两条直线垂直的判定
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k1 k2 1 l1 l2
结 论：如果两条直线都有斜率，且它们互相 垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它 们的斜率之积等于－1，，那么它们互相垂直，即:
l1 l2 k1 k2 1
两条直线互相垂直，它们的斜率之积一定等于-1吗？
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活动二：在直线 Biblioteka Baidu1 的斜率不存在且直线 l1 和 l2 垂直情况 下，直线 l2 的斜率为多少？
（一）复习旧知，引入新课：
问题1:两条直线都有斜率且不重合，那么两条直线平 行与其斜率之间有怎么样的关系？
l1 // l2
k1 = k2
问题2:两条直线斜率不存在且不重合，那么两条直线平 行与其斜率之间有怎么样的关系？
l1 // l2
k1，k2都不存在
问题3：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（-7，0） B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9）试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
使直线CD AB，且CB //AD.
解: 设点D,的坐标为(x, y),由已知得:
AB边所在直, 线的斜率kAB 3 CB边所在直线的斜率kCB 2
AD边所在直线的斜率kAD
y 1 x 1
CD边所在直线的斜率kCD
y x3
由CD AB,且CB / / AD得 :
x
y
3
3
1
y x
1 1
2
圆，求实数 k 的值。
解：如果一个四边形内接于一个圆，那么这个四边形对角互补
所以直线 l1与直线 l2 夹角一定是 90 度（这个角与角 xOy 是这个 四边形的一对对角）
l1 l2
又
1
kl1
3
k 11 kl2 3 2 k 2
1500 ，k1 与 k2 的关系？
猜 想：在两条直线的斜率都存在的前提下，任 意两条直线垂直时都有 k1 k2 1？
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猜 想：在两条直线的斜率都存在的前提下，任意两条直线
垂直时都有 k1 k2 1 ？
证明：设两条直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 1 与 2（ 1 ，2 ≠90°） 如果 l1 l2 ，这时 1 ≠ 2 ，否则两直线平行． 由三角形任一外角等于其不相邻两内角之和，
即： 1 =90°+ 2 （或 2 =90°+ 1 ）
l1 、 l2 的斜率分别是 k1, k2 ，即 1 ≠90°
由
tan 1
tan(900
2)
1
tan 2
即 k 1•k2 1
第3页/共15页
归 纳： l1 l2 k1 k2 1
问：反之，当 k1 k2 1时，直线 l1 与 l2 有怎样的位置关系？
归 纳：直线 l1 的斜率不存在，则直线 l2 的斜率为 0
得出一般情况下的结论：
l1 l2 k1 k2 1 或l1,l2的斜率一个为0,一个不存在
第5页/共15页
2、应用举例：
例1：已知A（－6，0）、B（3，6）、C（0，3）、 D（6，－6），试判断直线AB与直线CD的位置关系。
变式1：给定三点A（1，0）、B（－1，0）、C（1，2）
(3)若C为直角,则AC BC, kAC kBC 1 即 m 1 m 1 1,得m 2 25 21
综上所述，m=-7,或m=3,或 m 2
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3、巩固练习
练习1:直线l1 l2,又l2过点A(1,1), B(m, n),l1与y轴平行,
则n=( A )
A.1
B. 1
C.2
D.不存在
解 : 点P在y轴上,设点P(0,y) MPN为直角,PM PN
kPM kPN 1 即 y 2 y 2 1, 解得y 4
02 06 点P的坐标是(0, 4), (0, 4)
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变式 4：ABC 的顶点 A（5，-1），B（1，1），C（2，m），
若 ABC 为直角三角形，求 m 的值 解:(1)若A为直角,则AC AB, kAC kAB 1 即 m 1 11 1,得m 7 25 15 (2)若B为直角,则AB BC, kAB kBC 1 即 1 m 1 1,得m 3 2 21
练习2:已知M (1, 3), N (1, 2), P(5, y)，且NMP 90 ，
则log8 (7 y)
2 3
练习3:已知A(1, 1), B(2, 2),C(3, 0)三点，求点D的坐标，
使直线CD AB，且CB //AD.
第9页/共15页
3、巩固练习
练习3:已知A(1, 1), B(2, 2),C(3, 0)三点，求点D的坐标，
则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（ A ）
A、（0，1）
B、（0，0）
C、（－1，0）
D、（0，－1）
变式2：已知P（3，4），Q（3，100），M（-10，40） N（10，40），试判断直线PQ与直线MN的位置关系。
第6页/共15页
例2：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三点， 试判断△ABC的形状。 变式 3：已知点 M（2，2）和 N（-6，-2），试在 y 轴上求 一点 P，使 MPN 为直角。
(2).当m
2
0,即m
2时, k1
1 m
2
由k1k2
m2 m 2 2
1 1,得m 3 m2
故若AB BC,得m 2或m 3
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4、巩固提升
（2）、经过
A（0，
7
3 ）和
B（7，0）的直线 l1 与过
C（2，1）
和 D(3,k-1)的直线 l2 与两坐标轴围成的四边形内接与一个
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（二）新课讲解
活动一：在直线 l1 和 l2 的斜率都存在的情况下： 探究当 l1 l2 时，它们的斜率 k1 与 k2 有何关系？
问：(1)直线 l1 l2 且 l1 的倾斜角为 300， l2 的倾斜角为
1200 ，k1 与 k2 的关系？
(2)直线 l1 l2 且 l1 的倾斜角为 600， l2 的倾斜角为
所以点D的坐标为(0,1)
解得
x
y
0 1
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4、巩固提升
（1）、 已知三点 A（m-1,2）、B(1,1)、C(3,m2-m-1),
若 AB BC ，求 m 的值。
解：设
AB，BC
的斜率分别为
k1,
k2
，则
k2
m2
m 11 31
m2
m 2
2
又知 xA xB m 2 ，
(1).当m 2 0,即m 2时,k1不存在,此时k2 =0,则AB BC.
结 论：如果两条直线都有斜率，且它们互相 垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它 们的斜率之积等于－1，，那么它们互相垂直，即:
l1 l2 k1 k2 1
两条直线互相垂直，它们的斜率之积一定等于-1吗？
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活动二：在直线 Biblioteka Baidu1 的斜率不存在且直线 l1 和 l2 垂直情况 下，直线 l2 的斜率为多少？
（一）复习旧知，引入新课：
问题1:两条直线都有斜率且不重合，那么两条直线平 行与其斜率之间有怎么样的关系？
l1 // l2
k1 = k2
问题2:两条直线斜率不存在且不重合，那么两条直线平 行与其斜率之间有怎么样的关系？
l1 // l2
k1，k2都不存在
问题3：已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（-7，0） B（2，－3）、C（5，6）、D（-4，9）试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明。
使直线CD AB，且CB //AD.
解: 设点D,的坐标为(x, y),由已知得:
AB边所在直, 线的斜率kAB 3 CB边所在直线的斜率kCB 2
AD边所在直线的斜率kAD
y 1 x 1
CD边所在直线的斜率kCD
y x3
由CD AB,且CB / / AD得 :
x
y
3
3
1
y x
1 1
2
圆，求实数 k 的值。
解：如果一个四边形内接于一个圆，那么这个四边形对角互补
所以直线 l1与直线 l2 夹角一定是 90 度（这个角与角 xOy 是这个 四边形的一对对角）
l1 l2
又
1
kl1
3
k 11 kl2 3 2 k 2
1500 ，k1 与 k2 的关系？
猜 想：在两条直线的斜率都存在的前提下，任 意两条直线垂直时都有 k1 k2 1？
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猜 想：在两条直线的斜率都存在的前提下，任意两条直线
垂直时都有 k1 k2 1 ？
证明：设两条直线 l1 与 l2 的倾斜角分别为 1 与 2（ 1 ，2 ≠90°） 如果 l1 l2 ，这时 1 ≠ 2 ，否则两直线平行． 由三角形任一外角等于其不相邻两内角之和，
即： 1 =90°+ 2 （或 2 =90°+ 1 ）
l1 、 l2 的斜率分别是 k1, k2 ，即 1 ≠90°
由
tan 1
tan(900
2)
1
tan 2
即 k 1•k2 1
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归 纳： l1 l2 k1 k2 1
问：反之，当 k1 k2 1时，直线 l1 与 l2 有怎样的位置关系？
归 纳：直线 l1 的斜率不存在，则直线 l2 的斜率为 0
得出一般情况下的结论：
l1 l2 k1 k2 1 或l1,l2的斜率一个为0,一个不存在
第5页/共15页
2、应用举例：
例1：已知A（－6，0）、B（3，6）、C（0，3）、 D（6，－6），试判断直线AB与直线CD的位置关系。
变式1：给定三点A（1，0）、B（－1，0）、C（1，2）
(3)若C为直角,则AC BC, kAC kBC 1 即 m 1 m 1 1,得m 2 25 21
综上所述，m=-7,或m=3,或 m 2
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3、巩固练习
练习1:直线l1 l2,又l2过点A(1,1), B(m, n),l1与y轴平行,
则n=( A )
A.1
B. 1
C.2
D.不存在
解 : 点P在y轴上,设点P(0,y) MPN为直角,PM PN
kPM kPN 1 即 y 2 y 2 1, 解得y 4
02 06 点P的坐标是(0, 4), (0, 4)
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变式 4：ABC 的顶点 A（5，-1），B（1，1），C（2，m），
若 ABC 为直角三角形，求 m 的值 解:(1)若A为直角,则AC AB, kAC kAB 1 即 m 1 11 1,得m 7 25 15 (2)若B为直角,则AB BC, kAB kBC 1 即 1 m 1 1,得m 3 2 21
练习2:已知M (1, 3), N (1, 2), P(5, y)，且NMP 90 ，
则log8 (7 y)
2 3
练习3:已知A(1, 1), B(2, 2),C(3, 0)三点，求点D的坐标，
使直线CD AB，且CB //AD.
第9页/共15页
3、巩固练习
练习3:已知A(1, 1), B(2, 2),C(3, 0)三点，求点D的坐标，
则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（ A ）
A、（0，1）
B、（0，0）
C、（－1，0）
D、（0，－1）
变式2：已知P（3，4），Q（3，100），M（-10，40） N（10，40），试判断直线PQ与直线MN的位置关系。
第6页/共15页
例2：已知A（5，－1）、B（1，1）、C（2，3）三点， 试判断△ABC的形状。 变式 3：已知点 M（2，2）和 N（-6，-2），试在 y 轴上求 一点 P，使 MPN 为直角。
(2).当m
2
0,即m
2时, k1
1 m
2
由k1k2
m2 m 2 2
1 1,得m 3 m2
故若AB BC,得m 2或m 3
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4、巩固提升
（2）、经过
A（0，
7
3 ）和
B（7，0）的直线 l1 与过
C（2，1）
和 D(3,k-1)的直线 l2 与两坐标轴围成的四边形内接与一个
第1页/共15页
（二）新课讲解
活动一：在直线 l1 和 l2 的斜率都存在的情况下： 探究当 l1 l2 时，它们的斜率 k1 与 k2 有何关系？
问：(1)直线 l1 l2 且 l1 的倾斜角为 300， l2 的倾斜角为
1200 ，k1 与 k2 的关系？
(2)直线 l1 l2 且 l1 的倾斜角为 600， l2 的倾斜角为
所以点D的坐标为(0,1)
解得
x
y
0 1
第10页/共15页
4、巩固提升
（1）、 已知三点 A（m-1,2）、B(1,1)、C(3,m2-m-1),
若 AB BC ，求 m 的值。
解：设
AB，BC
的斜率分别为
k1,
k2
，则
k2
m2
m 11 31
m2
m 2
2
又知 xA xB m 2 ，
(1).当m 2 0,即m 2时,k1不存在,此时k2 =0,则AB BC.