概率论与数理统计 第一章-4-事件的独立性

下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0 ，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
定理4.3 若两事件A、B相互独立，则 A与B, A与B, A与B也相互独立。
证明: 仅证A与 B 独立。
P(AB) P(A B) P(A AB)
概率论与数理统计
张保田 第一章 概率论的基本概念
第四节 事件的独立性
一、两事件的独立性 先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设
B ={第二次掷出6点}，
A={第一次掷出6点}，
显然 P(B A) 1 P(B) 6
6
66
这就是说：已知事件A发生，并不影响事
件B发生的概率，这时称事件B独立于事件A。
= P(A) －P(AB) = P(A) － P(A) P(B)
A、B独立
=P(A)[1 －P(B)]
=P(A)P( B ),
故A与 B 独立。
二、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件：
定义4.4 对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)，
P(AC)= P(A)P(C) ,
例如：
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 。
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)。
再如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设
A1={第1件是合格品}， A2={第2件是合格品} (1) 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。
P(B A) P(B) P(AB) P(B)
P( A)
P(AB) P(A)P(B).
注意到：P(A)=0时， P(AB) P(A)P(B)
任然成立，于是，为方便适用，规定：
定义4.3 设A与B为任意两个事件，如果
P(AB) P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立。
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受 P(B)>0或P(A)>0的制约。
若四个等式同时成立, 则称事件A、B、C相
互独立。
类似地，我们可以定义n个事件的两两独 立和n个事件相互独立。
定义 (对n(≥2)个事件的相互独立性): 设A1,A2, …,An是 n个事件, 如果其中任意2个, 任 意3个, …,任意n-1个事件积的概率都等于概率的积, 且n个事件积的概率也等于概率的积，则称n个事件 A1,A2, …，An相互独立。 ※ (1) n个事件相互独立包含等式：
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
问事件A、B是否独立？
解：由于 P(A)= 4/52=1/13,
P(B)= 26/52=1/2， P(AB)=2/52=1/26。 可见, P(AB)=P(A)P(B)。
所以，事件A、B独立。
※ 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的， 也可以通过计算条件概率去做:
自己证明： Ω与φ和任何事件都独立。
练习：
（1）设A、B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
（ 2）设A、B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0,
P( Ai1 Ai2 L Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )L P( Aik )
(2 k n , 1 i1 i2 L ik n)
包含等式总数为：
Cn2 Cn3 L Cnn 2n n 1。
可以证明如下性质：
性质1 若事件A1,A2, …,An （n>1）相互 独立，则其中任意 k个事件也相互独立.
定义4.2 若事件B独立于A，且事件A独立于B，
定义4.2 若事件B独立于A，且事件A独立于B，
称事件A与B相互独立。 定理4.2 若事件A与B满足： P(A)>0, P(B)>0,则
则事件A与B相互独立的充要条件是：
P(AB) P(A)P(B)
证明：P(
A
B)
P(
A)
P( AB) P(B)
P( A)
※ 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,
则A与B不独立。
反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥(相容)。
问2：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相
互独立又互斥?
这两个事件就是 Ω和f
W
因为 Wf f,
P(W f) p(W) P(f) 0,
所以， φ与Ω独立且互斥。
P(BC)= P(B)P(C) ,
则称事件A、B、C 两两相互独立。
※ 三个事件A,B,C两两相互独立, 不等于三 个事件相互独立。
定义4.5 对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)， P(AC)= P(A)P(C) ,
P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。
性质2 若n个事件A1,A2, …,An相互独立， 则其中任意m个事件换成它们的对立事件， 所得的n个事件仍相互独立.
因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。
(2) 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。
因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响。
请问1：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0,
AB W
而P(A) ≠0, P(B) ≠0。 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。
由于 P(A)=1/13, P(A|B)= 2/26=1/13，
P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立。
在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立 。
※ 在实际应用中,往往根据问题的独立的定义
定义4.1 若两事件A(P(A)>0)、B满足
P(B A) P(B)
则称事件B独立于事件A。 定理4.1 若两事件B独立于A, 且P(A)>0, P(B)>0,
则事件A也独立于B.
证明：因为，P(AB)= P(A) P(B|A)= P(B) P(A|B) = P(A) P(B)
所以，P(A|B)= P(A) ，事件A独立于B。