x e->+ 则2222231()()()2(41)2[(2)]2x e h x x e x x e x e x x x e x e ->--++=-+=-++ 当1[2,)2x e ∈++∞时，()0h x >，从而()0f x '> 故()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式，属于中档题. 21. 已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B . （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.【★答案★】（1）255AB =（2）233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点()00,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点M 的坐标，由两点间距离公式表示出420020'1121x x F M x -+=+，令201t x =+换元，利用函数的单调性即可求出取值范围.【详解】设点()00,P x y ，其中20012y x =. 因为'y x =，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线l ：20012y x x x =-. （1）因为()2,2P ，于是切线l ：22y x =-. 故圆心O 到切线l 的距离为25d =. 于是22225212155d AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y .则3012201x x x x +=+，()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得20222222x -<<+又200x ≥，于是200222x ≤<+.于是()301220221x x x x x +==+，()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故()()223200220'0122121F x x x x M ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()642000222001112141x x x x x +-+==++. 令21t x =+，则1322t ≤<+.于是2'13313322F t t t t tM -+==+-.因为3t t +在)1,3⎡⎣单调递减，在()3,322+单调递增.又当1t =时，'12F M =；当3t =时，'2332F M =-； 当322t =+时，'221122F M -=>. 所以'F M 的取值范围为233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【★答案★】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤ ⎪⎝⎭；（2）1 【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值.【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. （2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得22310ρρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解. 选修45-：不等式选讲23. 己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【★答案★】（1）2（2）最大值为22. 【解析】 【分析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数，再利用函数()f x 的单调性确定当2ax =-时函数()f x 取到最小值m ，代入计算即可求出m 的值；(2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤，即要求出22a mb ab +的最小值，利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为22，即22t ≤，从而求出实数t 的最大值.【详解】解：（1）()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减， 当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当(),x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 所以当2ax =-时函数()f x 取到最小值， 所以2422222a a a b m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. （2）因为22a mb tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 由（1）知2m =，于是2222a mb a mb m b a b a+≥⋅==， 当且仅当2a bb a=时等号成立即()4210a =->，()2220b =->，所以22t ≤，故实数t 的最大值为22.【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值，考查了利用基本不等式求最小值，属于一般题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020届四川省成都市高三三诊模拟文科数学模拟试题有答案(精品)
成都第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B =U （ ） A ． ()1,1- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ）A ．3144BO AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ． 1144BO AB AC =-+u u u r u u ur u u u rC. 3144BO AB AC =-u u u r u u u r u u u r D ．1124BO AB AC =--u u u r u u ur u u u r7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-g 的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <u u u r u u u u r g ，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠U I ，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652⎤⎤⎥⎥⎣⎦⎣⎦U B ．25⎤⎥⎣⎦C. []2524,6⎤⎥⎣⎦U D ．{}652⎤⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==r r ，且()21b a b +=r r r g ，则向量,a b r r的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x ya ba b+=>>的左焦点为F，过点F的直径交椭圆于,A B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,D E两点．记GFD∆的面积为1S，OED∆（O为原点）的面积为2S，求12SS的取值范围．21. 已知函数()1lnf x x axa⎛⎫=+-⎪⎝⎭（,0a R a∈≠且）．（1）讨论()f x的单调区间；（2）若直线y ax=的图象恒在函数()y f x=图象的上方，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sinOρθθ=+和直线)2:sin0,0242lπρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤⎪⎝⎭．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x=++-．（1）求不等式()5f x≤的解集；（2）若关于x的不等式()1f x m<-的解集非空，求实数m的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. -14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},06m e ∈-∞-U U 三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 12344C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得c =，所以1sin 12ABC S ac B ∆==g ． 18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得4OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==． 由OH AD OD OA =g g，且4AD ==，得14OH =． 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC故三棱柱111ABC A B C -． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ckx k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆:，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数．（2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022a a a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。
四川省成都市2019-2020学年高考三诊数学试题含解析
四川省成都市2019-2020学年高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】 由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上. 由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.2．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切 【答案】D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论．【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．3．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ） A ．27B ．33C ．39D ．44【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ 求出63a ＝，再利用等差数列前n 项和公式得111116+)11(11332a a S a =＝＝ 【详解】解：因为 5383a a a ++＝，由等差数列性质，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝得，63a ∴＝．n S 为数列{}n a 的前n 项和，则111116+)11(11332a a S a =＝＝． 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前n 项和.(1)如果{}n a 为等差数列，若m n p q ++＝，则m n p q a a a a ++＝ ()*m n p q N ∈，，，．(2)要注意等差数列前n 项和公式的灵活应用，如21(21)n n S n a -=-.4．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 5．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题. 6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -= B ．2213y x -= C ．2213x y -= D ．22144x y -= 【答案】A【解析】【分析】 点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan a BPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a a a a m m APB APF BPF a a b b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立， 此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b == 所以双曲线的方程为22122x y -=． 故选：A【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.7．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】【详解】 试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系8．复数12i 2i +=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 9．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1e C ．21e D 【答案】C【解析】【分析】 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】 Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-， 可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '< 当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln 1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n n m n f m n e++≥= Q 11(,)n n f m n e+-'= 令110n n e +-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e =故选：C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e x f x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >> 【答案】C【解析】【分析】 根据函数的奇偶性得3322(2)(2)a f f =-=3222,log 9的大小，根据函数的单调性可得选项. 【详解】 依题意得3322(2)(2)a f f =-=，322223log 8log 9<==<=<Q ， 当0x ≥时，()e x f x x =+，因为1e >，所以x y e =在R 上单调递增，又y x =在R 上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，322(log 9)(2)f f f ∴>>，即b a c >>，故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.11．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=， 所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解22sin cos m n θθ+值的两种方法：（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n θθθθθθ++=++，利用tan θ的值求出结果. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年四川省成都市高考数学三诊试卷(文科)
2020年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={0,x}，B ={0,2，4}，若A ⊆B ，则实数x 的值为( )A. 0或2B. 0或4C. 2或4D. 0或2或4 2. 若复数z 满足zi =2+5i(i 为虚数单位)，则z 在复平面上对应的点的坐标为( )A. (2,5)B. (2,−5)C. (−5,2)D. (5,−2)3. 命题p ：∃x 0∈R ，x 02−x 0+1≤0的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−x +1>0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0C. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+1>0D. ∃x 0∈R ，x 02−x 0+1<0 4. 如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=2x −2−x ，则f(log 23)=( )A. 2B. 83C. 3D. 1036. 已知实数x ，y 满足{x −1≥0,y −2≥0,x +y −5≤0则z =2x +y 的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 107. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20√2m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示．则观赛场地的面积最大值为( )A. 400m 2B. 400√2m 2C. 600m 2D. 800m 28. 在等比数列{a n }中，已知a n a n+1=9n ，则该数列的公比是( )A. −3B. 3C. ±3D. 9 9. 已知函数f(x)=x 3−3x ，则“a >1”是“f(a)>f(1)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且π6≤∠F1AF2≤π4，则该双曲线离心率的取值范围是()A. [√5,√13]B. [√5,3]C. [3,√13]D. [√7,3]11.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1.有下列结论：①三棱锥P−ABC的三条侧棱长均相等；②∠PAB的取值范围是(π4,π2 )；③若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为2π3；④若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为√6+√22．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①③④12.已知函数f(x)=Asin(ωx+π4)−1(A>0,0<ω<1)的图象经过点(0,√22)，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合，若对任意的x1，x2∈[0,t]，都有2f(x1)≥f(x2)成立，则实数t的最大值是()A. 3π4B. 2π3C. 7π12D. π2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,λ)，b⃗ =(2,3)，且a⃗⊥b⃗ ，则实数λ的值为______．14.已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ŷ=b̂x+â，若下一次实验中x=170，利用该回归直线方程预测得ŷ=117，则b̂的值为______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=5，S5=10，且{S nn}是等差数列．则|a1|+|a2|+|a3|+⋯…+|a10|的值为______．16.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，经过点F且倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A，B点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点M.则4p|FM|的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额(单位：万元)分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．(Ⅰ)根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励．试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；(Ⅱ)从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a−c)sin(A+B)=(a−b)(sinA+sinB)．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=4，求a+c的最大值．19.如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，BC//AD，BC=2，AD=4，且AB⊥BD，平面ADEF⊥平面ABCD，M，N分别为EF，CD的中点．(Ⅰ)求证：MN//平面ACF；(Ⅱ)若DE=2，求多面体ABCDEF的体积．20.已知函数f(x)=e xe m−lnx，其中m∈R．(Ⅰ)当m=1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当m=2时，证明：f(x)>0．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(−√3,0)，点Q(1,√32)在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)经过圆O ：x 2+y 2=5上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点．(i)当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1k 2=−1； (ii)求|AB||MN|的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−83+√22ty =43+√22t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+6ρcosθ=a ，其中a >0． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)在平面直角坐标xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若点P(−83,43)恰为线段AB 的三等分点，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|−|x +2|．(Ⅰ)求不等式f(x)<x 的解集；(Ⅱ)记函数f(x)的最大值为M.若正实数a ，b ，c 满足a +4b +9c =13M ，求1−9c ab +a−3c ac的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的包含关系，比较基础．由A⊆B得A中元素一定在B中，求出x．【解答】解：因为A={0,x}，B={0,2，4}，A⊆B，所以x=2，4．故选：C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，得到其坐标得答案．【解答】解：由zi=2+5i，∴z=2+5ii =(2+5i)ii2=5−2i，∴z=5−2i在复平面上所对应的点的坐标为(5,−2)．故选：D．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查全称量词命题与存在量词命题的相互转化问题．这里注意全称量词命题的否定为存在量词命题，反过来存在量词命题的否定是全称量词命题．根据命题“∃x0∈R，x02−x0+1≤0”是特称量词命题，其否定为全称量词命题，将“∃”改为“∀”，“≤“改为“>”即可得答案【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x02−x0+1≤0”是存在量词命题∴命题的否定为∀x∈R，x2−x+1>0．故选：A．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，主要考查学生的转换能力的应用，属于基础题型．直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为柱体．当选A时，正视图的中间的竖线为虚线．选项BCD 正确． 故选：A ． 5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查函数值的计算，考查指数对数的运算性质，属于基础题目．直接根据指数对数的运算性质求解即可． 【解答】解：因为函数f(x)=2x −2−x ，则f(log 23)=2log 23−2−log 23=3−13=83； 故选：B ． 6.【答案】C【解析】解：作出实数x ，y 满足{x −1≥0,y −2≥0,x +y −5≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A(3,2)，B(1,2)，C(1,4) 设z =F(x,y)=2x +y ，将直线l ：z =2x +y 进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F(3,2)=2×3+2=8．故选：C ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =2x +y 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =2时，z =2x +y 取得最大值8．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =2x +y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：由题意矩形的另两个顶点在半圆轴上时，矩形面积才能取得最大值，OD =20√2m ，设矩形在半圆板直径上的一边长为2x ，θ角如图所示， 则x =20√2cosθ，另一边的长为CD =20√2sinθ， 矩形面积为S =1600sinθcosθ=800sin2θ，当2θ=90°即θ=45°时，也即长为40√2cos45°=40， 宽为20√2sin45°=20时，矩形面积最大． 最大面积是800m 2． 故选：D ．用圆的半径为20√2m 与图中所示的角(可设出)表示出来，把此矩形的面积表示出来，再用三角函数的相关的公式化简，最后用三角函数的有界性判断最大值在什么情况下取到，求出矩形的最大面积以及矩形的长与宽的大小．本题考查用三角函数解决实际问题的最值，这是三角函数的一个重要的运用，请仔细体会本题中函数关系的建立过程．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题．由已知a n a n+1=9n,利用递推关系结合等比数列的通项公式即可求解公比q．【解答】解：由a n a n+1=9n>0，当n⩾2时，∴a n a n+1a n−1a n =a n+1a n−1=9n9n−1=9，∴q2=9，故q=3或q=−3，当q=−3时，a n a n+1=(−3)×a n2<0与a n a n+1=9n>0，矛盾，所以不符合题意．故选：B．9.【答案】A【解析】解：函数f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3x2−3=(x2−1)，令f′(x)=0，解得x=±1，当−1<x<1时，f′(x)<0，当x<−1，或x>1时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，当a>1时，f(a)>f(1)，充分性成立，当f(a)>f(1)，不能得到a>1，故必要性不成立，故选：A．先判断函数的单调性，再根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．由题意画出图形，求得tan∠F1AF2=2ab ，再由π6≤∠F1AF2≤π4求得ba的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．【解答】解：如图，由题意，A(c,bac)，|F1F2|=2c，则tan∠F1AF2=|F1F2||AF2|=2cbac=2ab．由π6≤∠F1AF2≤π4，得√33≤2ab≤1，即2≤ba≤2√3．∴e=ca=√1+(ba)2∈[√5,√13].故选：A．11.【答案】C【解析】解：如图1所示：∵AB⊥BC，D为AC的中点，∴AD=BD= DP=DC=1，而PD⊥平面ABC，∴PA=PB=PC=√2，①正确；在△PAB中，PA=PB=√2，而AB<AD+BD=2，∴cos∠PAB=2√2<√22，因为0<∠PAB<π，所以∠PAB的取值范围是(π4,π2)，②正确；∵AD=BD=DP=DC=1，所以三棱锥P−ABC的外接球球心为D，即半径R=1，故其外接球的体积为4π3，③错误；当AB=BC时，BD⊥AC，所以AB=BC=√2，即△ABC为正三角形，沿PC将侧面PBC展开到平面PAC，如图2所示，连接BD，所以BD即为DE+BE的最小值．在△DCB中，CD=1，BC=√2，∠DCB=45°+60°=105°，所以BD2=1+2−2×1×√2×cos105°，解得BD=√6+√22，④正确．故选：C．作出图象，依据条件逐个判断各命题即可解出．本题主要考查棱锥的结构特征的理解和应用，三棱锥外接球的计算以及利用展开图求最值，考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了本题考查求三角函数解析式的方法，三角函数单调性及最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据题意，可解得A=1+√2，由题，将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合，即3π是该函数最小正周期的整数倍，k⋅2πω=3π(k∈z)，因为0<ω<1，得ω=23.求得函数解析式．根据任意的x1，x2∈[0,t]，都有2f(x1)≥f(x2)成立，转化为x∈[0,t]，2f(x)min≥f(x)max，根据三角函数的单调性及最值，即可求得t的最值．【解答】解：∵函数f(x)=Asin(ωx+π4)−1(A>0,0<ω<1)的图象经过点(0,√22)，∴√22A−1=√22，故A=1+√2．且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合，∴k⋅2πω=3π，k∈z，∴ω=23k，k∈z，∵0<ω<1，∴ω=23．f(x)=(1+√2)sin(23x+π4)−1．当x∈[0,t]，23x+π4∈[π4,23t+π4]，∵对任意的x1，x2∈[0,t]，都有2f(x1)≥f(x2)成立，即x∈[0,t]，2f(x)min≥f(x)max，①当23t+π4≤π2，2f(x)min=2[(√2+1)sinπ4−1]=√2，f(x)max=(√2+1)sinπ2−1=√2.∴2f(x)min≥f(x)max成立．又∵23x+π4=π4与23x+π4=3π4对称，所以23t+π4≤3π4时，2f(x)min≥f(x)max恒成立；②当23t+π4>34π时，f(x)max=(√2+1)sinπ2−1=√2．2f(x)min<√2，即2f(x)min≥f(x)max不成立．综上所述，对任意的x1，x2∈[0,t]，2f(x1)≥f(x2)成立，2 3t+π4≤3π4，即t≤3π4．故选：A．13.【答案】−23【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,λ)，b ⃗ =(2,3)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2+3λ=0， 则实数λ=−23， 故答案为：−23．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出λ的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】135251【解析】 【分析】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．由已知表格中的数据求得样本点的中心坐标，代入回归方程，再把点(170,117)代入回归方程，联立方程组求解b ̂的值． 【解答】解：由已知表格中的数据，求得x −=120+110+125+130+1145=119.8，y −=92+83+90+96+895=90．则119.8b ̂+a ̂=90，① 又170b ̂+a ̂=117，② 联立①②解得b ̂=135251．故答案为：135251．15.【答案】792【解析】解：由于{Snn }是等差数列． 所以S55−S 11=4d ，解得d =2−54=−34，所以Snn=5−34(n −1)，整理得S n =5n −34n 2+34n =−34n 2+234n ．故a n =S n −S n−1=−32n +132(n ≥2)．所以：|a 1|+|a 2|+|a 3|+⋯…+|a 10|=5+72+2+12+1+52+82+112+142+172=792．故答案为：792． 首项求出数列的通项公式，进一步求出含绝对值的数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，含绝对值的的数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 16.【答案】2 【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(p 2,0)，由题意可得直线AB 的方程为：x =y +p 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与抛物线的方程联立{x =y +p 2y 2=2px，整理可得：y 2−2py −p 2=0，则y 1+y 2=2p ，x 1+x 2=y 1+y 2+p =3p ，所以弦AB 的中点C(3p 2,p)，所以弦AB 的中垂线的方程为：y −p =−(x −3p 2)，令y =0，可得x =5p 2，即M(5p 2,0)， 所以|FM|=|5p2−p 2|=2p ， 所以4p |FM|=4p 2p =2，故答案为：2．由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，再由题意可得直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，进而求出弦AB 的中点坐标，再求弦AB 的中垂线的方程，令y =0，求出M 的横坐标，进而求出|FM|的值，再求出4p|FM|的值．本题考查抛物线的性质及线段中垂线的求法，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70．∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1120=55%．∵55%<65%，故不需要对该销售小组发放奖励．(Ⅱ)由题意，可得月均销售额不低于3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为A 1，A 2，其余的记为a 1，a 2，a 3．从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：(A 1,A 2)，(A 1,a 1)，(A 1,a 2)，(A 1,a 3)，(A 2,a 1)，(A 2,a 2)，(A 2,a 3)，(a 1,a 2)，(a 1,a 3)，(a 2,a 3).共有10种． 其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：(A 1,A 2)，(A 1,a 1)，(A 1,a 2)，(A 1,a 3)，(A 2,a 1)，(A 2,a 2)，(A 2,a 3)，共有7种．故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为P =710．【解析】(Ⅰ)利用列举法求出该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，从而月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1120=55%.由此能求出不需要对该销售小组发放奖励．(Ⅱ)月均销售额不低于3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为A1，A2，其余的记为a1，a2，a3.从上述5名销售员中随机抽取2名，利用列举法能求出选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，(a−c)sin(A+B)=(a−b)(sinA+sinB)，即(a−c)sinC=(a−b)(sinA+sinB)，再利用正弦定理可得c(a−c)=(a−b)(a+b)，整理可得a2+c2−b2=ac，故cosB=a2+c2−b22ac =12，∴在△ABC中，B=π3．(Ⅱ)∵b=4，∴a2+c2−16=ac，∴(a+c)2=16+3ac≤16+3(a+c2)2，当且仅当a=c时等号成立．∴(a+c)24≤16，故a+c≤8，即a+c的最大值为8．【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．(Ⅰ)由题意利用正弦定理、余弦定理求得cos B的值，可得角B的大小．(Ⅱ)由题意利用基本不等式，求得a+c的最大值．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：如图，取AD的中点O.连接OM，ON．在矩形ADEF中，∵O，M分别为线段AD，EF的中点，∴OM//AF．又OM⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴OM//平面ACF．在△ACD中，∵O，N分别为线段AD，CD的中点，∴ON//AC．又ON⊄平面ACF，AC⊂平面ACF，∴ON//平面ACF．又OM∩ON=O，OM，ON⊂平面MON，∴平面MON//平面ACF．又MN⊂平面MON，∴MN//平面ACF．(Ⅱ)解：如图，过点C作CH⊥AD于H．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，CH⊂平面ABCD，∴CH⊥平面ADEF．同理DE⊥平面ABCD．连接OB，OC.在△ABD中，∵AB⊥BD，AD=4，∴OB=12AD=2．同理OC=2．∵BC=2，∴等边△OBC的高为√3，即CH=√3．连接BE．∴多面体ABCDEF的体积为：V ABCDEF=V B−ADEF+V B−CDE=V B−ADEF+V E−BCD=13S ADEF⋅CH+13S△BCD⋅DE=13×2×4×√3+1 3×12×2×√3×2=10√33．【解析】(Ⅰ)取AD的中点O.连接OM，ON.推导出OM//AF.从而OM//平面ACF.进而ON//AC.ON//平面ACF.平面MON//平面ACF.由此能证明MN//平面ACF．(Ⅱ)过点C作CH⊥AD于H.则CH⊥平面ADEF.同理DE⊥平面ABCD.连接OB，OC.连接BE.由V ABCDEF=V B−ADEF+V B−CDE=V B−ADEF+V E−BCD，能求出多面体ABCDEF的体积．本题考查线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)，当m=1时，f(x)=e xe −lnx.则f′(x)=e xe−1x，令ℎ(x)=f′(x)=e xe −1x，则ℎ′(x)=e xe +1x2>0，∵f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′(1)=0，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(Ⅱ)证明：当m=2时，f(x)=e xe2−lnx.则f′(x)=e xe2−1x．∵f′(x)在(0,+∞)上单调递增，且f′(1)=1e −1<0，f′(2)=1−12>0，∴存在唯一的x0∈(1,2)，使得f′(x0)=0．∴当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，即f(x)在(0,x0)上单调递减；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(x0,+∞)上单调递增，∴f(x)最小值=f(x0)=e x0e2−lnx0．又e x0e2=1x0，即lne x0−2=ln1x.化简，得x0−2=−lnx0．∴f(x)最小值=e x0e2−lnx0=1x0+x0−2．∵x0∈(1,2)，∴f(x)最小值=1x0+x0−2>2√1x0⋅x0−2=0．∴当m=2时，f(x)>0．【解析】(Ⅰ)代入m=1，求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)代入m=2，求出函数的导数，表示出函数的最小值，得到lne x0−2=ln1x0，求出函数的最小值，结合不等式的性质证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及基本不等式的性质，是一道综合题． 21.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆C 的左焦点F 1(−√3,0)，∴c =√3．将Q(1,√32)代入x 2a 2+y 2b 2=1，得1a 2+34b 2=1． 又a 2−b 2=3，∴a 2=4，b 2=1．∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)(i)证明：设点P(x 0,y 0)，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为y =k(x −x 0)+y 0．由{y =k(x −x 0)+y 0x 2+4y 2−4=0，消去y ，得(1+4k 2)x 2+8k(y 0−kx 0)x +4(y 0−kx 0)2−4=0， △=64k 2(y 0−kx 0)2−4(4k 2+1)[4(y 0−kx 0)2−4]．令△=0，整理得(4−x 02)k 2+2x 0y 0k +1−y 02=0．由已知，则k 1k 2=1−y 024−x 02． 又x 02+y 02=5，∴k 1k 2=1−(5−x 02)4−x 02=x 02−44−x 02=−1． (ii)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为y =k 1(x −x 1)+y 1．由{y =k 1(x −x 1)+y 1x 2+4y 2−4=0，消去y ，得(1+4k 12)x 2+8k 1(y 1−k 1x 1)x +4(y 1−k 1x 1)2−4=0． Δ=64k 12(y 1−k 1x 1)2−4(1+4k 12)[4(y 1−k 1x 1)2−4]．令△=0，整理得(4−x 12)k 12+2x 1y 1k 1+1−y 12=0．则k 1=−x 1y 14−x 12=−x 1y 14y 12=−x14y 1． ∴直线PA 的方程为y =−x14y 1(x −x 1)+y 1． 化简，可得x 1x +4y 1y =4y 12+x 12，即x 1x 4+y 1y =1．经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为x =2或x =−2，也满足x 1x 4+y 1y =1． 同理，可得直线PB 的方程为x 2x 4+y 2y =1．∵P(x 0,y 0)在直线PA ，PB 上，∴x 1x 04+y 1y 0=1，x 2x 04+y 2y 0=1． ∴直线AB 的方程为x 0x 4+y 0y =1． 由{x 0x 4+y 0y =1x 2+4y 2=4，消去y ，得(3y 02+5)x 2−8x 0x +16−16y 02=0． ∴x 1+x 2=8x 03y 02+5，x 1x 2=16−16y 023y 02+5．∴|AB|=√1+x 0216y 02|x 1−x 2|=√15y 02+516y 02[64x 02−4(3y 02+5)(16−16y 02)(3y 02+5)2]=2√53y 02+5√3y 02+1y 02(3y 04+y 02)=2√5(3y 02+1)3y 02+5． 又由(i)可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM ⊥PN ；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM ⊥PN ．∴MN 为圆O 的直径，即|MN|=2√5．∴|AB||MN|=2√5(3y 02+1)022√5=3y 02+13y 02+5=1−43y 02+5． 又y 02∈[0,5]， ∴1−43y 02+5∈[15,45]． ∴|AB||MN|的取值范围为[15,45]．【解析】(Ⅰ)由焦点坐标和Q 满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； (Ⅱ)(i)由已知椭圆方程求出A ，B 的坐标，设P(x 0,y 0)(−2≤x 0≤2)，由斜率公式及点P 在椭圆上即可得到k 1⋅k 2是定值−1；(ii)求得直线AP ，BP 的方程，进而得到AB 的方程，再与椭圆方程联立，利用根与系数关系表示出|AB|，利用弦长公式表示出|MN|，即可求得范围．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线方程和曲线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档偏难题．22.【答案】解：(Ⅰ)由{x =−83+√22t y =43+√22t(t 为参数)，消去此时t ，可得直线l 的普通方程为x −y +4=0； 由ρ2+6ρcosθ=a ，结合ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+6x −a =0；(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2+5√23t −649−a =0．则△>0，且t 1+t 2=−5√23,t 1t 2=−(649+a)． 由题意，不妨设t 1=−2t 2， ∴t 2=5√23，t 1=−10√23， 得到−1009=−649−a ，即a =4，符合△>0．∴a 的值为4．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．(Ⅰ)直接把直线参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合题意求解a 值．23.【答案】解：(Ⅰ)不等式f(x)<x ，即|x −1|−|x +2|<x ，①当x ≥1时，化简得−3<x ，解得x ≥1；②当−2<x<1时，化简得−2x−1<x，解得−13<x<1；③当x≤−2时，化简得3<x，此时无解；综上，不等式的解集为(−13,+∞)．(Ⅱ)∵|x−1|−|x+2|≤|(x−1)−(x+2)|=3，当且仅当x≤−2时等号成立，∴M=3，即a+4b+9c=1，∵1−9cab +a−3cac=a+4bab+1c−3a=1a+1b+1c，又a，b，c>0，∴1a+1b+1c=(1a+1b+1c)(a+4b+9c)≥(a √a+√b⋅√4bc√9c)2=(1+2+3)2=36，当且仅当1aa=1b4b=1c9c，即a=16，b=112，c=118时取等号，∴1−9cab +a−3cac的最小值为36．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．(Ⅰ)根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的取值范围，可得不等式的解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式求出f(x)的最大值为M，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．。
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高三三诊模拟试题(文科)数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}230A x x x =->，{}1B x y x ==-，则A B 为（ ）A ．[)0,3B ．()1,3C ．(]0,1 D ．∅ 2. 已知复数z 满足1+1zz i=- (i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ． i B ．-1 C ． 1 D ．i -3. 把[]0,1内的均匀随机数x 分别转化为[]0,4和[]4,1内的均匀随机数1y ，2y ，需实施的变换分别为 A ．124,54y x y x =-=- B ．1244,43y x y x =-=+ C ． 124,54y x y x ==-D ． 124,43y x y x ==+4. 已知命题:p x R ∃∈,20x ->，命题:q x R ∀∈，x x <，则下列说法中正确的是（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C. 命题()p q ∧⌝真命题 D ．命题()p q ∨⌝是假命题5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．642+ C. 4+42 D ．2 6. 已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC =，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为（ ） A ．14 B ． 13 C. 12 D ．237. 在约束条件4224x y x y y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩下，目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．26B ． 24 C. 22 D ．208. 运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（ ） A ．42z ≤ B ． 45z ≤ C. 50z ≤ D ．52z ≤9. 已知函数2,0()(),0x x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数，则((2))g f -的值为（ ）A ． 0B ．-1 C.-2 D ．-410.将函数()sin f x x =图象上每一点的缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）A ．52,21212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ． 52,266k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. 5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11. 已知双曲线222:41(0)x C y a a-=>3，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ． 2 C. 3 D ．412. 定义函数348,12,2()1(),222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,则函数()()6g x xf x =-在区间[]1,2()n N *''∈内的所有零点的和为（ ）A ．nB ．2n C.3(21)4''- D ．3(21)2''- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.ln133log 18log 2e -+=．14. 在平面直角坐标系中，三点(0,0)O ,(2,4)A ，(6,2)B ，则三角形OAB 的外接圆方程是． 15. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C 成等差数列，3b =，则ABC∆面积的取值范围是．16. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}2n n a ⋅的前n 项和n S ，求n S .18.某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站.根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率.19. 在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，四边形ADEF 是正方形，//AB DC ，CD AD ⊥，面ABCD ⊥面ADEF ，1AB AD ==.2CD =.（1）求证：平面EBC ⊥平面EBD ；（2）设M 为线段EC 上一点，3EM EC =，试问在线段BC 上是否存在一点T ，使得//MT 平面BDE ，若存在，试指出点T 的位置；若不存在，说明理由?（3）在（2）的条件下，求点A 到平面MBC 的距离.20. 设1F 、2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左、右焦点.若P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF 的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:1l x ky =-与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围. 21.已知函数1()ln f x a x x=+，其中a R ∈； （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于x 的不等式22(2)2(1)()32x t x t f x t N x x *+++++>∈++，当1x ≥时恒成立，求t 的值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为25,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系屮，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=. （Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立. （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1m >，1n >，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5: CCCCB 6-10: BAACC 11、12：BD 二、填空题13. 3 14. 22620x y x y +--= 15. ,24⎛ ⎝⎦16.28,203S ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 三、解答题17.（1）∴21n a n =+（2）12(12)2n n +--⨯18.解:（1）样本均值46121820125X ++++==（2）样本中优秀服务站为2间，频率为25，由此估计90间服务站中有290365⨯=间优秀服务站； （3）由于样本中优秀服务站为2间，记为12,a a ，非优秀服务站为3间，记为123,,b b b ，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b a b a b121323(,),(,),(,)a b b b b b 共10种情况，其中恰有1间是优秀服务站的情况为 111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b 6种情况，故所求概率为35p =. 19. 解:（1）因为面ABCD ⊥面ADEF ，面ABCD ⋂面ADEF AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥面ABCD ，ED BC ⊥.在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ， 故四边形ABHD 是正方形，所以45ADB ∠=︒. 在BCH ∆中，1BH CH ==，∴45BCH ∠=︒.2BC =，∴45BDC ∠=︒，∴90DBC ∠=︒∴BC BD ⊥. 因为BDED D =，BD ⊂平面EBD ，ED ⊂平面EBD .∴BC ⊥平面EBD ,BC ⊂平面EBC ，∴平面EBC ⊥平面EBD .（2）在线段BC 上存在点T ，使得//MT 平面BDE 在线段BC 上取点T ，使得3BT BE =，连接MT . 在EBC ∆中，因为13BT EM BC EC ==，所以CMT ∆与CEB ∆相似，所以//MT EB 又MT ⊄平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以//MT 平面BDE . （3）6620.解:（1）易知2a =，4c b =-24b <所以()14,0F b --，)24,0F b -，设(),P x y ，则()124,PF PF b x y⋅=---，)2222222224,44(1)444b x b b x y x y b x b b x b b --=++-=+-+-=-+-+因为[]2,2x ∈-，故当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1，即221(1)444b b b =-⨯+-+，解得1b =故所求的椭圆方程为2214x y += （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(4)230k y ky +--=，故12224k y y k +=+，12234y y k -⋅=+. 222(2)12(4)16480k k k ∆=++=+>又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(1)(1)()1x x ky ky k y y k y y =--=-++∴()2221212121222321()1(1)144k x x y y k y y k y y k k k -+=+-++=+⋅-+++ 222222332414044k k k k k k ---++-==>++，∴214k <-，解得1122k -<<∴k 的取值范围是11(,)22-.21.解:（Ⅰ）2211()a ax f x x x x-'=-+= 当1x =时，()0f x '=，解得1a = 经验证1a =满足条件，（Ⅱ）当1a =时，22(2)21(1)3221x t x t x t f x x x x x ++++++>=+++++ 整理得(2)ln(1)t x x x <++- 令()(2)ln(1)h x x x x =++-， 则21()ln(1)1ln(1)011x h x x x x x +'=++-=++>++，(1)x ≥ 所以min ()3ln 21h x =-，即3ln 21(0,2)t <-∈ ∴1t =22.解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩即曲线1C 的普通方程为221204x y += ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ= 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= 即222:(2)(1)1C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为(4,0)-直线l 的倾斜角为4πα=，sin cos 2αα==所以直线l的参数方程为4x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C整理可得240t -+=，设,A B对应的参数分别为12,t t则所以12t t +=，124t t =.所以12AB t t =-===23.解：（1）令1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则1()1f x -≤≤，由于x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}1t T t t ∈=≤.（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式33log log 2m n +≥≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号. 所以m n +的最小值为18.。