试论拔河比赛中的力学原理

试论拔河比赛中的力学原理

拔河比赛是一种体育运动，也是一种常见的物理现象，但它的原理却并不那么简单，其中许多问题概念性很强，必须注意分析。现就拔河的力学原理讨论于下。

一、绳的力学

质量为m的一根绳，它的两端分别受到沿绳向外的拉力f1和f2，设f1＞f2，则绳上各处的张力如何？

为简化问题便于研究起见，可将绳均匀地分成质量相等的n段，且质量集中于各段的一点，如图1所示。

用整体法建立动力学方程

与第2段，第2与第3段，…直至第（n-1）与第n段之间的张分别是：

直至

上述结果表明，n为正整数，t1＞t2＞……＞tn-1，当绳向f1方向作加速运动时，绳上各处的张力不等，前端的张力大，愈往后绳上张力愈小。且绳的质量愈大、加速度愈大这个差别就愈明显。

当绳处于静止或匀速运动时，加速度a=0，则

绳上各点的张力均相等。

当a≠0，而绳的质量在运动物的整体中可略去不计时，m≈0，f1-f2=ma≈0。则亦有

f1=t1=……=tn-1=f2，此时绳上各点的张力亦相等。

故当加速度a很小、绳的质量亦很小时，绳上各点的张力均相等，即

f1=t1=……=tn-1=f2。

二、拔河比赛是连结体的力学

拔河比赛的两队人和一根绳可看作是三个物体组成的连结体。为便于研究，按通常情况设甲乙两队均由10人组成，总质量相等，m1=m2=m=700千克，绳的质量m=7千克（实际上中间那段质量还要小些）。

拔河比赛总是从静止开始的，故这个连结体不论向任何方向发生运动，总得在所受外力的合力不为零时才能发生。设m1受外力f1，m2受外力f2，且f1＞f2，连结体就具有向左的加速度a（如图2所示）。

用隔离法建立它们的动力学方程：

甲队： f1-t1=m1a ①

绳：t1-t2=ma ②

乙队： t2-f2=m2a ③

用整体法建立的动力学方程

f1-f2=（m1＋m2＋m）a ④

联立①②③④式解得

故t1-t2≈0。

当然，直接从②式的m<

这表明，在连接体中当绳的质量远小于被连结物的质量时，此绳两端受到的拉力大小可看作是相等的。连结体处于静止或匀速运动时固然如此；在加速运动中，对轻质绳两端的拉力大小亦然是相等的。此即是轻质绳上处处张力相等的原理。

三、拔河比赛胜负的力学原理

拔河比赛按规则有两种情况皆算获胜：一是将绳的中点标志拉过自己一方河界线即为获胜；另一是将对方成员拉过中点分界线亦为获胜。为便于研究，设甲、乙两队的总质量相等均为m，手与绳间的静摩擦系数均为μ1，脚与地面间的静摩擦系数均为μ2，绳的质量m<

获胜的几种情况：

（一）双脚前后分开者获胜

若两队人都直立着拔河，只要脚与地面间有足够大的静摩擦系数，设甲队双脚分开距离大，乙队双脚分开距离小，人的重心原来高度为h，其余条件均相同，如图3所示。

从平衡观点看，甲队有∑fx=f1-f1=0，∑fy=n1-g1=0

和力矩∑m1=f1hsinθ1-g1hcosθ1；

乙队亦有关系式∑fx=f2-f2=0∑fy=n2-g2=0

和力矩∑m2=f2hsinθ2-g2hcosθ2。

由于两队总质量相等，故g1=g2=mg。

由于轻质绳上张力处处相等，故f1=f2=t。

而θ1＜θ2，则f1hsinθ1＜f2hsinθ2，g1hcosθ1＞g2hcosθ2

若甲队刚处于平衡，∑m1=f1hsinθ1-g1hcosθ1=0时，则必然

∑m2=f2hsinθ2-g2hcosθ2＞0。

这表示此时乙队将在不平衡力矩的作用下向前方倾倒（以前脚底为轴发生转动）。若为了避免向前倾倒，则乙必须放松手中绳或向前移步，这就导致自己失败。这时虽然甲胜乙负，绳被拉向甲方运动，但绳上张力依然处处相等，甲、乙两队对绳的拉力大小时刻相等。

（二）双手紧握绳者获胜

只要脚底与地面间有足够大的静摩擦力，在其它同样条件下，谁紧握绳谁就可能获胜。设甲队握得较紧，则甲队手绳间的最大静摩擦力fm1=q1μ1，乙队手绳间的最大静摩擦力fm2=q2μ1，fm1＞fm2。拔河时，双方都用力将绳拉向自己一方，这就使绳上张力迅速增大，当张力达到乙队手绳间最大静摩擦力时t=fm2，绳在甲队拉力作用下就开始从乙队手中滑出。这时甲队手中依然是静摩擦力，而乙队手中变为滑动摩擦力了。甲队将绳的中点标志拉过自己一方的河界线而取胜，乙队虽败而人员并未越出界线。也就在此时，甲乙两队对轻质绳的拉力依然是大小相等，仅不过是静摩擦和滑动摩擦之分而已，绳是向着甲方运动着的。

（三）适当后仰者获胜

（1）若甲队人员都稍作后仰，乙队人员直立，在其它同样条件下，甲队应获胜。

设甲队后仰时与竖直方向的偏角是θ（如图4所示），处于平衡状态时有关系式：

∑fx=f1-f1=0…①，

∑fy=n1-g1=0 ②

和力矩∑m1=f1hcosθ1-g1hsinθ1=0 ③。

从③式得f1=g1tgθ1，这表示甲队后仰偏角θ愈大，则为了保持平衡，手对绳的拉力必须

越大，绳拉人的力亦越大才行，即f1∝tgθ1。从②式又可知，主动力f1愈大，则被动力（亦称反力）f1亦相应地增大而处于平衡。但拉力f1总不应超过脚与地面间的最大静摩擦力。

再看乙队亦有关系式：

∑fx=f2-f2=0 ①，

∑fy=n2-g2=0 ②

和力矩∑m2=f2h-g2△1=0③。

由于跨步距的一半δl很小，故f2不需太大就能使乙处于转动平衡。可以说f2就是使乙不发生转动的最小拉力，f2也就是使乙发生转动时拉力的临界值。

甲队后仰偏角θ不断增大，只要在脚底最大静摩擦力的范围内，手对绳的拉力可达到很大。一旦拉力f1达到使乙发生转动的临界值f2时，乙队开始向前倾倒（以前脚底为轴），乙队为不致倾倒只得放松手中绳或是向前移步而导致失败，甲队依然处于瞬时平衡获胜。就是在这时，绳被拉向甲方运动，甲、乙对轻质绳的拉力大小依然相等，而不是什么“绳向拉力大的方向运动”。