6703第四章三角函数提高测试题二

提高测试（二）

（一）选择题（每题3分，共30分）

1．“a ＝1”是“函数y ＝cos 2 ax －sin 2 ax 的最小正周期为 π ”的（ ）．

（A ）充分而不必要条件

（B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

【提示】

由于y ＝cos 2 ax －sin 2 ax ＝cos 2ax ，当a ＝1时，函数的最小正周期为π ，当a ＝－1时，函数的最小正周期也是π ，所以 a ＝1是函数的最小正周期为π 的充分而不必要条件．

【答案】（A ）．

【点评】本题考查倍角公式和三角函数的周期性以及充要条件的知识．

2．函数f （x ）＝M sin （ωx ＋ϕ）（ω ＞0）在区间[a ，b ]上是增函数，且f （a ）＝－M ， f （b ）＝M ，则函数g （x ）＝M cos （ω x ＋ϕ）在[a ，b ]上（ ）．

（A ）是增函数

（B ）是减函数

（C ）可以取得最大值M

（D ）可以取得最小值－M

【提示】

利用特殊值法，令M ＝ω ＝1，ϕ ＝0，则有 f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，同时a ＝－2π，b ＝2π，可见，g （x ）在[a ，b ]（即[－2π，2

π]）上既不是增函数，也不是减函数，但可以取得最大值1，故排除（A ）、（B ）、（D ）．本题也可以用作图法求解．

【答案】（C ）．

【点评】本题考查正弦函数、余弦函数的性质以及灵活运用这些知识解决问题的能力．

3．已知α 、β 是锐角三角形的两个内角，则下列各式中成立的是（ ）．

（A ）cos α ＞sin β ，cos β ＞sin α

（B ）cos α ＜sin β ，cos β ＜sin α

（C ）cos α ＞sin β ，cos β ＜ sin α

（D ）cos α ＜sin β ，cos β ＞sin α

【提示】

α 、β 是锐角三角形的两个内角，所以α ＋β ＞90°，α ＞90°－β ，故有 sin α ＞sin （90°－β），cos α ＜cos （90°－β），即sin α ＞cos β ，cos α ＜sin β．

【答案】（B ）．

【点评】本题考查诱导公式以及正弦函数、余弦函数的单调性．

4．下列不等式中正确的是（ ）．

（A ）e cos 52°＜e cos 53°

（B ）)200(tan log 31 ＞)199(tan log 3

1

（C ）

109tan π＞

110tan π

（D ）

115sin )3

2(＜ 116sin )32( 【提示】利用函数的单调性．

【答案】（A ）．

【点评】

本题综合指数函数、对数函数的性质考查三角函数的单调性．由于cos 52°＞cos 53°，得e cos 52°＞e cos 53°，排除（A ）；由于tan 200°＝tan 20°，tan 199°＝tan 19°，有

tan 20°＞tan 19°，而0＜31＜1，得 20tan 31log ＜ 19tan 3

1log ，排除（B ）；由于 109tan ＜ 110tan ，π ＞1，得

109tan π＜

110tan π，排除（C ）；而sin 115°＞sin 116°，

且0＜3

2＜1，有 115sin )32(＜ 116sin )32(．故选（D ）． 5．设k 是4的倍数加上1的自然数，若以cos x 表示cos k x 时，有cos k x ＝f （cos x ），则sin k x 等于（ ）．

（A ）f （cos x ） （B ）f （sin x ） （C ）f （cos k x ） （D ）f （sin k x ）

【提示】

由于sin α ＝cos （2

π－α），设k ＝4n ＋1，（n ＝0，1，2，…），则有

f （sin x ）＝f （cos （2π－α））＝)2

π(cos x k - ＝)]2

π)(14cos[(x n -+ ＝cos[2n π＋2

π－（4n ＋1）x ] ＝cos[2

π－（4n ＋1）x ] ＝sin[（4n ＋1）x ]

＝sin k x ．

以上各步均可逆．

【提示二】

利用特殊值法，令k ＝5，则f （cos x ）＝cos 5x ≠sin 5x ．排除（A ），f （cos 5x ）＝

cos （5×5x ）＝cos 25x ≠sin 5x ，排除（C ），f （sin 5x ）＝f [cos （

2π－5x ）]＝)52

π(5cos x - ＝cos （2π－25x ）＝sin 25x ≠sin 5x ，排除（D ），而f （sin x ）＝f [cos （2π－x ）]＝)2

π(5cos x -＝cos （2π－5x ）＝sin 5x ． 【答案】（B ）．

【点评】本题考查函数的概念，诱导公式以及分析问题、解决问题的能力．

6．已知f （x ）＝x -1，则当θ ∈（4π5，2

π3）时，式子f （sin 2θ ）的值是（ ）． （A ）2 sin θ （B ）2 cos θ （C ）－2 sin θ （D ）－2 cos θ

【提示】

f （sin 2θ ）－f （－sin 2θ ） ＝θ2sin 1-－θ2sin 1+ ＝2)cos (sin θθ-－2)cos (sin θθ+

＝|sin θ －cos θ |－|sin θ ＋cos θ |，

因为θ ∈（4π5，2

π3），得sin θ ＜cos θ ＜0， 所以，原式＝cos θ －sin θ＋sin θ ＋cos θ ＝2 cos θ ．

【答案】（B ）．

【点评】

本题考查函数的概念，三角函数值符号、二倍角公式以及三角函数恒等变形的能力．