高三数学等比数列测试题
人教A版数学高三等比数列的前n项和精选试卷练习(含答案)4
17．已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn an 2 p ，（p 为非零常数），则下列结
论中正确的是（ ）
A．数列 an 必为等比数列
C． a3 a8 a5 a6
B．
p
1时，
S5
31 32
D．存在 p，对任意的正整数 m，n，都有
am an amn
评卷人 得分
三、填空题
n；
(3)是否存在互不相等的正整数 m，s，n，使 m，s，n 成等差数列，且 am－1，as－1，an －1 成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．
32．定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an} 为
三角形”数列对于“三角形”数列{an} ，如果函数 y f ( x) 使得 bn f (an ) 仍为一个三角
18．设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， (n 1)an1 (n 1)Sn ，则
Sn __________．
19．设 Sn 是等比数列an 的前 n 项的和，若
a6 a3
1 2
,则
S6 S3
________.
20．已知 a1 4 ， anan1 2 an1 ， bn
人教 A 版数学高三等比数列的前 n 项和精选试卷练习（含答 案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．设等比数列
an
的公比 q =
2
，前
n
项和为
Sn
，则
S4 a2
（
）
15
A．
2023北京重点校高三(上)期末数学汇编：等比数列
2023北京重点校高三（上）期末数学汇编等比数列一、单选题 1．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且12a =，则数列{}n a 的前四项和4S 的值为（ ） A ．1516B ．1516−C ．154D ．154−二、填空题2．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）已知数列{}n a 中，()*112,20N n n a a a n +=−=∈，则数列{}n a 的通项公式为__________.3．（2023秋·北京石景山·高三统考期末）等比数列{}n a 中，14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则公比q = __________．三、解答题4．（2023秋·北京通州·高三统考期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数m ()0m ≠除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数.设正整数a 共有k 个正约数，即为121,,,,k k a a a a −⋅⋅⋅()12k a a a <<⋅⋅⋅<.(1)当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值； (2)当4k ≥时，若21321,,,k k a a a a a −−−⋅⋅⋅构成等比数列，求正整数a ； (3)记12231k k A a a a a a a −=++⋅⋅⋅+，求证：2A a <. 四、双空题5．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）在等差数列{}n a 中，公差d 不为0，19a =，且145,,a a a 成等比数列，则d =___________；当n =___________时，数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值．6．（2023秋·北京西城·高三统考期末）已知{}n a 是等差数列,15a =,且2342,4,6a a a +++成等比数列,则6a =______________;{}n a 的前n 项和n S =______________．参考答案1．C【分析】由题意{}n a 是首项为2、公比为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式求4S 的值. 【详解】由题设{}n a 是首项为2、公比为12的等比数列，即212n n a −=，所以4412(1)1521412S ⨯−==−. 故选：C 2．2n n a =【分析】判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可求得答案.【详解】数列{}n a 中，()*112,20N n n a a a n +=−=∈则0n a ≠，否则与12a =矛盾， 故12n na a +=，即数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n a =， 故答案为：2n n a = 3．2【分析】由等差中项的性质以及等比数列的通项列方程即可求解. 【详解】因为14a ，22a ，3a 成等差数列， 所以23144a a a =+，可得211144a q q a a =+，因为10a ≠，所以244q q =+， 解得：2q，故答案为：2. 4．(1)8.(2)12k a a −=()4k ≥. (3)证明见解析.【分析】（1）根据题意即可写出a 的一个值； （2）由题意可知11a =，k a a =，12k a a a −=，23k aa a −=，结合21321,,,k k a a a a a a −−−⋅⋅⋅−构成等比数列，可推出3a 是完全平方数，继而可得232a a =，由此可知21321,,,k k a a a a a a −−−⋅⋅⋅−为212222221,,,k k a a a a a −−−−⋅⋅⋅−，即可求得a ；采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.【详解】（1）当4k =时正整数a 的4个正约数构成等比数列， 比如1,2,4,8为8的所有正约数,即8a =. （2）由题意可知11a =，k a a =，12k a a a −=，23k aa a −=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a aa a a a −−−−−=−−，所以3222123a a a a a a aa a a a −−=−−，化简可得()()2232231a a a a −=−，所以232321a a a a a ⎛⎫−= ⎪−⎝⎭，因为*3N a ∈，所以*3221N a a a a −∈−， 因此可知3a 是完全平方数.由于2a 是整数a 的最小非1因子，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以21321,,,k k a a a a a a −−−⋅⋅⋅−为212222221,,,k k a a a a a −−−−⋅⋅⋅−， 所以12k a a −=,()4k ≥.（3）证明：由题意知1211,,,,k k i k i a a a a a a a a a −+−==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，()1i k ≤≤，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a −−−=++⋅⋅⋅+， 因为121121************,,k k k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a a a −−−−−−≤=−⋅⋅⋅≤=−， 所以22221211212112111k k k k k k k k a a a A a a a a a a a a a a a a a −−−−−−⎛⎫=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 2212231111111111k k k a a a a a a a a a a −⎛⎫⎛⎫≤−+−+⋅⋅⋅+−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11a =，k a a =，所以1111ka a −<， 所以22111kA a a a a ⎛⎫≤−< ⎪⎝⎭， 即2A a <.【点睛】关键点点睛：在第二问的解答中，在得到232321a a a a a ⎛⎫−= ⎪−⎝⎭后，要能根据*3N a ∈，推得*3221N a a a a −∈−，继而得出232a a =，这是解决问题的关键.第三问的证明中，难点在于要能注意到和的方法进行化简进而证明结论. 5． 2− 5【分析】根据等比数列得到2415a a a =，解得2d =−，再计算510a =>，610a =−<，得到答案.【详解】145,,a a a 成等比数列，故2415a a a =，即()()293994d d +=⨯+，解得2d =−或0d =（舍）.()921112n a n n =−−=−，190a =>,510a =>，610a =−<，故5n =时，n S 有最大值. 故答案为：2−；5 6． -5 26n n −+【分析】(1)设出等差数列的公差,根据2342,4,6a a a +++成等比数列,列出式子,将234,,a a a 均用1,a d 代替,解出d ,即可求6a 的值;(2)由上一空求得的d ,根据等差数列前n 项和公式代入即可求出答案. 【详解】解:由题知{}n a 是等差数列, 不妨记公差为d ,因为2342,4,6a a a +++成等比数列,15a =, 所以()()()2342462a a a +=++, 即()()()2293117d d d +=++, 解得:2d =−,故6155105a a d =+=−=−; 由于15a =,2d =−, 所以()21162n n n d S a n n n −+=−+=. 故答案为:-5;26n n −+。
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。
等比数列的前n项和公式专题练习(解析版)
等比数列的前n 项和公式一、单选题 1．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知{}n a 是等比数列，若12a =，528a a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 为（ ） A ．22n - B ．121n +- C ．122n +- D ．21n -【答案】C 【分析】设公比为q ，根据528a a =求得公比，再利用等比数列前n 项和的公式即可得出答案. 【详解】 解：设公比为q ，因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以()12122212nn n S +⨯-==--.故选：C.2．（2021·河北·高三月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A．1 B C ．2 D ．4【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为42S =，810S =，{}n a 为正项等比数列，所以4845678412344S S a a a a q S a a a a -+++===+++，解得q 故选：B ．3．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q = （ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12或2【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得2132116a a a ==，再由378S =，可得1358a a +=，分别求出13,a a ，即可得出答案. 【详解】解：在等比数列{}n a 中，若214a =，则2132116a a a ==，312378S a a a =++=，所以1358a a +=， 由13116a a =，1358a a +=，解得131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2112a a q ==， 当131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，212a q a ==， 所以q =12或2.故选：D.4．（2021·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】B 【分析】 由已知得()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.再求得13a =，从而有数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得n a ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得n S ，从而求得n T 得答案. 【详解】解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=，∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n na --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn n n n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13.故选：B.5．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（ ） A ．（2n ﹣1）2 B ．()1213n- C ．4n ﹣1 D ．()1413n- 【答案】D 【分析】根据等比数列定义，求出214n n n b a -==，可证明{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解 【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --=== 由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列 a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143n n ⋅--=- 故选：D6．（2021·河南郑州·高二期中（理））设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（ ）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】C 【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C7．（2021·河南郑州·高二期中（理））设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（ ）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【答案】A 【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果 【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠）， 若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n nn n d d S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭， 由两边的对应项相等可得110,1,5,1221b d da q q-====--， 解得111,2,5,4a d q b ====， 所以3d q -=-.8．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列233464510105，，，，，，，，，，，则此数列的前35项和为（ ）A ．994B ．995C ．1003D ．1004【答案】B 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前n 项和为21n n S =-，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前n 项总个数为(1)2n n n T +=，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。
2020届高三(文理)数学一轮复习《等比数列及前n项和》专题测试(学生版)
《等比数列及其前n 项和》专题题型一 等比数列基本量的运算 1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二 等比数列的性质类型一 等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝2、在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于3、等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ _____4、已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为5、等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.7、在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 8、已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9、递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，前n 项和S n ＝42，则n 等于 类型二 等比数列前n 项和的性质1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ 2、设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于3、设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________． 4、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N). 题型三 等比数列的判定与证明1、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.题型四 等差、等比数列的综合问题1、在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2、设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．3、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．。
高考数学(理)一轮复习考点训练：考点23等比数列及其前n项和
2020高三一轮基础达标 考点23等比数列及其前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．802．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．243．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－324．等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 355．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A ．－2 B ．－ 2 C ．±2D. 26．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．757．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．108．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13 D ．139．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －110．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 11．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 12．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B ．73C ．310D ．1或213．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3·…·a 30＝230，则a 3a 6a 9·…·a 30＝( )A ．210B ．220C ．216D ．215 二、填空题14．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的前4项和S 4＝________．15．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝________． 16．等比数列的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.三、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.18．已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n －a n}为等比数列．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．参考答案1. 答案：A解析：由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝⎛⎭⎫323＝135. 2. 答案：A解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.3. 答案： A解析： 由a 4＝a 1q 3，则q ＝2，所以a 5＝a 4q ＝16．故选A ． 4. 答案：B解析：由题a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10.5. 答案：B解析： 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，因为a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0.又a 3a 7＝a 25，所以a 5＝－a 3a 7＝－ 2.6. 答案： B解析： 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5， 所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25．故选B ． 7. 答案： B解析：设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2· a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，所以n ＝12. 8. 答案： D解析： 设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q ＝3或q ＝－3(舍去)，所以a 1＝a 2q ＝13．故选D ．9. 答案： D解析： 因为⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，所以⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，所以a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， 所以S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1.故选D.10. 答案： A解析： ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3，∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得a b＝－3．故选A ． 11. 答案： B 解析： 由a n a n ＋1＝a 2n q ＝16n >0知q >0，又a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2＝16n ＋116n ＝16，所以q ＝4．故选B ．12. 答案： B解析： 设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k3k ＝73，故选B ． 13. 答案： B解析： 因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230．所以a 2a 5a 8…a 29＝210．则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8·…·a 29)q 10＝210×210＝220，故选B ．14. 答案： 27解析： 由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1，a n ＋1＝2S n ，∴a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2， ∴S 4＝1＋2＋6＋18＝27． 15. 答案：18解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.16. 答案： 5解析： 由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5.17.解析：(1)由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.18. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.。
辽宁省凌源市第三中学高三数学等比数列测试题 百度文库
一、等比数列选择题1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±2．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6B ．16C ．32D ．643．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知数列{}n a 满足112a =，*11()2n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．3(1,)2-C ．3(,)2-∞D ．(1,2)-5．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110246．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f -C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．88．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．2509．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．610．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．711．题目文件丢失！12．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭13．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．714．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 15．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定16．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8017．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏18．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-19．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，416a =，则6S ＝（ ）A ．32B ．63C ．123D ．12620．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥23．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 24．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列25．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-26．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8327．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=28．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T29．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-30．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<31．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列32．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <33．等比数列{}n a 中，公比为q ，其前n 项积为n T ，并且满足11a >.99100·10a a ->，99100101a a -<-，下列选项中，正确的结论有（ ） A ．01q << B ．9910110a a -< C ．100T 的值是n T 中最大的D ．使1n T >成立的最大自然数n 等于19834．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为251235．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 2．C 【分析】根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q，所以55678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.故选：C ． 3．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-， 两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由2(1)0n n n S T λ-->，得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以221131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以211131(1)110222n n n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n n nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 4．C 【分析】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，12n n a =，得2(2)2n n nn b n a λλ-==-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．【详解】 由*11()2n n a a n N +=∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列， 所以1111()222n n n a -==， 2(2)2n n nn b n a λλ-==- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立， 即1(12)2(2)2n n n n λλ++->-，整理得：22n λ+<32λ∴＜ ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有： 一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减； 二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 5．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n na a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解. 6．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B. 7．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 8．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 9．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 10．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A11．无12．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n na =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈， 因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 13．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 14．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 15．A 【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A 16．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 17．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 18．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 19．D 【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=.∴2260q q --=，∴2q 或32q =-（舍去），∵416a =，∴4132a a q ==， ∴6616(1)2(12)126112a q S q --===--， 故选：D. 20．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.二、多选题 21．无22．ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列，所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b < 又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 23．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .24．AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 25．BC 【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，2410a a +=，4410q q∴+=即22520q q -+=，解得2q或12， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q，312414a a q ===， 12n na ，212121n n n S -==--，()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 26．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．27．BD【分析】证明1233 BEBA BC=+，所以选项B 正确；设BD tBE=（0t>），易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，选项C不正确.【详解】因为2AE EC=，所以23AE AC=，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.29．BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q或12q =．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na ，()1122112n n n S ⨯-==--，所以()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.30．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 31．ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 32．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 33．ABD 【分析】由已知9910010a a ->，得0q >，再由99100101a a -<-得到1q <说明A 正确；再由等比数列的性质结合1001a <说明B 正确；由10099100·T T a =，而10001a <<，求得10099T T <，说明C 错误；分别求得1981T >，1991T <说明D 正确.【详解】 对于A ，9910010a a ->，21971·1a q ∴>，()2981··1a q q ∴>.11a >，0q ∴>.又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <. 01q ∴<<，故A 正确；对于B ，299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，991010?1a a ∴<<，即99101·10a a -<，故B 正确；对于C ，由于10099100·T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故C 错误； 对于D ，()()()()19812198119821979910099100·····991T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=⨯>， ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故D 正确.∴不正确的是C .故选：ABD . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．AB 【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．BC 【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。
人人教A版数学高三等比数列精选试卷练习(含答案)2
人人教A 版数学高三等比数列精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =（ ） A ．32或6 B ．3 C ．32或3 D ．6 2．若数列{a n }满足：a 1＝1，2a n +1＝2a n +1（n ∈N*），则a 1与a 5的等比中项为（ ）A ．±2B ．2C ．D 3．等比数列{}n a 中，39a =，51a =，则6a 的值为( )A ．13B ．13- C ．13± D ．194．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（ ）A ．78B ．85 C ．1 D ．955．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C ．2D 6．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 7．已知等比数列{}n a ，若1231a a a ⋅⋅=，7894a a a ⋅⋅=，则129a a a ⋅=L ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8± 8．在等比数列{}n a 中，24681,4a a a a +=+=，则2a =( )A ．2B ．4C ．12D ．13 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1810．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，()22f =，令()2n n a f =，()22n n n f b =则有( )A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 为等比数列C ．{}n b 为等差数列D ．{}n b 为等比数列 11．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．112．已知正项数列{}n a ，若点()4log n na ，在函数()3f x x =-的图像上，则()2357log a a a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16 13．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为A ．2B ．-2C ．2±D ．314．在正项等比数列{}n a 中，4a ，46a 为方程210090x x -+=的两根，则102540a a a ⋅⋅=（ ）A ．9B ．27C ．64D ．8115．已知数列{}n a 是等比数列，若2678492ma a a a a ⋅=-⋅，且公比2)q ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,6)B ．(2,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 16．已知等比数列{}n a ，若1472a a +=，232a a ⋅=-，则公比q =（ ） A ．-2 B ．12- C ．-2或12- D ．-8或18- 17．在等比数列{}n a 中，34a =，516a =，则9a 等于（ ）A ．256B ．-256C ．128D ．-128 18．在正项等比数列{n a }中，274a a =，则212228log log log a a a +++…= A ．2 B ．4 C ．6 D ．819．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列20．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2B ．lg 50C ．5D ．10二、解答题21．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”．（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值．23．已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}na 的通项公式； （2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，s ∈*N ，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.24． 由a n 与S n 的关系求通项公式（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23722n S n n =-()*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)4n n a S +=（*n N ∈）.求数列{}n a 的通项公式；（3）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，求S n（4）已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，前n 项和为n S ，且满足211111142n n n n n n n S S S S S S S +--++-+=-（*2,n n N ≥∈）.求数列{}n a 的通项公式； （5）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2（n ∈N *）.数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；求数列{}n a 的通项公式； 25．已知数列{}n a 为等比数列，且0n a >，数列{}n b 满足2log n n b a =，若14b =，23b =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b m +前n 项和为n S ，若当且仅当5n =时，n S 取得最大值，求实数m 的取值范围.26．已知公比为q 的等比数列{}()*n a n N∈中，22a =，前三项的和为7.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若01q <<，设数列{}n b 满足12n n b a a a =⋅L L ，n *∈N ，求使01n b <<的n 的最小值.27．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n +++⋯+取最大值时，求n 的值．28．已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .29．等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若35,a a 分别是等差数列{}n b 的第4项和第16项，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .30．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 31．已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==.（1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .32．已知数列{}n a 满足11a =，且11123n n a a +=+，*n N ∈. （1）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.33．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S三、填空题35．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为________.36．数列{}n a 满足()211122,3,1n n n n n a a a a n a -+--+==+L ，21a =，33a =，则7a =________.37．已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =________. 38．已知实数()abc a b c <<，，三个数成等比数列，它们的和是21，积是64，那么这个数列的公比q =_____.39．已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2,L ，则等比数列{}n a 的前10项之和为________. 40．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于________.41．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，所有公比相等，则a b c ++值为42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且372S =，6632S =，则7a =__________． 43．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____.44．已知等比数列{}n a 中，若451a a =，8916a a =，则67a a =_____．45．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且249112a a a --+，，成等比数列，则{}n a 的前9项和9S =_______.46．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a ⋅=，则6a 的值为___________ 47．数列{}n a 是等比数列，21a =-，64a =-，则4a 的值是________． 48．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ． 49．已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =______.50．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________.参考答案1．A2．C3．C4．D5．D6．B7．D 8．D9．C10．C11．C12．A13．B14．B15．C16．C17．A18．D19．C20．C21．（1）{}n a 为常数列；{}n b 为等差数列；{}n c 是等比数列；40n a =，1100.42n n n b n c -==⨯，（2）应该选择方案二，详见解析22．（1）见解析在（2）1d =-23．（1）详见解析；（2），，成等差数列；（3）详见解析.24．(1) 35n a n =-；(2) 21n a n =-；(3) 132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭； (4) 1,12,2n n a n =⎧=⎨≥⎩(5) 12n n a n +=+ 25．（1）52n n a -=；（2）()0,126．（1）12n n a -=或32n n a -=；（2）6.27．（1）52n n a -=（2）n 的值为8或928．（1）数列{}n b 不是等比数列.见解析（2）+122n n a n =-29．（1）n n a 2=；（2）2622n n -30．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++-- 31．（1）见证明；（2）n S 21222n n n ++=-- 32．（1）见解析；（2）1211332n n a -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭33．（1）22n a n =+；（2）63 34．(1)12n n b -=, (2)36s =- 35．13-=n n a 36．6337．1238．439．102340．10041．27242．32. 43．12 44．445．11746．247．2-48．749．250．8。
(整理)高三数学等比数列与数列求和综合题
高三数学等比数列与数列求和综合题1.设S n是等比数列{a n}的前n项和，S4=5S2，则的值为（C）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或22．已知x，y，z∈R，若﹣1，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz的值为（C）A．﹣4 B．±4 C．﹣8 D．±83.设等比数列{a n}的前n项积P n=a1•a2•a3•…•a n，若P12=32P7，则a10等于（）A．16 B．8 C．4 D．2由题意，∵P12=32P7，∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7，∴a8•a9•…•a12=32，∴（a10）5=32，∴a10=2．4.设数列{a n}的首项为m，公比为q（q≠1）的等比数列，S n是它的前n项的和，对任意的n∈N*，点（a n，）在直线（B）上．A．qx+my﹣q=0 B．qx﹣my+m=0 C．mx+qy﹣q=0 D．qx+my+m=0解：∵数列{a n}的首项为m，公比为q（q≠1）的等比数列，∴a n=mq n﹣1，S n=，∴=1+q n，∴q•=mq n﹣1﹣m（1+q n）+m=0，∴点（a n，）在直线qx﹣my+m=0上．5.各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1且a3、a5、a6成等差数列，则=（D）A．B．C．D．6．已知正项等比数列{a n}满足a2014＝a2013＋2a20124a1，则6(1m＋1n)的最小值为( )A.23B．2 C．4 D．67.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，则=（C）A．4n﹣1 B．4n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q==，∴a 1+a 3=a 1（1+q 2）=a 1（1+）=，解得a 1=2， ∴a n =2×=，S n =，∴==2n﹣18.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则（a 5+a 7+a 9）的值是（ A ） A ．﹣5 B ．C ．5D ．解：∵log 3a n +1=log 3a n+1 ∴a n+1=3a n∴数列{a n }是以3为公比的等比数列，∴a 2+a 4+a 6=a 2（1+q 2+q 4）=9∴a 5+a 7+a 9=a 5（1+q 2+q 4）=a 2q 3（1+q 2+q 4）=9×33=359.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n =4（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1），a 1a 2a 3=27，则a 6=（ C ） A ．27 B ．81 C ．243 D ．729解：利用等比数列的性质可得，a 1a 2a 3=a 23=27 即a 2=3 因为S 2n =4（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）所以n=1时有，S 2=a 1+a 2=4a 1从而可得a 1=1，q=3所以，a 6=1×35=24310.设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则等于（ D ）A ．78B ．84C ．124D ．12611．现有数列{}n a 满足：11a =，且对任意的m ，n ∈N *都有：m n m n a a a mn +=++，则12320141111a a a a ++++=（ ）A.20142015 B.20121007 C.20132014 D.4028201512．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=（ B ）A ．0 B ．100- C ．100 D ．1020013．已知数列{}n a 的通项公式是221sin()2n n a n π+=, 1232014a a a a ++++=则( )A ．201320132⨯ B ．20131007⨯ C ．20141007⨯ D ．20151007⨯化简可得：2221sin()sin()22n n a n n n πππ+==+，当n=2k-1时，221(21)k a k -=--，当n=2k 时，222(2)4k a k k ==，∴22212(21)441k k a a k k k -+=--+=-，所以1232014123220132014()()()(411)(421)+(410071)a a a a a a a a a a ++++=+++++=⋅-+⋅-+⋅-…1+1007=41007-1007=100720152⋅⋅⋅． 14．正项等比数列{}n a 满足142=a a ，133=S ，n n a b 3log =，则数列{}n b 的前10项和是 。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 4 等比列(精练)(含答案)
4.3 等比数列(精练)【题组一 等比数列的判断或证明】1(2021·全国)有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；①等比数列中公比的取值范围是(,)-∞+∞；①若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；①若2b ac =，则a ，b ，c 成等比数列.其中说法正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确； 对于①，因为等比数列的公比不为0，所以①不正确；对于①，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以①正确；对于①，只有当a ，b ，c 都不为0时，a ，b ，c 才成等比数列，所以①不正确. 因此，正确的说法只有1个， 故选：B.2．(2021·全国高二专题练习)以下条件中，能判定数列是等比数列的有( ) ①数列1，2，6，18，…； ①数列{}n a 中，已知212a a =，322a a =；①常数列a ，a ，…，a ，…；①数列{}n a 中，1(0)n na q q a +=≠，其中*n N ∈.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；①中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ①中，当0a =时，不是等比数列；①中，数列符合等比数列的定义，是等比数列. 故选：A.3．(2021·全国高二单元测试)已知数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：①{}3n a ；①{}2n a ；①12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，等比数列的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】设{}n a 的公比为q ，则3331n n a q a -=，112112n n a q a -=，故{}3n a 、12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等比数列. 取2n n a =，2n a n b =，则31212324,216,2256a a ab b b ======，此时32124,16b b b b ==，3212b bb b ≠，故{}2n a 不是等比数列， 故选：C.4．(2021·全国)设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ，如[]2.52=，[]2.53-=-，令{}[]x x x =-，则⎪⎪⎩⎭，⎣⎦，三个数构成的数列 A ．是等比数列但不是等差数列 B ．是等差数列但不是等比数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列也不是等比数列 【答案】A【解析】⎪⎪⎩⎭-,⎣⎦=1,故三个数成等比,选A ．5．(2021·吉林延边二中高二月考)下列命题中正确的是( ) A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列 B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列 【答案】C【解析】若1a b c ===-，则对数无意义，A,B 错误；对C ，若a ，b ，c 是等差数列，则2a c b +=，所以()2222222a c a c b b +⋅===，正确；对D ，若1,2,4a b c ===，则22,24,216a b c ===，显然2222a c b +≠⨯，错误. 故选：C.6(2021·全国高二专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能．．．是等差数列的为( )A ．a ，c ，bB ．2a ，2b ，2cC ．||a ，||b ，||cD ．1a ，1b ，1c【答案】D【解析】因为不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，所以该等比数列的公比1q ≠，显然有0,0a q ≠≠，2,b aq c aq ==， A ：若a ，c ，b 成等差数列，显然2c a b =+成立，即22aq a aq =+，化简为2210q q --=，解得12q =-，或1q =(舍去)，所以假设成立，故a ，c ，b 有可能是等差数列；B ：若2a ，2b ，2c 成等差数列，显然2222b a c =+成立，即222244a q a a q =+，化简为：42410q q -+=，解得：22q =显然q =q =所以假设成立，故2a ，2b ，2c 有可能成等差数列；C ：若||a ，||b ，||c 成等差数列，显然2||b a c =+，即22aq a aq =+，化简为：2210q q -+=，解得1q =，因为1q ≠，所以1q =-，因此假设成立， 故||a ，||b ，||c 有可能 成等差数列；D ：若1a ，1b ，1c 成等差数列，显然1112b a c⋅=+，即21112aq a aq ⋅=+， 化简为：2210q q -+=，解得1q =，而1q ≠，因此假设不成立，故1a ，1b ，1c一定不可能成等差数列，故选：D7．(2021·辽宁阜新·高二期末)(多选)已知等比数列{}n a 中，满足11a =，公比3q =-，则( ) A ．数列{}13n n a a ++是等比数列 B ．数列{}1n n a a +-是等差数列 C ．数列{}1n n a a +是等比数列 D ．数列{}3log n a 是等差数列 【答案】CD【解析】等比数列{}n a 中，满足11a =，公比3q =-，()13n n a -=-.对于A ，()()()()11133331130n n n nn n n a a --+⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-⋅=⎣⎦⎣⎦，不是等比数列，故A 错误； 对于B ，()()()1143333n n nn n a a -+-=---=⋅-，是等比数列，故B 错误；对于C ，()()()1211333n n n n n a a --+=-⋅-=-，是等比数列，故C 正确；对于D ，()133log log 31n n a n -=-=-，是等差数列，故D 正确.故选：CD.8．(2021·全国)(多选)若{}n a 是等比数列，则( )A ．{}2n a 是等比数列B ．{}1n n a a ++是等比数列C ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．{}1n n a a +⋅是等比数列【答案】ACD【解析】因为{}n a 是等比数列，所以设其公比为q ，即1n na q a +=． 因为2212n na q a +=，所以{}2n a 是等比数列，所以A 选项正确； 因为11111n n n na a a q a ++==，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，所以C 选项正确；； 因为2211n n n na a q a a +++=，所以{}1n n a a +是等比数列，所以D 选项正确； 当1q =-时，10n n a a ++=，所以此时1{}n n a a ++不是等比数列，所以B 选项错误. 故选：ACD9．(2021·深圳市皇御苑学校)(多选)已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是 A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．10．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2()1n +a n ，设b n ＝na n.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式.【答案】(1)b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4；(2)是，理由见解析；(3)12n n a n -=⋅.【解析】(1)由条件可得a n ＋1＝2(1)n n+a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得11n a n ++＝2n an，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅. 【题组二 等比数列基本量计算】1．(2021·全国高二课时练习)在数列{}n a 中，11a =，点()1,n n a a +在直线2y x =上，则4a 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16【答案】B【解析】因为点()1,n n a a +在直线2y x =上，所以12n n a a +=， 因为11a =，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以3341128a a q =⋅=⨯=.故选：B.2．(2021·北京牛栏山一中高二期中)已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，下表给出了S n 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于( ) A ．81 B ．27 C ．-81或81 D ．-27或27【答案】B【解析】由题意得，等比数列{}n a 中，1545181a S S a =-⎧⎨-==-⎩，故481q =，3q =±， 因为10S <，44110qS q -=->，由410q ->，所以10q ->， 所以3q =-，所以()13n n a -=--，故3341(3)27a a q ==--=． 故选：B ．3．(2021·全国高二课时练习)记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34a =，425S S =，则6S =( ) A ．2 B ．－21 C ．32 D ．63【答案】D【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 因为34a =，425S S =，所以()()212311111145a q a a q a q a q a a q ⎧=⎪⎨+++=+⎪⎩，即()2123441a q q q q ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得121q a =⎧⎨=⎩， 所以()666112216312S ⨯-==-=-.故选：D.4．(2021·全国高二课时练习)在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为___________.【答案】80，40，20，10【解析】不妨设等比数列16{},160,5n a a a ==，公比为q则561a a q =，即 5=160q 5，① q 5=132，① q =12. 故2342131415180,40,20,10a a q a a q a a q a a q ========① 这4个数依次为80，40，20，10. 故答案为：80，40，20，105．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{a n }中，若a 3=3，a 10=384，则公比q =___________. 【答案】2【解析】33a =，10384a =，7103a a q ∴=，73843q ∴=，即771282q ==，2q ∴=，故答案为：2．6．(2021·上海市进才中学高二月考)在2，x ，8，y 四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则x y -=___________ 【答案】8-或24-.【解析】由已知得216,16x x y ==+解得412x y =⎧⎨=⎩或420x y =-⎧⎨=⎩，8x y ∴-=-或24x y -=-.故答案为：8-或24-.7．(2021·全国高二课时练习)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________. 【答案】45【解析】设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列.即 ()()()()()()2232141,24113,aq aq a aq aq aq ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩整理得22(1)3,(1)6,a q aq q ⎧-=⎨-=⎩ 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 故答案为：458．(2021·全国高二专题练习)等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)若a 1＝－8，a 3＝－2，求S 4； (2)若S 6＝315，q ＝2，求a 1. 【答案】(1)－15或－5；(2)5.【解析】(1)由题意可得2312184a q a -===-， 所以12q =-或12q =.当12q =-时，4418125112S ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当12q =时，44181215112S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--； 综上所述，415S =-或45S =-.(2)()6161231512a S -==-，解得15a =.9．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 是等比数列． (1)若13a =，2q，6n =，求n S ；(2)若1 2.7a =-，13q =-，190n a =，求n S ；(3)若11a =-，464a =，求q 与4S ； (4)若332a =，392S =，求1a 与q ． 【答案】(1)189； (2)9145-； (3)4q =-，451S =； (4)13,12a q ==或116,2a q ==-. 【解析】(1)因为13a =，2q，6n =，可得6616(1)3(12)189112a q S q -⨯-===--.(2)因为1 2.7a =-，13q =-，且190n a =，所以11112.7()(1)91903111451()3nn n a a q a q S q q--⨯---====-----. (3)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =-，464a =，可得331164a q q =-⨯=， 即364q =-，解得4q =-，所以4414(1)1[1(4)]5111(4)a q S q --⨯--===---. (4)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为332a =，392S =， 当1q =时，可得332n a a ==，此时392S =，满足题意； 当1q ≠时，可得23131332(1)912a a q a q S q ⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得116,2a q ==-. 【题组三 等比数列中项性质】1．(2021·全国)若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =( )A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 2．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{}n a 中，已知37,a a 是方程2610x x -+=的两根，则5a = A ．1 B ．1- C ．±1 D ．3【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，因为37,a a 是方程2610x x -+=的两个根，所以373760,10,a a a a +=>⋅=>所以3750,0,0,a a a >>>因为23751,a a a ⋅==所以51,a =选A.3．(2021·全国)在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．16【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则312324a a a a ==，3456512a a a a ==，所以，395223a q a ==，则1333q =,因为311324n n n na a a a -+==，则3364323248134n n a q a -====，即24333n -=，解得14n =.故选：C. 4．(2021·全国)在等比数列{}n a 中，5673a a a =，67824a a a =，则789a a a 的值为( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192【答案】D【解析】由5673a a a =，得363a =，由67824a a a =，得3724a =，所以337362483a q a ===， 所以3789678248192a a a a a a q ==⨯=．故选：D5．(2021·新蔡县第一高级中学)已知1k ≠，则等比数列2log a k +，4log a k +，8log a k +的公比为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】设数列的公比为()0q q ≠，2log a k +，4log a k +，8log a k +的公比相当于2log a k +，21log 2a k +，21log 3a k +的公比，相当于21log a k +，21log 2a k +，21log 3a k +的公比， 令2log a t k =，即相当于1t +，12t +，13t +的公比， ①()211123t t t ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14t =-，则314t +=，1124t +=， ①公比111243134t q t +===+． 故选：B6．(2021·北京清华附中高二期中)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且33a =，则3132333435log log log log log a a a a a ++++=( )A ．52B ．5C ．10D ．15【答案】B【解析】因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且33a =，所以()5313233343531234533log log log log log log log a a a a a a a a a a a ++++=⋅⋅⋅⋅=53log 35==.故选：B.7．(2021·江西省铜鼓中学高二开学考试(文))已知1-，a ，b ，9-成等差数列，1-，c ，d ，e ，9-成等比数列，则b ad-=( )． A ．83B ．89C ．89-D ．89或89-【答案】B【解析】因为1-，a ，b ，9-成等差数列，所以公差'9(1)884133d ----===--, 所以'83b a d -==-，因为1-，c ，d ，e ，9-成等比数列，所以d 是1-和9-的等比中项， 所以21(9)9d =-⨯-=，解得3d =或3d =-， 因为等比数列中奇数项同号，所以3d =-，所以88339b ad --==-， 故选：B【题组四 等比数列的前n 项和性质】1．(2021·安徽宣城·高二期中(文))设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S =( ) A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾. 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q Sqq--++===--，则332q =， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q qS qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=. 故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3， 即S 21－S 14＝3，①S 21＝63. 故选：D3．(2021·新余市第一中学高二月考)已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9C ．63D ．7或63【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ， 则()10102010111220121010S S a a a q a a a q S -=+++=+++=，()20203020212230121010S S a a a q a a a q S -=+++=+++=，所以，()()2202201010103020S S S S S q S -==⋅-，()()21010214921S S -=-， 整理可得21010704410S S -+=，解得107S =或63.当1063S =时，201042S S -=-，则10422633q =-=-，显然不成立，故107S =. 故选：A.4．(2021·全国)设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10①S 5=1①2，则S 15①S 5=( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【解析】:①数列{a n }为等比数列,且其前n 项和记为S n , ①S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列. ①S 10∶S 5=1∶2,即S 10=12S 5, ①等比数列S 5,S 10-S 5,S 15-S 10的公比为1055-S S S =-12. ①S 15-S 10=-12(S 10-S 5)=14S 5.①S 15=14S 5+S 10=34S 5.①S 15①S 5=34.故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =( ). A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和的4倍，①4S S S +=奇偶偶， 设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得S qS =偶奇，即1S S q=奇偶， ①14S S S q +=偶偶偶，①0S ≠偶,①解得13q =， 又前3项之积3123264a a a a ==，解得24a =，①2112a a q==. 故选:B.6．(2021·北京海淀·)已知等比数列{}n a 的前n 项和3=+n n S r ，则2a =__________，r =__________． 【答案】6 1-【解析】因等比数列{}n a 的前n 项和3=+nn S r ，于是得113a S r ==+，2221(3)(3)6a S S r r =-=+-+=，32332(3)(3)18a S S r r =-=+-+=，数列公比32123a a q a a ===，解得1r =-， 此时31n n S =-，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅，12a =满足上式，即123,n n a n N -*=⋅∈，有1123323nn n n a a +-⋅==⋅是非零常数，则{}n a 是等比数列， 所以26,1a r ==-. 故答案为：6；1-.7．(2021·全国高二课时练习)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =______. 【答案】73【解析】1q ≠，否则61316233S a S a ==≠. ①()()6136331111311a q S q q S a q q--==+=--， ①32q ＝.①()()9193962661111271112311a q S q qS q a q q----====----. 故答案为：738．(2021·全国高二课时练习)等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 【答案】16【解析】由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2 其公比6336222S S q S --===，得S 12－S 9＝2×23＝16.故答案为：169．(2021·全国)若数列{}n a 为等比数列，且121a a +=，344a a +=，则910a a +=___________. 【答案】256 【解析】①{}n a 是等比数列，①12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +为等比数列， 且公比34124a a q a a +==+， ①491014256a a +=⨯=. 故答案为：25610．(2021·全国)已知正项等比数列{}n a 共有2n 项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q =______. 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶， 则()24213211321n n n S a a a a q a q a q q a a a qS --=+++=+++=+++=奇偶，由23n S S =奇，得()13S q S +=奇奇，因为0n a >，所以0S >奇，所以13q +=，2q .故答案为：2.11．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{}n a 共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q =________. 【答案】2【解析】由题意, 设奇数项的和为1S ,偶数项的和为2S ,得1211228080240160S S S S S S -==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩ 故公比21160280S q S -===- 故答案为212．(2021·全国高二课时练习)设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010S S S =+________. 【答案】118【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知1q ≠，因为515(1)1a q S q -=-，10551110(1)(1)(1)11a q a q q S q q--+==--，05511113S S q ==+，52q =，1053S S =， 2055105101120555(1)(1)(1)(1)(1)(1)(12)(14)1511a q a q q q S S q q S S q q --++===++=++=--．①55102055131518S S S S S S ==++．故答案为：118． 13．(2021·全国)已知等比数列{}n a 的前n 项和2133n n S t -=⋅-，则实数t 的值为______.【答案】3【解析】由2133n n S t -=⋅-，得13133n n t S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.当1q =时，1n S na =，不合乎题意.当1q ≠时，()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，令11a A q =-，则()1nn S A q =-， 所以，13t=，解得3t =.故答案为：3.14．(2021·柳州市第二中学(理))已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S t +=+，则数列的通项公式n a =______________. 【答案】23n ⋅.【解析】由13n n S t +=+得，当1n =时，21139a S t t ==+=+，当2n =时，1232327a a S t t +==+=+，2927t a t ++=+，所以218a =当3n =时，433233354a S S =-=-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以3221a a a =，即()1818549t ⨯=⨯+，所以3t =-，16a =，公比213a q a ==， 所以1116323n n n na a q --===⋅⋅.故答案为：23nn a =⋅.15(2021·全国高二专题练习)已知等比数列{}n a 的前n 项和13n n S λ+=+，则1a λ+=______.【答案】3【解析】2n ≥时，11(3)(3)23n n nn n n a S S λλ+-=-=+-+=⨯，又119a S λ==+，数列{}n a 等比数列， ①3212a a a a =，即1854918λ=+，解得3λ=-． ①13a λ+=. 故答案为：3．【题组五 等比数列的单调性】1．(2021·全国)等比数列{}n a 是递增数列，若5160a a -=，4224a a -=，则公比q 为( ) A ．12 B ．2C ．12或2-D ．2或12【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 满足0q >且1q ≠， 所以，()()421512421116052421a q a a q a a q a q q --+====--，即22520q q -+=，解得12q =或2. 若12q =，则()2421131248a a a q q a -=-=-=，解得164a =-， 此时1111642n n n a a q --==-⨯，此时数列{}n a 为递增数列，合乎题意； 若2q，则()242111624a a a q q a -=-==，解得14a =，此时1111422n n n n a a q --+==⨯=，此时数列{}n a 为递增数列，合乎题意.综上所述，12q =或2. 故选：D.2．(2021·陕西新城·西安中学高三(文))在等比数列{a n }中，279a a =且a 8＞a 9，则使得110n a a ->的自然数n 的最大值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C【解析】因为279a a =，即()26811a q a q =，所以51a =，又因为89a a >，所以数列{}n a 为单调递减，因为()()44549111110n n n n a a q q a q q q a ---=-=-=->， 所以901n q q ->=，所以9n <.又因为n 为整数，故max 8n =. 故选：C3．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要；故选：D 4．(2021·福建省福州第一中学高三开学考试(理))(多选)设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是( ) A ．1q > B ．81a =C ．106T T >D ．7T 与8T 均为n T 的最大值【答案】BD 【解析】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =， 所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误； B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确； C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，， 有12789101a a a a a a >>>>=>>>，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<， 所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>>，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确. 故选：BD5．(2021·江苏连云港·高三月考)(多选)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件()()120202021202020211,1,110a a a a a >⋅>-⋅-<，则下列结论中正确的有( ) A ．1q > B ．20212020S S >C ．202020221a a ⋅<D ．2020T 是数列{}n T 中的最大值【答案】BCD【解析】依题意等比数列{}n a 满足条件： 11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，若1q ≥，则2019202020201202111,1a a qa a q =⋅>=⋅>， 则2020202110,10a a ->->，则()()20202021110a a -->与已知条件矛盾. 所以1q ≥不符合，故A 选项错误. 由于11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，所以202020211,01a a ><<，01q <<，0n a >， 则2021202020212020S a S S =+>， 所以B 选项正确，又20202022220211a a a =⋅<.所以C 选项正确.因此，前2020项都大于1， 从第2021项开始起都小于1， 因此2020T 的值是n T 中最大的. 所以D 选项正确.故选：BCD.6．(2021·全国高二课时练习)(多选)关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是( )A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 【答案】BCD【解析】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ．7．(2021·全国高二课时练习)若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{}n a 是一个“2020积数列”，且11a >，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的值为________． 【答案】1009或1010【解析】设数列{}n a 的公比为q ． 由题意可得，20201232020a a a a a =⋅⋅⋅⋅，①12320191a a a a ⋅⋅⋅⋅=，①212019220183201710101a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===．又11a >，①01q <<，数列{}n a 为递减等比数列， 10091a >，10101a =，10111a <，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的值为1009或1010． 故答案为：1009或10108．(2021·西城·北京育才学校高二期中)等比数列满足如下条件：①10a <；①数列{}n a 单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式n a =________. 【答案】12n-(答案不唯一) 【解析】满足上述所有条件的一个数列的通项公式12n na =-. 故答案为：12n-(答案不唯一) 9．(2021·湖北黄州·黄冈中学高三)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出{}n a 的一个通项公式n a =________，满足下面两个条件：①{}n a 是单调递减数列；①{}n S 是单调递增数列. 【答案】12n⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)【解析】根据前n 项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是符合条件的例子， 故答案为：12n⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)【题组六 等比数列的实际运用】1．(2021·全国高二课时练习)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？【答案】(1)a n ＝*10*450.5,110,500.99,1120,.n n n n N n n N -⎧+≤≤∈⎨⨯≤≤∈⎩；(2)2036年不需要调整政策． 【解析】解:(1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， 所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n －10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝*10*450.5,110,500.99,1120,.n n n n N n n N -⎧+≤≤∈⎨⨯≤≤∈⎩(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)()1049.510.9910911045.52210.99-⨯=⨯+⨯+- ＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为2020S =47.54万． 因为47.54＜49，故到2036年不需要调整政策．2．(2021·全国高二课时练习)某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)【答案】甲方案的获利较多．【解析】根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝101(1.31)1.31--≈42.65(万)， 而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元，那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1 5.5)2⨯+＝32.50(万元)，贷款的本利和为：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，①乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)．所以，甲方案的获利较多．3．(2021·全国高二课时练习)一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．【答案】(1)64米；(2)不能超过，理由见解析.【解析】(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成115a =，2d =-的等差数列，则12(1)(1)15(2)2216n n n n n S na d n n n --=+=+⨯-=-+当8n =时，8()64n max S S ==即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．(2)不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成115b =，0.8q =的等比数列， 则1(1)15(10.8)75(10.8)7510.2n n n n b q S q --===-<- 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．4．(2021·全国高二课时练习)某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x 万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)【答案】424万元．【解析】设a n 表示第n 年年底扣除消费资金后的资金，则：a 1＝1 000(1＋12)－x ，a 2＝[1 000(1＋12)－x ](1＋12)－x＝1 000(1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 3＝[1 000(1＋12)2－x (1＋12)－x ](1＋12)－x＝1 000(1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 4＝1 000(1＋12)4－x (1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 5＝1 000(1＋12)5－x (1＋12)4－x (1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x . 则1 000×(32)5－x [(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ①1 000×(32)5－5312312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-＝2 000.解得x ≈424(万元)．①每年年底扣除的消费资金为424万元．5．(2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考)某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．(1)今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？(精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活)(2)现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？( 3.5，精确到1万个)【答案】(1)62.2万尾；(2)2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．【解析】(1)依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为12113120.249.22⨯⨯+⨯=万尾， 所以2021年年底共有鱼13+49.2=62.2万尾；(2)依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q ，且1q >，于是得260606080013q q ++≥-，即2727060q q +-≥，解得132q ≥≈， 所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划.。
高三数学等比数列试题答案及解析
高三数学等比数列试题答案及解析1.设等不数列{an }的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )A． 31B．32C．63D． 64【答案】C【解析】由已知条件可得解得，所以，故选C. 【考点】等比数列的性质.2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则= （）A．B．C．D．【答案】（B）【解析】由等比数列的各项都是正数，且.所以.又公比为即.故选（B）【考点】1.等比数列的性质.2.等比数列的通项公式.3.已知等比数列{an }满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A．64B．81C．128D．243【答案】A【解析】由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6，∴q=2∴a1（1+q）=3，∴a1=1，∴a7=26=64故选A4.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】设等比数列的通项公式为故答案为1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.5.设正项等比数列的前项积为，若，则=__________.【答案】1【解析】正项等比数列的首项为与公比，由【考点】等比数列的通项公式；等比数列的乘积运算.6.函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故，即，而，因此选B.【考点】等比数列的性质.7.已知数列满足，，定义：使乘积为正整数的k叫做“简易数”.则在[3,2013]内所有“简易数”的和为 .【答案】2035【解析】∵，∴，则“简易数”为使为整数的整数，即满足，∴，则在区间内所有“简易数”的和为.【考点】1.新定义题；2.等比数列的前n项和公式.8.已知等比数列的前项和为，若，，则的值是 .【答案】－2【解析】由得，∴，∴，．【考点】等比数列的通项公式与前项和．9.已知等比数列中，＝1，＝2，则等于( ).A．2B．2C．4D．4【答案】C【解析】，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得.【考点】等比数列的性质10.已知正项数列，其前项和满足且是和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2) 符号表示不超过实数的最大整数，记，求.【答案】(1) 所以；(2) .【解析】(1) 由①知②通过①②得整理得，根据得到所以为公差为的等差数列，由求得或.验证舍去.(2) 由得，利用符号表示不超过实数的最大整数知，当时，，将转化成应用“错位相减法”求和.试题解析：(1) 由①知② 1分由①②得整理得 2分∵为正项数列∴，∴ 3分所以为公差为的等差数列，由得或 4分当时，，不满足是和的等比中项.当时，，满足是和的等比中项.所以. 6分(2) 由得， 7分由符号表示不超过实数的最大整数知，当时，， 8分所以令∴① 9分② 10分①②得即. 12分【考点】等差数列的通项公式，对数运算，“错位相减法”.11.在各项均为正数的等比数列{an }中，已知a2＝2a1＋3，且3a2，a4，5a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝log3an，求数列{anbn}的前n项和Sn.【答案】（1）3n，n∈N（2）Sn＝【解析】(1)设{an}公比为q，由题意得q>0，且解得 (舍)，所以数列{an }的通项公式为an＝3·3n－1＝3n，n∈N．(2)由(1)可得bn ＝log3an＝n，所以anbn＝n·3n.所以Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，所以3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，两式相减得，2Sn＝－3－(32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n)＋n·3n＋1＝－＋n·3n＋1＝，所以数列{an bn}的前n项和Sn＝.12.已知两个数k＋9和6－k的等比中项是2k，则k＝________．【答案】3【解析】由已知得(2k)2＝(k＋9)(6－k)，k∈N*，∴k＝3.13.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．【答案】63【解析】因为等比数列{an }是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，则q＝2，故S6＝＝63.14.已知数列{an }为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为()A．±B．-C．D．-【答案】C【解析】∵a1a13=,a2a12=,∴=,∴tan(a2a12)=tan=tan=,故选C.15.已知数列{an }是等差数列,a2=6,a5=12,数列{bn}的前n项和是Sn,且Sn+bn=1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)求证:数列{bn}是等比数列.(3)记cn =,{cn}的前n项和为Tn,若Tn<对一切n∈N*都成立,求最小正整数m.【答案】(1) an=2n+2 (2)见解析 (3) 2012【解析】(1)设{an }的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d.∵a2=6,a5=12,∴解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.(2)当n=1时,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.当n≥2时,∵Sn =1-bn,Sn-1=1-bn-1,∴Sn -Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).∴bn =bn-1.∴{bn}是以为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.∴cn====-,∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,由已知得≥1,∴m≥2012,∴最小正整数m=2012.16.一个由正数组成的等比数列，它的前4项和是前2项和的5倍，则此数列的公比为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设此数列的公比为q，根据题意得q>0且q≠1，由，解得q＝2.17.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．【答案】6【解析】设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6.18.在等比数列{an }中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则a5＋a6等于________．【答案】80【解析】q2＝＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝40×2＝80.19.Sn 是等比数列{an}的前n项和，a1＝，9S3＝S6，设Tn＝a1a2a3…an，则使Tn取最小值的n值为________．【答案】5【解析】设等比数列的公比为q，故由9S3＝S6，得9×，解得q＝2，故＝a n ＝×2n－1，易得当n≤5时，<1，即Tn<Tn－1；当n≥6时，Tn>Tn－1，据此数列单调性可得T5为最小值．20.已知等比数列{an }是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.【答案】63【解析】∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.21.已知公比为的等比数列的前项和为，则下列结论中：（1）成等比数列；（2）；（3）正确的结论为（）A．（1）（2）．B．（1）（3）．C．（2）（3）．D．（1）（2）（3）．【答案】C【解析】根据等比数列的性质，，则，，(2)(3)是正确的，但当时，(1)不正确，故选C．【考点】等比数列的前项和与等比数列的定义．22.在等比数列{an }中，a4＝4，则a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】23.在等比数列{an }中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于()．A．2n＋1－2B．3n C．2n D．3n－1【答案】C【解析】∵数列{an }为等比数列，设公比为q，∴an＝2q n－1，又∵{an＋1}也是等比数列，则(an＋1＋1)2＝(a n＋1)·(a n＋2＋1)⇒＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2⇒a n＋a n＋2＝2a n＋1⇒a n(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1.即an ＝2，所以Sn＝2n.24.在等比数列{an }中，2a3－a2a4＝0，则a3＝________；{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于________．【答案】210【解析】在等比数列中2a3－a2a4＝2a3－＝0，解得a3＝2.在等差数列中b3＝a3＝2，所以S5＝＝5b3＝5×2＝10.25.设等比数列{an }的公比q＝2，前n项和为Sn，若S4＝1，则S8＝ ()．A．17B．C．5D．【答案】A【解析】由于S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝S4＋S4·q4，又q＝2.所以S8＝1＋24＝17.故选A26.已知数列为等比数列，，，，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】①,②,③，由①②③得,,故选D.【考点】1.等比数列的定义；2.不等式求范围.27.数列{}的前n项和为，．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求，代入P中利用裂项求和即可求解试题解析：解:(Ⅰ) 因为，所以①当时，，则， .（1分）②当时，， .（2分）所以，即，所以，而， .（3分）所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． .（4分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得．所以①② .（6分）②-①得： .（7分）（8分）（Ⅲ）由(Ⅰ)知（9分）而，（11分）所以，故不超过的最大整数为．（14分） .【考点】1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.28.正项递增等比数列{}中，，则该数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，或（舍）．【考点】等比数列的运算性质．29.若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则 .【答案】【解析】展开式的通项公式为，其常数项为，所以.【考点】1、二项式定理；2、等比数列.30.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式.31.在等比数列中，若，则 .【答案】.【解析】由于数列为公比数列，所以，由于，所以.【考点】等比数列的性质32.已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的计算能力和分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想和转化思想.第一问，利用等比数列的通项公式先写出数列的通项公式，利用对数的性质得到的通项公式，从而列出，它符合错位相减法，利用错位相减法求和；第二问，有题意得，讨论的正负，转化为恒成立问题，求出.试题解析：（Ⅰ）由题意知，.∴..以上两式相减得.∵，∴.（Ⅱ）由.由题意知，而，∴. ①（1）若，则，，故时，不等式①成立；（2）若，则，不等式①成立恒成立.综合（1）、（2）得的取值范围为.【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的前n项和公式；3.错位相减法；4.恒成立问题.33.已知等比数列前项和为()A．10B．20C．30D．40【答案】C【解析】等比数列中，依次3项和依然成等比数列，即，，，成等比数列，其值分别为2,4,8,16，故.【考点】等比数列的性质.34.设等比数列满足公比，，且{}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为．【答案】【解析】任取数列中两项和，则也是数列中的项，又，，所以可能为，即的值可能为.【考点】等比数列的通项公式和性质.35.已知公差不为零的等差数列与公比为的等比数列有相同的首项，同时满足，，成等比，，，成等差，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设数列的首项为，等差数列的公差为,，将，，代入得，化简得，解得，代入（1）式得.【考点】1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质.36.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（2）当b=2时，记求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用的关系求解；（2）由（1）和b=2求得，进而求得,利用错位相减法可得.试题解析：∵对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上. ∴得,当时,,当时,,又∵{}为等比数列,∴, 公比为, ∴.（2）当b=2时，,则相减,得=∴【考点】1.等比数列通项公式；2.数列求和；3.数列中的关系.37.在正项等比数列中，，则的值是( )A．10000B．1000C． 100D．10【答案】A【解析】因为，所以，所以，.【考点】1.对数的性质；2.等比数列的性质.38.若等比数列满足，，则公比__________;前项_____.【答案】2，【解析】，由，解得，故.考点定位：本题考查了等比数列的通项公式、前n项公式和数列的性质.39.已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求证：是等比数列并求通项公式（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由①得② 1分由②—①，得即： 2分由于数列各项均为正数，3分即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是 4分（Ⅱ）由知，所以， 5分有，即， 6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列. 7分所以 8分（Ⅲ）， 9分所以数列的前n项和错位相减可得 12分【考点】等差数列、等比数列的通项公式，“错位相减法”。
高中数学第4章数列3、1等比数列的概念3、2等比数列的通项公式、提升训练苏教版选择性必修第一册
等比数列的概念等比数列的通项公式基础过关练题组一等比数列的概念及其应用1.有下列四个说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中正确说法的个数为()A.0B.1C.2D.32.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a的取值范围是()A.a≠1B.a≠0或a≠1C.a≠0D.a≠0且a≠13.(2021湖北黄石第二中学高三一模)已知函数f(x)=log k x(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{a n}为等比数列的是(填序号).①数列{f(a n)}是首项为2,公比为2的等比数列;②数列{f(a n)}是首项为4,公差为2的等差数列;③数列{f(a n)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.题组二等比数列的通项公式4.(2021江苏无锡锡山高级中学高二期中)在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q为()A.±2B.2C.±3D.35.(2021江苏镇江四校高三第一次联考)在正项等比数列{a n}中,若a6,3a5,a7依次成等差数列,则{a n}的公比为.6.(2020江苏南通高三考前模拟)已知等比数列{a n}的公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=1,则a3·a6·a9·…·a30=.7.(2020湖北宜昌示范高中协作体高二期末)已知数列{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b1=2,b2=5,且a n b n+1=a n b n+a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和S n.题组三等比中项8.(2020四川广元高一期末)两数√2+1与√2-1的等比中项是()A.1B.-1C.±1D.129.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{a n}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于()A.6B.4C.3D.-110.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于()A.6B.-6C.±6D.±1211.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2y=1的离心率可能为()A.√22B.√32C.√62D.√3题组四等比数列的性质12.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= ()A.5√2B.7C.6D.4√213.(2021浙江十校联盟高三联考)已知数列{a n}为等比数列,则“a1<0,q>1”是“{a n}为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.(2020四川外国语大学附属学校阶段检测)已知等比数列{a n}是递减数列,且满足a1+a4=18,a2a3=32,则a5= ()A.32B.16C.2D.115.在正项等比数列{a n}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{a n}的通项公式.能力提升练题组一等比数列的通项公式及其应用1.(2020河北保定高一期末,)已知数列a1,y2y1,…,y yy y-1,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log2a n= ()A.n(n+1)B.y(y-1)4C.y(y+1)2D.y(y-1)22.(2021河南豫南九校高二联考,)音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成13个半音,使相邻两个半音的频率之比为常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足log2(y y+1y y)12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D8的频率之比为√23,则该半音为()A.F8B.GC.G8D.A3.(2020江苏南京师大附中高三高考模拟,)各项均正且公差不为0的等差数列{a n}的第1项、第2项、第6项恰好是等比数列{b n}的连续三项(顺序不变),设S n=1y1y2+1y2y3+…+1y y y y+1,若对一切的n∈N*,S n≤1y1恒成立,则a1的最小值为.4.(2021江苏徐州新沂第一中学高二月考,)在各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.(1)若a1=4,q=32,则d=;(2)若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为.5.(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳名校高三联考,)从①前n项和S n=n2+p(p∈R),②a6=11且2a n+1=a n+a n+2这两个条件中任选一个,填在下面的横线上,并完成解答.在数列{a n}中,a1=1,,其中n∈N*.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1,a n ,a m 构成等比数列,其中m ,n ∈N *,且m >n >1,求m 的最小值.题组二 等比数列的性质及综合应用 6.(2021江苏宿迁桃州中学高二调研,)已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5·a 2n -5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1= ( )A.n (2n -1)B.(n +1)2C.n 2D.(n -1)27.(2021安徽示范高中培优联盟高二联赛,)已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1·a 6·a 11=3√3,b 1+b 6+b 11=-3π4,则tan y 3+y 91-y 4·y 8的值是 ()A.-√3B.√22 C.-√22 D.18.(2020重庆第一中学高一月考,)正项数列{a n }满足:a n +a n +1+a n +2=a n a n +1a n +2,a 1+a 3=6,若前三项构成等比数列且满足a 1<a 2<a 3,S n 为数列{a n }的前n 项和,则[S 2 020]([x ]表示不超过x 的最大整数)的值为(参考数据:√5≈2.236) ( ) A.4 040 B.4 041 C.5 384 D.5 385 9.(2021江苏苏州高二期中,)已知等比数列{a n }为递增数列,若a 1+a 4=7,a 2+a 3=6,则a 1+a 2= .10.(2020广西南宁第三中学高三月考,)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,其中a 1,a 3,a 9成等比数列,且数列{a n }不是常数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n=1,b n的前n项和为T n,求证:T n<2.y y11.(2020山西太原第五中学高二阶段测试,)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.12.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色,黄河的水源来自青海高原,从源头开始1 000 km的河水是非常清澈的.只是在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2 000 m3/s,黄河水的含沙量为2 kg/m3,洮河水的含沙量为20 kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1 000 m3的水量,即从洮河流入黄河1 000 m3的水混合后,又从黄河流入1 000 m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)答案全解全析基础过关练1.B对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不能为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数列的各项均不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c都不为0时,a,b,c才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.2.D由于a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,所以需同时满足a≠0,1-a≠0,所以a≠0且a ≠1.3.答案②解析①中,f(a n)=2n,即log k a n=2n,得a n=y2y,∵y y+1y y =y2y+1y2y=y2y≠常数,∴数列{a n}不是等比数列;②中,f(a n)=4+(n-1)×2=2n+2,即log k a n=2n+2,得a n=k2n+2,且a1=k4≠0,∵y y+1y y =y2(y+1)+2y2y+2=k2,且k2为非零常数,∴数列{a n}是以k4为首项,k2为公比的等比数列;③中,f(a n)=2n+y(y-1)2×2=n2+n,即log k a n=n2+n,得a n=k n(n+1),∵y y+1y y =y(y+1)(y+2)y y(y+1)=k2(n+1)≠常数,∴数列{a n}不是等比数列.4.D若使这4个数成等比数列,则81=3q3,解得q=3.故选D.5.答案 2解析设正项等比数列{a n}的公比为q,q>0,由a6,3a5,a7依次成等差数列,可得6a5=a6+a7,即有6a1q4=a1q5+a1q6,化简,得q2+q-6=0,解得q=2(q=-3舍去),则{a n }的公比为2. 6.答案 1024解析 因为{a n }为等比数列,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=1,所以a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q 29=y 130q1+2+3+…+29=y 1302435=1,所以y 110=2-145,所以a 3·a 6·a 9·…·a 30=y 110q 155=y 1102155,所以a 3·a 6·a 9·…·a 30=2-145×2155=210=1024.7.解析 (1)将n =1代入已知等式,得a 1b 2=a 1b 1+a 2,∴a 2=a 1b 2-a 1b 1=3a 1. ∴{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,∴a n =1·3n -1=3n -1. (2)由(1)及已知得b n +1-b n =y y +1y y=3,∴{b n }是首项为2,公差为3的等差数列,∴b n =2+3(n -1)=3n -1, ∴S n =y (y 1+y y )2=y (2+3y -1)2=3y 2+y2.解题模板关于a 1和q 的求法通常有以下两种:(1)根据已知条件,建立关于a 1,q 的方程组,通过解方程组求出a 1,q ,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q 后,再求a 1,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.8.C 设两数的等比中项为x ,则x 2=(√2+1)·(√2-1)=1,∴x =±1,故等比中项为±1. 9.B 依题意得y 32=a 1a 7,∴(a 1+4)2=a 1(a 1+12),解得a 1=4.故选B.10.C 由题意可得a =1+22=32,b 2=(-1)×(-16)=16,解得b =±4,∴ab =±6.11.AD 由1,a ,4成等比数列,得a =±2. 当a =2时,曲线x 2+y 22=1表示焦点在y 轴上的椭圆,此时离心率为√2-1√2=√22; 当a =-2时,曲线x 2-y 22=1表示焦点在x 轴上的双曲线,此时离心率为√2+11=√3.故选AD.12.A 由等比数列的性质知a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9成等比数列,所以a 4a 5a 6=5√2. 13.A 若等比数列{a n }满足a 1<0,q >1,则数列{a n }为递减数列, 故“a 1<0,q >1”是“{a n }为递减数列”的充分条件;因为当等比数列{a n }满足a 1>0,0<q <1时,数列{a n }也是递减数列, 所以“a 1<0,q >1”不是“{a n }为递减数列”的必要条件.综上所述,“a 1<0,q >1”是“{a n }为递减数列”的充分不必要条件,故选A.14.D 设等比数列{a n }的公比为q.由a 2a 3=32可得a 1a 4=32,又a 1+a 4=18,且等比数列{a n }为递减数列,所以a 1=16,a 4=2,所以q 3=y 4y 1=18,故q =12,所以a 5=a 4×12=1,故选D .15.解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0).因为数列{a n }为等比数列,所以a 1a 5=y 32,a 3a 7=y 52,所以由题意可得y 32-2a 3a 5+y 52=36. 同理,得y 32+2a 3a 5+y 52=100.所以{(y 3-y 5)2=36,(y 3+y 5)2=100,因为a n >0, 所以{y 3-y 5=-6,y 3+y 5=10或{y 3-y 5=6,y 3+y 5=10,解得{y 3=2,y 5=8或{y 3=8,y 5=2,易得{y 1=12,y =2或{y 1=32,y =12.所以a n =12×2n -1=2n -2或a n =32×(12)y -1=26-n.能力提升练1.D 由题意可得yy y y -1=1×2n -1=2n -1(n ≥2),而a n =a 1×y 2y 1×y 3y 2×…×y y y y -1=1×21+2+…+(n -1)=2y (y -1)2(n ≥2), 当n =1时,a 1=1也满足该式,故a n =2y (y -1)2(n ∈N *),所以log 2a n =y (y -1)2,故选D .2.答案 B信息提取 (1)把八度分成13个半音;(2)相邻两个半音的频率之比是常数;(3)log 2(y y +1y y)12=1(i =1,2,…,12). 数学建模 本题是以音乐中音律的划分为背景的实际问题,由“相邻两个半音的频率之比为常数”可构建等比数列模型.实际问题可转化为已知yy y 4=√23求a n ,进而求出a n 对应的半音.根据log 2(y y +1y y)12=1可得y y +1y y=2112,即数列{a n }是公比为2112的等比数列,利用等比数列的通项公式即可求解. 解析依题意可知a n >0(n =1,2,…,12,13).由于a 1,a 2,…,a 13满足log 2(y y +1y y )12=1(i =1,2,…,12),则(y y +1y y )12=2⇒yy +1y y=2112,所以数列{a n }(n =1,2,…,12,13)为等比数列,设其公比为q ,则q =2112,D 8对应的频率为a 4,又所求半音与D 8的频率之比为√23=213=(2112)4,故所求半音对应的频率为a 4·(2112)4=a 8,其对应的半音为G. 3.答案 13解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),由题意得y 22=a 1a 6,即(y 1+y )2=a 1(a 1+5d ), 因为d ≠0,所以d =3a 1,所以a n =a 1+(n -1)d =(3n -2)a 1,则S n =1y 1y 2+1y 2y 3+…+1y y y y +1=13y 11y 1-1y 2+1y 2-1y 3+…+1y y -1yy +1=13y 1·3yy 1y 1·(3y +1)y 1=y(3y +1)y 12,所以y(3y +1)y 12≤1y 1,则a 1≥y3y +1.因为y 3y +1=13(1-13y +1)<13,所以a 1≥13,故a 1的最小值为13. 4.答案 (1)4 (2){53,87}解析 (1)若a 1=4,q =32,则a 2=4+d ,a 3=4+2d ,y 3y 2=4+2y 4+y =32, 解得d =4.(2)根据题意,设这个数列的四项分别为a 1,a 1+d ,a 1+2d ,a 1+88,其中a 1和d 均为正偶数,根据后三项依次成等比数列,可得(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+88), 整理得a 1=4y (22-y )3y -88,由a 1>0,可得(d -22)(3d -88)<0,所以22<d <883,则d 的可能值为24,26,28. 当d =24时,a 1=12,a 2=36,a 3=60,q =53;当d =26时,a 1=2085(舍);当d =28时,a 1=168,a 2=196,a 3=224,q =87.综上所述,q 的所有可能的值构成的集合为{53,87}. 方法总结判断数列{a n }是不是等比数列的方法:(1)定义法:判断y y +1y y是不是常数; (2)等比中项法:判断y y +1y y =y y y y -1(n ≥2,n ∈N *)是否成立. 5.解析 选择条件①:(1)当n =1时,由S 1=a 1=1,得p =0,故S n =n 2. 当n ≥2时,有S n -1=(n -1)2,所以a n =S n -S n -1=2n -1(n ≥2). 经检验,a 1=1符合此式,所以a n =2n -1(n ∈N *). (2)由a 1,a n ,a m 构成等比数列,得y y 2=a 1a m , 由(1)得a n =2n -1(n ∈N *),故有(2n -1)2=1×(2m -1), 化简,得m =2n 2-2n +1=2(y -12)2+12.因为m ,n 是大于1的正整数,且m >n ,所以当n =2时,m 取得最小值,最小值为5. 选择条件②:(1)由2a n +1=a n +a n +2,得a n +1-a n =a n +2-a n +1, 所以数列{a n }是等差数列,设其公差为d. 因为a 1=1,a 6=a 1+5d =11,所以d =2. 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1(n ∈N *).(2)因为a 1,a n ,a m 构成等比数列,所以y y 2=a 1a m ,即(2n -1)2=1×(2m -1),化简,得m =2n 2-2n +1=2(y -12)2+12. 因为m ,n 是大于1的正整数,且m >n ,所以当n =2时,m 取得最小值,最小值为5.6.C 因为{a n }为等比数列,所以a 1·a 2n -1=a 2·a 2n -2=…=a 5·a 2n -5=22n,所以log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=log 2(a 1a 2n -1)y2=log 2(22y)y2=log 22y 2=n 2.故选C.7.D 在等差数列{b n }中,b 1+b 6+b 11=3b 6=-3π4,∴b 6=-π4,∴b 3+b 9=2b 6=-π2,在等比数列{a n }中,a 1·a 6·a 11=3√3,即y 63=3√3,∴a 6=√3,∴1-a 4a 8=1-(√3)2=-2,则tan y 3+y 91-y 4·y 8=tan -π2-2=tan π4=1.故选D .8.C 依题意得a 1+a 2+a 3=a 1a 2a 3,a 1+a 3=6,y 22=a 1·a 3, 故6+a 2=y 23,即(a 2-2)[(a 2+1)2+2]=0,解得a 2=2.联立{y 1+y 3=6,y 1·y 3=4,结合a 1<a 2<a 3,可解得a 1=3-√5,a 3=3+√5.依题意得a 2+a 3+a 4=a 2·a 3·a 4⇒a 4=3-√5,a 3+a 4+a 5=a 3·a 4·a 5⇒a 5=2,a 4+a 5+a 6=a 4·a 5·a 6⇒a 6=3+√5,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,且a 1+a 2+a 3=8,故S 2020=S 673×3+1=673×8+a 1=5387-√5,又√5≈2.236,所以[S 2020]=5384.故选C . 9.答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由题意,得{y 1(1+y 3)=7,①y 1y (1+y )=6,②②①,得y 1y (1+y )y 1(1+y 3)=y (1+y )(1+y )(1-y +y 2)=y 1-y +y 2=67, 解得q =32或q =23,经验证可知当q =23时,{a n }不是递增数列,故q =32,所以a 1+a 2=a 1(1+q )=6y =4. 10.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0). 因为a 1,a 3,a 9成等比数列, 所以y 32=a 1·a 9, 即32=(3-2d )(3+6d ), 解得d =1或d =0(舍去), 所以a n =a 3+(n -3)·1=n.(2)证明:由(1)知,a 1=1,所以S n =na 1+y (y -1)2×d =y (y +1)2,所以b n =1y y=2y (y +1)=2(1y -1y +1),则T n =b 1+b 2+…+b n =211-12+12-13+…+1y -1y +1 =2(1-1y +1)<2.11.解析 (1)由S n =2a n -2可得a 1=2. 因为S n =2a n -2,所以当n ≥2时,a n =S n -y y -1=2a n -2y y -1,即a n =2a n -1,所以数列{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,所以a n =2n(n ∈N *). (2)由(1)知a n =2n,所以b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n =1+2+3+…+n =y (y +1)2.所以(n -8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立等价于(y -8)(y +1)2≥k 对任意n ∈N *恒成立,等价于k ≤[(y -8)(y +1)2]min.设c n =12(n -8)(n +1),n ∈N *,则当n =3或n =4时,c n 取得最小值-10,所以k ≤-10.12.解析 (1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1000m 3的水混合后,黄河的含沙量为2×2000+20×10003000=8(kg/m 3),又从黄河流入1000m 3的水到洮河再混合后,洮河的含沙量为8×1000+20×10002000=14(kg/m3).(2)设在第n个观测点时黄河的含沙量为a n kg/m3,洮河的含沙量为b n kg/m3,由题意有a1=2,b1=20,且a n+1=1000y y+2000y y3000=2y y+y y3,b n+1=1000y y+1000y y+12000=y y+1+y y2=y y+2y y3,所以b n+1-a n+1=13(b n-a n),又b1-a1=18≠0,所以{b n-a n}是首项为18,公比为13的等比数列,∴b n-a n=18×(13)y-1.根据题意,有18×(13)y-1<0.01,即3n-1>1800,n∈N*,解得n>7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.。
等比数列及其求和专题训练卷(含解析)
等比数列及其求和专题训练卷一、单选题1．（2020·四川眉山 高一期末）在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-3．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz =（ ）A ．B ．-C ．±D4．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a = ，则371og a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 6．（2020·河南濮阳 高二期末（文））设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝（ ）A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+7．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ） A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里8．（2020·广西兴宁 南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D）A ．#FB ．GC ．#GD ．A9．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（ ） A ．153116B ．153216C ．153316D ．126210．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n ≥时，22222nn a a -=，设2log n n b a =，数列()()2111n n n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A ．20202021B ．20202021-C ．20192020-D ．20192020二、多选题11．（2020·海南海口 高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<12．（2019·江苏太仓 高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列数列中一定是等比数列的有（ ） A ．{}2naB ．{}1n n a a +C ．{}lg n aD ．n S ，2n n S S -，32n n S S -13．（2020·全国高三一模（文））设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值14．（2019·常州市第一中学高二期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 三、单空题15．（2020·全国高二月考（文））已知数列{}n a 是等比数列，若23a =，1427a a =，则6a =______. 16．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =_______.17．（2020·全国高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 四、双空题18．（2020·上海高二课时练习）若数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=，则5a =_____________；前8项的和8S =______________.（用数字作答）19．（2020·江苏高三其他）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝____________.20．（2019·浙江高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里．21．（2020·福建高三其他（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____. 五、解答题22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且354,16a a ==，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．23．（2019·浙江下城 杭州高级中学高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．24．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 25．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .26．（2020·定远县育才学校高一期末）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N ．27．（2020·四川眉山 高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N --+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S 和n T .（3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2020·四川眉山 高一期末）在等比数列{}n a 中，知4268a a a =，则35a a =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2【答案】B 【解析】在等比数列{}n a 中，知463248a a a a ==，所以42a =，35a a =244a =.故选：B.2．（2020·北京高二期中）已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-【答案】D 【解析】由于{}n a 是等比数列，所以()446211228a a q ⎛⎫=⋅=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：D3．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列，则xyz =（ ）A ．B ．-C ．±D【答案】B 【解析】∵数列-1，x ，y ，z ，-3成等比数列∴由等比数列性质知：23y xz ==，有y =若等比数列公比为q 则：20y q =-<，故y =∴xyz =-故选：B4．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a = ，则371og a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】因为等比数列{}n a 的各项都是正数，且31181a a =，所以2311781a a a ==，所以79a =所以3731192og a og == 故选：A5．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正，且32453a a a ，，成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A ．12B ．2C ．13D ．13或2- 【答案】C 【解析】32453,a a a ，成等差数列，234253a a a ∴=+，34214151,,a a a a q a a q q === 43111325a q q q a a ∴=+，即23520q q +-=，0q >，故13q =. 故选：C6．（2020·河南濮阳 高二期末（文））设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝（ ）A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【答案】C 【解析】 由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=． 故选：C7．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ） A ．6里 B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得6161[1()]2378112-==-a S ，解可得1192a =， 则211192962a a q =⨯=⨯=； 即此人第二天走的路程里数为96； 故选：D ．8．（2020·广西兴宁 南宁三中高一期末）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B 【解析】依题意可知()01,2,,12,13n a n >=.由于1213,,,a a a ⋅⋅⋅满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，则121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭，所以数列{}()1,2,,12,13n a n =为等比数列，设公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率之41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.即对应的半音为G .故选：B9．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则5S =（ ） A ．153116B ．153216C ．153316D ．1262【答案】B 【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列{}|3,xB y y x R ==∈，公比分别为2、12．首项都为1，所以55511[1()]1(12)152321121612S ⨯-⨯-=+=--．故选B ． 10．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当2n ≥时，22222nn a a -=，设2log n n b a =，数列()()2111n n n n b b ⎧⎫+⎪⎪-⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A ．20202021B ．20202021-C ．20192020-D ．20192020【答案】B 【解析】∵数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，∴当2n ≥时，222222nn n a a a -==，∴()22nn a n =≥，又∵{}n a 为等比数列，∴2nn a =，*n ∈N ，∴2log n n b a n ==，∴()()()()()212111111111nn n n n n n b b n n n n ++⎛⎫-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，∴2000111111111202011223201920202020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--+++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：B . 二、多选题11．（2020·海南海口 高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ） A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD 【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD12．（2019·江苏太仓 高二期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列数列中一定是等比数列的有（ ） A ．{}2naB ．{}1n n a a +C ．{}lg n aD ．n S ，2n n S S -，32n n S S -【答案】AB 【解析】由数列{}n a 为等比数列可知，1nn a q a -=，(0)q ≠， 对A ，2221n n a q a -=，故A 正确； 对B ，211110n n n n n n a a a q a a a ++--==≠，故B 正确；； 对C ，11n n n n a lga lga lg lgq a ---==，为等差数列，但是1nn lga lga -不一定为常数，即{}lg n a 不一定为等比数列，故C 错误；对D ，若(1)nn a =-为等比数列，公比1-，则n s 有可能为0，不一定成等比数列，故D 错误.故选：AB ．13．（2020·全国高三一模（文））设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．2019202110a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值【答案】AB 【解析】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；故选：AB14．（2019·常州市第一中学高二期中）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【解析】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误.当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 三、单空题15．（2020·全国高二月考（文））已知数列{}n a 是等比数列，若23a =，1427a a =，则6a =______. 【答案】243 【解析】由题意，14233273a a a a a ===，解得39a =.所以公比32933a q a ===，所以336393243a a q ==⨯=. 故答案为：243．16．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =_______.【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，1501a a q -≠∴≠由已知可得4411514(1)15(1),521a q a a a q S q--=-=-==--， 解得11,82q a =-=-，所以33411(8)()12a a q =⨯=-⨯-=. 故答案为：117．（2020·全国高三专题练习）已知等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ,11a =,639S S =,则3a 的值为_______. 【答案】4 【解析】()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+639S S = ()33319S q S ∴+= 解得,2q.所以2314a a q ==.故答案为:4.四、双空题18．（2020·上海高二课时练习）若数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=，则5a =_____________；前8项的和8S =______________.（用数字作答）【答案】16 255 【解析】由111,2n n a a a +==知{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知45116,a a q == ()()88181112255.112a q S q-⨯-===--19．（2020·江苏高三其他）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝____________. 【答案】121 【解析】等比数列{}n a 的公比设为q ，前n 项和为n S ，1633a a a =，可得52111()3a a q a q =，即313a q =，①4a 与5a 的等差中项为2，可得454a a +=，即34114a q a q +=，②由①②解得181a =，13q =， 则5515181(1)(1)31211113a q S q⨯--===--．故答案为：121．20．（2019·浙江高三月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为____里，后三天一共走_____里． 【答案】192 42 【解析】由题可知这六天中每天走的路程是公比为12的等比数列，设第一天走x 里，则6112378112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得192x =，即该人第一天走的路程是192里；后三天共走了34511119219219242222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（里）． 故答案为：192；42．21．（2020·福建高三其他（文））设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____. 【答案】12【解析】根据题意，设正项等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，因为132,14a S ==，可得2322214S q q =++=，解得2q或3q =-，因为0q >，所以2q ，所以112n n n a a q -==，则2n n n n nb a ==，故122121,222b b ===， 当2n ≥时，则由11112(1)112(1)212n n n n nb n n b n n --===+≤---， 则有1234b b b b =>>>，所以数列{}n b 中最大的项为12. 故答案为：12. 五、解答题22．（2020·北京高二期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且354,16a a ==，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）12n n a ；（Ⅱ）231nn S n =--.【解析】（Ⅰ）根据题意得：2314a a q ==，45116a a q ==， 两式相除得：24q =，由于0q >，故2q， 11a =，所以数列{}n a 的通项公式为：12n na .（Ⅱ）根据题意得：1323n n n b a -=-=-，根据分组求和的方法得：()()()()1233333n n S a a a a =-+-+-++-12123323112nn n a a a n n n -=+++-=-=---.23．（2019·浙江下城 杭州高级中学高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅. 【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 24．（2020·全国高三课时练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1λ=-．【解析】 （Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得1λ=-.25．（2020·四川省眉山车城中学高一期中）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）()*21n a n n N =+∈，()*3nn b n N =∈；（2）()12*33222n n S n n n N +=++-∈.【解析】（1）设d 为{}n a 公差，q 为{}n b 公比，由题意得24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+，∵0d ≠，∴2d =，∴()()*1121n a a n d n n N =+-=+∈，又241241333b a q b ⨯+====，∴()1*13n n n b b q n N -=⋅=∈；（2）由（1）得：213nn n a b n +=++， 所以123353213n n S n =+++++++()()123521333n n =++++++++()321333213n n n ++-⋅=+- ()12*33222n n n n N +=++-∈.所以n S ()12*33222n n n n N +=++-∈.26．（2020·定远县育才学校高一期末）已知数列{}n a 满足121n n a a +=-()n *∈N ，12a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S ()n *∈N ．【答案】（I ）121n n a -=+；（II ）(1)(1)212n n n n S n +=-++. 【解析】（Ⅰ）121n n a a +- ()*n N ∈可得()1121n n a a +-=- ()*n N ∈，又111a -=，所以数列{}1n a -为公比为2的等比数列，所以112n n a --=，即121n n a -=+ ()*n N ∈（Ⅱ）12n n na n n -=+， 设012122232n T =⨯+⨯+⨯ ()21122n n n n --++-⨯+⨯ 则1232122232n T =⨯+⨯+⨯ ()1122n n n n -++-⨯+⨯所以()1221122222n n n n T n --=--+++++⨯ ()221121n n n n n =⨯-+=-⨯+，所以()()11212n n n n S n +=-++ ()*n N ∈.27．（2020·四川眉山 高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*12102,n n a a n n N--+=≥∈，且11a =，数列{}n c 满足()*1(2)n c n N n n =∈+，其前n 项和为n T . （1）设1n n b a =+，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求n S 和n T . （3）不等式1log (1)3n a T a >-对任意的正整数恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）242-=--nn S n ；31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭；（3）10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由1210n n a a --+=得11122-=-n n a a ，变形为：()11112n n a a -+=+， ∵1n n b a =+，∴112n n b b -=且1112b a =+=， ∴数列{}n b 是以首项为2，公比为12的等比数列. （2）由1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，121111*********n n n T c c c c n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭∴31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭， 又1n n a b =- ∴2121242113n nn S n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=---.（3）由111111111021223213n n T T n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以{}n T 单调递增，n T 最小为13n T =， 所以11log (1)33a a -<，得：log (1)1log a a a a -<=， 所以011a a a<<⎧⎨->⎩ ，解得：10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.。
高中数学选择性必修二 4 3 等比数列(精讲)(含答案)
4.3 等比数列考点一 等比数列基本量计算【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列{}n a 中，126a a +=，33a =，则公比q 的值为（ ）A ．12-B ．12-或1 C ．－1D ．12-或－1 （2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．2（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列{}n a 的前n 项和131n n S a -=⋅+，则a =（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【答案】（1）B （2）C （3）C【解析】（1）由题意112163a a q a q +=⎧⎨=⎩，解得131a q =⎧⎨=⎩或11212a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选：B ．【答案】C（2）设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．（3）因为数列是等比数列故满足2213a a a ，111a S a ==+ ，232,6.a a a a ==代入2213a a a 得到 3.a =- 故答案选C ．【一隅三反】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是等比数列，a 1=2,a 4=14,则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】D【解析】∵{}n a 是等比数列，∴34111428a q a ===，∴12q =．故选：D ．2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足112n n a a +=，若48a =，则1a 等于 A ．1 B ．2C ．64D ．128【答案】C【解析】因为数列{}n a 满足112n n a a +=，所以该数列是以12为公比的等比数列，又48a =，所以188a =，即164a =；故选C.3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）AB．12CD【答案】B【解析】由题得2231211112,,102a a a a q a a q q q ⨯=+∴=+∴--=，所以q = 因为{}n a 是各项都是正数的等比数列，所以0q >，所以2q =.故选：B4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13213,,22a a a 成等差数列，则4567a a a a ++的值是（ ） A ． B ．16C ．D ．19【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则q >0， 由13213,,22a a a 成等差数列，可得31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 所以2230q q --=，解得3q =或1q =-（舍），所以34344511565623267111119a a a q a q q q q a a a q a q q q q q q ++++======++++.故选：D. 5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】A【解析】因为10103020102(21)0S S S -++=，所以()()103020201020S S S S ---=所以302010201012S S S S -=-，即102122301011122012a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以12q =故选：A 考点二 等比数列中项性质【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+（2）（2020·河南高二月考）在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】（1）B （2）B【解析】（1）由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=则()5313231031103log log log log 5log 910a a a a a +++===故选B.（2）由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，2224324a a a ===.故选：B.【一隅三反】1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A． B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A【解析】由题得3153156,8a a a a +=⎧⎨=⎩所以211798a a a ==，因为3153156080a a a a +=>⎧⎨=>⎩，所以315990,0,0,a a a a >>∴>∴=所以1179a a a==故答案为A 2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（ ）A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 3．（2020·宁夏二模（理））已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A B ．2 C 或2 D ．2【答案】A【解析】∵1，m ，9构成一个等比数列，∴m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1．故选A ． 考点三 等比数列的前n 项和性质【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ． 【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ） A ．48 B ．90C ．105D ．106【答案】C【解析】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C2．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期中）等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:1【答案】C【解析】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m-=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =.故选：C. 3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 20＝（ ） A ．80 B ．120C ．150D ．180【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，故可得510515102015,,,S S S S S S S ---依然成等比数列， 因为51010,30S S ==，故可得10520S S -=，故该数列的首项为10，公比为2，故可得()420101215012S-==-.故选：C .4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q qq++=++=++==.故选：D.考点四 等比数列的单调性【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）1123n na =+. 【解析】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭，因此，1123n n a =+. 【一隅三反】1．（2020·湖北高一期末）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ．2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列{}n a 中，10a >，则该数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．1q = B ．0q < C ．1q > D ．01q <<【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 单调递减，所以0q >，()11111110nn n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，因为10a >，所以()110n q q --<，又因为1n ≥，所以10,10n qq ->-<，所以01q <<，故选：D3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q << B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【解析】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.4．（2020·宁夏兴庆·银川一中期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论： ①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误； ③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选：B ．考点五 证明判断等比数列【例5】（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 等差中项.（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）13-=n n a【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-， 故113log 1n n a a +=-，所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列.（2）因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+，所以()1112329a a a +=+，解得11a =，数列{}n a 的通项公式为-13n n a =.【一隅三反】1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列0,0,0,...,0,...（ ）A ．既不是等差数列又不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．是等差数列但不是等比数列【答案】D【解析】数列0,0,0,...,0,...是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0,0,0,...,0,...是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0,0,0,...,0,...不是等比数列，故选D. 2．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD 【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}n a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．3．（2020·浙江金华·期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+．设n n a b n=． （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）详见解析；（2）12n n a n -=⋅． 【解析】（1）()121n n na n a +=+，n n a b n =，由条件可得121n n a a n n +=+，即12n n b b +=，又111b a ==， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）可得12n n b -=，12n n a n -=，所以12n n a n -=⋅．。
高考数学复习 第六篇 数列 第3讲 等比数列及其前n项和-人教版高三全册数学试题
某某省某某市博山区第六中学高考数学复习 第六篇 数列 第3讲等比数列及其前n 项和1．如果等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝42，那么a 5＝( )A ．2 B.2C ．±2 D．± 22．设数列{a n }，{b n }分别为等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论正确的是( )A ．a 2＞b 2B ．a 3＜b 3C ．a 5＞b 5D ．a 6＞b 63．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.12C.18D ．1 4．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．e5．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．166．a 1，a 2，a 3，a 4是各项不为零的等差数列且公差d ≠0，若将此数列删去某一项得到的数 列(按原来的顺序)是等比数列，则a 1d的值为( )A ．－4或1B ．1C ．4D ．4或－1 7.下列四个结论中，正确的个数是( )①等比数列{a n }的公比q >0且q ≠1，则{a n }是递增数列； ②等差数列不是递增数列就是递减数列；③{a n }是递增数列，{b n }是递减数列，则{a n －b n }是递增数列； ④{a n }是递增的等差数列，则{2a n }是递增的等比数列． A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5等于( )A ．27B ．27或－27C ．81D ．81或－819.已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1＝( )A ．1 B.2C ．2 D.2210.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．611.在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－412.已知数列{a n }是首项为1的等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n的前5项和为( )A.158或15B.3116或15C.3116 D.15813.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．44D ．44＋114.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3C.15D ．415.在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( ) A.23 B.32C.23或32D ．－23或－3216.在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－117.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3等于 ( )A ．1 2B ．23C ．3 4D ．1 318.已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．e19.若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其前10项和是( )A ．200B ．150C ．100D ．5020.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)21.数列{a n }中，n 12(n )2n 1(n .)n a -⎧=⎨⎩-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.22.数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________.23.{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________. 24.设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋) ②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列 ③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列． 其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)25.在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.26.各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2＋a 3＝271a 2＋1a 3，则通项公式a n ＝________.27.设项数为10的等比数列的中间两项与2x 2＋9x ＋6＝0的两根相等，则数列的各项相乘 的积为________．28.在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．29.已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．30.已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 31.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________．32.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.33.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ·已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n · 34.已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．35.已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }唯一，求a 的值．36.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 37.已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．38.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．39.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是 3S n －4与2－32S n －1的等差中项．(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n .40.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列，并求b n .41.已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4， 设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由．。
人人教A版数学高三等比数列精选试卷练习(含答案)3
45．已知等比数列{an} 满足 a1 2, a4a6 2a5 1，则 a9 ________．
46．设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn n N * ，若 a2 2 ， a3 4 ，则 a1 ______，
31．已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足 3Sn an 1 0 . (1)求an 的通项公式；
(2)设 bn
log16
an
，求数列
bn
1 bn
1
的前
n
项和
Tn
.
试卷第 4页，总 7页
32．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 3 ，若数列{Sn 1}是公比为 4 的等比数列.
25．已知正项等比数列 an 前 n 项和为 Sn ， a2 2 ，且 a5 是 4a1 和 2a3 的等差中项.
（1）求数列an 的通项公式.
试卷第 3页，总 7页
（2）设 bn an2 log2 an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn . 26．已知等比数列 an 各项均为正数，Sn 是数列an 的前 n 项和，且 a1 16, S3 28 . （1）求数列an 的通项公式； （2）设 bn log 1 an ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
n
项和，a1
1 ，an1
2Sn
，则数列{ 1 an
} 的前
20
项和为（
）
A．
3 2
2
1 319
B．
7 4
4
1 319
C．
3 2
2
1 318
D．
7 4
4
1 318
高考数学解答题(新高考)数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列{}n a ，满足1()(1)n n a a f n ++=----，则21(1)(2)n n a a f n +++=+----；1(1)(3)n n a a f n -+=-----2(2)(1):n n a a d +--=（其中d 为常数）；或11(1)(3):(2)n n a a d n +---=≥则称数列{}n a 为隔项等差数列，其中： ①1357,,,a a a a 构成以1a 为首项的等差数列，公差为d ； ②2468,,,a a a a 构成以2a 为首项的等差数列，公差为d ；2、隔项等比数列已知数列{}n a ，满足1()(1)n n a a f n +⋅=----，则21(1)(2)n n a a f n ++⋅=+----；1(1)(3)n n a a f n -⋅=-----2(2):(1)n n a q a +=（其中q 为常数）；或11(1):(2)(3)n n a q n a +-=≥则称数列{}n a 为隔项等比数列，其中： ①1357,,,a a a a 构成以1a 为首项的等比数列，公比为q ； ②2468,,,a a a a 构成以2a 为首项的等比数列，公比为q ；二、典型例题角度1：隔项等差数列例题1．（2022·四川眉山·三模（文））已知数列{}n a ，11a =，14n n a a n ++=，求{}n a 的通项公式；思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程：由，可推出，两式作差（）所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.核心秘籍对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等差数列.便于快速求解特别注意分奇偶时，判断是第几项【答案】(1)=21n a n -因为14n n a a n ++= 所以14(1)(2)n n a a n n -+=-≥， 两式相减得114n n a a +--=，所以{}n a 是隔项等差数列， 124a a +=且11a =， 所以11()=212n n a a d n -=+-(n 为奇数)， 22()=212n n a a d n -=+-(n 为偶数)， 所以=21n a n -.例题2．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112*n n n n N S a a +=∈⋅，11a =.求数列{}n a 的通项公式；思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程：由，可推出，及两式作差∵，∴.所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.【答案】()*n a n n N =∈由题意得，12n n n S a a +=⋅，则1122n n n S a a +++=⋅，两式相减得()1122n n n n a a a a +++=-， ∵10n a +>，∵22n n a a +-=.∵11a =，∵当()21N*n k k =-∈，()2112121n k a a k k n -==+-=-=， 又1122S a a =，∵22a =，∵当()2N*n k k =∈时，()22212n k a a k k n ==+-==. 综上，()N*n a n n =∈.角度2：隔项等比数列例题3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，19nn n a a +⋅=，N n *∈.求数列{}n a 的通项公式n a ；思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比数列解答过程：由，可推出，两式作商所以是隔项等比数列：①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为；下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：.【答案】(1)13,3,n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 解：由题意，当1n =时，129a a =，可得29a =，因为19n n n a a +⋅=，可得1129n n n a .a +++=，所以，29n na a +=， 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列.所以当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则1221211933k k n n k a a ----==⋅==， 当n 为偶数时，设()2N n k k *=∈，则12299933k k k nn k a a -==⋅===.因此，13,3,n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数. 三、题型归类练1．在数列{an }中，若()1121nn n a a n ++--＝，则数列{an }的前12项和等于_________. 【答案】78因为()1121nn n a a n ++-=-，所以211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，1211a a -=21.从第一个式子开始，相邻的两个式子作差得： 1357911a a a a a a +++===2.从第二个式子开始，相邻的两个式子相加得： 42681012a a a a a a +++=8,=24,=40,把以上的式子依次相加可得： 12121112S a a a a =++++()()()()()()135791124681012a a a a a a a a a a a a =+++++++++++22282440+=++++=78.核心秘籍对于本例中作为一个模型直接记忆，考试遇到判断为隔项等比数列.便于快速求解特别注意分奇偶时，判断是第几项故答案为：78.2．秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈，则该医院第5天入院治疗流感的人数有________人；则该医院30天内入院治疗流感的人数共有________人. 【答案】 1 25511a =，22a =，且()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈1n =时，31301a a a =⇒-=，2n =时，42424a a a =⇒-=，3n =时，53501a a a =⇒-=，观察可知{}n a 奇数项是1的常数列，偶数项是首项为2，公差为2的等差数列. 30(230)151152552S故答案为: 1 ；2553．（2022·广东·三模）已知数列{n a }的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-.计算2a 的值，求{n a }的通项公式；【答案】3，21n a n =-当1n =时，12141a a a =-，解得23a = 由题知141n n n a a S +=- ① 12141n n n a a S +++=- ②由②-①得()1214n n n n a a a a +++-=， 因为0n a >，所以24n n a a +-=所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列；当n 为奇数时，1114212n n a n +⎛⎫=+-⨯=- ⎪⎝⎭ 当n 为偶数时，314212n n a n ⎛⎫=+-⨯=- ⎪⎝⎭所以{}n a 的通项公式21n a n =-.4．（2022·新疆·一模（理））已知数列{}n a 满足2122a a ==，1294n n n a a -+=+⋅．求数列{}n a 的通项公式；【答案】()()113241N 55n n n a n +-*=⋅+-⋅∈；依题意，121,2a a ==，由1294n n n a a -+=+⋅得：1294n n n a a -+-=⋅，则当n 为奇数，3n ≥时，()()()131532n n n a a a a a a a a -=+-+-+-⋅⋅⋅+()32232144191441914n n ---⋅=+++⋅⋅⋅+=+⋅-132455n -=⋅+，11a =满足上式，当n 为偶数，4n ≥时，()()()242642n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-()32332444294442914n n ---⋅=+++⋅⋅⋅+=+⋅-132455n -=⋅-，22a =满足上式，即当n 为奇数时，132455n n a -=⋅+，当n 为偶数时，132455n n a -=⋅-，所以()()113241N 55n n n a n +-*=⋅+-⋅∈．5．（2022·福建泉州·模拟预测）记数列{n a }的前n 项和为n S .已知11a =，___________. 从①24n n a a +-=；②14n n a a n ++=；③11n n S na n n +=-+（）中选出一个能确定{n a }的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.求{n a }的通项公式： 【答案】(1)21n a n =- 选①：24n n a a +-=，只能说明数列{}n a 的奇数项和偶数项分别构成等差数列，已知11a =，数列的奇数项可以确定，但2a 未知，故数列的偶数项不确定，因此数列{}n a 不确定，题设的两个条件均无法求解， 选②：14n n a a n ++=，由14n n a a n ++=得： ()()12121n n a n a n +⎡⎤-+=---⎣⎦， 因为11a =，所以()1121110a a -⨯-=-= 故()210n a n --=，即21n a n =-； 选③：()11n n S na n n +=-+由()11n n S na n n +=-+得：2121a S -==，故23a = 当2n ≥时，()()111n n S n a n n -=---， 两式相减得：12n n a a +-=，又因为212a a -=满足12n n a a +-=， 综上：对所有的n *∈N ，均有12n n a a +-=， 所以{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列， 故21n a n =-6.若数列{}n a ，11a =，2111()2n n n a a ++=，求数列{}n a 的通项公式.答案当n 是奇数时：11211()4n n a +-=⋅，整理得11()2n n a -=；当n 是偶数时：1221()4nn a a -=⋅，整理得11()2n n a +=解：因为2111()2n n n a a ++=，所以23211()2n n n a a +++=，两式相除：214n n a a +=，所以{}n a 是隔项等比数列； 1357,,,a a a a 构成以1a 为首项的等比数列，公比为14； 2468,,,a a a a 构成以2a 为首项的等比数列，公比为14； 当n 是奇数时：11211()4n n a +-=⋅，整理得11()2n n a -=当n 是偶数时：1221()4nn a a -=⋅，整理得11()2n n a +=7．（2022·浙江省富阳中学高三阶段练习）数列{}n a 满足21112,2n n n a a a ++=⋅=，求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2n n a =依题意，数列{}n a 满足21112,2n n n a a a ++=⋅=，()21122n n n a a n --⋅=≥，两式相除并化简得()1142n n a n a +-=≥，312224a a a ⋅=⇒=， 所以{}{}212,n n a a -是公比为4的等比数列，其中{}21n a -的首项为2，{}2n a 的首项为4. 所以12112212242,442n n n n n n a a ----=⨯==⨯=，所以2n n a =.。
高三数学等比数列试题
高三数学等比数列试题1.已知数列{an }满足a1＝，且对任意的正整数m，n，都有am＋n＝a m·a n，若数列{a n}的前n项和为Sn ，则Sn等于()A．2－()n－1B．2－()nC．2－D．2－【答案】D【解析】令m＝1，得an＋1＝a1·a n，即＝a1＝，可知数列{a n}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，于是Sn＝＝2－．2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于 .【答案】6【解析】【考点】本题主要考查等比数列的概念、前n项和及其应用.3.一种产品的年产量第一年为件，第二年比第一年增长，第三年比第二年增长，且，如果年平均增长为，则有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，∴，，即，故得B．4.在等比数列{an }中，，公比|q|≠1，若am= a1·a2· a3· a4· a5,则m=（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】因为等比数列{an }中，，公比|q|≠1，若am= a1·a2· a3· a4· a5，则利用的本硕连读通项公式得到m=11，选C.5.设Sn 是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=_____．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【考点】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲乙丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比乙车更省油.【答案】D【解析】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.7.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设塔顶盏灯，则，解得．故选C．8.已知数列满足，其中为的前项和.（1）求及数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和为，求的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）时，时.【解析】（1）根据条件求，即得，根据和项与通项关系将条件转化为和项递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式可得数列的通项公式；（2）是一个等比数列，根据等比数列求和公式可得，根据奇偶项分类讨论的最大值和最小值.试题解析：（1）数列满足，则，即数列为以1为首项，以为公比的等比数列，所以，所以.（2）在数列中，，为的前项和，则，显然时，时.点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.9.设等比数列满足，，则__________．【答案】8【解析】等比数列满足，，解得，则,故填8.10.已知正项等比数列，第1项与第9项的等比中项为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正项等比数列，第1项与第9项的等比中项为，故得到故答案为C。
2020高三数学总复习等比数列及其前n项和强化训练试题 (23)
§5.3 等比数列及其前n项和1.(2018江西,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24B. 0C.12D.242.(2017台州一模,2,5分)已知正项等比数列{a n}中,若a1a3=2,a2a4=4,则a5=( )A.±4B.4C.±8D.83.(2017课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.844.(2017浙江名校(柯桥中学)交流卷三,3)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),S4=40,则a1=( )A. B.1 C.2 D.35.(2017金丽衢一联,3,5分)已知{a n}为等比数列,则“a1>a2>a3”是“{a n}为递减数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2018课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n7.(2018领航高考冲刺卷五,4,5分)已知等比数列{a n}的公比q<0,且a2=1,a n+2=a n+1+2a n,则数列{a n}的前2018项和S2018为( )A.-2018B.-1008C.0D.20188.(2017浙江测试卷,12)已知等比数列{a n}中,a2+a3=,a4+a5=6,则a8+a9= .9.(2017浙江温州第一次适应性测试,10)已知等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a= ,公比q= .10.(2017浙江杭州学军中学第五次月考,11)正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且210S30+S10=(210+1)S20,则数列{a n}的公比为.11.(2018超级中学原创预测卷四,11,4分)已知{a n}为等比数列,公比为q,若a2·a3=,且a4与的等差中项为,则q= ,a2018= .12.(2017浙江杭州九中期末)已知数列{x n}满足lgx n+1=1+lgx n(n∈N*),且x1+x2+…+x100=1,则lg(x101+x102+…+x200)= .13.(2018领航高考冲刺卷七,11,4分)已知等差数列{c n}的公差为d,首项c1=1.若{2c n+3}为等比数列,则d= ,c n= ,c2017= .14.(2018领航高考冲刺卷八文,13,4分)已知{a n}是公比为q的等比数列,|q|>1,令b n=a n+1(n ∈N*),若数列{b n}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q= .15.(2017衢州二模文,14,4分)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{a n},{f(a n)}仍是等比数列,则称f(x)为“等比函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=3x;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=log2|x|.其中是“等比函数”的为.16.(2017浙江五校联考,16)设a,b∈R,关于x的方程(x2-ax+1)(x2-bx+1)=0的四个实根构成以q为公比的等比数列,若q∈,则ab的取值范围是.17.已知数列{a n}中,a1=1,且a n+1+a n=2n+1(n∈N*),则数列{a n}的通项为a n= .18.(2017嘉兴测试二文,17,15分)已知数列{a n}是等比数列,且满足a2+a5=36,a3·a4=128.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}是递增数列,且b n=a n+log2a n(n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.19.(2017四川,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列的前n项和为T n,求T n.20.(2017浙江冲刺卷六,19)已知数列{a n}满足a1=,a n+1=(n∈N*),其前n项和为S n.(1)①求证:数列是等比数列;②求数列{a n}的通项公式;(2)求证:S n>-.1.(2017浙江六校联考,5)设数列{a n}和{b n}分别为等差数列与等比数列,且a1=b1=8,a4=b4=1,则以下结论正确的是( )A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b62.(2017浙江镇海中学期中,4)在各项均为正数的等比数列{a n}中,a3=-1,a5=+1,则+2a2a6+a3a7=( )A.4B.6C.8D.8-43.(2017浙江杭州第二次质检,4)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,且满足+=+,+=+,则a1a5= ( )A.24B.8C.8D.164.(2017浙江五校联考,9)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是( ) A. B.C. D.5.(2017稽阳联考,4,5分)正项数列{a n}满足:a1=1,a9=7,且a n+1=(n∈N*,n≥2),则a5=( )A.4B.3C.16D.96.(2018上海普陀调研测试,4,4分)已知数列{a n}的前n项和S n=2n-a(a∈R),则a8= .7.(2017浙江冲刺卷六,10)已知等比数列{a n}的首项a1=4,公比为q,前n项积为T n(n∈N*),若2a m-1a m+1-a m=0,T2m-1=,则m= ,q= .8.(2019安徽,12,5分)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .9.(2017浙江嘉兴一中一模,11)已知等差数列{a n}的公差d≠0,首项a1=4,且a1,a5,a13成等比数列,则数列{a n}的通项公式为a n= ,数列{}的前6项和为.10.(2017安徽,14,5分)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于.11.(2017浙江东阳中学期中)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=6,S4=30,则S6= .12.(2019广东,13,5分)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .13.(2017浙江模拟训练冲刺卷四,12)设等差数列{a n}的各项均为整数,其公差d>0,a3=4,若a1,a3,a k(k>3)构成等比数列{b n}的前三项,则k= ,b n= .14.(2017浙江丽水一模,15)已知正项等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,若对一切n ∈N*都有a n+1≥2S n,则q的取值范围是.15.(2017浙江宁波高考模拟考试,17)设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,已知S3=14,且a1+13,4a2,a3+9成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(n+2-λ)a n,且数列{b n}是单调递减数列,求实数λ的取值范围.16.(2018温州高三联考文,17,15分)已知数列{a n}的相邻两项a n,a n+1是关于x的方程x2-2n x+b n=0(n∈N*)的两实根,且a1=1.(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列是等比数列,并求数列{a n}的通项公式.17.(2018湖北,18,12分)已知等比数列{a n}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.1.A 由x,3x+3,6x+6成等比数列,知(3x+3)2=x·(6x+6),解得x=-3或x=-1(舍去).所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为-24,选A.2.B q2===2,a1a3==2,因为{a n}的各项均为正,所以a2=,q=,所以a5=a2q3=4.3.B 设{a n}的公比为q,由a1=3,a1+a3+a5=21得1+q2+q4=7,解得q2=2(负值舍去).∴a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.4.B ∵S4=40,∴公比q≠-1.由S2n=4(a1+a3+…+a2n-1),即a1+a2+…+a2n=4(a1+a3+…+a2n-1),得a2+a4+…+a2n=3(a1+a3+…+a2n-1)≠0,故q=3.由S4=4(a1+a3)=40a1=40,得a1=1.5.C 设等比数列{a n}的公比为q,则由a2-a3=(a1-a2)q>0,a1-a2>0,可得q>0.又a1-a2=a1(1-q)>0,则或所以a n+1-a n=a1q n-a1q n-1=a1q n-1(q-1)<0恒成立,即a n+1<a n,数列{a n}单调递减,所以充分性成立.若数列{a n}单调递减,则a1>a2>a3成立,所以必要性成立,即等比数列{a n}中,“a1>a2>a3”是“{a n}为递减数列”的充要条件,故选C.6.D 因为a1=1,公比q=,所以a n=,S n==31-=3-2=3-2a n,故选D.7.C 由a n+2=a n+1+2a n可得a3=a2+2a1,所以a2q=a2+,即q2-q-2=0,解得q=-1或q=2(舍去),从而可得a1=-1,则数列{a n}的前2018项和S2018==0,故选C.8.答案96解析设公比为q,由a 4+a5=(a2+a3)q2及已知,得q2=4,则a8+a9=(a4+a5)q4=96.9.答案1;3解析由题意知a 1=3-a,当n≥2时,S n-1=3n-1-a,所以a n=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).又因为{a n}为等比数列,所以q=3,3-a=2,所以a=1.10.答案解析当等比数列的公比q=1时,显然不满足条件,所以排除这一情况.当等比数列的公比q≠1时,210S30+S10=(210+1)S20⇒210·+=(210+1)·⇒210(1-q30)+(1-q10)=(210+1)(1-q20)⇒210q20(1-q10)=q10(1-q10),∵q>0,且q≠1,∴210q10=1,∴q=.11.答案2;22011解析根据题意可得解得a1=,q=2,所以a n=·2n-1=2n-5,故a2018=22011.12.答案100解析由lgx n+1=1+lgx n(n∈N*)得lgx n+1-lgx n=1,∴=10,∴数列{x n}是公比为10的等比数列,∴x n+100=x n·10100,∴x101+x102+…+x200=10100(x1+x2+x3+…+x100)=10100,∴lg(x101+x102+…+x200)=lg10100=100.13.答案0;1;1解析由题意得c 2=1+d,c3=1+2d.因为{2c n+3}为等比数列,所以(2c2+3)2=(2c1+3)(2c3+3),即(2d+5)2=5(4d+5),解得d=0,所以c n=1,c2017=1.14.答案-解析由b n=a n+1(n∈N*)得a n=b n-1(n∈N*),所以{a n}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,又|q|>1,所以q<-1.-24,36,-54,81构成等比数列,且q==-.15.答案②③解析由题意知=q,则=不一定是常数,①错误;=q3,②正确;==,③正确;=lo|a n+1|=lo|qa n|=1+lo|q|,不一定是常数,④错误.16.答案解析设关于x的方程(x2-ax+1)(x2-bx+1)=0的四个实根分别为x 1,x2,x3,x4,其中x1,x2是方程x2-ax+1=0的两根,x3,x4是方程x2-bx+1=0的两根.由根与系数的关系知x1+x2=a,x1x2=1,x3+x4=b,x3x4=1.因为x1x2=x3x4=1,所以不妨设x1,x2,x3,x4分别是等比数列的第一、四、二、三项,则x2=x1q3,由x1x2=1可知,=.ab=(x1+x2)(x3+x4)=(x1+x1q3)(x1q+x1q2)=(1+q3)(q+q2)==q+q2++.设q+=t,令ab=f(t)=t2+t-2,因为q∈,所以t∈,所以f(t)∈,即ab∈.17.答案+解析解法一:由a n+1+a n=2n+1,得a n+1=-a n+2n+1.设有常数λ,使得a n+1+λ·2n+1=-(a n+λ·2n),即有a n+1=-a n-3λ·2n,令-3λ·2n=2n+1,得λ=-.故有a n+1-=-,而a1-=-≠0,故是首项为-,公比为-1的等比数列,则a n-=-×(-1)n-1=×(-1)n,故a n=+.解法二:由a n+1+a n=2n+1,得=-×+1.设有常数λ,使得+λ=-λ,即有=-×-,令-=1,得λ=-.故有-=-,而-=-≠0,故是首项为-,公比为-的等比数列, 则-=-×=×,故a n=+.18.解析(1)因为{a n}是等比数列,所以a3·a4=a2·a5=128,又a2+a5=36,所以a2,a5是方程x2-36x+128=0,可解得或因此或所以a n=2n或a n=64×=27-n.(2)因为数列{a n}是递增数列,所以a n=2n,所以b n=a n+log2a n=2n+n,所以S n=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+.19.解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=.所以T n=++…+==1-.20.解析(1)①证明:设b n=,则有a n=,从而a n+1=,3-2a n=3-=,则有=,即有4b n+1b n-4b n-b n+1+1=4b n+1b n-2b n-2b n+1+1,得b n+1=2b n,又b1==2≠0,故数列是首项为2,公比为2的等比数列.(8分)②由①知b n=2n,从而有a n=.(10分)(2)证明:∵a k==-=-≥-·,k=1,2,…,n,∴S n=a1+a2+…+a n≥-(++…+)=->-.(15分)1.A 由题意可知,{a n}的公差为-,{b n}的公比为.通过计算可知,选A.2.C +2a2a6+a3a7=+2a3a5+=(a3+a5)2=8.3.C 由已知得=,=,从而a1a2=4,a3a4=16,所以q4=4,因为q>0,所以q=,所以=2,所以a1a5=q4=8,故选C.4.C 由题意知a n+1=f(n+1)=f(1)f(n)=a n,则S n==1-,所以S n∈.5.B ∵a n+1==-1,∴(a n+1+1)(a n-1+1)=(a n+1)2,即{a n+1}成等比数列,∴(a5+1)2=(a1+1)(a9+1)=16,∴a5=3,故选B.6.答案128解析a 1=S1=2-a,当n≥2时,S n-1=2n-1-a,所以a n=S n-S n-1=2n-1(n≥2),所以a8=27=128.7.答案4;解析∵{a n}为等比数列,2a m-1a m+1-a m=0,∴2-a m=0,又a m≠0,∴a m=.∵T2m-1==,∴=,得2m-1=7,∴m=4.从而由a4=4q3=,得q=.8.答案 1解析设{a n}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).∴[(a1+1)+2(d+1)]2=(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],∴(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),∴d=-1,∴a3+3=a1+1,∴公比q==1.9.答案n+3;1008解析a 1,a5,a13成等比数列,则=a1a13,即=a1(a1+12d).又a1=4,d≠0,所以d=1.所以a n=n+3.数列{}是首项为16,公比为2的等比数列,所以S6==1008.10.答案2n-1解析由已知得,a 1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,解得或而数列{a n}是递增的等比数列,∴a1<a4,∴a1=1,a4=8,从而q3==8,即q=2,则前n项和S n==2n-1.11.答案126解析∵{a n}是等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即6,24,S6-30成等比数列,∴242=6×(S6-30),∴S6=126.12.答案 5解析由等比数列的性质知a 1a5=a2a4==4⇒a3=2,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log2=5log22=5.13.答案7;2n解析由已知,得=a1a k,∵a3=4,∴a1=a3-2d=4-2d,a k=a3+(k-3)d=4+(k-3)d.∴16=(4-2d)[4+(k-3)d],整理,得d=2-.∵{a n}的各项均为整数,d>0,∴d∈N*,∴∈Z.又k>3,且k为正整数,d>0,∴k-3=4,即k=7,∴d=1.∴a n=n+1,∴b n=2n.14.答案[3,+∞)解析当q=1时,a n+1≥2S n显然不成立;当q≠1时,a n+1≥2S n对一切n∈N*恒成立,即q n≥2对一切n∈N*恒成立.此数列为正项等比数列,若0<q<1,则q n≥2⇒1>q n≥2(q n-1+…+1)>2,矛盾,舍去;若q>1,则q n≥2⇒q n(q-1)≥2(q n-1)⇒q n+1-3q n+2≥0对一切n∈N*恒成立.q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≥0,当q≥3时,一定成立.当1<q<3时,q n(q-3)+2随n的增大而减小,故当n足够大时,不等式一定不成立.综上,q≥3.15.解析(1)设a n=a1q n-1(a1>0,0<q<1)①.因为a1+13,4a2,a3+9成等差数列,所以8a2=a1+13+a3+9②,因为S3=14,所以a1+a2+a3=14③,由①②③,可得a2=4,q=.所以数列{a n}的通项公式为a n=4·=24-n.(7分)(2)b n=(n+2-λ)a n=(n+2-λ)·24-n,由b n>b n+1,得(n+2-λ)·24-n>(n+3-λ)·23-n,(13分)即λ<n+1,所以λ<(n+1)min=2,故λ<2.(15分)16.解析(1)∵a n,a n+1是关于x的方程x2-2n x+b n=0(n∈N*)的两实根,∴∵a1=1,∴a2=1,a3=3,a4=5.(2)证明:∵===-1,∴数列是首项为a1-×2=,公比为-1的等比数列.∴a n-×2n=×(-1)n-1,故a n=[2n-(-1)n].17.解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得解得或故a n=·3n-1,或a n=-5·(-1)n-1.(2)不存在.理由如下:若a n=·3n-1,则=·, 故是首项为,公比为的等比数列,从而==·<<1.若a n=-5·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故是首项为-,公比为-1的等比数列,从而=故<1.综上,对任何正整数m,总有<1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.。
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一、等比数列选择题1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．14．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2±B ．2C ．3±D ．35．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．816．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．167．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．38．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．410．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989B ．46656C ．216D ．3611．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202013．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D14．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9815．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若425S S =，则等比数列{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．1或2C ．-2或2D ．-2或1或216．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．617．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．618．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50B ．60C ．70D ．8019．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏20．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T二、多选题21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40022．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ）A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-126．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11627．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2828．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T29．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,20192020101a a -<-,下列结论正确的是（ ）A ．S 2019<S 2020B ．2019202010a a -<C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值30．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=31．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--32．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列B ．{}1n n a a +为等比数列C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）33．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；35．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98na n n=+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】()211142211111122211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩， 故选：C. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 4．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案. 【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 5．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 6．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =，∴2318a a q ==．故选：C . 7．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 8．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q，所以2424a q a ==. 故选：D. 10．B 【分析】第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，则数列{}n a 成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量． 【详解】设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为n a ，根据题意得数列{}n a 成等比数列，它的首项为6，公比6q = 所以{}n a 的通项公式：1666n n n a -=⨯=到第6天，所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有66646656a =只蜜蜂． 故选：B ． 11．B 【分析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++=求出2q，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 12．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.13．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 14．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 15．C 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的前n 项和公式运算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，4121422S a S a ==，不合题意； 当1q ≠时，()()41424222111115111a q S q q q S qa q q---===+=---，解得2q =±. 故选：C.16．C 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可得等比数列通项5111122nn n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n = 故选：C 17．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ==， 解得2q ，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 18．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 19．C根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-， 解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 20．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确； 因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.二、多选题【分析】由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】由题可知，第一次着地时，1100S =；第二次着地时，221002003S =+⨯；第三次着地时，232210020020033S ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；……第n 次着地后，21222100200200200333n n S -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则211222210020010040013333n n n S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为40070010033+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC 22．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 23．BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na 的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 24．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 25．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.26．ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为114，C 不正确；利用1n n y S S =-关于nS 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由13a =，21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯，解得12q =-，所以113()2n n a -=⋅-，13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭；所以A ，B 正确；3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，所以114p s qqq --=，所以6p s +=，则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3[,2)2n S ∈，又1n n y S S =-关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138(,]23nn S S -∈，当n 为偶数时，153[,)62n n S S -∈，所以83m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 27．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．AD 【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a q n N -=∈.29．AB 【分析】由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定20191a >,202001a <<，从可判断各选项．【详解】当0q <时，22019202020190a a a q =<，不成立；当1q ≥时，201920201,1a a >>，20192020101a a -<-不成立；故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 30．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 31．ABD 【分析】 由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD 【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 32．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111nn n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 33．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误； B. ()()244441++n k n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110k k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k k +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立 即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥解得45t ≤<，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.34．ABD【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列，若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确.故选：ABD .【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AD【分析】计算到12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】 98n a n n =+-，故12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =. 故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”； 67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.故选：AD .【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.。