现代控制理论答案

x5 5x5
因其特征值均为负值，所以是渐近稳定的。故系统通过 状态反馈能否镇定
3 2
k2 k1
6 2k2
9
kk12
3 2
反馈矩阵为 K k1 k2 [ 3 2]
【习题5－4】有系统的传递函数为
(s 1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 3)
试问可否利用状态反馈将其传递函数变为
(s 1) (s 2)(s 3)
若有可能，试求状态反馈矩阵，并画出模拟结构图。
§5—3 系统镇定问题 主要知识点:
1、系统能镇定的基本概念; 2、闭环控制系统能镇定的条件。
§5—4 系统解耦问题
主要知识点: 1、什么是解耦问题； 2、解耦的结构形式； 3、状态反馈解耦结构； 4、状态反馈能解耦的条件； 5、状态反馈解耦设计。
§5—5 状态观测器 主要知识点:
1、状态观测器、全维观测器、降维观测器的基本概念; 2、观测器存在的条件； 3、全维观测器的设计。
反馈矩阵K
输出矩阵C
【习题5－5】试判断下列系统通过状态反馈能否镇定
1 2 2
(1)
A
0
1
1
1 0 1
2 b 0
1
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控 子系统是渐近稳定的。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0
1 1 5
Rank(M ) 3
系统是能控且能观的，所以系统通过状态反馈能镇定
第四步：求出期望的闭环特征多项式
f *() ( 10)( 1 j 3)( 1 j 3) 3 122 24 40
第四步：比较 f ()和 f *() 求出反馈矩阵
f () 3 (11 k3 )2 (11 k2 ) k1 f *() 3 122 24 40
11
k3
12
11 k2 24
【解】因为系统的传递函数不存在零极点对消的情况，系统 能控且能观，状态反馈能实现极点的任意配置，可其传递函 数变为：
(s 1) (s 2)(s 3)
且相当于闭环极点配置为：-2，-2，-3
W (s)
(s
(s 1)(s 2) 1)(s 2)(s 3)
s3
s2 s 2 2s2 5s 6
A
bk
2
0
1 1
10k1
k2
2
k1
1
1
k2
闭环系统特征多项式：
f () I (A bK) 2 (3 k2) 2 k1 2k2
期望的闭环特征多项式
f *() ( 3)( 3) 2 6 9
比较 f () 和 f *() 求出反馈矩阵 f () 2 (3 k2 ) 2 k1 2k2 f *() 2 6 9
A
Tc1
0
0
1
b Tc11b 0
0 11 11
1
第三步：求出加入状态反馈矩阵后的闭环特征多项式
K [k1 k2 k3 ]
0
A
bK
Tc11 ATc1
0
(a0 k1)
1 0 (a1 k2 )
0
1
(a2 k3 )
0
0
(k1)
1 0 (11 k2 )
0
1
(11 k3)
f () 3 (11 k3 )2 (11 k2 ) k1
期望的闭环特征多项式
f *() ( 2)2 ( 3) 3 72 16 12 比较 f () 和 f *() 求出反馈矩阵
2 k3 7 5 k2 16 6 k1 12
所求的状态反馈矩阵为
k3 5 k2 21 k1 18
K k1 k2 k3 18 21 5
闭环系统的模拟结构图如下：
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。
【解】（1）系统模拟结构图如下
u
1
x2
2
x1 y
（2）判断状态反馈可否任意配置极点；
M b
Ab
0 1
1 1
Rank(M ) 2
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈矩阵。
设状态反馈矩阵为
K k1 k2
加入状态反馈矩阵后的系统矩阵为
§5—6 利用状态观测器实现状态反馈的系统
主要知识点: 1、利用状态观测器实现状态反馈的系统结构； 2、主要特点（极点分离特性、等价性）； 3、利用状态观测器实现状态反馈的系统设计。 （观测器反馈矩阵设计+状态反馈矩阵设计）
【习题5－2 】设系统状态方程为
0 1 0 0
x 0 1
1
x
0
u
a0 6 a1 5 a2 2
b0 2 b1 1
b2 1 b3 0
系统的能控标准I型为：
0 1 0
A 0 0
1
6 5 2
0 b 0
1
c 2 1 1
加入状态反馈矩阵后的闭环特征多项式
K k1 k2 k3
f () 3 (a2 k3)2 (a1 k2 ) (a0 k1) 3 (2 k3)2 (5 k2 ) (6 k1)
a2 11
能控标准I型为：
1 0 0 10 0 0 1 0 0
Tc1 A2b Ab b a2 1 0 110 10 0 11 1 0
a1 a2 1 990 100 1011 11 1
10 0 0
0
10
0
0 10 10
1 0 0
T 1 c1
0
1
0
0 1 1
0 1 0
0
A
T 1 c1
k1 40
k3 1 k2 13 k1 40
K [ 40 13 1]
第五步：反变换到原状态变量下
1 0 0 K KTc11 [ 40 13 1]0 1 0
0 1 1
40 12 1
【习题5－3】有系统
x
2
0
11x 10u
y 1 0x
（1）画出模拟结构图；
（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点；
0 1 10 10
试设计一状态反馈阵将其极点配置为 10 , 1 j 3
【解】第一步：判断能控性
0 0
M b
Ab
A2b
0
10
10 100
10 110 990
Rank(M ) 3
满秩，状态反馈可实现极点的任意配置。
第二步：化为能控标准I型
I A 3 112 11
a0 0 a1 11
2 1 0 0 0
0
2
1
0
0
(2) A 0 0 2 0 0
0
0
0
5
1
0 0 0 0 5
4 5 b 0 7 0
【解】系统通过状态反馈能否镇定的充要条件是：不能控 子系统是渐近稳定的。
该状态空间表达式是约旦标准型，利用约旦标准型能控 性判据可知下列状态是不能控的：
x3 2x3