现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
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《现代控制理论基础》第3章_线性控制系统的能控性与能观测性 (1).
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 [t0 ,t f ] 的有限时间内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到 任一终端状态x(tf ) ，则称此状态是能控的。如果系 统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能 控的。
7
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置， 可以分为：
1、系统的状态能控性： （常用 ） 初始状态为状态空间任意非零有限点；终端
，则系统状态完全
能控的充要条件为：
Ｂ阵中，对应于每一个约当块的最后一行
B
is
元素不全为零。
i
12
J1
J
J2 0 0O
Jl n´n
B1
B
B2
M
Bl n´r
li
1
l i
1
Ji
OO
O
1
l i si ´si
x&2
x&3 x&4
0
4 0
0
1
1
0 1
x2
0
x3
0
x4 0
0 0 1
2 0
u
0
状态完全能控
20
x&1 x& 2
4
0
1 4
0 0
F (t0 t ) e A(t0t ) aj (t0 t ) Aj
7
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置， 可以分为：
1、系统的状态能控性： （常用 ） 初始状态为状态空间任意非零有限点；终端
，则系统状态完全
能控的充要条件为：
Ｂ阵中，对应于每一个约当块的最后一行
B
is
元素不全为零。
i
12
J1
J
J2 0 0O
Jl n´n
B1
B
B2
M
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x&3 x&4
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x2
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2 0
u
0
状态完全能控
20
x&1 x& 2
4
0
1 4
0 0
F (t0 t ) e A(t0t ) aj (t0 t ) Aj
现代控制理论第3章
f 0 (t f ) f (t ) n 1 1 f 有唯一解 A B f ( t ) n 1 f
(t f )]
X(0) B
AB
f 0 (t f ),
,f
n1
(t f )
2 rank [ B AB A B
A n1B] n
2 P2 A ( P A ) A P A P3 1 1 3 P3 A ( P2 A) A P A P4 1
n 1 Pn 1 A ( Pn 2 A) A P A Pn 1
P P 1 1 P P A P 2 1 , 其中P 1 ? n 1 P P A n 1 P 0 1B P AB 0 , 转置以后得 PB 1 n 1 P A B 1 1 1B P P 1 B P 1 AB AB
3.2控制系统的能观性
自动化学院 CISIA
一.能观性定义
定义： 对于线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
在任意给定的输入 u(t) 下，能够根据输出量 y(t) 在
有限时间区间 [t0,tf] 内的测量值，唯一地确定系统
在 t0 时刻的初始状态 x(t0 )，就称系统状态x(t0 )是
X AX BU X PX Y CX
Y CX
X AX BU
A P 1 AP P非奇异 其中 B P 1B A与A为相似矩阵 C CP
det A det A, Rank ( A) Rank ( A)
a
i 1
n
ii
a ii ,
2.问题的提出 能控性问题？
(t f )]
X(0) B
AB
f 0 (t f ),
,f
n1
(t f )
2 rank [ B AB A B
A n1B] n
2 P2 A ( P A ) A P A P3 1 1 3 P3 A ( P2 A) A P A P4 1
n 1 Pn 1 A ( Pn 2 A) A P A Pn 1
P P 1 1 P P A P 2 1 , 其中P 1 ? n 1 P P A n 1 P 0 1B P AB 0 , 转置以后得 PB 1 n 1 P A B 1 1 1B P P 1 B P 1 AB AB
3.2控制系统的能观性
自动化学院 CISIA
一.能观性定义
定义： 对于线性定常系统 x Ax Bu, y Cx
在任意给定的输入 u(t) 下，能够根据输出量 y(t) 在
有限时间区间 [t0,tf] 内的测量值，唯一地确定系统
在 t0 时刻的初始状态 x(t0 )，就称系统状态x(t0 )是
X AX BU X PX Y CX
Y CX
X AX BU
A P 1 AP P非奇异 其中 B P 1B A与A为相似矩阵 C CP
det A det A, Rank ( A) Rank ( A)
a
i 1
n
ii
a ii ,
2.问题的提出 能控性问题？
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型
返回
说说 明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状 态初值，再由状态初值 求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个 独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
第3章 能控性和能观性
注：证明要用到结构的可控性分解的结果
PBH特征向量判据
线性定常系统完全可控的充分必要条件是不存在A 的非零左特征向量 T与B的所有列正交，即
T T T A , B0 i
证明：采用反证法。反设存在向量 0
A , B0 i
T T T T T B 0, T AB B 0, i
3.2 线性定常系统的可控性判据
由定义，可控性仅与状态方程式有关，与输出方 程式无关。 由 x(T ) 0 有
x0 e
t0
T
A
Bu ( )d
由此有 x0 可控的充分必要条件是存在满足上式的
容许控制：
u ( )
t0 T
说明：根据上述条件进行可控性判定难于操作。 引理1 点 x n 可控的充分必要条件是 0
那么对于任意的非零初始状态 x0 可构造控制律
u(t ) B e
T AT t
W (0, t1 ) x0 , 0 t t1
1
在该控制作用下系统在t时刻的状态为
x(t1 ) e x0 e
At1 0
t1
A t1 t t1
Bu (t )dt BB e
1 T AT t
说明：
1. 定义中没有对状态转移的轨迹和具体的时间 长度加以限制和规定，因此它仅是系统运动的一 定性特性； 2. 定义中的容许控制是指满足使系统解唯一存 在的所有控制的集合，对线性定常系统来说，是 要求其每个分量平方可积。 3. 对于时变系统，可控性与初始时间 t0 有关， 而对于线性定常系统，则可控性与初始时间 t0 无 关 4. 对于连续线性定常系统，可控性和可达性等 价，而对于时变及离散系统两者不等价。
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
线性系统的可控性与可观测性
第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
Image No
第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
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3
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
现代控制理论第3章 线性系统的能控性和能观测性
[例3.6] 已知三阶双输入系统的状态方程，试判别 1 1 0 0 1 其能控性。 u
X 0 0 1 1 0 X 1 0 1 1 0 u 2 1
解：
Q c B
AB
0 2 A B 1 0
方法1：
Q c B
1 AB 2
2 4
rankQ
c
1 2
系统不能控
0 1 ˆ u X 3 0
方法2：其对角标准型
u
1
x1
1 s
2 ˆ X 0
x1
y
2 0
x2
1 s
系统不能控
x2
3
[例3.7]已知系统的状态方程,试利用准则二判别 系统的能控性。
x2 x2 u y x x 1 2
1
1
x 1 x 2 既能控又能观测？
从状态方程看，输入u能对状态变量x1、x2施加影 响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出 方程看，输出y能反映状态变量x1、x2的变化，似乎 系统是可观测的。实际上，这个系统的两个状态变量 既不是完全可控的，也不是完全可观测的。 为了解释这一现象，须首先弄清楚 可控性和可观性的定义及判别方法。 返回 首页
三.能控性判据 (1) 能控性判别准则1
定理[3-1] 线性定常系统
X AX B u
(3 5 )
其状态完全能控的充要条件是由A，B阵所构成的 能控性判别矩阵
QC [B AB A B
2
A
n 1
B]
(3 6 )
满秩，即 rankQ
c
n , n是该系统的维数。
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性
3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。
当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。
这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。
并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。
还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。
能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。
状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。
系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。
可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。
下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
线性系统的可控性和可观测性
线性系统的可控性和可观测性可控性和可观测性的概念第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。
在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。
现代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。
这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。
如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。
相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。
可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。
可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a ） (b) (c)图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别对图8-20所示的结构图，其中图（a ）显见1x 受u 的控制，但2x 与u 无关，故系统不可控。
系统输出量y =1x ，但1x 是受2x 影响的，y 能间接获得2x 的信息，故系统是可观测的。
图（b ）中的1x 、,2x 均受u 的控制，故系统可控，但y 与2x 无关，故系统不可观测。
图（c ）中的1x 、2x 均受u 的控制，且在y 中均能观测到1x 、2x ，故系统是可控可观测的。
现代控制理论课件ch3(11级本1)
⎡ −1 2 x1 (0) ⎤ ⎢ ⎥ 欲使该方程有解，必有：rank ⎢ 0 0.5 x2 (0) ⎥ = 2 ⎢ ⎣ 2 −3 x3 (0) ⎥ ⎦ ⎡ −1 2 x1 (0) ⎤ ⎥ = 2 时， 可使x(1)=0， 0 0.5 (0) x 也即：当rank ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 2 −3 x3 (0) ⎥ ⎦ 而不能由任意初始状态一步内转移到原点。
可见，系统的可控性只与状态方程有关，或者说，只与系数矩阵A,B有关。 该定理的另一个说法是： 系统状态完全可控的充要条件是 可控性判别矩阵满秩。
第3章 线性系统的可控性和可观测性
可控性——系统内部所有变量的运动能否由u来控制，即u~x的关系。 可观性——系统内部所有变量的运动能否由y来反映，即y~x的关系。
⎧ ⎡ s1 = x ⎪ ⎢0 ⎣ ⎨ ⎪y = c [1 ⎩ 0⎤ ⎡ b1 ⎤ + u x ⎥ ⎢ ⎥ s2 ⎦ ⎣ b2 ⎦ c2 ] x
解： 可控性矩阵S：
⎡0 0 ⎤ ⎥ H =⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 0⎥ ⎦ 3×2
⎡0 0 | − 1 2 | 2 − 4 ⎤ ⎢ 4⎥ S = H GH G 2 H = ⎢0 1 | 0 − 2 | 0 ⎥ ⎢ ⎣1 0 | 0 − 4 | − 1 10 ⎥ ⎦ rank S = 3 ，故系统可控。
系统状B
A2 B " An −1 B ⎤ ⎦=n
AB
A2 B " An −1 B ⎤ ⎦ 被称为可控性判别矩阵。
可见，系统的可控性只与状态方程有关，或者说，只与系数矩阵A,B有关。 该定理的另一个说法是： 系统状态完全可控的充要条件是 可控性判别矩阵满秩。 思考： 矩阵 ⎡ ⎣B
状态可达： 坐标原点(初始) u(t) 某终端状态xf 系统可控： 意指状态完全可控，体现在x0的任意性； 系统可达： 意指状态完全可达，体现在xf的任意性。 注： 对于线性定常系统， 可控与可达是等价的； 但对离散系统和时变系统， 严格讲，二者不等价。
现代控制理论_第3章_能控性和能观测性
x 初态为 x n 2 1 0 ， 试选择x 0 ， 1 ， 2 使系统状态在 x n 3时转移到零。 提示：点击观看
T
解 令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设 、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性 矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵g 。 当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
点 击 观 看
第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状 态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常 离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与 多输入两种情况）：
T
解 令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设 、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系 统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性 矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩阵g 。 当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
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第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状 态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常 离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与 多输入两种情况）：
《现代控制理论基础》ch3线性控制系统的能控性和能观测性
2019年5月19日4时13分
17
说明：定理3说明 设2阶系统的约当标准型为：
A
1
0
1
1
,
B
b1 b2
根据定理1：
Qc B
AB
b1 b2
b11 b2
b21
要使系统能控，则必有：
| Qc
|
b1 b2
b11 b2 b21
aj (t0
j0
) A j Bu( )d
n1
j0
AjB
tf t0
aj (t0
)u( )d
（4）
B
tf t0
a0 (t0
)u( )d
AB
tf t0
a1 ( t0
)u( )d
An1 B
tf t0
an1 ( t0
Qc B AB A2B An1B (P1B) (P1AP)P1B (P1AP)(P1AP)(P1B) P1B P1AB P1A2B P1An1B P1 B AB A2B An1B
( P 1 A P)n 1 ( P 1B)
x 2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
rankQc rankQcQTc rank[(B AB An1B)(B AB An1B)T ]
现代控制导论 第三章 线性系统的可控性与可观性2011(1)
第三章 线性系统的可控性与可观性 (1)
1
本章内容
________________________________________________________
一、可控与可观测的概念及意义 二、线性系统的可控性 三、线性系统的可观性 四、可控与可观规范型及对偶原理 五、线性系统的规范分解 六、传递函数的实现
21
证明：
x(0)= [ x 1 (0) x(t f ) = e
A(t f -t 0 )
x 2 (0)
x n (0) ] → x(t f )=0求 u(t)
T
t f A(t f -t 0 ) x(t 0 ) + ∫ e Bu(τ)dτ t0
t 0 = 0,x(t f ) = 0 t f -Aτ x(0) = - ∫ e Bu(τ)dτ 0
25
例 图示电路，判断系统能控性条件
L iL
R1 R2
u
R3
uC R 4
解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：
R3 R4 ⎞ R3 ⎞ 1 ⎛ R1R2 1 ⎛ R1 1 + − x1 = − ⎜ ⎟ x1 + ⎜ ⎟ x2 + u L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L 1 ⎛ R2 1⎛ 1 1 ⎞ R4 ⎞ − − x2 = ⎜ ⎟ x1 − ⎜ ⎟ x2 C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
28
例.设线性定常系统的状态方程为： ⎡1 2 -1⎤ ⎡0⎤ x = ⎢0 1 0 ⎥ x + ⎢0⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 试分析该系统的能控性。 ⎡1 2 -1⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −1⎤ 解： AB = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
本章内容
________________________________________________________
一、可控与可观测的概念及意义 二、线性系统的可控性 三、线性系统的可观性 四、可控与可观规范型及对偶原理 五、线性系统的规范分解 六、传递函数的实现
21
证明：
x(0)= [ x 1 (0) x(t f ) = e
A(t f -t 0 )
x 2 (0)
x n (0) ] → x(t f )=0求 u(t)
T
t f A(t f -t 0 ) x(t 0 ) + ∫ e Bu(τ)dτ t0
t 0 = 0,x(t f ) = 0 t f -Aτ x(0) = - ∫ e Bu(τ)dτ 0
25
例 图示电路，判断系统能控性条件
L iL
R1 R2
u
R3
uC R 4
解 选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：
R3 R4 ⎞ R3 ⎞ 1 ⎛ R1R2 1 ⎛ R1 1 + − x1 = − ⎜ ⎟ x1 + ⎜ ⎟ x2 + u L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ L 1 ⎛ R2 1⎛ 1 1 ⎞ R4 ⎞ − − x2 = ⎜ ⎟ x1 − ⎜ ⎟ x2 C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠ C ⎝ R1 + R2 R3 + R4 ⎠
28
例.设线性定常系统的状态方程为： ⎡1 2 -1⎤ ⎡0⎤ x = ⎢0 1 0 ⎥ x + ⎢0⎥ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 试分析该系统的能控性。 ⎡1 2 -1⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ −1⎤ 解： AB = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 -4 3 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3线性控制系统的能控性与能观测性修改《现代控制理论基础(第3版)》课件
均不为0，从微分方程组可看出， x 1
•
、x 2
与输入 u
都有关， 即
x 1 ， x 2 都能受到输入 u 的控制，该系统是能控的。
若系统状态方程为
•
x
01
0 0
2xb2u
写成微分方程组
•
x1 1x1
•
x2 2x2 b2u
若
b1 0,b2 0
•
从微分方程组可看出， x 1
u 与输入
无关，即 不能受输入
2
因此，该系统状态是不完全能控的。
图3-3是能控系统的模拟结构图，从图中可看出，系统的两个状态变量
x
1
,
x
都受控于系统的输入量
2
u ，因此，该系统的状态都是能控的。
图3-3能控系统的模拟结构图
二、能观测性的基本概念
系统能观测性关心的核心问题是，状态变量
x能否从输出量 y 中检测出来。
i 图3-4的 R L 电路 ，电路中，若选取两个电感上的电流 1
输出表明，它只是与状态间的误差值有关，也就是说，并不能从系统的输出值 中确定出各个状态值，因此，电路是不能观测的。
图3-5为不完全能观测系统的模拟结构图。
图3-5一种不完全能观测系统的模拟结构图
从图中看出，系统的输出值完全与第3个状态变量无关，换句话说，不能 从系统的输出值中检测出第３个状态变量。
uc 0
图3-1
x 从控制的观点看，就是状态变量 不受输入量 u ( t ) 的控制 ，或者说，
该电路的状态是不能控的。
当 R1R4 R2R3 电桥不平衡时，电容两端的电位不相等， u c 0
u 而且，电容电压 c 始终跟着输入电压u ( t ) 的变化而变化。
•
、x 2
与输入 u
都有关， 即
x 1 ， x 2 都能受到输入 u 的控制，该系统是能控的。
若系统状态方程为
•
x
01
0 0
2xb2u
写成微分方程组
•
x1 1x1
•
x2 2x2 b2u
若
b1 0,b2 0
•
从微分方程组可看出， x 1
u 与输入
无关，即 不能受输入
2
因此，该系统状态是不完全能控的。
图3-3是能控系统的模拟结构图，从图中可看出，系统的两个状态变量
x
1
,
x
都受控于系统的输入量
2
u ，因此，该系统的状态都是能控的。
图3-3能控系统的模拟结构图
二、能观测性的基本概念
系统能观测性关心的核心问题是，状态变量
x能否从输出量 y 中检测出来。
i 图3-4的 R L 电路 ，电路中，若选取两个电感上的电流 1
输出表明，它只是与状态间的误差值有关，也就是说，并不能从系统的输出值 中确定出各个状态值，因此，电路是不能观测的。
图3-5为不完全能观测系统的模拟结构图。
图3-5一种不完全能观测系统的模拟结构图
从图中看出，系统的输出值完全与第3个状态变量无关，换句话说，不能 从系统的输出值中检测出第３个状态变量。
uc 0
图3-1
x 从控制的观点看，就是状态变量 不受输入量 u ( t ) 的控制 ，或者说，
该电路的状态是不能控的。
当 R1R4 R2R3 电桥不平衡时，电容两端的电位不相等， u c 0
u 而且，电容电压 c 始终跟着输入电压u ( t ) 的变化而变化。
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1 0 0 x1 0
0
1
0
x2
0
u
0 0 1 xn1 0
a1 a2 an1 xn 1
0
0
An1b
0
0
1
0 0
0 1 an1
0 0
1 an1 an2 an21
1
an1
结论：一个可控系统，若其矩阵A，b不具有可控标准形形式，
则定可选择适当非奇异线性变换化为可控标准形。
➢约当部分，展开后可得
x11x1x2b11u1b12u2 b1pup x21x2b21u1b22u2 b2pup
要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 系统约当部分的状态可控。
(b)
x1 1 1
x2
1
x1 b11 b12 x2 b21 b22
x3
x4
1 1
xx43bb3411
H
T()bd
0
0Tcsoinsww wd1sicnw oww s2TwT
1coswT coswTcos2wTsin2wT
H H
w2
sinwT
w2
2sinwTcoswTsinwT
w
w
✓ 离散化系统的采样周期选择不当时，便不能 保持原连续系统的可控性。 ✓ 当连续系统状态方程不可控时，不管采样周
(t) 1[(sIA)1]
1s w2
s
11 s
1s2ww 22
s2w2
1 s2w2 coswt
sinwt w
s s2w2
wsinwt
coswt
x (k 1 ) ( T )x (k ) H u (k )
cwsow isw nTTcsio w w n wsT T xx1 2((kk))1 scw iw w n2owsTT u(k)
对角形可控判据（A为对角阵，对角上元素互不相同）
x1 1
x1 b11 b12 b1pu1
x2
2
x2b21
b22
b2pu2
xn
nxn bn1 bn2 bnpup
x1 1x1 b11u1 b12u2 b1pup x2 2x2 b21u1 b22u2 b2pup
xn nxn bn1u1 bn2u2 bnpup
x(n)Gnx(0)Gn1H Gn2H
u(0)
u(1)
GH Hu(n2)
u(n1)
上式表示非齐次线性方程组，含n个方程，有n个未知数 u(0)，u(1)，…，u(n-1)。在x(0)、x(n)任意的情况下，要
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc ' G n 1H G HH
满秩，且 rankSc' n
det Sc 0
1 2
b1 0 , b2 0
输入阵中无全零行
A
1
0
1
1
b
b1
b
2
d e tS c d e tbA b b b 1 2 1 b 1 1 b 2 b 21 b 1 b 2 (1 b 1 b 2 ) b 2 b 2 2
det Sc 0
b2 0
输入阵中与约当块最后一行所对应的行 是非零行向量
因此，k=n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)的解存在的条
件，即为系统可控时应满足的条件
n1
令k=n ， x(n)Gnx(0) Gn1iHu(i) in01 x(n)Gnx(0) Gn1iHu(i) i0
x ( n ) G n x ( 0 ) G n 1 H u ( 0 ) G n 2 H u ( 1 ) G H u ( n 2 ) H u ( n 1 )
xAxbuxPx xP 1A P xP 1bu
0 1 0
0
0
1
A P1AP
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an1
0
0
b P 1b
0
1
(4)系统可控的另一种表达方式
【引例】
A
1
0
0
2
b
b1
b
2
d etS cd etbA bb b 1 2 2 1 b b 1 22 b 1 b 21 b 1 b 2
亦即 Sc HG Hຫໍສະໝຸດ G n 1H 且rankSc n
离散可控性例题
2．线性定常连续系统状态可控性
xAxBu
(1) 线性定常连续系统可控性定义
对于上式所示的系统，在有限时间区域t0≤t≤tf内，若 存在无约束的分段连续控制信号u(t)，能使系统的状态从 任意初态x(t0)转移到任意终态x(tf)，则称系统是状态完全 可控的，简称为系统可控。否则，称系统为不可控。
现代控制理论
第三章 线性系统的可控性和可观测性
证明
k1
x(k)Gkx(0) Gk1iHu(i)
i0
根据系统可控性的定义，若一个系统是可控的，在有
限 时 间 间 隔 0≤t≤nT 内 ， 针 对 任 意 初 态 x(0) 和 任 意 终 态
x(n)，当k＝n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)一定存在。
对角形可控判据 矩阵A为对角形且对角元素两两互
异时，若输入矩阵B中不出现全零行，则系统可控。
约当形可控判据
(a) x1 1 1
x2
1
x1 b11 b12 b1pu1 x2 b21 b22 b2pu2
x3
3
x3b 31
b32
b 3pu3
xn
nxn bn1 bn2 bnpup
➢其中的对角部分应用对角形可控判据 ，即要求输入矩阵B中 不出现全零行，则系统对角部分的状态可控。
b32 b42
x5
2x5 b51 b52
b1pu1 b2pu2
b3pu3
b4p
b5pup
b2 b3
1 1
b21 b32
... ...
b2 b3
p p
b41 b42 ... b4 p
要求：除满足对角判据外，上述矩阵行满秩，则系统可控
示例
(5) 连续状态方程离散化后的可控性
举例说明
xx120w2 10xx1210u
S c o C bC A bC A 2 b C A n 1 bD
期T如何选择，离散化后系统一定是不可控的。
(6) 输出可控性
xAxbu yCxDu
线性定常连续系统可控性定义
对于上式所示的系统，在有限时间区域t0≤t≤tf内，若 存在无约束的分段连续控制信号u(t)，能使系统的输出从 任意初值y(t0)转移到任意终态y(tf)，则称系统是输出可控 的。
线性定常连续系统可控性判据
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
xAxBu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc BA B
满秩，即 rankSc n
A n 1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn1
0
xn a0
Sc b Ab