人教版数学九年级上册《二次函数》PPT

4ac 4a
b2
x


b 2a
时，ymax

4ac 4a
b
2
a>0 增
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
减
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
性 a<0 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y x
y x
形
使用
知
式
解析式
范围
识 一、概念 一
般 y=ax2+bx+c 已知任意
（1）顶点在x轴上，k=_____。 （2）抛物线过点（-1，-2），k____。 （3）当x=-1时，函数有最小值，k=_____。 （4）抛物线的最小值为-1 , k=_____。
例5：
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，
知
Y=ax2+k
识 点 Y=ax2
Y=a(x-h)2+K
总
Y=a(x-h)2
结
Y=ax2
Y=ax2+bx+c
返回
例一
经 当m为何值时y=（m-2)xm2-2+3x-5
典 是二次函数。
例
解：由题意知：
m-2≠0
二次X项的系最数高a次≠0数是
题
m2-2=2
解
解得:m=-2
析
练习1：函数y=（m+1)xm2-m+mx-1 是二次函数,则m= 。
(2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第 四象限？
练习：
1.二次函数y=aχ2+bχ+c的图象如下图所
示,试判断下列各式的符号
y
1、a 、 b 、 c
2、2a+b,2a-b,
1
3、 b2 4ac
－1
0
x 4、a+b+c 5、a-b+c
a b c 2a+b
2a-b
b2-4ac a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c
M(-1,-2)
3 C(0,-2–)
例2： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
经 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，
求C， A，B的坐标。
典
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例
（5）x为何值时，y 随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
二次函数复习
第一课时
新课标 知识结构 概念理解 经典考题
通过对实际问题情境的分析确定二次
新 函数的表达式，体会二次函数的意义
课 标 内
会用描点法画二次函数的图象， 能从图象上认识二次函数的性质。
容 会根据公式确定图象的顶点、开口
解 读
方向和对称轴（公式不要求推导和 记忆），并能解决简单的实际问题。
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
题 解:（1）∵a= —12 >0
解
∴抛物线的开口向上 ∵y= —12 (x2+2x+1)-2
析
=—1 (x+1)2-2 ∴对称轴x=-12 ，顶点坐标M（-1，-2）
例2： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
典
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
题
解 （6）x为何值时，y<0？x为何x值=-时1 ，yy>0？
①画对称轴
解 • ②确定顶点 ③确定与坐标轴的
(-3,0)
•(1,0) x
0
析
交点及对称点
具有的共同性质
.
习
巩 （3）用配方法把二次函数y=x2-2x-3
固
化成y = a(x-h)2+K的形式得 . 当x 时y随x的增大而增大.
你能快速画出
①画对称轴 ②确定顶点
它的示意图吗？
③确定与坐 标轴交点
④连 线
作业： P30 复习题 7
再见
返回
题 解（6）x为何值时，y<0？x为何x值=时-1，y>0？ :(5)
解 • 当x≤-1时，y随x的增大(-3,0) 而减小;
•(1,0) x
0
当x=-1时，y有最小值为
析 • • • y最小值=-2
(-1,-2)
3 (0,-–2)
例2： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
例二
经
已知二次函数y=—12 x2+x- —32
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
典 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C， A，B的坐标。
例 （3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
题 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，
y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？
经 平移能得到抛物线y=2(x+4)2和
典 抛物线y=2(x+4)2+3？
y
例
题
x
解
0 练习：把抛物线y=x2通过怎样平移能
析 得到抛物线y=x2-2x+3?
二、二次函数的图象及性质
知 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线.
识 当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a<0时开口向下，并向下无限延伸. y
点 把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的右边 二次三项式配方，得
x
总
y a(x b )2 4ac b2 (a 0)
2a
4a
结
点 (
b
4ac b2
,
)为抛物线的顶点，
y
2a 4a
b
x
直线 x 为抛物线的对称轴.
2a
练习2
练 （2）请写出函数y=x2+1与y=(x+1)2
题 解（6）x为何值时，y<0？x为何值时，yy>0？ ：（4）由对称性可知
解 • • MA=MB=√22+22=2√2 A(-3,0) AB=|x1-x2|=4 ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
D
B(1,0) x 0
析
=2 √2×2+4=4 √2+4
• • • Δ=—M12 ×AB4的×面2=积4 =—12 AB×MD
④连线
• • • (-1,-2)
(0,-3–2)
例2： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
经 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，
求C， A，B的坐标。
典
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
2a
a>0 最
x 0时，x 0时， x h时 x h时 ym in 0 ymin c ymin 0 ymin k
值 a<0 x 0时 x 0时 x h时 x h时 ymax 0 ymax c ymax 0 ymax k
x


b 2a
时，ymin
解 （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
析
例2： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
经 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，
求C， A，B的坐标。
典 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
开口方向大小 向上a>0 向下a<o 对称轴与y轴比较 左侧ab同号 右侧ab异号
与y轴交点 交于上半轴c>o 下半轴c<0 b
- 2a 与1比较
b - 2a 与-1比较
与x轴交点个数 令x=1，看纵坐标 令x=-1，看纵坐标 令x=2，看纵坐标 令x=-2，看纵坐标
2.已知抛物线y=x2－kx＋k＋1，根据 下列条件，求k的值
(-3,0)
当-3 < x < 1时，y < 0
•(1, x
0 0)
析 • • 当x< -3或x>1时，y > 0 • (-1,-2)
3 (0,-–2)
返回
例 3 根据下列条件求二次函
经
数解析式：
二次函数的图象经过（0，7 ）
典
（1，9）、（-1、1）三点。
例
二次函数图象的顶点是（2，-4）
且过点（4，0）。
经 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，
求C， A，B的坐标。
典
（3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
题 解（:6）(6)x为何值时，y<0？x为何值y时，y>0？
• 解 由图象可知
点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后Δ PBQ的面积最大？
最大面Leabharlann Baidu是多少？
P
C
Q
B
练习2
练 （1）填写表中的空格：
习
抛物线
巩
y=0.5x2
开口 对称 顶点坐标 方向 轴
固
y=-1.5(x+4)2
y=-x2-4x+9
例 三 把抛物线y=2x2通过怎样
会利用二次函数的图象求一元二 次、二元一次方程组的近似值。
返回
知
识二
结
次 函
数
构
二次函数图象 二次函数性质 二次函数解析式 二次函数特性
实 应际 用问
题
返回
知 识 一、概念 点 二、图象 总 结 三、性质
四解析式
返回
知 一、概念 一般地，如果
识
y=ax2+bx+c(a，b，c
点 二、图象 是常数，a≠0)，那么，
点 二、图象 式
三个点
总 结
顶 三、性质 点
式
已知顶点
y=a(x-h)2+k
（h,k)及 另一点
四解析式
交 点
式
y=a(x-x1) (x-x2)
已知与x 轴的两个 交点返及回另 一个点
抛物线与X轴、Y轴的交点坐标：
y ax2 bx c
与x轴交点，令y=0; 与y轴交点，令x=0
抛物线的平移：
总
y叫做x的二次函数。
结 三、性质
四解析式
返回
知 识
二次函数y=ax2+bx+c
一、概念
配方后得： y=a(x+ 2ba)2
+
4ac-b2 4a
点 二、图象
总 结 三、性质
0
–
b 2a
四解析式
返回
二次函数的图象及性质
抛物线
y ax2
y ax2 c y a(x h)2 y a(x h)2 k y ax2 bx c
y a(x b )2 4ac b2 2a 4a
开口方向 顶点坐标
(0,0)
当a>0时开口向上，并向上无限延伸；
当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
(0,c) (h,0)
(h,k)
b 4ac b2
( ,
)
2a
4a
对称轴
y轴
y轴 直线 x h 直线 x h
直线 x b
经 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， 求C， A，B的坐标。
典 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。
例 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时， y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
题 解
解: (2)由x=0，得y= - -32—
抛物线与y轴的交点C（0，- -32—）
析
由x1y==-30，得—12x2x=21+x- —32 =0
与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
例2： （1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
经 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，
求C， A，B的坐标。
题
二次函数的图你象用经了过什（么2方，法0 ？）
解
（4，5）、（你-的1、方0法）简三单点吗。？
析
小 结： 能够从题目条件中总结 二次函数的特征，采用 适当的二次函数的解析 式形式，使问题简单化。
例4.已知二次函数 y x2 2kx k 2 k 2
(1)当k为何值时，函数图象经过原点？