试论拔河比赛中的力学原理

试论拔河比赛中的力学原理拔河比赛是一种体育运动，也是一种常见的物理现象，但它的原理却并不那么简单，其中许多问题概念性很强，必须注意分析。

现就拔河的力学原理讨论于下。

一、绳的力学质量为m的一根绳，它的两端分别受到沿绳向外的拉力f1和f2，设f1＞f2，则绳上各处的张力如何？为简化问题便于研究起见，可将绳均匀地分成质量相等的n段，且质量集中于各段的一点，如图1所示。

用整体法建立动力学方程与第2段，第2与第3段，…直至第（n-1）与第n段之间的张分别是：直至上述结果表明，n为正整数，t1＞t2＞……＞tn-1，当绳向f1方向作加速运动时，绳上各处的张力不等，前端的张力大，愈往后绳上张力愈小。

且绳的质量愈大、加速度愈大这个差别就愈明显。

当绳处于静止或匀速运动时，加速度a=0，则绳上各点的张力均相等。

当a≠0，而绳的质量在运动物的整体中可略去不计时，m≈0，f1-f2=ma≈0。

则亦有f1=t1=……=tn-1=f2，此时绳上各点的张力亦相等。

故当加速度a很小、绳的质量亦很小时，绳上各点的张力均相等，即f1=t1=……=tn-1=f2。

二、拔河比赛是连结体的力学拔河比赛的两队人和一根绳可看作是三个物体组成的连结体。

为便于研究，按通常情况设甲乙两队均由10人组成，总质量相等，m1=m2=m=700千克，绳的质量m=7千克（实际上中间那段质量还要小些）。

拔河比赛总是从静止开始的，故这个连结体不论向任何方向发生运动，总得在所受外力的合力不为零时才能发生。

设m1受外力f1，m2受外力f2，且f1＞f2，连结体就具有向左的加速度a（如图2所示）。

用隔离法建立它们的动力学方程：甲队： f1-t1=m1a ①绳：t1-t2=ma ②乙队： t2-f2=m2a ③用整体法建立的动力学方程f1-f2=（m1＋m2＋m）a ④联立①②③④式解得故t1-t2≈0。

当然，直接从②式的m<<m和a≈0，同样可得到t1≈t2的结果。

这表明，在连接体中当绳的质量远小于被连结物的质量时，此绳两端受到的拉力大小可看作是相等的。

连结体处于静止或匀速运动时固然如此；在加速运动中，对轻质绳两端的拉力大小亦然是相等的。

此即是轻质绳上处处张力相等的原理。

三、拔河比赛胜负的力学原理拔河比赛按规则有两种情况皆算获胜：一是将绳的中点标志拉过自己一方河界线即为获胜；另一是将对方成员拉过中点分界线亦为获胜。

为便于研究，设甲、乙两队的总质量相等均为m，手与绳间的静摩擦系数均为μ1，脚与地面间的静摩擦系数均为μ2，绳的质量m<<m（可忽略不计）。

获胜的几种情况：（一）双脚前后分开者获胜若两队人都直立着拔河，只要脚与地面间有足够大的静摩擦系数，设甲队双脚分开距离大，乙队双脚分开距离小，人的重心原来高度为h，其余条件均相同，如图3所示。

从平衡观点看，甲队有∑fx=f1-f1=0，∑fy=n1-g1=0和力矩∑m1=f1hsinθ1-g1hcosθ1；乙队亦有关系式∑fx=f2-f2=0∑fy=n2-g2=0和力矩∑m2=f2hsinθ2-g2hcosθ2。

由于两队总质量相等，故g1=g2=mg。

由于轻质绳上张力处处相等，故f1=f2=t。

而θ1＜θ2，则f1hsinθ1＜f2hsinθ2，g1hcosθ1＞g2hcosθ2若甲队刚处于平衡，∑m1=f1hsinθ1-g1hcosθ1=0时，则必然∑m2=f2hsinθ2-g2hcosθ2＞0。

这表示此时乙队将在不平衡力矩的作用下向前方倾倒（以前脚底为轴发生转动）。

若为了避免向前倾倒，则乙必须放松手中绳或向前移步，这就导致自己失败。

这时虽然甲胜乙负，绳被拉向甲方运动，但绳上张力依然处处相等，甲、乙两队对绳的拉力大小时刻相等。

（二）双手紧握绳者获胜只要脚底与地面间有足够大的静摩擦力，在其它同样条件下，谁紧握绳谁就可能获胜。

设甲队握得较紧，则甲队手绳间的最大静摩擦力fm1=q1μ1，乙队手绳间的最大静摩擦力fm2=q2μ1，fm1＞fm2。

拔河时，双方都用力将绳拉向自己一方，这就使绳上张力迅速增大，当张力达到乙队手绳间最大静摩擦力时t=fm2，绳在甲队拉力作用下就开始从乙队手中滑出。

这时甲队手中依然是静摩擦力，而乙队手中变为滑动摩擦力了。

甲队将绳的中点标志拉过自己一方的河界线而取胜，乙队虽败而人员并未越出界线。

也就在此时，甲乙两队对轻质绳的拉力依然是大小相等，仅不过是静摩擦和滑动摩擦之分而已，绳是向着甲方运动着的。

（三）适当后仰者获胜（1）若甲队人员都稍作后仰，乙队人员直立，在其它同样条件下，甲队应获胜。

设甲队后仰时与竖直方向的偏角是θ（如图4所示），处于平衡状态时有关系式：∑fx=f1-f1=0…①，∑fy=n1-g1=0 ②和力矩∑m1=f1hcosθ1-g1hsinθ1=0 ③。

从③式得f1=g1tgθ1，这表示甲队后仰偏角θ愈大，则为了保持平衡，手对绳的拉力必须越大，绳拉人的力亦越大才行，即f1∝tgθ1。

从②式又可知，主动力f1愈大，则被动力（亦称反力）f1亦相应地增大而处于平衡。

但拉力f1总不应超过脚与地面间的最大静摩擦力。

再看乙队亦有关系式：∑fx=f2-f2=0 ①，∑fy=n2-g2=0 ②和力矩∑m2=f2h-g2△1=0③。

由于跨步距的一半δl很小，故f2不需太大就能使乙处于转动平衡。

可以说f2就是使乙不发生转动的最小拉力，f2也就是使乙发生转动时拉力的临界值。

甲队后仰偏角θ不断增大，只要在脚底最大静摩擦力的范围内，手对绳的拉力可达到很大。

一旦拉力f1达到使乙发生转动的临界值f2时，乙队开始向前倾倒（以前脚底为轴），乙队为不致倾倒只得放松手中绳或是向前移步而导致失败，甲队依然处于瞬时平衡获胜。

就是在这时，绳被拉向甲方运动，甲、乙对轻质绳的拉力大小依然相等，而不是什么“绳向拉力大的方向运动”。

（2）如果甲乙两队人员都后仰，为了获胜，是否这个后仰偏角越大越好？我们知道，为了获胜必须保持自身的起码的平衡。

如图4的甲在平衡时，拉力f1（持续力）与偏角有关系f1=mgtgθ1。

f1随θ1而增大，但只能是f1≤fm，即平衡时的拉力总是小于（最多等于）脚底的最大静摩擦力。

而fm=μ2mg是个定值。

当f1=fm=mgtgφ=μ2mg时，tgφ=μ2，这时的偏角φ叫摩擦角。

只要偏角θ≤φ，脚底就不会在地面上滑动，这称为自锁。

若后仰时的偏角大于摩擦角，f1=mgtgθ1＞fm，平衡遭破坏，虽然脚底就会打滑而失败。

所以拔河时不可后仰得太多就是这个道理。

根据tgφ＝μ2可知，由于μ2＜1，则必然tgφ＜1，摩擦角φ必定小于45°。

故拔河时的后仰偏角应小于45°才好。

假如橡皮鞋底与地面的摩擦系数是0.7，则tgφ＝0.7，摩擦角φ＝35°。

故穿这种鞋在该地面上拔河时的后仰偏角就不应超过35°，这样才有利于取胜。

又由于拔河时的拉力为持续力，拉力的最大值等于脚底的最大静摩擦力f≤fm，用以上数据为例，两队可以产生的最大拉力f＝μ2mg=490kg，这也就是绳上的最大张力。

为获胜需后仰，在同样条件下，只要在摩擦角范围内，谁偏角大，拉力f就大，脚底的静摩擦力就大，谁就能获胜。

假如甲队偏角大，乙队偏角小，θ1＞θ2，θ1≤φ。

则当甲达到平衡时有关系式：∑fx＝f1-f1=0，∑fy=n1-g1=0和∑m1=f1hcosθ1-g1hsinθ1=0，其中f1=g1tgθ1。

而此时乙队的拉力f2＝f1，又g2＝g1，随着手上拉力增大，脚底的静摩擦力亦增大，且增大到相等f2=f1。

并且最大静摩擦力总是相等的fm2＝fm1＝μ2mg。

由于力矩f2hcosθ2＞g2hsinθ2，故乙的合力矩∑m2=f2hcosθ2-g2hsinθ2=jα，（j为转动惯量，α为角加速度）乙将以脚底为轴向前发生转动而倾倒。

乙为了不倾倒，又要继续保持偏角θ2不变，就必须移步向前或放松手中绳，如此下去就遭致失败，甲队因此获胜。

就在此时，双方对绳的拉力依然是大小相等，绳向甲方运动。

四、实际比赛胜负因素的分析实际拔河比赛中决定胜负的因素是多方面的。

（一）理想情况谁的绳不滑（μ1大）、手的握力大（q大）以及鞋底与地面的摩擦系数大（μ2大）、总质量大（mg大），谁就可能获胜。

在上述同等条件下，谁使用的方法科学，只要在摩擦角范围内，尽量后仰（增大偏角），就能将对方拉向前方倾倒失败而自己获胜。

照此分析可知，若两队具备同等条件，采用相同后仰偏角，在同样的水平场地上进行拔河比赛，是否就不分胜负呢？确实如此，只要条件和方法相同，决不会凭谁的主观的所谓“力”大而取胜。

假如有一方凭借自己的肌肉紧张突然使用暴发力拉对方，其结果必然是双方都向前冲去均告失败，而决无胜负之分。

事实上决没有完全相同的两个事物，两队总会有些差异的，即使开始时差不多，但时间稍长就会有明显差别，从而产生出胜负。

故常见拔河比赛开始时双方僵持不下的局面，而后来总会分出胜负结果，就是这个道理。

（二）真实情况设想一个人脚抵地面上固定木桩，他能发挥足够大的拉力（克服对方最大静摩擦力），则他完全可以通过绳将站在水平地面上的一队人都拉过来。

同样，站在地面上的一个小孩，通过绳可以将穿冰鞋站在冰面上的一队人都拉过来。

或者是小孩手握粗糙绳端而将涂抹油的另一绳端从一队人手中拉出来。

所有这些都不是什么凭主观的“力”大就行的问题，而是由客观的物理规律来决定的。

真实情况是当两队实力相当时，谁在水平地面上踩出小坑，谁就可能获胜，这才是实际比赛取胜的关键。

这时的受力状况发生了重大变化（如图5所示）。

只要一方蹬地面有足够大的力，则地面的压力n就会很大，且方向不再是竖直向上。

压力n与重力g的合力就产生对绳的拉力，f′=n＋g＝gtgβ。

（β为人与重垂线的夹角）。

由于是凹坑，这里的拉力不受最大静摩擦力的限制，故β可以超过45°。

譬如当β=60°时，拉力f′=gtg60°=1.7g；β=75°，f=3.7g；……。

只要小坑不破裂坍塌，则可以对绳产生非常大的拉力。

轻质绳上张力处处相等，只要站在水平地面上的另一方手亦握紧，则就受到如此大的拉力，而脚底的最大静摩擦力总小于g，f′＞fm，另一方被拉滑动向前方而失败。

这才是拔河比赛胜负的真正原因和物理本质。

从物理学家看来，双方均在真正水平的场地上进行拔河比赛是毫无意义的，因其胜负与人的“力气”大小关系不大，主要取决于各队总重量和适当后仰偏角而巳。

真正力量的角逐，倒是应该在不平坦的场地上进行才能充分体现出来！综上所析可知：（1）拔河比赛中的绳质量远小于人体总质量，故应略去不计。

则无论静止、匀速运动或加速运动（加速度又很小），绳上张力处处相等。

亦即不论那一队胜负，绳向那一方运动，两队对绳的拉力大小总是相等的。