连续信号与系统的复频域分析
实验七连续信号与系统复频域分析的MATLAB实现1
实验七 连续信号与系统复频域分析的MATLAB 实现一、实验目的1. 掌握连续时间信号拉普拉斯变换的MATLAB 实现方法；2. 掌握连续系统复频域分析的MATLAB 实现方法。
二、实验原理1. 连续时间信号的拉普拉斯变换连续时间信号的拉普拉斯正变换和逆变换分别为：⎰∞∞--=dt e t f s F st )()(⎰∞+∞-=j j stds e s F j t f σσπ)(21)(Matlab 的符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox ）提供了能直接求解拉普拉斯变换和逆变换的符号运算函数laplace()和ilaplace ()。
下面举例说明两函数的调用方法。
（1）拉普拉斯变换例1.求以下函数的拉普拉斯变换。
)()()2()()()1(221t te t f t e t f t t εε--==解：输入如下M 文件：syms tf1=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)'); F1=laplace(f1) %求f1(t)的拉普拉斯变换 f2=sym('t*exp(-t)*Heaviside(t)'); F2=laplace(f2) 运行后，可得如下结果：F1 = 1/(s+2) F2 = 1/(s+1)^2 （2）拉普拉斯逆变换例2.若系统的系统函数为1]Re[,231)(2->++=s s s s H 。
求冲激响应)(t h 。
解：输入如下M 文件：H=sym('1/(s^2+3*s+2)');h=ilaplace(H) %求拉普拉斯逆变换运行后，可得如下结果：h=exp(-t)-exp(-2*t) 2. 连续系统的复频域分析 若描述系统的微分方程为∑∑===Mj j j Ni i i t f b t ya 0)(0)()()(则系统函数为)()()()()(00s A s B sa sb s F s Y s H Ni ii Mj jj===∑∑== 其中，∑∑====Mj j j Ni i i s b s B s a s A 0)(,)(。
第4章 连续信号与系统的复频域分析
式（ 4.1-5 ）和（ 4.1-6 ）称为双边拉普 拉斯变换对，可以用双箭头表示f ( t )与F(s) 之间这种变换与反变换的关系
记F (s) L [ f (t )], f (t ) L [ F (s)]
-1
f (t ) F ( s)
从上述由傅氏变换导出双边拉普拉 斯变换的过程中可以看出，f (t) 的双边 拉普拉斯变换F(s)=F( j )是把f (t)乘 以e - t之后再进行的傅里叶变换，或者 说F(s)是f ( t ) 的广义傅里叶变换。
j
1
j
st
ds
t > 0
(4.1-9）
记为£ -1[ F(s)]。即
F(s) =£ [ f (t) ]
–1 [ F (s) ] 和 f (t) = £
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋， 目的是可把t = 0－时出现的冲激考虑到变换中 去，当利用单边拉普拉斯变换解微分方程时， 可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得全 部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。
经过 0 的垂直线是收敛边界，或称为 收敛轴。
由于单边拉普拉斯变换的收敛域是由 Re[s] = > 0的半平面组成，因此其收敛 域都位于收敛轴的右边。
凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的 衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下 去，使之成为收敛函数。
在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存 在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不 存在。
双边拉普拉斯变换对并不一一对应， 即便是同一个双边拉普拉斯变换表达式， 由于收敛域不同，可能会对应两个完全不 同的时间函数。
因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
信号与系统第四章-连续信号复频域分析
j
0
（可以用复平面虚轴上的连续频谱表示） 实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅振荡的正
弦分量 d cost 之和。 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
F ( )
f (t )e jt dt
ZB
3. 拉普拉斯变换
2 j f (t ) F ( s)
称 为衰减因子； e- t 为收敛因子。 返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
取 f(t)e- t 的傅里叶变换：
F [ f (t )e
t
]
f (t )e
t jt
e
f (t )e ( j )t dt dt
它是 j的函数，可以表示成
拉普拉斯变换（复频域）分析法 – 在连续、线性、时不变系统的分析方面十分有效 – 可以看作广义的傅里叶变换 – 变换式简单 – 扩大了变换的范围 – 为分析系统响应提供了规范的方法
返回《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
ZB
4.1 拉普拉斯变换
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉氏变换的优点： (1) 不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入响应 或全响应。 (2) 单边拉氏变换自动将初始条件包含在其中，而且只需 要了解 t=0- 时的情况就可以了。 (3) 时间变量 t 的取值范围为 0 ~ ，复频域变量 s 的取 值范围为复平面( S 平面)的一部分。 j S 平面 当 >0 时， f(t)e- t 绝对收敛。
ZB
按指数规律增长的信号：如 e t ，0 =
比指数信号增长的更快的信号：如 e 或t t 找不到0 ， 则此类信号不存在拉氏变换。
信号与系统自测题（第4章连续时间信号与系统的复频域分析）含答案
《信号与系统信号与系统》》自测题第4章 连续时间连续时间信号与信号与信号与系统的的系统的的系统的的复复频域分析一、填空题1、由系统函数零、极点分布可以决定时域特性，对于稳定系统，在s 平面其极点位于 左半开平面（不含虚轴） 。
2、线性时不变连续时间系统是稳定系统的充分必要条件是()H s 的极点位于s 平面的 左半开平面（不含虚轴） 。
3、()H s 的零点和极点中仅 极点 决定了()h t 的函数形式。
4、()H s 是不 随系统的输入信号的变化而变换。
5、已知某系统的系统函数为()H s ，唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是()H s 的 极点 。
6、如下图所示系统，若221()2()()22U s H s U s s s ==++，则L = 2 H ，C =14F 。
注：2211()121/2()1()(0.5)1221/2U s Cs H s U s Ls Cs s s Ls Cs +====++++++2Ls s =222LCs s = 所以 2L = 1/4C =7、某信号2()x t t =，则该信号的拉普拉斯变换是32s。
注：1!()nn n t t sε+↔8、若信号3()t f t e =，则()F s =13s −。
9、431s s ++的零点个数是 0 ，极点个数是 4 。
10、求拉普拉斯逆变换的常用方法有 部分分式分解法 、 留数法 。
1(U s Ls+−+−2()s11、若信号的单边拉普拉斯变换为32s +，则()f t =23()t e u t −。
12、已知6()(2)(5)s F s s s +=++，则原函数()f t 的初值为 1 ，终值为 0 。
注：6(0)lim 1(2)(5)s s f s s s →∞+=×=++ 06()lim 0(2)(5)s s f s s s →+∞=×=++13、已知2()(2)(5)sF s s s =++，则原函数()f t 的初值为 2 ，终值为 0 。
第四章 连续时间信号与系统的复频域表示与分析
信号与系统 2
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
单边指数信号 e at ut
1 e ut , sa
at
Res a
说明
知道 e at u( t ) 的 L 变换可以推导出其他许多函数 的 L 变换。
北京理工大学珠海学院信息学院
信号与系统
e
at
1 ( a j ) t costu( t ) (e e ( a j ) t )u( t ) 2 1 1 1 sa ( s a )2 2 j2 s a j s a j
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
一
1
常用信号的拉普拉斯变换
t 和 t
L t 1,
L t s,
推广 :
Res Res
L n t s n
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
例题
求下列信号的Laplace变换的收敛域
1ut ut 2ut 3sin0 tut 4tut , t n ut 5e 3t ut 6t t ut , e t ut
记作 f t L 1 F s
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信号与系统
第四章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
f t F s
L
注意
信号 f(t) 必须是单边信号，即 t <0, f (t)=0。 积分下线的选取。 为了可以从 s域分析在0时刻包含冲激的信号，以 及由s域分析系统的零输入响应，所以采用 0- 定义。 习惯上把下线简写为0，其含义于 0- 相同。
重庆邮电大学信号与系统课件第4章
f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相 反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析(1)(2)
st
st
s
例4.1-4 求 t 、 ' t 的象函数。 解： t ， ' t 均为时限信号，所以收敛域
为整个
L t t e dt t dt 1
st
s 平面。
0
de st se st s L ' t ' t e st dt dt t 0 0 t 0
Res
双边函数
的收敛域
如果 ，当然存在共同的收敛域 ，收敛域是带 Res 状区域 ; 如果 则没有共同的收敛域，Fb s 不存在。
因果函数 的收敛域
反因果函数 的收敛域
双边函数 的收敛域
当收敛域包含虚轴时，拉氏变换与傅氏 变换同时存在，将 s j 代入即可得其傅氏 变换。
对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当 选取 的值使 f t e t 当 t 时,
e
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
例如
f t e
t
dt
f t e t
2t
2t 2t
e t dt e dt
t
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 为了达到这个要求， f t 应满足：
lim f t e
t
t
0
0
0是满足 lim f t e t 0 的最小 值。 t
我们称 f t 为 0 指数阶的。 f t 可以是增长的，只要它比某些指数增长的慢， 其 拉氏变换就存在。
信号与系统第四章__连续系统的复频域分析
L[et
sin 0t ]
L{ 1 2j
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
1( 1 1 )
2 j s j0 s j0
(s
0 )2
02
即
eat
sin
0t
L
(s
0
a)2
02
8.冲激偶信号 ' (t)
3.阶跃信号u（t），则根据定义其拉普拉斯变换为
L[u(t)] u(t)est dt 1
0
s
1L 1
s
即
A L A
s
4. 余弦信号cosω0t
因为
cos0t
1 2
(e j0t
e
) j0t
L[cos0t]
1 2
L[e
] j0t
1 2
L[e
] j0t
j0
)
0 s2 02
即
sin
0t
L
s2
0 02
6.衰减余弦信号e-αt·cosω0t
因为
et
cos0t
1 (e( j0 )t 2
e( j0 )t )
L[et
cos0t]
L{1 2
[e (
j0 )t
e( j0 )t ]}
2j
j
F
(S
)est
ds
(t
)
（4-6）
式（4-5）、（4-6）称为单边拉普拉斯变换对。实际系统中
的信号都有原始信号，即t<0时， f(t)=0，所以我们只需要
基于MATLAB实现连续信号与系统复频域分析
摘要拉普拉斯变换（Laplace Transform)，是工程数学中常用的一种积分变换。
它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。
拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
关键词：拉普拉斯变换，拉普拉斯反变换，拉普拉斯变换幅度曲面，MATLAB目录绪论 (3)（一）MATLAB软件简介 (3)（二）课程设计意义及目的 (3)设计原理 (4)（一）拉普拉斯变换 (4)（二）拉普拉斯反变换 (4)课程设计 (7)（一）拉普拉斯变换的MATLAB实现 (7)（二）拉普拉斯的反变换的MATLAB实现 (7)(三)通过MATLAB实现拉普拉斯变换曲面图 (9)致谢 (12)参考文献： (12)绪论（一）MATLAB软件简介MATLAB（矩阵实验室）是MatrixLaboratory的缩写，是一款由美国The Mathworks 公司出品的商业数学软件。
MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
在实际中，信号是有始(因果)信号，即t<0 时，f(t)=0，因此
F ( s ) f (t )e st dt
0
上式称为f(t)的单边拉氏变换。积分下限 t=0- ，是将起始状态考虑进去，并且用拉氏 变换求解微分方程，无需专门计算0- 到0+ 的 跳变。 而拉氏反变换的积分限并不改变。
信号f(t)可分解为复指数函数est=eσtejωt 的线性组合。在这里由于σ可正、可负， 也可为零，因此这些复指数函数可以是增 幅的、减幅的或等幅的振荡信号，这与傅 里叶分析中作为基本信号的等幅振荡信号 ejωt相比，具有更普遍的意义。 复频率函数F(s)与傅里叶变换F(jω)相似， 是一个频谱密度函数，它反映了信号的基 本特征，因此可以利用拉普拉斯变换在复 频域对信号进行分析。
4.1.3单边拉普拉斯变换的收敛域
若满足
0
| f (t )e t | dt
则f(t)的单边拉普拉斯变换F(s)存在。使F(s)存在 的σ取值范围，称为f(t)的单边拉普拉斯变换F(s) 的收敛域。 单边拉普拉斯变换收敛域与因果信号双边拉普拉斯 变换的收敛域是相同的，即单边拉普拉斯变换的收 敛域为 Re[s]=σ>σ0(σ0为某一确定的实数) 它是以收敛轴Re[s]=σ0为收敛边界的S平面的右边 区域。σ0与信号f(t)在t≥0时的特性有关，信号 一经给定，则σ0就是确定的。
f ( t ) e at ( t ) lim f ( t )e t ] 0 [
t
( a 0)
若f ( t )乘以e t，并满足 a，就可以得到 即信号f ( t )e t 满足绝对可积条件，其傅里叶变换存在。
第5章连续时间信号与系统的复频域分析
5.4.2 电路元件的复频域模型
对于比较复杂的网络（支路或结点较 多），列写微分方程本身也是一件烦琐的 事情。对于线性时不变电路，可不必列写 微分方程，直接把时域的电路模型转换为s 域电路模型，在s域内写出电路的代数方程 形式，然后进行求解。
1.电路元件的s域串联模型
图5.3 元件s域模型（串联形式）
5.4.1 应用拉普拉斯变换求解微分方 程
当电路或系统的输入输出微分方程已 知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉 斯变换，利用时域微分性质求出s域输出 Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(t)。
从该例可看出，用拉普拉斯变换法求 解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输 出及其导数，并且可直接得到全响应。通 过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以 避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是 对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计 算量大大减小。
图5.17
（9） 若二阶共轭极点位于虚轴， 即p1，2=jω0，p3，4=-jω0
图5.18
综上所述，若系统函数H(s)的极点位 于s左半平面，则冲激响应h(t)的波形呈衰 减变化，若H(s)的极点位于s右半平面，则 h(t)呈增幅变化。当一阶极点位于虚轴时， 对应的h(t)成等幅振荡或阶跃变化。若二阶 极点位于虚轴，则相应的h(t)呈增幅变化。
以上讨论的稳定性条件都是在时域判 定的。在s域中，对于线性非时变因果系统， 可根据上述定义和系统的零极点分布与系 统冲激响应的关系得出系统极点分布与稳 定性的关系如下。
（1）稳定因果系统的系统函数H(s)的极点 只能在s左半平面，不能在s右半平面有极 点，否则不满足式（5-36），系统不稳定。
（2）如果H(s)的一阶极点位于虚轴， 则该系统为临界稳定系统。
连续信号与系统的复频域分析
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2023 WORK SUMMARY
THANKS
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REPORTING
PART 01
连续信号的复频域表示
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换定义
将时间域的连续信号转换为频率 域的表示，通过积分将时间函数 与其复指数函数相乘，得到频谱 函数。
傅里叶变换的性质
线性性、时移性、频移性、对称 性、微分性、积分性等。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号分析
通过傅里叶变换将信号分 解为不同频率的分量，便 于分析信号的频率成分和 特征。
复频域分析的原理
复频域分析的应用
复频域分析是一种将连续时间信号和 系统从时域转换到复频域的方法。通 过在复频域内分析信号和系统的性质 ，可以更方便地处理信号的频谱、系 统的稳定性以及频率响应等问题。
复频域分析在通信、控制、图像处理 、音频处理等领域有着广泛的应用。 例如，在通信领域中，信号的调制和 解调过程通常需要在复频域内进行。 在控制领域，系统的稳定性分析和控 制策略的设计也需要用到复频域分析 。
将低频信号调制到高频载波上，实现信号的传输和放大。
解调
将已调信号从载波中分离出来，还原为原始信号。
信号的滤波与去噪
滤波
通过一定的滤波器对信号进行滤波处理，提取所需频率成分，抑制噪声和干扰。
去噪
采用各种去噪算法对信号进行降噪处理，提高信号的信噪比。
PART 04
连续信号与系统的复频域 分析在实际中的应用
通信系统中的信号处理
01
信号调制与解调
在通信系统中，信号通常需要经过调制和解调过程才能传输。复频域分
析可以用于分析信号在调制和解调过程中的频谱变化，从而优化传输性
北京理工大学信号与系统实验报告5 连续时间系统的复频域分析
实验5连续时间系统的复频域分析（综合型实验）一、实验目的1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。
2)学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法.3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法 1。
拉普拉斯变换连续时间信号x （t)的拉普拉斯变换定义为(s)(t)e st X x dt +∞--∞=⎰(1)拉普拉斯反变换为1(t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞-∞=⎰ （2)MATLAB 中相应函数如下：(F)L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式. (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。
()F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。
(,)F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。
拉氏变换还可采用部分分式法，当(s)X 为有理分式时,它可以表示为两个多项式之比：110110...(s)(s)(s)...M M M M N N N N b s b s b N X D a s a s a ----+++==+++ （3） 上式可以采用部分分式法展成以下形式1212(s)...N Nr r rX s p s p s p =+++--- （4） 再通过查找常用拉氏变换对易得反变换.利用residue 函数可将X （s)展成（4）式形式，调用格式为：[r,p,k]residue(b,a)=其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量,r 、p 、k 分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数. 2。
连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是指系统单位冲激响应的拉氏变换(s)(t)e stH h dt +∞--∞=⎰(5）连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。
连续信号与系统的复频域分析1
二.拉普拉斯变换的复频域分析 ［1］三大域分析 信号的时域分析：将信号分解成许多的冲激信号或阶跃信号 信号的频域分析：将信号分解成许多虚指数信号或等幅正弦信号 信号的复频域分析：将信号分解成许多复指数信号或幅度以指数规律变化 的正弦信号。 可见各个域的分析不同只是信号分解的基本单元函数不同。
当 s j 则傅复频域分析 拉普拉斯变换同时具有傅里叶变换的特性也能将系统的微分方程变成代数方 程且自动引入初始值，其拉普拉斯反变换有很方便。因此可以一举求出系统 的全响应，使之应用更为简捷。这也是线性系统分析经常用拉普拉斯变换而 不用付里叶变换的原因。但这不意味着傅氏变换就没用了，傅氏变换还是用 来分析信号和系统的频率特性的主要手段。 ［3］系统函数的零极点分析系系统综合的重要基础
［2］尺度变换性
开始
上一页 下一页
结束
［3］延时特性
［4］复频移特性
［5］时域微分特性
［6］时域积分特性
开始
上一页 下一页
结束
［7］时域卷积特性
［8］初值定理
［9］终值定理
［10］周期信号的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s) fT (t ) F1 ( s) 1 e sT
开始
冲激响应应绝对可也应该有限开始上一页下一页结束2系统稳定性的充分必要条件稳定系统s域系统函数的全部极点位于s左半平面不包括虚轴时域临界稳定系统s域系统函数的极点位于s平面的虚轴上且只有一阶极点时域不稳定系统s域系统函数的全部极点位于s右半平面或者在原点和虚轴有二阶或二阶以上的重极点时域3系统稳定性判定罗斯霍尔维兹准则是在不解方程情况下判断代数方程的根有几个正实部的开始上一页下一页结束罗斯准则
实例：
连续时间信号与系统的复频域分析课件
子e-t使之变为收敛函数，满足绝对可积条件；从物理意义
上看，是将频率ω变换为复频率s，ω只能描述振荡的重复
频率，而s不仅能给出重复频率，还可以表示振荡的增长的
速率或衰减速率。
例：求信号f(t)= e-atu(t)在a>0时的拉普拉斯变换。
解： f(t)的拉普拉斯变换为
F (s) f (t)estdt eatestdt 1
性质4 若f(t)是右边信号，即有始信号，则其收敛域为 从最右边极点开始的右半平面。
性质5 若f(t)是左边信号，即有终信号，则其收敛域为 从最左边极点开始的左半平面。
性质6 若f(t)是双边信号，则其收敛域是S平面的一条带 状区域。
例：已知信号f(t)=e-b|t|，试对b>0及b<0两种情况求其拉普拉斯 变换及收敛域。
0
sa
Re{s} a
如果a=0，f(t)就是阶跃函数，其拉普拉斯变换对为
u(t) 1 s
Re s 0
再来看一下信号f(t)= -e-atu(-t)的拉普拉斯变换。
F (s) eatu(t)estdt 0 e(sa)tdt 1
sa
Re{s} a
不同信号的拉氏变换表示式是一样的，但使表示式有
4. 尺度特性
若 f (t) F(s) 收敛域为：R
则 f (at) 1 F ( s ) aa
R1 aR
若a=-1，则有 f (t) F(s)
如： eatu(t) 1 sa
Re{s} a
R1 R
则 eatu(t) 1
saΒιβλιοθήκη eatu(t) 1Re{s} a
sa
Re{s} a eatu(t) 1 sa
A
A1
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有关，故ROC的边界总是平行于j 的直线。
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4.2 拉普拉斯变换
2）拉氏变换的收敛域内无极点。 3）时限信号的收敛域是整个S平面。 4）右边信号的收敛域是最右边极点的右边区域。 5）左边信号的收敛域是最左边极点的左边。 6）双边信号的拉氏变换如果存在，则它的收敛域是一个带形 区域。
f2 (t) F2 (s), Re[s] 2
则 f1(t) * f2 (t) F1(s)F2 (s), Re[s] max(1, 2 )
4.3.6 复频域卷积分性质
若 f1(t) ， f2 (t) 为因果信号，并且：
f1(t) F1(s), Re[s] 1
f2 (t) F2 (s), Re[s] 2
则
f1(t)
f2 (t)
1 2
j
c j
c j F1()F2 (s )d, Re[s] 1 2,1 c Re[s] 2
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.7 时域微.积分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
n1
则 f (n) (t) sn F (s) sn1m f (m) (0 ) , Re[s] 0
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4.5 连续系统的复频域分析
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：
d2
d
d2
d
dt2 y(t) a1 dt y(t) a0 y(t) b2 dt2 f (t) b1 dt f (t) b0 f (t)
式中，a0 、a1 和 b0 、 b1 、 b2 为实常数；f(t)为因果信号，
因此， f (0 ) 、 f (0 ) 均为零。设初始时刻 t0 0 ，y(t)的单边拉
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
（ 为实数），构建新的信号：
(t)et
eat et ( a)
et sin t
对于新构建的信号 f (t) e-t（ 为实数），如果能选择适当
的 使 f (t)e- t 绝对可积，
上一页 下一页 返回的傅里叶变换存在。
用 F( j) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，
普拉斯变换为Y(s)，对上式两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微
分性质得
[s2Y(s) sy(0 ) y '(0 )] a1[sY(s) y(0 )] a0Y(s)
b2s2F (s) b1sF (s) b0F (s)
即 (s2 a1s a0 )Y (s) [(s a1) y(0 ) y '(0 )] (b2s2 b1s b0 )F (s)
对于简单的拉普拉斯逆变换可以用查表法。常见的拉普拉斯逆 变换如表4-2所示。
4.4.2 部分分式展开法
设F(s)是S的有理真分式
F(s)
B(s) A(s)
bmsm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
（n>m）
式中系数 a0 , a1,..., an1, an ， b0,b1,...bm1,bm 都是实常数；m,n是正整 数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。
5． 正弦函数 f (t) sin t (t) 的拉氏变换
L[sint (t)] sintestdt 0
1
2j
0
e(s j)t
e(s j)t
dt
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4.2 拉普拉斯变换
即 同理
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2
2
(Re[s]
0)
L[sin t ]
s2
s
L[t (t)]
test dt
0
[ te st s
]0
1 s
e st 1
0
s2
即
L[t
(t)]
1 s2
同理可得，当n为正整数
L[tn (t)]
n! s n 1
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4.2 拉普拉斯变换
3． 指数函数 f (t)=eat (t) (a是实常数)的拉氏变换
L[eat (t)]
2 j j
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的 拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛 域不同。 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立
x
A(s)
与输入有关，而与初始值f (0 ) 、f '(0 ) 无关，因此，它是系统零
状态响应y(t)的单边拉普拉斯变换。求得逆变换，得到系统的全响
应：
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4.5 连续系统的复频域分析
y(t) y (t) y (t) L1[ M (s) B(s) F(s) ]
x
f
A(s) A(s)
f (t t0 ) (t t0 ) est0 F (s) , Re[s] 0
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.3 复频移性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则 f (t)esat F (s sa ) , Re[s] 0 a , (sa a ja )
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
f (t)
t
s F()d, Re[s] 0
4.3.11 初值定理
若信号f(t)不包含冲激函数 (t) 及其各阶导数，并且
f (t) F (s), Re[s] 0
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
则信号f(t)的初值为
系统的初始状态决定。A(s)称为系统的特征多项式，A(s)=0称为系
统的特征方程， A(s)=0的根称为特征根；Y(s)的第一项M (s) 只与
A(s)
初始值y(0 ) 、y(0 ) 有关，与系统的输入无关，因此，它是系统
零输入响应y (t) 的单边拉普拉斯变换；Y(s)的第二项B(s) F (s) 只
在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求 f (t) dt 存在。这是
一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：
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4.2 拉普拉斯变换
阶跃信号 f (t) (t)
增长信号 f (t) eat (a>0)
周期信号 f (t) sint
对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子 e-t
F
n1 (s) m1 snm1
f
(m) (0 ), Re[s] max( 0, 0)
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.9 复频域微分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
(t)n f (t)
d nF (s) dsn
, Re[s]
0
4.3.10 复频域积分性质
4.3.4 尺度变换性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
f
(at)
1 a
F( t ), a
Re[s]
a 0
(a
0)
4.3.5 卷积性质
若 f1(t) ， f2 (t) 为因果信号，并且：
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
f1(t) F1(s), Re[s] 1
m0
若f(t)为因果信号，则 f (n) (0 ) 0 ( n 1, 2L )，此时，时域微
分性质表示为 f (n) (t) snF (s) , Re[s] 0
4.3.8 时域积分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则 f (n) (t)
t
(
)n
f
( x)dx
1 sn
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
A(s) (s2 a1s a0 )
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4.5 连续系统的复频域分析
B(s) (b2s2 b1s b0 )
M (s) (s a1) y(0 ) y '(0 )
Y (s)
Yx (s)
Yf
(s)
M (s) A(s)
B(s) A(s)
F (s)
y(0 ) 和 y '(0 ) 是在 t 0 时刻的初始值，由 t 0 时刻
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定都存在。由于f(t)的
则有 F ( j) f (t)e( j)tdt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)et 1 F ( j)e jtd