现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性

xAxbuxPx xP 1A P xP 1bu
0 1 0
0
0
1
A P1AP
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an1
0
0
b P 1b
0
1
(4)系统可控的另一种表达方式
【引例】
A
1
0
0
2
b
b1
b
2
d etS cd etbA bb b 1 2 2 1 b b 1 22 b 1 b 21 b 1 b 2
det Sc 0
1 2
b1 0 , b2 0
输入阵中无全零行
A
1
0
1
1
b
b1
b
2
d e tS c d e tbA b b b 1 2 1 b 1 1 b 2 b 21 b 1 b 2 (1 b 1 b 2 ) b 2 b 2 2
det Sc 0
b2 0
输入阵中与约当块最后一行所对应的行 是非零行向量
现代控制理论
第三章 线性系统的可控性和可观测性
证明
k1
x(k)Gkx(0) Gk1iHu(i)
i0
根据系统可控性的定义，若一个系统是可控的，在有
限 时 间 间 隔 0≤t≤nT 内 ， 针 对 任 意 初 态 x(0) 和 任 意 终 态
x(n)，当k＝n时，u(0)，u(1)，…来自百度文库u(n-1)一定存在。
➢约当部分，展开后可得
x11x1x2b11u1b12u2 b1pup x21x2b21u1b22u2 b2pup
要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 系统约当部分的状态可控。
(b)
x1 1 1
x2
1
x1 b11 b12 x2 b21 b22
x3
x4
1 1
xx43bb3411
期T如何选择，离散化后系统一定是不可控的。
(6) 输出可控性
xAxbu yCxDu
线性定常连续系统可控性定义
对于上式所示的系统，在有限时间区域t0≤t≤tf内，若 存在无约束的分段连续控制信号u(t)，能使系统的输出从 任意初值y(t0)转移到任意终态y(tf)，则称系统是输出可控 的。
线性定常连续系统可控性判据
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
xAxBu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc BA B
满秩，即 rankSc n
A n 1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn1
0
xn a0
Sc b Ab
b32 b42
x5
2x5 b51 b52
b1pu1 b2pu2
b3pu3
b4p
b5pup
b2 b3
1 1
b21 b32
... ...
b2 b3
p p
b41 b42 ... b4 p
要求：除满足对角判据外，上述矩阵行满秩，则系统可控
示例
(5) 连续状态方程离散化后的可控性
举例说明
xx120w2 10xx1210u
x(n)Gnx(0)Gn1H Gn2H
u(0)
u(1)
GH Hu(n2)
u(n1)
上式表示非齐次线性方程组，含n个方程，有n个未知数 u(0)，u(1)，…，u(n-1)。在x(0)、x(n)任意的情况下，要
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc ' G n 1H G HH
满秩，且 rankSc' n
S c o C bC A bC A 2 b C A n 1 bD
因此，k=n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)的解存在的条
件，即为系统可控时应满足的条件
n1
令k=n ， x(n)Gnx(0) Gn1iHu(i) in01 x(n)Gnx(0) Gn1iHu(i) i0
x ( n ) G n x ( 0 ) G n 1 H u ( 0 ) G n 2 H u ( 1 ) G H u ( n 2 ) H u ( n 1 )
H
T()bd
0
0Tcsoinsww wd1sicnw oww s2TwT
1coswT coswTcos2wTsin2wT
H H
w2
sinwT
w2
2sinwTcoswTsinwT
w
w
✓ 离散化系统的采样周期选择不当时，便不能 保持原连续系统的可控性。 ✓ 当连续系统状态方程不可控时，不管采样周
亦即 Sc HG H
G n 1H 且rankSc n
离散可控性例题
2．线性定常连续系统状态可控性
xAxBu
(1) 线性定常连续系统可控性定义
对于上式所示的系统，在有限时间区域t0≤t≤tf内，若 存在无约束的分段连续控制信号u(t)，能使系统的状态从 任意初态x(t0)转移到任意终态x(tf)，则称系统是状态完全 可控的，简称为系统可控。否则，称系统为不可控。
对角形可控判据（A为对角阵，对角上元素互不相同）
x1 1
x1 b11 b12 b1pu1
x2
2
x2b21
b22
b2pu2
xn
nxn bn1 bn2 bnpup
x1 1x1 b11u1 b12u2 b1pup x2 2x2 b21u1 b22u2 b2pup
xn nxn bn1u1 bn2u2 bnpup
对角形可控判据 矩阵A为对角形且对角元素两两互
异时，若输入矩阵B中不出现全零行，则系统可控。
约当形可控判据
(a) x1 1 1
x2
1
x1 b11 b12 b1pu1 x2 b21 b22 b2pu2
x3
3
x3b 31
b32
b 3pu3
xn
nxn bn1 bn2 bnpup
➢其中的对角部分应用对角形可控判据 ，即要求输入矩阵B中 不出现全零行，则系统对角部分的状态可控。
(t) 1[(sIA)1]
1s w2
s
11 s
1s2ww 22
s2w2
1 s2w2 coswt
sinwt w
s s2w2
wsinwt
coswt
x (k 1 ) ( T )x (k ) H u (k )
cwsow isw nTTcsio w w n wsT T xx1 2((kk))1 scw iw w n2owsTT u(k)
1 0 0 x1 0
0
1
0
x2
0
u
0 0 1 xn1 0
a1 a2 an1 xn 1
0
0
An1b
0
0
1
0 0
0 1 an1
0 0
1 an1 an2 an21
1
an1
结论：一个可控系统，若其矩阵A，b不具有可控标准形形式，
则定可选择适当非奇异线性变换化为可控标准形。