线性代数第五章(第一节内积)PPT课件
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线性代数§5.1向量的内积
|| x || || y ||
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角. 解: [x, y]=13+21+25+31=18,
|| x || 12 22 22 32 18,
|| y || 32 12 52 12 36,
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量 组为正交向量组. 3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
解: 先正交化. 取
b1= a1=(1, 1, 1, 1),
b2
a2
[b1 ,a2 [b1 ,b1
] ]
b1
(1, 1,0,4)
114
(1,1,1,1) (0, 2, 1,3),
1111
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
(3,5,1, 1) 8 (1,1,1,1) 14(0, 2, 1,3)
《内积外积混合积》课件
内积具有交换律、分配律和结合 律等基本性质。
内积的性质
内积的结果是一个标量，其值在 -1到1之间，表示两向量的相似
程度。
当两向量垂直时，内积为0；当 两向量平行或同向时，内积为正 ；当两向量反向时，内积为负。
内积可以用于计算向量的投影、 角度、距离等几何量。
内积的应用
01
在线性代数中，内积用 于定义向量空间和矩阵 运算。
应用举例
通过具体的应用举例，演示内 积、外积和混合积在解决实际
问题中的应用。
02 内积（点积）
内积的定义
内积是指两个向量的点乘，其结 果是一个标量，表示两个向量的
相似程度。
内积的定义公式为：a·b = |a||b|cosθ，其中a和b是两个向 量，|a|和|b|分别是它们的模，θ
是两向量之间的夹角。
不同点
内积和外积的结果分别是标量和向量 ，而混合积的结果是标量；内积和外 积分别用于计算长度和方向，而混合 积用于计算平行和垂直关系。
课程中的难点和重点
难点
理解内积、外积和混合积的概念 和应用，掌握它们的计算方法和 技巧。
重点
掌握内积、外积和混合积的基本 性质和几何意义，理解它们在解 决实际问题中的应用。
外积与内积的关系
外积与内积之间存在一定的关系 ，即两向量的内积等于它们所构 成的平行四边形的面积在它们所
构成的平面上的投影。
外积的应用
物理应用
01
外积在物理中有广泛的应用，如描述旋转物体的角速度和线速
度之间的关系，以及磁场中电流产生的力矩等。
计算机图形学应用
02
在计算机图形学中，外积常用于计算旋转和缩放矩阵，以及实
混合积
混合积是三个向量的运算，表示一 个向量在另外两个向量构成的平面 上的投影长度。
线性代数第五章5.1向量的内积
, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,
, r 就是
Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
注
上述方法中的两个向量组对任意的 1 k r ,
1 , 2 , , k 与 1 , 2 , , k 都是等价的.
四、应用举例 例1 把向量组
化为标准正交向量组. 解: 将 a1 , a2 , 3正交化, 取
i=1,2,
, am 线性无关.
定理 若向量β与 1 , 2 , 5、正交基 若正交向量组1 , 2 , 则称 1 , 2 , 6、标准正交基 若单位向量组 1 , 2 , 则称 为一个标准正交基.
, s 中每个向量都正交，则
β与 1 , 2 , , s 的任一线性组合也正交.
证: 设 a1 , a2 ,
, am 是正交向量组, 若有线性关系
k1a1 k2a2
ki ai , ai 0
ki 0,
故 a1 , a2 ,
km am 0,
用 a i 与等式两边作内积,得
i=1,2,
,m
,m .
则 ai 0, 有 ai , ai 0, 从而得
2、正交矩阵的充要条件 ① Ａ的列向量是标准正交组.
② Ａ的行向量是标准正交组. 3、正交矩阵的性质 ① A A1 即A的转置就是A的逆矩阵; ② 若Ａ是正交矩阵,则 A(或A1 )也是正交矩; ③ 两个同阶的正交阵的乘积仍是正交阵; ④ 正交阵的行列式等于1或-1. 注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间R n 的一个标准正交基.
r 1 , r r 1 r 1 , r 1
则 1 , 2 , 2）标准化 令 1
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
线性代数课件--5.1向量空间基本概念
R( A) {v | v c1a1 c2a2 cnan , c1, 2 , , n R} c c
可等价写成
R( A) {v | v Ax，x Rn }
对一般线性代数方程组成立如下定理 定理 m n线性代数方程组Ax=b相容的充要 条件是
b R( A)
1 1 1 1 1 0 3 2 1 2 1 0 r 0 1 2 1 B ~ 0 0 0 0 2 1 4 3 2 3 0 1 0 0 0 0 所以r(A)r(B) 因此向量b能由 向量组a1 a2 a3线性表示
x1a1 x2a2 xnan b
a1 ，a2 ，… ，an 的线性组合 则方程组有解的条件是 b 可作为
定义 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集
合称为向量组． 有限向量组
a11 A34 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 , , , a24 1 2 3 4 a34
因此
b R( A)
r ( A) r ( A)
例
试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间. 解 已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若记此解集为N(A), 则显然有
1. 若 x1 N ( A),即 Ax1 0, 则对任意常数 c ， 必 A(cx1 ) cAx1 c0 0 ，即 cx1 N ( A) ； 2. 若 x1 N ( A), x2 N ( A), 即 Ax1 0, Ax2 0, 则必
为讨论，先将方程组改写成向量形式
1 0 b1 x1 5 x 2 4 b2 记为 x1a1 x2 a2 b 2 4 b3
线性代数课件第5章相似矩阵
（3）可以证明，对应于 A的每一个 若正好有 ki个线性无关的特征向量,即
k重i 特征值
R( A i E)
i
n
ki
则 A必有 n 个线性无关的特征向量，从而一定可以
对角化． 15
例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以 对角化,求可逆矩阵使之对角化．
1 0 0
1
(1)
A
2
0 3
,
(2)B
2
x3 1
的全部特征向量为
0 ，1 0
1
2 0
得同解方程组
x1 x2
x3 2 x3
x3 x3
(c1 R) 所以对应于特征值 1 2 1
c11 c1 1 2 2T (c1 0)
7
对于特征值
. ，解方程 (A 2E)x 由0
3 1 0 1 0 0
A
2E
4
1
0
0
1
0
1 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
0 0
故得通解
x3 x3
x1 0
x2
c2
0
x3 1
对应于特征值 3 2 的全部特征向量为
0
c2 2
0
(c2
0)
1
(c2 R)
8
5.1.2 特征值的性质
n 性质1 若 阶方阵 A (ai j ) 的全部特征值为 1, 2, , n （ k 重特征值算作 k 个特征值）则：
1
5.1 方阵的特征值与特征向量
5.1.1 方阵的特征值与特征向量
定义1 设 A (ai j ) 是一个 n 阶方阵,如果存在数 及
x1
n
线性代数第五章
１．内积 ２．向量旳范数 ３．许瓦兹不等式
x x1 , x2 , , xn T , y y1 , y2 , , yn T
称 xT y x1 y1 x2 y2 xn yn
为向量 x与 y 旳内积，记为 x , y．
2
内积满足下列运算规律：
⑴ x, y y, x
⑵ kx , y kx ,y
15
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵
1.正交矩阵 2.正交变换
定义５．２ 假如 n阶方阵 A 满足AT A I
则称 A 为正交矩阵．
定理５．３ 假如 A , B均为 n 阶正交矩阵，
那么：⑴ A1 AT
⑵ AT 即 A1 为正交矩阵
⑶
1 2
A A
A A
为
2n
阶正交矩阵
⑷ AB，BA 都是正交矩阵
8
定理5．２ 若 1 , 2 , , r为 n 维正交向
量组，且 r n ，则必有非零 n 维向量 x ， 使 x 与 1 , 2 , , r 两两正交．
推论：对 rr n个两两正交旳 n 维非零向量，总
能够添上 n r个 n 维非零向量，使 n 个向
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空
第五章 特征值 特征向量 二次型
第一讲 正交向量组与正交矩阵 第二讲 方阵旳特征值与特征向量 第三讲 相同矩阵与实对称矩阵旳对角化 第四讲 二次型及其原则形 第五讲 惯性定理和正定二次型 第六讲 习题课
1
第一讲 正交向量组与正交矩阵
一．向量旳内积与许瓦兹
（Schwarz）不等式
１．内积
内积定义：对 n维列向量
19
第二讲 方阵旳特征值和特征向量
1.定义
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
线性代数 第五章 向量空间
称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向 线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量 维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2
mn1n , mn2n ,
m11
M=
m21
mnnn .
mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n
mnn
1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向 的两组基，向量 在基(I)、(II)的坐标分
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
线性代数5.1-4
3的一个与基
v
v
v
1 1 1 v v v α 1 = 1 α 2 = 0 α 3 = 1 1 1 0
1 v v v r v 1 1 − 1 1 v v [α 3 , β 1 ] v [α 3 , β 2 ] β 3 =α3- − v v β 11 - v v β 2 = 1 − 2 1 − 3 ⋅ 1 − 2 = 1 0 . β3 = α 3 β 3 6 3 2 [β 2 , β 2 ] [β 1 , β 1 ] 0 1 1 − 1 9 v v v v v v β ， β ， 3 单位化， α3等价标准正交基为: 再将β11，β22，β3 单位化，便得与α11，α2， α 3 等价标准正交基为 2 v v v 1 1 1 β1 v v v 1 ε = βv2 = 1 − 2 , ε = βv3 = 1 0 . ε1 = v = 2 3 1 , β2 β3 2 β1 6 3 − 1 1 1
验证向量组 α11 = , , α
1 1 1 1 ,0 ,α 22 = − ,− , ,0 , 2 2 2 2 T T v 1 1 1 v 1 1 1 α 3 3= ,− ,0, ,0 为R4的一个基 , α 44 = − , , α α 的一个基. 2 2 2 2 2 2
是否可由它得到V的一个标准正交基呢？ 是否可由它得到 的一个标准正交基呢？ 的一个标准正交基呢 条件是
二、施密特(Schmidt)正交化方法 施密特(Schmidt)正交化方法 (Schmidt)
个与其等价的单位正交向量组。 个与其等价的单位正交向量组。 v v v α，α ，… 正交化. (1) 将线性无关的向量组α11,α22,...,αr正交化 r v v v v v v- [α 2 , β 1 ] β ， β2 = α =1 令 β1=αα 1 ， β 2 =α2 2 − v v β11 [β 1 , β 1 ] v v v r v v v v [α 3 , β 1 ] [α 3 , β 2 ] v v β 11 ββ3= α33- − v v β 2， β 2 3 =α [β 1 , β 1 ] [β 2 , β 2 ] … … … … … … … ， v v v v v v v v [α r , β 2 ] [α r , β r −1 ] v [α r , β 1 ] v v v v v v = r ββr= ααr− v v β1 - [ β , β ] β2 - …- [β , β ] ββr-1. 1 2 r −1 r [β1 , β 1 ] 2 2 r −1 r −1
v
v
v
1 1 1 v v v α 1 = 1 α 2 = 0 α 3 = 1 1 1 0
1 v v v r v 1 1 − 1 1 v v [α 3 , β 1 ] v [α 3 , β 2 ] β 3 =α3- − v v β 11 - v v β 2 = 1 − 2 1 − 3 ⋅ 1 − 2 = 1 0 . β3 = α 3 β 3 6 3 2 [β 2 , β 2 ] [β 1 , β 1 ] 0 1 1 − 1 9 v v v v v v β ， β ， 3 单位化， α3等价标准正交基为: 再将β11，β22，β3 单位化，便得与α11，α2， α 3 等价标准正交基为 2 v v v 1 1 1 β1 v v v 1 ε = βv2 = 1 − 2 , ε = βv3 = 1 0 . ε1 = v = 2 3 1 , β2 β3 2 β1 6 3 − 1 1 1
验证向量组 α11 = , , α
1 1 1 1 ,0 ,α 22 = − ,− , ,0 , 2 2 2 2 T T v 1 1 1 v 1 1 1 α 3 3= ,− ,0, ,0 为R4的一个基 , α 44 = − , , α α 的一个基. 2 2 2 2 2 2
是否可由它得到V的一个标准正交基呢？ 是否可由它得到 的一个标准正交基呢？ 的一个标准正交基呢 条件是
二、施密特(Schmidt)正交化方法 施密特(Schmidt)正交化方法 (Schmidt)
个与其等价的单位正交向量组。 个与其等价的单位正交向量组。 v v v α，α ，… 正交化. (1) 将线性无关的向量组α11,α22,...,αr正交化 r v v v v v v- [α 2 , β 1 ] β ， β2 = α =1 令 β1=αα 1 ， β 2 =α2 2 − v v β11 [β 1 , β 1 ] v v v r v v v v [α 3 , β 1 ] [α 3 , β 2 ] v v β 11 ββ3= α33- − v v β 2， β 2 3 =α [β 1 , β 1 ] [β 2 , β 2 ] … … … … … … … ， v v v v v v v v [α r , β 2 ] [α r , β r −1 ] v [α r , β 1 ] v v v v v v = r ββr= ααr− v v β1 - [ β , β ] β2 - …- [β , β ] ββr-1. 1 2 r −1 r [β1 , β 1 ] 2 2 r −1 r −1
线性代数 第5章 特征值特征向量相似矩阵
若 α1,α2, ,αr 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 β1 = α1 ，
β2
=
α2
−
[ β1,α2 ] [β1, β1 ]
β1,
上页 下页 返回 14
β3
=
α3
−
[β1 ,α3 ] [β1, β1]
β1
−
[β 2 ,α 3 ] [β2, β2]
β2
βr
=
βr
−
[β1,αr ] [β1, β1]
= δ ij
=
⎧1, i =
⎨ ⎩
0,
i
≠
j; j
(i, j = 1, 2,
,n)
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4
第五章 特征值特征向量相似矩阵
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y = Px 称为正 交变换．
性质 正交变换保持向量的长度和夹角不变．
证明 设y = Px为正交变换,
则有 y = yT y = xT PT Px = xT x = x .
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e2 ⎟⎟⎠
=
⎜−1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e3 ⎠⎟⎟
=
⎜ ⎜⎜⎜⎝11
0
2⎟⎟,e4 2⎟⎟⎠
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
1 −1
22⎟⎟⎟⎟⎠.
上页 下页 返回 11
⎛1 2⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜
e1
=
⎜1 ⎜
⎜⎜⎝
⎟⎜
0 0
2
⎟ ⎟
,
e2
⎟⎟⎠
=
β1
+
线性代数课件(高教版)5-4
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
二、 正交向量组 １ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与 y正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交. ２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
例 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
[b1,a2 ] [b1 , b1 ]
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 单位正交向量组 （单位正交组，标准正交组，规范正交组）
正交向量组的每个向量都是单位向量，称其为 单位正交向量组。
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
正交矩阵的性质
（1）若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 （2）若A和B都是正交阵 则AB也是正交阵； （3）若A为正交阵 则-A也是正交阵。
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y Px 称为正
交变换．
四、 共轭矩阵
定义 矩阵A的每一个元素都取它的共轭复 数得到的矩阵称为A的共轭矩 Nhomakorabea，记为 A
§5.4 正交矩阵
一、实向量内积与长度
定义 设有n 维向量
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
二、 正交向量组 １ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与 y正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交. ２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
例 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
[b1,a2 ] [b1 , b1 ]
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
４ 单位正交向量组 （单位正交组，标准正交组，规范正交组）
正交向量组的每个向量都是单位向量，称其为 单位正交向量组。
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
正交矩阵的性质
（1）若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 （2）若A和B都是正交阵 则AB也是正交阵； （3）若A为正交阵 则-A也是正交阵。
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y Px 称为正
交变换．
四、 共轭矩阵
定义 矩阵A的每一个元素都取它的共轭复 数得到的矩阵称为A的共轭矩 Nhomakorabea，记为 A
§5.4 正交矩阵
一、实向量内积与长度
定义 设有n 维向量
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二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
1. 正交向量组的定义 定义4 由两两正交的非零向量构成的向量
组称为正交向量组. 2. 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 a1 , a2 , … , ar 是一组
a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr .
分别用 εi 与α做内积 得 < a, εi > = <k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr , εi >
=ki<εi , εi >=ki,
即
ki = <a, εi>.
六规范正交基的求法
设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V 的一个基, 要 求 V 的一个正交规范基. 这也就是要找一组两两
三、向量的长度和夹角
1. 向量的长度
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 ,
‖ x ‖ 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ).
特别地，当 ‖x‖=1 时, 则称 x 为单位向量.
显然,当α=0时, ‖α‖=0; 当α≠0时, 则 ‖α‖>0,
单位向量
称为向量α的单位化.
a1, a2 , …, ar 是 V 的一个正交基.
定义 6 设 n 维向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空间V
( VRn ) 的一个基, 如果 ε1 , … , εr 两两正交, 且都是
单位向量, 则称 ε1, …, εr 是 V 的一个正交规范基.
2. 用正交规范基表示向量
若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一个正交规范基, 那 么 V 中任一向量 a 应能由 ε1 , ε2 , … , εr 线 性 表 示, 设表示式为
因 <αi αi>≠0, 从而必有ki=0.
证毕.
例 1 已知 4 维向量空间 R4 中三个向量
1
1
5
a1
2
31
,
a2
1
01
, a3
4
1 0
正交,试求一个非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4 a2T
1 1
2 1
3 1 1 0 ,
a3T
5
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , … , ar 线性无关.
证明: 设有 k1 , k2 , … , kr 使
k1a1 + k2a2 + … + krar = 0 , 那么
对任意的αi (1≤i≤r) ,
0,i k11 k22 ... krr ,i k1 1,i k2 2,i ... kr r ,i ki i ,i 0
1
1 b1
b1 , 2
1 b2
b2 ,
就得 V 的一个正交规范基.
,r
1 br
br ,
上述从线性无关向量组 a1 , … , ar 导出正交
向量组 b1 , … , br 的过程称为施密特(Schimidt) 正交化过程. 它不仅满足 b1 , … , br 与 a1, … , ar
第五章
本章讨论在理论上和实际应用上都非常重 要的矩阵特征值问题, 并利用特征值的有关理论, 讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.
第 一 节 向量的内积
主要内容
内积定义 内积的性质 n 维向量的长度（范数）和夹角 向量夹角，正交向量组的性质 正交基与规范正交基 施密特正交化方法
一、内积的定义
<b1 ,a2 > <b1 ,b1>
b1
;
br
ar
<b1,ar > <b1 ,b1 >
b1
<b2 ,ar > <b2 ,b2 >
b2
<br1,ar > <br1 ,br1>
br 1
.
容易验证 b1 , … , br 两两正交, 且 b1 , … , br 与 a1 , …, ar 等价.
然后只要把它们单位化, 即取
2. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式
< x, y >2 < x, x >< y, y>, 由此可得
<x, y> 1 (当 || x || || y || 0 时), xy
于是有下面的定义:
定义3 当 || x || 0, || y || 0 时,
arccos <x, y>
xy 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有 ( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角：
正交的单位向量 ε1 , ε2 , … , εr , 使 ε1 , … , εr 与
a1 , a2 , … , ar 等价这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , … , ar 这个基规范正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , … , ar 规范 正交化:
取 b1 = a1 ;
b2
a2
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
1. 正交向量组的定义 定义4 由两两正交的非零向量构成的向量
组称为正交向量组. 2. 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 a1 , a2 , … , ar 是一组
a = k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr .
分别用 εi 与α做内积 得 < a, εi > = <k1ε1 + k2 ε2 + … + krεr , εi >
=ki<εi , εi >=ki,
即
ki = <a, εi>.
六规范正交基的求法
设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V 的一个基, 要 求 V 的一个正交规范基. 这也就是要找一组两两
三、向量的长度和夹角
1. 向量的长度
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 ,
‖ x ‖ 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或范数 ).
特别地，当 ‖x‖=1 时, 则称 x 为单位向量.
显然,当α=0时, ‖α‖=0; 当α≠0时, 则 ‖α‖>0,
单位向量
称为向量α的单位化.
a1, a2 , …, ar 是 V 的一个正交基.
定义 6 设 n 维向量 ε1 , ε2 , … , εr 是向量空间V
( VRn ) 的一个基, 如果 ε1 , … , εr 两两正交, 且都是
单位向量, 则称 ε1, …, εr 是 V 的一个正交规范基.
2. 用正交规范基表示向量
若 ε1 , ε2 , … , εr 是 V 的一个正交规范基, 那 么 V 中任一向量 a 应能由 ε1 , ε2 , … , εr 线 性 表 示, 设表示式为
因 <αi αi>≠0, 从而必有ki=0.
证毕.
例 1 已知 4 维向量空间 R4 中三个向量
1
1
5
a1
2
31
,
a2
1
01
, a3
4
1 0
正交,试求一个非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4 a2T
1 1
2 1
3 1 1 0 ,
a3T
5
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , … , ar 线性无关.
证明: 设有 k1 , k2 , … , kr 使
k1a1 + k2a2 + … + krar = 0 , 那么
对任意的αi (1≤i≤r) ,
0,i k11 k22 ... krr ,i k1 1,i k2 2,i ... kr r ,i ki i ,i 0
1
1 b1
b1 , 2
1 b2
b2 ,
就得 V 的一个正交规范基.
,r
1 br
br ,
上述从线性无关向量组 a1 , … , ar 导出正交
向量组 b1 , … , br 的过程称为施密特(Schimidt) 正交化过程. 它不仅满足 b1 , … , br 与 a1, … , ar
第五章
本章讨论在理论上和实际应用上都非常重 要的矩阵特征值问题, 并利用特征值的有关理论, 讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.
第 一 节 向量的内积
主要内容
内积定义 内积的性质 n 维向量的长度（范数）和夹角 向量夹角，正交向量组的性质 正交基与规范正交基 施密特正交化方法
一、内积的定义
<b1 ,a2 > <b1 ,b1>
b1
;
br
ar
<b1,ar > <b1 ,b1 >
b1
<b2 ,ar > <b2 ,b2 >
b2
<br1,ar > <br1 ,br1>
br 1
.
容易验证 b1 , … , br 两两正交, 且 b1 , … , br 与 a1 , …, ar 等价.
然后只要把它们单位化, 即取
2. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式
< x, y >2 < x, x >< y, y>, 由此可得
<x, y> 1 (当 || x || || y || 0 时), xy
于是有下面的定义:
定义3 当 || x || 0, || y || 0 时,
arccos <x, y>
xy 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
x ·y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有 ( x1, x2, x3 ) ·(y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 .
所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角：
正交的单位向量 ε1 , ε2 , … , εr , 使 ε1 , … , εr 与
a1 , a2 , … , ar 等价这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , … , ar 这个基规范正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , … , ar 规范 正交化:
取 b1 = a1 ;
b2
a2