平行四边形的性质和判定 专题复习
平行四边形的性质及判定复习课教案
平行四边形的性质及判定复习课教案平行四边形的性质及判定复习课教案「篇一」一教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二重点、难点1．重点：平行四边形的判定方法及应用．2．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如，求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的'一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行线判定与性质专题复习：关于平行四边形问题的探究
平行线判定与性质专题复习：关于平行四
边形问题的探究
概述
本文档旨在对平行线判定与性质进行专题复，侧重于探究平行四边形问题。
平行四边形是一种特殊的四边形，具有重要的性质和特征。
在本文档中，我们将回顾如何识别和判定平行四边形，并研究其性质和特殊情况。
平行线的判定
判断两条直线是否平行的常用方法有以下几种：
1. 在平面几何中，如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
2. 如果两条直线的倾斜角度相等或互补，则它们是平行线。
3. 如果两条直线分别与第三条直线相交，在交点处形成相等的内角，则这两条直线是平行线。
平行四边形的性质
平行四边形有许多特殊的性质，其中包括以下内容：
1. 对角线：平行四边形的对角线相交于一点，并且这个点将对角线分成相等的两部分。
2. 对边性质：平行四边形的对边相等。
3. 内角性质：平行四边形的内角对应相等，且相邻内角互补。
4. 外角性质：平行四边形的外角对应相等，且相邻外角互补。
特殊情况
在特殊情况下，平行四边形退化为其他形状：
1. 矩形：四个内角均为直角的平行四边形称为矩形。
2. 正方形：四条边相等且内角为直角的矩形称为正方形。
总结
本文档回顾了平行线判定的几种方法，并介绍了平行四边形的性质和特殊情况。
对于解决平行四边形问题，我们可以利用这些知识来判断和推导出相关结论。
深入理解平行线和平行四边形的概念将有助于我们在几何学中更好地应用和解决问题。
专题04 平行四边形的性质和判定(解析版)
专题04 平行四边形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，如果给出条件AB ∥CD ，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）①如果再加上条件BC ＝AD ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；②如果再加上条件∠BAD ＝∠BCD ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；③如果再加上条件AO ＝CO ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；④如果再加上条件∠DBA ＝∠CAB ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．A ．①④B ．①③④C ．②③D ．②③④【答案】C【分析】根据已知，结合平行四边形的判定，逐一判断即可．【解析】解：①也可能是等腰梯形．②可得AD ∥BC ，故正确．③可判定△ABO ≌△CDO ，就有AB ＝CD ，故可判定为平行四边形，正确．④也可能是等腰梯形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．2．如图，在ABCD 中，3AB =，4=AD ，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF 的面积是（ ）A ．63B ．3C ．3D ．623+【答案】C【分析】 根据平行四边形的性质得到AB =CD =3，AD =BC =4，求出BE 、BF 、EF ，根据相似得出CH =1，EH 3，根据三角形的面积公式求△DFH 的面积，即可求出答案．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC =4，AB ∥CD ，AB =CD =3，∵E 为BC 中点，∴BE =CE =2，∵∠B =60°，EF ⊥AB ，∴∠FEB =30°，∴BF =1，由勾股定理得：EF 3∵AB ∥CD ，∴∠B =∠ECH ，在△BFE 和△CHE 中，B ECH BE CE BEF CEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BFE ≌△CHE （ASA ），∴EF =EH 3，CH =BF =1，∴DH=4，∵S △DHF =12DH •FH =43∴S △DEF =12S △DHF =23， 故选：C ．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．3．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C 21D 221 【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO 是直角三角形，所以平行四边形ABCD 的面积即可求出．【解析】解：∵AC ＝2，BD ＝4，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝12AC ＝1，BO ＝12BD ＝2， ∵AB 3∴AB 2+AO 2＝BO 2，∴∠BAC ＝90°，∵在Rt △BAC 中，BC ()2222327AB AC +=+=S △BAC ＝12×AB ×AC ＝12×BC ×AE ， 3×27AE ，∴AE＝2217，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．4．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）A．2B．2C．2D．522【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到CE=AE=4，用勾股定理逆定理证明∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，最后求出AC的长．【解析】解：连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝5∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AC2＝2故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行求解．5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB【答案】C【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论．【解析】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，∴AB=CD，当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，∴选项A正确；当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，∴选项B正确；当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，∴选项C不正确；当∠AED=∠CFB时，由AAS判定∠AED=∠CFB，∴选项D正确；故选：C．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝18，CD ＝6，则△ABO 的周长是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．22【答案】B【分析】 直接利用平行四边形的性质得出AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO 的长，进而得出答案．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，∵AC+BD=18，∴AO+BO=9，∴△ABO 的周长是：AO+BO+ AB =15．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO 的值是解题关键．7．如图，在ABCD 中，点,E F 分别在边BC AD ，上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①//AE CF ；②AE CF =；③BE DF =；④BAE DCF ∠=∠．那么不能使四边形AECF 是平行四边形的条件相应序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使四边形AECF是平行四边形的条件．【解析】解：①∵四边形ABCD平行四边形，∴AD//BC，∴AF//EC，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；②∵AE=CF不能得出四边形AECF是平行四边形，∴条件②符合题意；③∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．④∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠BAE=∠DCF，∴∠AEB=∠CFD．∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD．∴∠CFD=∠EAD．∴AE∥CF．∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．8．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】A【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝100°，即可求出∠DAE的度数．【解析】∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD＝CD，∴AD＝DE，∵∠DAE＝∠DEA，∵∠BAD＝60°，∠F＝100°，∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝100°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．9．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－33），则D点的坐标是( )A．(4,0) B．(92,0) C．(5,0) D．(112,0)【答案】C【解析】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3，∴C的坐标为（7，3，∴CH3CE3∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D 点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用． 10．如图，P 为□ABCD 对角线BD 上一点，△ABP 的面积为S 1，△CBP 的面积为S 2，则S 1和S 2的关系为 （ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断【答案】B【解析】 分析：根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.解析：∵在□ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h.∴S 1= S △ABP =12BP h ,S 2= S △CPB =1 2BP h . ∴S 1=S 2,故选B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质. 11．如图，ABCD 中，点E 在边BC 上，以AE 为折痕，将ABE △向上翻折，点B 正好落在CD 上的点F 处，若FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，则FD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】由题意易得AB=AF ，FE=BE ，然后根据三角形的周长及线段的等量关系进行求解即可．【解析】解：由题意得：AB=AF ，FE=BE ，四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，AB=DC=AF ，FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，∴FE+EC+FC=7，AD+AF+DF=21，∴BC+FC=7，AF=DC=DF+FC ，∴7-FC+DF+FC+DF=21∴DF=7．故选C ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行四边形的性质，熟练掌握平息四边形及折叠的性质是解题的关键． 12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，点G 是AC 的中点，若10BC =，7AB =，则EG 的长为（ ）．A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3.5【答案】A【分析】 根据BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，得到AEB FEB △≌△，从而得AE EF =,AB FB =；结合题意，计算得FC 的值；再根据点G 是AC 的中点，通过EG 是ABC 的中位线的性质，即可完成解题．【解析】∵BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E∴90AEB FEB ∠=∠=，ABE FBE ∠=∠∵BE BE =∴AEB FEB △≌△∴AE EF =，AB FB =∵10BC =，7AB =∴3FC BC FB BC AB =-=-=∵点G 是AC 的中点∴EG 是ABC 的中位线 ∴1 1.52EG FC == 故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．已知ABCD □的周长为56，自顶点A 作AE DC ⊥于点E ，AF BC ⊥于点F ，若6AE =，8AF =，则CE CF -=_________________．【答案】4+4-【分析】先画出符合条件的两种情况的图形，再分别求解．【解析】解：∵平行四边形ABCD 的周长为56，∴BC+CD=28，∴BC=28-CD ，∵AE ⊥DC ，AF ⊥BC ，∴BC·AF=DC·AE ，∴8（28-DC ）=6DC ，解得：DC=16，∴BC=12，∴AD=BC=12，AB=DC=16，在△ABF 中，BF==在△AED 中，=如图，CE=CD-DE=16-CF=BC-BF=12-∴CE-CF=4+23；如图，CE=CD+DE=16+63，CF=BC+BF=12+83，∴CE-CF=4-23，故答案为：4+23或4-23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，面积法，关键是正确画出图形，题目比较好，但是有一定的难度． 14．如图，▱ABCD 的面积为32，E ，F 分别为AB 、AD 的中点，则CEF △的面积为_____．【答案】12【分析】将三角形CEF △的面积分割为平行四边形ABCD 的面积减去AEF 、DEC 和BEC △的面积，利用面积比与底（高）比来解决．【解析】解：连接AC 、DE 、BD ，如图：∵E 为AB 中点，∴11=824BCE ABC ABCD S S S ==△△平行四边形，同理可得：=8CDF S △，∵F 为AD 中点， ∴111==4248AEF AED ABD ABCD S S S S ==△△△平行四边形， ∴=3288412CEF BCE CDF AEF ABCD S S S S S ---=---=△△△△平行四边形；故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．【答案】37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B 的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B 即可．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE ⊥AB ，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是解决问题的关键．16．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．【答案】26︒【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE ，得出∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，继而得到∠ACB=2∠BAC ，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC 求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， ∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE ，∴BC=AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，∵∠BEC=∠EAB ＋∠EBA=2∠EAB ，∴∠ACB=2∠BAC ，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．17．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．【答案】2【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=12AB＝1，∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为__________．【答案】15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，∴∠AFB=∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠FBC ，则∠ABF=∠AFB ，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．在ABCD 中，E 、F 在BD 上，且BE DF =，点G 、H 分别在AD 、BC 上，且AG CH =，GH 与BD 交于点O ，（1）求证：EG HF =．（2）求证：//EG HF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明△DOG ≌△BOH ，得到GO=HO ，DO=BO ，从而说明四边形EGFH 是平行四边形，可得结论；（2）根据（1）中结论可直接说明．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵AG=CH ，∴DG=BH ，又∠DOG=∠BOH ，∴△DOG ≌△BOH （AAS ），∴GO=HO ，DO=BO ，∵BE=DF ，∴EO=FO ，∴四边形EGFH 是平行四边形，∴EG=HF ；（2）∵四边形EGFH 是平行四边形，∴EG ∥HF ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．（2）当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ=PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴9-CP=5+CP，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．21．如图，将ABCD的AD边延长至点E，使得12DE AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若3AB =，4=AD ，60A ︒∠=，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（27【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，进而利用已知得出DE ＝FC ，DE ∥FC ，进而得出答案；（2）首先过点D 作DN ⊥BC 于点N ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF 的长，进而得出答案．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴//DE FC ．∵F 是BC 的中点， ∴1122FC BC AD ==， ∵12DE AD =， ∴FC DE =，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）过点D 作DN ⊥BC 于点N ，如图：则∠DNC=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=60°，∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠BCD=∠A=60°，∠CDN=30°，∵F 是BC 边的中点，∴FC=12BC=2，NC=12DC=32，22CD CN -332∴FN=FC-NC=12， ∴DF=EC=22DN FN +=7．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 22．如图，已知ABC 是等边三角形，点D 在BC 边上，ADF 是以AD 为边的等边三角形，过点F 作BC 的平行线交线段AC 于点E ，连接BF ，求证：（1）AFB ADC ≅；（2）四边形BCEF 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得,,60AF AD AB AC FAD BAC ==∠=∠=︒，再根据角的和差可得FAB DAC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得60ABF C ∠=∠=︒，从而可得ABF BAC ∠=∠，再根据平行线的判定可得//BF AC ，然后根据平行四边形的判定即可得证．【解析】（1）∵ABC 和ADF 都是等边三角形，∴,,60AF AD AB AC FAD BAC C ==∠=∠=∠=︒，FAD BAD BAC BAD ∴∠-∠=∠-∠，即FAB DAC ∠=∠，在AFB △和ADC 中，AF AD FAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFB ADC SAS ≅；（2）∵AFB ADC ≅，∴60ABF C ∠=∠=︒，又∵60BAC ∠=︒，∴ABF BAC ∠=∠，∴//BF AC ，又∵//BC EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．23．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长；（2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．【答案】（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP ＝AD ＝5，CP ＝BC ＝5，进而得出AB 的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB ＝QB ，再根据BP 平分∠ABQ ，即可得出BP ⊥AQ ，AP ＝QP ，依据勾股定理得出AP 的长，进而得到△ABQ 的周长．【解析】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt△ABP中，22AB BP=8，∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC BC =．（1）如图1，过B 作BE AC ⊥于E ，若8AC =，5BE =，求OE 的长；（2）如图2，若45BDC ∠=︒，过点C 作CF CD ⊥交BD 于点F ，过点B 作BG BC ⊥且BG BC =，连接AG ．求证：2AG OF =．【答案】（139-4；（2）见解析．【分析】（1）由勾股定理可求CE 的长，由平行四边形的性质可得CO 的长，即可求OE 的长；（2）延长CF 交AB 于点H ，由“SAS”可证△ABG ≌△FCB ，可得AG=BF ，由等腰三角形的性质可得AB=CD=2BH ，再证明三角形BFH 为等腰直角三角形，从而得出BF=2BH ①；在Rt △CDF 中，得出222BH ，继而得出2BH ②，结合①②可得出结论． 【解析】（1）解：∵BC=AC=8，BE=5，BE AC ⊥，∴22642539BC BE -=-=∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=4，∴39；（2）证明：如图，延长CF 交AB 于点H ，∵CF⊥CD，∠BDC=45°，∴∠BDC=∠DFC=45°，∴∠FBC+∠FCB=45°，CF=CD，∵BC⊥BG，∠ABD=∠BDC=45°，∴∠GBA+∠FBC=45°，∴∠ABG=∠BCF，且AB=CD=CF，BC=BG，∴△ABG≌△FCB（SAS），∴AG=BF．∵∠ABG+∠ABC=90°，∴∠BCF+∠ABC=90°，∴CH⊥AB，又AC=BC，∴BH=AH，∴AB=CD=2BH．∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDB=45°，∴∠HBF=∠BFH=45°，∴BH=FH，∴2BH①．在Rt△CDF中，CD=CF，∴222BH，∴222BH，∴BO=12BD=322BH，∴OF=BO-BF=22BH②，∴由①②得，BF=2OF，∴AG=2OF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及平行线的性质等知识点，正确作出辅助线，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．。
平行四边形的性质及判定(复习课)教案
平行四边形的性质及判定（复习课）教案
教学目的：
1、深入了解平行四边形的不稳定性;
2、理解两条平行线间的距离定义(区别于两点间的距离、点到直线的距离)
3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3和四个平行四边形判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算;
4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验特殊--一般--特殊的辨证唯物主义观点。
教学重点：平行四边形的性质和判定。
教学难点：性质、判定定理的运用。
教学程序：
一、复习创情导入
平行四边形的性质：
边：对边平行(定义);对边相等(定理2);对角线互相平分(定理3)夹在平行线间的平行线段相等。
角：对角相等(定理1);邻角互补。
平行四边形的判定：
边：两组对边平行(定义);两组对边相等(定理2);对角线互相平分(定理3);一组对边平行且相等(定理4);两组对角分别相等(定理1)
二、授新
1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四边形有哪些方法：
2、自学质疑：自学课本P79-82页，并提出疑难问题。
3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
平行四边形的性质和判定复习
Ｂ
Ｄ
Ｅ
Ｃ
练习
如图, 如图,在 ABCD中，Ｅ，Ｆ是 D,BC上的点 ABCD中，Ｅ，Ｆ是ＡD,BC上的点, 上的点, 且AE=CF.AF,BE交于点G,DF,CE交于点H.图中除 AE=CF.AF,BE交于点G,DF,CE交于点H.图中除 交于点G,DF,CE交于点H. ABCD外 还有几个平行四边形? ABCD外,还有几个平行四边形?
2 5 (A) 11
(C) 15 4 7
36 (B) 13
(D) 17 B 5 8
5
2 O2 5
F
C
再展雄姿
7. 如图： 平行四边形 如图： 平行四边形ABCD中, 中 AC、BD相交于点 相交于点O, AB=8, 、 相交于点 则以下列两条线段长为对角线的长, 则以下列两条线段长为对角线的长 AC=12, BD=20.则△AOB的周长为 24 则 的周长为 能组成平行四边形的是( 能组成平行四边形的是 D ) , △AOB的面积为 24 的面积为 A A. 4, 12 B. 6, 8 3 4 2 6 ABCD的面积为 96 . 8 的面积为 46 O 13 10 C. 8, 26 D. 12, 20 B C
A
D
初露锋芒
5.如图 在△ABC中, AB = AC = 8, 如图: 如图 中 于点E, 点D 在BC上, DE∥AC交AB于点 上 ∥ 交 于点 DF∥AB交AC于F, ∥ 交 于 A . 则DE＋DF = 8 ＋
E B
1
F C D
再展雄姿
6. 如图 在 ABCD中, 对角线 、BD 如图:在 中 对角线AC、 交于点O, EF过O交AD于E，交BC于F， 交于点 过 交 于 ， 于 ， AB=5， BC=6， OE=2， 则四边形 ， ， ， 则图中共有( B 对全等三角形 对全等三角形. 则图中共有 C )对全等三角形 EFCD的周长是 ( C ) 的周长是 E A D
专题 平行四边形性质与判定五种考法
专题09平行四边形性质与判定常见的五种考法【考法一平行四边形判定填条件】例题：（2022·黑龙江·克东县第三中学一模）如图，点E、F在ABCD的对角线AC上，连接BE、DE、DF、BF，请添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即可）【变式训练】1．（2022·全国·八年级课前预习）ABCD中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．2．（2022·人大附中北京经济技术开发区学校八年级期中）在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只要填写一种情况）3．（2021·全国·八年级课时练习）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB//CD，（2）AB=CD，（3）BC//AD，（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有_______种4．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是．5．（2021·全国·八年级课时练习）如图，点E、F是ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是（只需要填一个正确的即可）．【考点二平行四边形性质与判定综合考】例题：（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，等边ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到点F，使12CF BC=，连接DE，CD，EF．(1)求证：四边形DCFE是平行四边形．(2)若6AB=，求四边形DCFE的周长．【变式训练】1．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E是CD 的中点，若AB＝6，OE＝5．(1)求BC的长；(2)求平行四边形ABCD的面积2．（2022·山东烟台·一模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)连结BD交AC于点O，若BD=12，AE=EF-CF，求EG的长．3．（2022·新疆昌吉·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．(1)证明：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．4．（2022·山东济南·八年级期末）点E 是▱ABCD 的边CD 上的一点，连接EA 并延长，使EA ＝AM ，连接EB 并延长，使EB ＝BN ，连接MN ，F 为MN 的中点，连接CF ，DM ．(1)求证：四边形DMFC 是平行四边形；(2)连接EF ，交AB 于点O ，若OF ＝2，求EF 的长．5．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期末）已知：△ABC ，AD 为BC 边上的中线，点M 为AD 上一动点（不与点A 重合），过点M 作ME ∥AB ，过点C 作CE ∥AD ，连接AE ．(1)如图1，当点M 与点D 重合时，求证：①△ABM ≌△EMC ；②四边形ABME 是平行四边形(2)如图2，当点M 不与点D 重合时，试判断四边形ABME 还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)如图3，延长BM 交AC 于点N ，若点M 为AD 的中点，求MN AE的值．【考点三平行四边形动点问题】例题：（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE AB于点E，连接PQ交AB于点D．（1）若设AP=x，则PC=，QC=；(用含x的式子表示)（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．【变式训练】1．（2021·浙江·衢州市菁才中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动_________秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．2．（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）如图1，在梯形ABCD 中，90A B ∠=∠=，AD BC ∥，12,21,AB AD ==，16BC =，一动点P 从点A 出发，在线段AD 上以每秒2个单位长度的速度向点D 运动，动点Q 同时从点B 出发在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 运动到点D 时，点Q 随之停止运动，设运动时间为t （秒），(1)当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；(2)当t 为何值时，PQC △是以PQ 为腰的等腰三角形3．（2021·福建·三明一中九年级开学考试）如图，点B 是∠MAN 的边AM 上的定点，点C 是边AN 上的动点，将△ABC 绕点逆时针旋转得到△，且点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，连结CE ．当BC =AC 时，（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形；（2）若AB ＝15，AD ＝18，求AC 的长．4．（2021·四川·达州市通川区第八中学八年级阶段练习）已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．5．（2021·山东青岛·八年级期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB 于D．（1）设AP的长为x，则PC＝，QC＝；（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，则EP，QF有怎样的关系？说明理由；（4）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长【考点四平行四边形动点最值问题】例题：（2022·广东·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AD ＝8，AB ＝4，点H 、G 分别是边DC 、BC 上的动点，其中点H 不与点C 重合．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ，则EF 的最大值与最小值的差为_____________．【变式训练】1．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 纸片中，∠BAD =45°，AB =10．将纸片折叠，使得点A 的对应点A ＇落在BC 边上，折痕EF 交AB 、AD 、AA ＇分别于点E 、F 、G ．继续折叠纸片，使得点C 的对应点C ＇落在A ＇F 上．连接GC ＇，则GC ＇的最小值为（）A ．52B ．2C ．54D 2．（2021·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在AC 边上，以AB 为对角线的平行四边形ADBN 中，M 是对角线的交点，DN 的最小值是__________．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的ADCE中，则DE的最小值是______．【考点五平行四边形中无刻度作图】例题：（2021·湖北恩施·九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出∠DAE（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）在图1，图2中，点E是ABCD边AD上的中点，请仅用无刻度直尺按要求画图，（保留作图痕迹）（1）在图1中，以BC为边作三角形，使其面积等于ABCD的面积；（2）在图2中，以BE，ED为邻边作四边形，使其面积等于ABCD面积的一半．2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）(1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；(2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN．3．（2021·江西赣州·八年级期末）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，在BC上找一点F，使AE＝CF．（2）如图2，若AB＝AE，作∠D的平分线DG．4．（2020·江西南昌·八年级期中）如图1，2，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）在图1中，在四边形外部画一个与三角形ABE全等的三角形．（2）在图2中，在四边形内部画一个与三角形ABE全等的三角形．5．（2020·江西南昌·八年级期中）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；（2）在图2中，画出△ABC的高CH．6．（2021·江西·九年级）请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，点P是▱ABCD边AD上的中点，过点P画一条线段PM，使PM＝12 AB；（2）在图2中，点A、D分别是▱BCEF边FB和EC上的中点，且点P是边EC上的动点，画出△PAB的一条中位线．11。
平行四边形性质与判定综合
平行四边形的性质与判定一、平行四边形性质1.对边平行且相等2.对角相等，邻角互补。
3.对角线互相平分应用：（一）角的应用1.在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B＝，∠C＝，∠D＝.2.在中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝，∠C＝，∠D＝．3. 如图，在平行四边形ABCD中，∠-∠=︒A B70，求平行四边形各角的度数。
A D（二）边及对角线的应用1.一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范围为____________．2.平行四边形ABCD的周长32，5AB＝3BC，则对角线AC的取值范围为（）A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜163．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（）A.12和2B．3和4C．14和16D．4和84中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，则边AB ＝____________，BC＝____________．5如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC 的周长长8cm，求这个四边形各边长．6如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？7如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少？（三）平行四边形面积公式1、底*高2、2倍大三角形面积3、4倍的三角形的面积。
1.在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝____________．2.如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是4.平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．5.平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________． 6．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是__________．**拓展应用 三角形及梯形的面积（四）角平分线遇平行线等腰三角形必出现1. 平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长各是____________．2. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5cm ， BC ＝3cm ， ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F ，E ， 求AE ， EF ， BF 的长?FE DBAC二、平行四边形的判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形习题专练1.用边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。
专题23 平行四边形-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(原卷版)
专题23 平行四边形【考查题型】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形的性质：1)对边平行且相等；2)对角相等、邻角互补；3)对角线互相平分；4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行四边形的判定定理：1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的面积公式：面积=底×高平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；2）两条平行线间的任何平行线段都相等；3）等底等高的平行四边形面积相等。
考查题型一添加一个条件成为平行四边形典例1．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（）A．B．C．D．变式1-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为___________ （写一个即可）．变式1-2．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在四边形中，连接，．请你添加一个条件______________，使．（填一种情况即可）变式1-3．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．考查题型二平行四边形的证明典例2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形．变式2-1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．(1)求证：∠ACB＝∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．变式2-2．（2022·北京·统考中考真题）如图，在中，交于点，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形．变式2-3．（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．变式2-4．（2022·江西·统考中考真题）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）(1)求证：四边形为平行四边形；(2)求雕塑的高（即点G到的距离）．（参考数据：）变式2-5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，且．（1）探究四边形的形状，并说明理由；（2）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．变式2-6．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．考查题型三利用平行线的性质求解典例3．（2022·广东·统考中考真题）如图，在中，一定正确的是（）A．B．C．D．变式3-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（）A．96B．C．192D．变式3-2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（）A．4B．3C．D．2变式3-3．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（）A．B．C．D．变式3-4．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（）A．B．C．D．变式3-5．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．D．变式3-6．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图,在中，，是上的点,∥交于点，∥交于点，那么四边形的周长是（）A．5B．10C．15D．20变式3-7．（2021·天津·统考中考真题）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（）A．B．C．D．变式3-8．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线与轴只有一个公共点A（1，0），与轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（）A．1B．2C．3D．4变式3-9．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设，那么（）A．B．C．D．变式3-10．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则________．变式3-11．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．变式3-12．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．变式3-13．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______．变式3-14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB 的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为_______．考查题型四利用平行线的性质证明典例4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．(1)求证：BE＝DF；(2)求证：ABE≌CDF．变式4-1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在中，E，G，H，F分别是上的点，且．求证：．变式4-2．（2022·湖南永州·统考中考真题）如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点．(1)请用尺规作的角平分线，交于点（要求保留作图痕迹，不写作法，在确认答案后，请用黑色笔将作图痕迹再填涂一次）；(2)根据图形猜想四边形为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形是平行四边形，∴∵______（两直线平行，内错角相等）又∵平分，平分，∴，∴∴______（______）（填推理的依据）又∵四边形是平行四边形∴∴四边形为平行四边形（______）（填推理的依据）．变式4-3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在平行四边形中，点O是的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．变式4-4．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．考查题型五利用平行线的性质与判定求解典例5．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形周长不变B．C．四边形面积不变D．变式5-1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1变式5-2．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（）A．5.5B．5C．4D．3变式5-3．（2021·江西·中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．变式5-4．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC 上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．变式5-5．（2021·山西·统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．知识点二 三角形中位线三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。
第03讲 平行四边形的性质和判定(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
平行四边形的性质与判定复习作业
18.1.2 平行四边形的性质与判定复习作业一、选择题1.已知一个平行四边形两邻边的长分别为4和7，那么它的周长为()A．11 B．18 C．22 D．282.在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是( )A．1∶2∶2∶1 B．1∶2∶3∶4 C．2∶1∶1∶2 D．2∶1∶2∶13.如图，▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝8，AB＝6，BD＝m，那么m的取值范围是()A．2＜m＜10 B．2＜m＜14 C．6＜m＜8 D．4＜m＜20第3题第4题第5题第6题4.如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是()A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD二、填空题5.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为____________．6.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为___．7.一个四边形的四条边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形一定是______________，依据是________________________________________．三、解答题8.如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F.求证：△ADF≌△CEF.9.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．求证：BE＝DF.10.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.11.如图，▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，连接AC ，DF.求证：四边形ACDF 是平行四边形．12.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE ＝CF ，BE 和AF 的交点为M ，CE 和DF 的交点为N ，求证：MN ∥AD ，MN ＝12AD.13.如图，▱ABCD 中，E ，G ，F ，H 分别是四条边上的点，且AE ＝CF ，BG ＝DH.求证：EF 与GH 互相平分．14.如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧作等边△ABP ，等边△ACQ ，等边△BCR ，那么四边形AQRP 是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．15.如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD•于E ，EF ∥BC 交AC 于F ，那么AE 与CF 相等吗？请验证你的结论．。
北师大版八年级数学下册 平行四边形的性质与判定 专题(附答案)
北师大版八年级数学下册平行四边形的性质与判定专题(附答案)综合滚动练：平行四边形的性质与判定一、选择题（每小题4分，共32分）1.在平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝120°，则∠A 的度数是（）。
A。
100° B。
120° C。
80° D。
60°2.如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）。
A。
AB∥CD B。
AB＝CD C。
AC＝BD D。
OA＝OC3.在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）。
A。
4∶3∶3∶4 B。
7∶5∶5∶7 C。
4∶3∶2∶1 D。
7∶5∶7∶54.平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(m，n)，B(2，－1)，C(－m，－n)，则点D的坐标是（）。
A。
(－2，1) B。
(－2，－1) C。
(－1，－2) D。
(－1，2)5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）。
A。
BE＝DF B。
BF＝DE C。
AE＝CF D。
∠1＝∠26.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E。
若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）。
A。
8 B。
10 C。
12 D。
147.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝80°，AE平分∠BAD交BC于E，CF∥AE交AD于F，则∠BCF等于（）。
A。
40° B。
50° C。
60° D。
80°8.（2017·龙东中考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是（）。
A。
22 B。
20 C。
22或20 D。
18二、填空题（每小题4分，共24分）9.已知AB∥CD，添加一个条件使得四边形ABCD为平行四边形。
平行四边形性质与判定(题型较全)
初二数学平行四边形1．下列条件中，能判别四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB=BC=CDB ．∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°C ．AB=BC ，CD=DAD ．∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°2．若A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线相等B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C ．平行四边形的对角线交点到一组对边的距离相等D ．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合4．下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB=AD ，BC=CDC ．AB ∥CD ，AB=CD D ．∠A=∠C ，∠B=∠D5．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别它是平行四边形还需满足（ ）A ．∠A+∠C=180°B ．∠B+∠D=180°C ．∠A+∠B=180°D ．∠A+∠D=180°6．如图，四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG=3cm ，DG=4cm ，□ABED 的面积是，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．49cmB ．43cmC ．41cmD ．46cm第6题图 第7题图7．如图，点E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 的中点，DE 、BF 交于AC 于M 、N ，则（ ）A ．AM=MEB ．AM=BEC ．AM=CND ．AM ⊥MD8、在平行四边形ABCD 中，=∠︒=∠-∠C ，B A 则609．□ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=6cm ，AB=3cm ，则△ABO 的周长是________。
中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案
中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。
专题 平行四边形的性质和判定(原卷版)
八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）A．B．C．D．【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．【变式1-2】如图，在▱ABCD 中，O 为对角线AC 与BD 的交点，AC ⊥AB ，E 为AD 的中点，并且OF ⊥BC ，∠D ＝53°，则∠FOE 的度数是（ ）A ．143°B ．127°C ．53°D ．37°【变式1-3】如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是（1，3），点A 的坐标是（5，0），则点B 的坐标是（ ）A ．（5，3）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（8，1）【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD 中P 是CD 边上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，若AD ＝5，AP ＝8，则△APB 的周长是（ ）A ．18B ．24C ．23D ．14【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，若∠AED ＝80°，则∠ACE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【变式1-6】▱ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，若AC ＝8，BD ＝6，则边AB 长的取值范围是（ ）A ．3≤AB ≤4B ．2＜AB ＜14C ．1＜AB ＜7D ．1≤AB ≤7【变式1-7】在平行四边形ABCD 中，∠A 的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD 的周长为（ ）A ．13或14B ．26或28C ．13D ．无法确定【变式1-8】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，连接EC ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求▱ABCD 的周长．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝EF＝FC．（1）求证：DE∥BF；（2）若BE⊥BC，DE＝6，求对角线AC的长．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=AD＝ADEB的周长．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【例题3】如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ）A ．CE ＝AFB ．BE ＝DFC ．∠DAF ＝∠BCED ．AF ∥CE【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．∠A ＝∠B ，∠C ＝∠DB ．AB ＝AD ，BC ＝CD C ．AB ＝CD ，AD ＝BC D ．AB ∥CD ，AD ＝BC【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（ ）A．1组B．2组C．3组D．4组【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（ ）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A．∠B＝∠F B．DE＝EF C．AC＝CF D．AD＝CF【变式3-6】如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件 ．（用题目中的已知字母表示）【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF ＝30°．【变式4-1】如图，点B 、C 、E 、F 在同一直线上，BE ＝CF ，AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F ，AC ＝DF ．求证：（1）△ABC ≌△DEF ； （2）四边形ABED 是平行四边形．【变式4-2】如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上中点，AE 是∠BAC 的平分线，CE ⊥AE ，EF ∥BC 交AB 于点F ，求证：四边形BDEF是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【例题5】如图，在▱ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（ ）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【变式5-1】如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，连接AF、CE、DE、BF、EF，AF 与DE交于点G，CE与BF交于点H，则图中共有平行四边形（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【变式5-2】如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点D是线段BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交线段AB，AC于点F，G，连接BE和CF．则下列结论中：①BE＝CD；②∠BDE＝∠CAD；③四边形BCGE是平行四＝23，其中正确的有（ ）边形；④当CD＝2时，S△AEFA．4个B．3个C．2个D．1个【变式5-3】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC 的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．【变式5-4】（2022春•重庆月考）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．【变式5-5】（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．【变式5-6】（2021春•南昌期中）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线交AD，BC于P，Q两点，交BA，DC的延长线于M，N两点．（1）求证：AP＝CQ；（2）连接DM，BN，求证：四边形BNDM是平行四边形．【变式5-7】（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE ⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．【变式5-8】（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．。
中考数学复习专题之平行四形的性质与判定,考点过关与基础练习题
24.平行四边形➢考点分类考点1平行四边形的性质例1如图所示，在ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证：AB=CF(2)连接DE，若AD=2AB，求证：DE⟂AF.考点2平行四边形的判定例2如图所示，DE是ABC的中位线，延长DE至F，使EF=DE，连接BF.(1)求证：BF=DC(2)求证：四边形ABFD是平行四边形.考点3平行四边形综合探究例3如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于F．（1）当∠ABC＝90°时，G是EF的中点，联结DB，DG（如图2），请直接写出∠BDG 的度数（2）当∠ABC＝120°时，FG∥CE，且FG＝CE，分别联结DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．➢真题演练1．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．20B．21C．22D．232．在平行四边形ABCD中，已知∠A+∠C＝200°，则∠A＝（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO 并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①S▱ABCD＝AB•AC；②AD＝4OE；③EF⊥AC；④S△BOE=14S△ABC．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝4，AC ＝5，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．105．如图，在▱ABCD 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝105°，点E 在AD 上，∠EBA ＝60°，则ED AE的值是（ ）A ．23B ．√3C ．√32D ．√336．如图，⟂ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分⟂BAD ，交BC 于点E ，且⟂ADC ＝60°，AD ＝2AB ，连接OE ，下列结论：⟂⟂CAD ＝30°；⟂OD ＝AB ；⟂S 平行四边形ABCD ＝AC •CD ；⟂S 四边形OECD =32S ⟂AOD ：⟂OE =14AD ．其中成立的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①OE ＝OF ；②AB ＝BF ；③∠DOC ＝∠OCD ；④∠CFE ＝∠DEF ，其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AO＝2，BC＝5，则AE的长为．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，∠BAD的平分线AE交BC于E点，则EC的长为．10．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝3BG，S▱BEPG ＝1.5，则S▱AEPH＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC，垂足为H，与AF交于点G，若AC=24，GF=6√5，则EG的长为．12.在平行四边形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．（1）如图①，当点P为线段CD的中点时，求证：P A＝PE；（2）如图②，当点P在线段CD上时，求证：DE﹣DA=√2DP．13．已知：如图，▱ABCD 中，F 是AB 中点，连接DF ，DF 延长线交CB 的延长线于点E ，连接AE ． 求证：（1）△AFD ≌△BFE ；（2）若BF ＝BC ，∠EDC ＝60°，判断四边形AEBD 的形状，并证明你的结论．➢ 课后练习1．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC ，BD 于点E 、P ．连接OE ，∠ADC ＝60°，AB =12BC ＝1，则下列结论： ①∠CAD ＝30°；②BD ＝2√3；③S 平行四边形ABCD ＝AB •AC ； ④AD ＝4OE ．其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，若AE ＝4，DE ＝3，AB ＝5，则AC 的长为（ ）A ．3√2B ．4√2C ．5√2D ．5√223．如图，已知在▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列结论正确的有（）个．①F A：FB＝1：2；②BE：CF＝1：2；③AE：BC＝1：2；④S△ABE：S△FBC＝1：4．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（）A．2√2B．6√2C．5√5D．4√55．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E 不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中正确个数是（）①∠DCF=12∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEFA．4B．3C．2D．16．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且CE＝BC，AE＝DE，AE＝4，∠DAE ＝60°，则下列结论：①∠AEB＝90°；②平行四边形ABCD周长是24；③∠ABE＝∠EBC＝30°；④BE2＝48；⑤E为CD中点．正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于G，交AD延长线于F，若BC＝6，DF＝4，EF＝2AE，则△ABE的面积为．8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF＝60°，BE＝1，平行四边形ABCD面积为6√3．则AF＝．9．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（填序号）．10．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为．11.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(√3，0)，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．12．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD 于点F，连接AF，CE．（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度数；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．➢冲击A+如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D做DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若BE＝1，BF＝2，求AD的长．。
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(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 A
D
∵AO=CO，BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形
O
B
C
5、平行四边形的面积
平行四边形 平行四边形的面积＝底 ×高 的面积
两条平行线 在两条平行线中一条直线上任意
间距离
一点到另一条直线上的距离叫做 两条平行线间的距离
推论
夹在两条平行线间的平行线段 ___相_等____
6、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的 角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4， 求平行四边形ABCD的面积。
丰 收园
通过这节课的复习， 你又增加了哪些收获？ 能与大家一起分享吗？
拓展延伸
7.如图，Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，
D
C
O
A
B
☆平行四边形的判定：
边： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线: 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形
5、（2015 桂林）如图，在▱ABCD中，E、F分别 是AB、CD的中点． （1）求证：四边形EBFD为平行四边形； （2）对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证： △ABN≌△CDM．
∵四边形ABCD为平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD.
3、平行四边形的对称性
平行四边形是轴对称图形吗？ 不是
A
D
O
B
C
平行四边形是中心对称图形吗？ 是，对称中心是对角线的交点。
4、平行四边形的判定
A
D
(1)定义法：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 B
C
∵AB∥DC，AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB ＝DC ∴四边形ABCD是平行四边形 或 ∵AD∥BC，AD ＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ∵AB=DC，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ∵∠A=∠C ,∠B=∠D ∴四边形ABCD是平行四边形
已知点A（0，2），点B（3，0），则以点O,A,B
为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的
坐标为 。 _________________
y
3
(-3,2)
2A
1
OO
-4 -3 -2 -1
欢迎进入 平行四边形世界
★中考考点要求★
1、理解并掌握平行四边形的定义、判定和 性质。 2、能应用平行四边形的判定和性质进行计 算和证明。
★中考考情分析★
命题点 年份
各地命题形式
2016 曲靖（T7选）
平行四 边形的 性质及 判定
2015 2014
曲靖（T10填）
云南（T22解）, 昆明（T7选）， 曲靖（T24（3）解）
典例解析 火线红版P71
7.如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线 BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．
当堂巩固
1、如图， ABCD的对角线AC、BD长度之和为 20cm,若△OAD的周长为17cm，则AD=__7__cm
D
C
平行四边形的对角线互相平分.
O
A
B
典例解析
2、(2016 河南）如图，在□ABCD中，
BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，
则∠2的度数是
°
典例解析
3、如图所示，在□ ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°,
AE⊥BD于E,则∠DAE等于( A ). A.20° B. 25° C. 30° D. 35°
请你挑一挑
4、在四边形ABCD中,若分别给出六个 条件:①AB∥CD;②AD=BC;③OA=OC; ④AD∥ BC; ⑤AB=CD ;⑥OB=OD. 现在,以其中的两个为一组,能直接确 定四边形ABCD为平行四边形的条件是 _________ (只填序号)
2017考查方向
高频考点：在选填题中 注意考查根据平行四边 形的性质为背景证明线 段相等或者角相等，且 往往都涉及了三角形全 等。另外，在压轴题中， 也可以常考查探究四边 形为平行四边形时的点 的坐标。
知识回顾
1、平行四边形的定义:
A D
B
C
A
D
B
C
两组对边分别平行的Байду номын сангаас边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质:
A
D
文字语言表达
B
符号语言表达
O C
边 平行四边形的
对边平行且相等；
∵四边形ABCD为平行四边形(已知） ∴AD∥BC,AB∥DC AD=BC ，AB =DC.（平行四边形对边相等）
平行四边形的 对角相等；
角 平行四边形的
邻角互补；
对 平行四边形的 角 对角线互相平分。 线
∵四边形ABCD为平行四边形(已知） ∴∠B=∠D, ∠BAD =∠DCB.（平行四边形对角相等） ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴∠B+∠BAD =180°，∠D+∠DCB=180°， ∠B+∠BCD=180°，∠D+∠BAD=180°.
∠BEF的度数为 ____
___.
D
°
yl
C
A
y1
B y2
A
EB
x OP
F
典例解析
4、(2016 湘西）下列说法错误的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是 平行四边形
请你填一填
1、已知 ABCD,若AB=15㎝, BC=10cm
则AD= 10 ㎝.周长= 50 cm.
平行四边形的两组对边分别相等. D
C
A
B
2、已知 ABCD, ∠A=50度, 则∠C= 50 度. ∠B= 130 度.
平行四边形的对角相等、邻角互补.
典例解析
3、如图所示，在
过点D作AD的
垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则
典例解析
5、(2014 昆明）如图，在四边形ABCD中，对
角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四
边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD,AD∥BC
A
B. OA=OC，OB=OD
D
C. AD=BC，AB∥CD
O
D. AB=CD，AD=BC B
C
典例解析 火线红版P71
6.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F。 求证：AE=DF.