变分法-数值求解剖析

变分法-解基态
具体做法： 1、尝试波函数的选取 ( ) 2、计算能量平均值 * Hd H ( ) (14) * d 3、将 H 对λ 取极小值 ( H ( )) 0 (15)


4、将得到的λ 带回 H ( ) 和 ,即得到基态能量E 和波函数的近似值。
1、通过变分原理导出定态薛定谔方程。 2、通过定态薛定谔方程在变分原理下， 推出了结论：满足薛定谔方程的归一化本 征函数，必然使平均能量，即相应于本征 态的本征能量取极小值。 3、给出了变分法求基态与激发态能量和 波函数的方法。 4、用变分法解无限深势阱与常规方法进 行比较。

12.8粒子在势场 V（x)=g|x| , g>0 中运动，试用变分法求基态能级 的上限，并和精确值比较，试探 波函数取下列几种类型：
0
0
变分法-解第一激发态
做法 1、给尝试波函数加上条件

* 0 ( )d 0
2、重复上述2、3、4步骤，即得到第一激发 态能量和波函数的近似值。
变分法小结
变分法只给出能量的上限 优点：计算简单 缺点：无法估计误差大小 变分法可采用单参数，也可采用多参数 重中之重在于波函数的选取

例题—无限深势阱
题目：粒子在无限深势阱（-a<x<a）中运动，求 基态能量和波函数。 常规法求得 精确解： 1 x 1 ( x) cos , a x a
a 2a 2 E1 1.233701 2 2 8m a ma
22
例题—无限深势阱
变分法求解 1、波函数的选取 (3) 首先，应满足边界条件 ( x) 0, x a 用多项式展开

x 2 x 4 C0 C 2 ( ) C 4 ( ) （4） a a
其次，取前三项，根据条件得
x 2 x 4 ( , x) N 1 ( ) (1 )( ) (5) a a
例题—无限深势阱
变分法求解 1、波函数的选取 再次，归一化

2 1
a
a
得
315 N a (6) 2 16( 8 28)
2
例题—无限深势阱
变分法求解 2、能量平均值

2 a d 2 E 2 dx (7) a 2m dx
3 112 36 60 2 (8) 得 E ( ) 2 2 4 8 28 m a
(5) 及 H * * 由(4)得 H (6)
由(5)可知，拉格朗日不定乘子实际上是体系的本 征能量。
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n ( ７ )
* (8) 在归一化条件下 d 1 对波函数作一微小的变动
(1)薛定谔方程的变分原理

经典力学中 变分原理 => 哈密顿方程 量子力学中 变分原理 => 薛定谔方程
S 0

(1)薛定谔方程的变分原理
由
H H d (1)
*

及归一化条件
(2) d 1
*
* 可视为独立变量，在 另外由于 是复数， 与
例题—无限深势阱
变分法求解 3、取极值 E ( )


得两根
0 (9)
1 1.2207500 , 2 8.3177ຫໍສະໝຸດ Baidu2
2 E1 代入E得 E (1 ) 1.233719 2 1.0000147 ma 2 E (2 ) 12.7663 2 ma
回顾
相应的 n 态的平均能量或能量本征值 En 的变化为
* * En En En ( n n )H ( n n )d (11)
* * * En [ n H n n H n n H n ]d
En [ H n H n ]d + ( H n )d (12)
n n n , (9)
* n * n
* n
* n
则归一化条件变为 即
(
* n
* n
)( n n )d 1
2
[
* n
n
n ]d n d (10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
* n * n * n
利用（10）及 H n (H n ) En n
* En En n d En n n d 0 (13) 2
得
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
从而证实，满足薛定谔方程的本征函数， 使本征能量 En 取最小值
变分法
第九小组
主讲内容
变分法的原理 变分法解基础例题 变分法波函数的选取 变分法研究势场中存在束缚态的条件 变分法解氦原子

（1）变分法的引入
微扰论虽然是量子力学近似最有效的方案之一，但它也有很 多局限性。 首先要在哈密顿量H中分出H0和微扰H^，而且H0的本征值和 本征函数也要给定。其次，如果要算高级近似，其计算工作量实 际上非常大。 另外，在量子场论的微扰计算中，往往出现发散困难，即 虽在计算最低级近似时，微扰论的结果收敛，但在计算二级或高 级修正后，微扰矩阵元的积分发散。为克服发散困难，通常要用 重整法或维数规则化等方法。 事实上，微扰级数的收敛性质是很难证明的。往往只计算 一级或二级修正，再将所得结果与实验结果比较来看它的符合程 度。
的约束条件下的极值条件得
* *
其中λ 是约束条件(2)的拉格朗日不定乘子。
H d d 0 (3)
(1)薛定谔方程的变分原理
由(3)及H 的厄米性，得
0 d { H H ( )}
* * * *

0 d { * ( H ) ( H * * * )} (4)