线性代数第五章(第一节内积)PPT课件
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正交的单位向量 ε1 , ε2 , … , εr , 使 ε1 , … , εr 与
a1 , a2 , … , ar 等价这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , … , ar 这个基规范正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , … , ar 规范 正交化:
取 b1 = a1 ;
b2
a2
2. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式
< x, y >2 < x, x >< y, y>, 由此可得
<x, y> 1 (当 || x || || y || 0 时), xy
于是有下面的定义:
定义3 当 || x || 0, || y || 0 时,
arccos <x, y>
xy 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
因 <αi αi>≠0, 从而必有ki=0.
证毕.
例 1 已知 4 维向量空间 R4 中三个向量
1
1
5
a1
2
31
,
a2
1
01
, a3
4
1 0
正交,试求一个非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4两两正交.
解令
A
a1T a2T
来自百度文库
1 1
2 1
3 1 1 0 ,
a3T
5
1
1 b1
b1 , 2
1 b2
b2 ,
就得 V 的一个正交规范基.
,r
1 br
br ,
上述从线性无关向量组 a1 , … , ar 导出正交
向量组 b1 , … , br 的过程称为施密特(Schimidt) 正交化过程. 它不仅满足 b1 , … , br 与 a1, … , ar
a1, a2 , …, ar 是 V 的一个正交基.
定义 6 设 n 维向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空间V
( VRn ) 的一个基, 如果 ε1 , … , εr 两两正交, 且都是
单位向量, 则称 ε1, …, εr 是 V 的一个正交规范基.
2. 用正交规范基表示向量
若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一个正交规范基, 那 么 V 中任一向量 a 应能由 ε1 , ε2 , … , εr 线 性 表 示, 设表示式为
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
三、向量的长度和夹角
1. 向量的长度
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 ,
‖ x ‖ 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ).
特别地，当 ‖x‖=1 时, 则称 x 为单位向量.
显然,当α=0时, ‖α‖=0; 当α≠0时, 则 ‖α‖>0,
单位向量
称为向量α的单位化.
<b1 ,a2 > <b1 ,b1>
b1
;
br
ar
<b1,ar > <b1 ,b1 >
b1
<b2 ,ar > <b2 ,b2 >
b2
<br1,ar > <br1 ,br1>
br 1
.
容易验证 b1 , … , br 两两正交, 且 b1 , … , br 与 a1 , …, ar 等价.
然后只要把它们单位化, 即取
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
第五章
本章讨论在理论上和实际应用上都非常重 要的矩阵特征值问题, 并利用特征值的有关理论, 讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.
第 一 节 向量的内积
主要内容
内积定义 内积的性质 n 维向量的长度（范数）和夹角 向量夹角，正交向量组的性质 正交基与规范正交基 施密特正交化方法
一、内积的定义
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
1. 正交向量组的定义 定义4 由两两正交的非零向量构成的向量
组称为正交向量组. 2. 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 a1 , a2 , … , ar 是一组
a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr .
分别用 εi 与α做内积 得 < a, εi > = <k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr , εi >
=ki<εi , εi >=ki,
即
ki = <a, εi>.
六规范正交基的求法
设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V 的一个基, 要 求 V 的一个正交规范基. 这也就是要找一组两两
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , … , ar 线性无关.
证明: 设有 k1 , k2 , … , kr 使
k1a1 + k2a2 + … + krar = 0 , 那么
对任意的αi (1≤i≤r) ,
0,i k11 k22 ... krr ,i k1 1,i k2 2,i ... kr r ,i ki i ,i 0
x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有 ( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角：
a1 , a2 , … , ar 等价这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , … , ar 这个基规范正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , … , ar 规范 正交化:
取 b1 = a1 ;
b2
a2
2. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式
< x, y >2 < x, x >< y, y>, 由此可得
<x, y> 1 (当 || x || || y || 0 时), xy
于是有下面的定义:
定义3 当 || x || 0, || y || 0 时,
arccos <x, y>
xy 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
因 <αi αi>≠0, 从而必有ki=0.
证毕.
例 1 已知 4 维向量空间 R4 中三个向量
1
1
5
a1
2
31
,
a2
1
01
, a3
4
1 0
正交,试求一个非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4两两正交.
解令
A
a1T a2T
来自百度文库
1 1
2 1
3 1 1 0 ,
a3T
5
1
1 b1
b1 , 2
1 b2
b2 ,
就得 V 的一个正交规范基.
,r
1 br
br ,
上述从线性无关向量组 a1 , … , ar 导出正交
向量组 b1 , … , br 的过程称为施密特(Schimidt) 正交化过程. 它不仅满足 b1 , … , br 与 a1, … , ar
a1, a2 , …, ar 是 V 的一个正交基.
定义 6 设 n 维向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空间V
( VRn ) 的一个基, 如果 ε1 , … , εr 两两正交, 且都是
单位向量, 则称 ε1, …, εr 是 V 的一个正交规范基.
2. 用正交规范基表示向量
若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一个正交规范基, 那 么 V 中任一向量 a 应能由 ε1 , ε2 , … , εr 线 性 表 示, 设表示式为
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
三、向量的长度和夹角
1. 向量的长度
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 ,
‖ x ‖ 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ).
特别地，当 ‖x‖=1 时, 则称 x 为单位向量.
显然,当α=0时, ‖α‖=0; 当α≠0时, 则 ‖α‖>0,
单位向量
称为向量α的单位化.
<b1 ,a2 > <b1 ,b1>
b1
;
br
ar
<b1,ar > <b1 ,b1 >
b1
<b2 ,ar > <b2 ,b2 >
b2
<br1,ar > <br1 ,br1>
br 1
.
容易验证 b1 , … , br 两两正交, 且 b1 , … , br 与 a1 , …, ar 等价.
然后只要把它们单位化, 即取
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
第五章
本章讨论在理论上和实际应用上都非常重 要的矩阵特征值问题, 并利用特征值的有关理论, 讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.
第 一 节 向量的内积
主要内容
内积定义 内积的性质 n 维向量的长度（范数）和夹角 向量夹角，正交向量组的性质 正交基与规范正交基 施密特正交化方法
一、内积的定义
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
1. 正交向量组的定义 定义4 由两两正交的非零向量构成的向量
组称为正交向量组. 2. 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 a1 , a2 , … , ar 是一组
a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr .
分别用 εi 与α做内积 得 < a, εi > = <k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr , εi >
=ki<εi , εi >=ki,
即
ki = <a, εi>.
六规范正交基的求法
设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V 的一个基, 要 求 V 的一个正交规范基. 这也就是要找一组两两
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , … , ar 线性无关.
证明: 设有 k1 , k2 , … , kr 使
k1a1 + k2a2 + … + krar = 0 , 那么
对任意的αi (1≤i≤r) ,
0,i k11 k22 ... krr ,i k1 1,i k2 2,i ... kr r ,i ki i ,i 0
x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有 ( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角：